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xn ] tỗ t f1 , , fm S s ❝❤♦ I = (f1 , f2 , , fm )✳ ❙✉② r❛ f = g1 f1 + + gm fm ✈ỵ✐ gi ∈ S ✳ ❙✉② r❛ supp(f ) ⊆ ∪mi=1 supp(gifi)✳ ❱➻ fi ∈ I ♥➯♥ supp(fi) ⊆ I ✳ ❚ø ✤â supp(gifi) ⊆ I ✳ ❱➻ ✈➟② supp(gifi) ⊆ N ∀i ♥➯♥ supp(f ) ⊆ N ✳ ❉♦ ✤â f ✤÷đ❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ q✉❛ ❝→❝ ✤ì♥ t❤ù❝ tr♦♥❣ I ✈ỵ✐ ❤➺ tû t❤✉ë❝ K ✳ ❱➟② I ❧➔ ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝✳ ❍➺ q✉↔ ✸✳✶✳✹✳ ❈❤♦ I tr♦♥❣ S ❧➔ ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝✳ ❑❤✐ ✤â t➟♣ ❝→❝ ✤ì♥ t❤ù❝ ❦❤→❝ I ❧➔ K ✲❝ì sð ❝õ❛ S I ✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣➦t W = {f + I|f ∈ Mon(S), f ∈/ I}✳ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ W ❧➔ K ✲❝ì sð ❝õ❛ S/I ✳ • ∀I = f + I ∈ S I ⇒ f ∈ I ✳ ❱➻ Mon S ❧➔ K ✲ ❝ì sð ❝õ❛ S ♥➯♥ m ui , ui ∈ Mon(S), ∈ K f= i=1 ❙✉② r❛ m f +I = s (vj + I) ∈ W ui + I = bj j=1 i=1 ❱➟② W ❧➔ ♠ët ❤➺ s✐♥❤ ❝õ❛ S/I tr➯♥ K ✳ ✸✺ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ • ∀m > 0✱ ❣✐↔ sû ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤ò② ▲✐♥❤ m i=1 λi (fi + I) = I ✈ỵ✐ fi ∈ Mon(S), fi ∈/ I ✳ ❚❛ ❝â m (λi fi + I) = I i=1 ❙✉② r❛ m λi fi ∈ I i=1 ❉♦ ✤â λi = ∀i = 1, m✳ ❱➟② W ❧➔ ❤➺ ✤ë❝ ❧➟♣ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ❚❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ W ❧➔ K ✲❝ì sð ❝õ❛ S/I ✳ ✸✳✶✳✷ ❚➟♣ s✐♥❤ ❝õ❛ ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝ ❈❤♦ {u1, u2, , um} ❧➔ ♠ët ❤➺ ✤ì♥ t❤ù❝ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû s✐♥❤ ❝õ❛ ✐✤➯♥❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝ I ✳ ❑❤✐ ✤â ✤ì♥ t❤ù❝ v ∈ I ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ tỗ t ỡ tự w s v = wui ✈ỵ✐ ✐ ♥➔♦ ✤â✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✶✳✺✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ sỷ v I tỗ t t❤ù❝ fi ∈ S s❛♦ ❝❤♦ m v= fi ui i=1 ❙✉② r❛ m v∈ supp(fi ui ) i=1 ❉♦ ✤â v ∈ supp(fiui) ✈ỵ✐ i ♥➔♦ ✤â✳ ❱➻ ✈➟② v = uiw ✈ỵ✐ w ∈ supp(fi)✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✶✳✻✳ t❤ù❝ s✐♥❤ ❝ü❝ t✐➸✉✳ ▼é✐ ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝ ❝â ❞✉② ♥❤➜t ♠ët t➟♣ ❝→❝ ✤ì♥ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû G1 = {u1, , ur } ✈➔ G2 = {v1, , vs} ❧➔ ❤❛✐ t➟♣ ✸✻ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤ò② ▲✐♥❤ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû s✐♥❤ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝ I ✳ ❱➻ ui ∈ I tỗ t ỡ tự vj s ui = w1vj tữỡ tỹ tỗ t ỡ tự uk ✈➔ w2 s❛♦ ❝❤♦ vj = uk w2✳ ❙✉② r❛ ui = w1w2uk ✳ ❉♦ G1 ❧➔ t➟♣ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû s✐♥❤ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ I ♥➯♥ k = i ✈➔ w1w2 = 1✳ ◆➳✉ w1 = ⇒ ui = vj ∈ G2✳ ❙✉② r❛ G1 ⊂ G2✱ t÷ì♥❣ tü G2 ⊂ G1✳ ❚ø ✤â s✉② r❛ G1 = G2✳ ❱➟② ♠é✐ ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝ ❝â ❞✉② ♥❤➜t ♠ët t➟♣ ❝→❝ ✤ì♥ t❤ù❝ s✐♥❤ ❝ü❝ t✐➸✉✳ ❚❛ t❤÷í♥❣ ❦➼ ❤✐➺✉ t➟♣ ❝→❝ ✤ì♥ t❤ù❝ s✐♥❤ ❝ü❝ t✐➸✉ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝ I ❧➔ G(I)✳ ✸✳✷ ❈→❝ ♣❤➨♣ t♦→♥ tr➯♥ ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝ ✸✳✷✳✶ ❈→❝ ♣❤➨♣ t♦→♥ ✤↕✐ sè ❝ì ❜↔♥ ❚❛ ❝â✱ tê♥❣ ✈➔ t➼❝❤ ❝õ❛ ❤❛✐ ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝ ❧➔ ♠ët ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ♥➳✉ I ✈➔ J ❧➔ ❤❛✐ ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝✱ t❤➻ G(I +J) ⊂ G(I)∪G(J) ✈➔ G(IJ) ⊂ G(I)G(J)✳ ❈❤♦ u ✈➔ v ❧➔ ❤❛✐ ✤ì♥ t❤ù❝✱ t❛ ❦➼ ❤✐➺✉ gcd(u, v) ữợ ợ t u v lcm(u, v) ❧➔ ❜ë✐ ❝❤✉♥❣ ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ u ✈➔ v ✳ ✣è✐ ✈ỵ✐ ♣❤➨♣ ❣✐❛♦ ❤❛✐ ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝✱ t❛ ❝â✿ ❈❤♦ I ✈➔ J ❧➔ ❤❛✐ ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝✳ ❑❤✐ ✤â I ∩ J ❧➔ ♠ët ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝ ✈➔ {lcm(u, v) : u ∈ G(I), v ∈ G(J)} ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû s✐♥❤ ❝õ❛ I ∩ J ✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✷✳✶✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✰✮ ❈❤♦ f ∈ I ∩ J ✱ s✉② r❛ f ∈ I ✈➔ f ∈ J ✳ ❉♦ I ✈➔ J ❧➔ ✸✼ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤ò② ▲✐♥❤ ❤❛✐ ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝ ♥➯♥ t❤❡♦ ❤➺ q✉↔ t❛ ❝â   supp(f ) ⊂ I  supp(f ) ⊂ J ❉♦ ✤â supp(f ) ⊂ I ∩ J ✳ ❱➟② I ∩ J ❧➔ ♠ët ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝✳ ✰✮ ❱ỵ✐ w ∈ supp(f )✱ ✈➻ supp(f ) ⊂ I ∩ J ♥➯♥ w ∈ I ∩ J ✳ ❙✉② r❛ w ∈ I ✈➔ f ∈ J ✱ ❞♦ ✤â ∃ u ∈ G(I)✱ v ∈ G(J) s❛♦ ❝❤♦ u|w ✈➔ v|w✳ ❑❤✐ ✤â lcm(u, v)|w✳ ❚ø lcm(u, v) ∈ I ∩ J ✈ỵ✐ ∀u ∈ G(I), v ∈ G(J) t❛ ❝â ❦➳t ❧✉➟♥ {lcm(u, v) : u ∈ G(I), v ∈ G(J)} ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû s✐♥❤ ❝õ❛ I ∩ J✳ ❈❤♦ I, J ⊂ S ❧➔ ❤❛✐ ✐✤➯❛♥✳ ❚➟♣ I : J = {f ∈ S : f g ∈ I, ∀g ∈ J} ❧➔ ♠ët ✐✤➯❛♥✱ ❣å✐ ❧➔ ✐✤➯❛♥ I ❝❤✐❛ ✐✤➯❛♥ J ✳ ❈❤♦ I ✈➔ J ❧➔ ❤❛✐ ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝✳ ❑❤✐ ✤â I : J ❧➔ ♠ët ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝ ✈➔ I : J = v∈G(J) I : (v)✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ {u/ gcd(u, v) : u ∈ G(I)} ❧➔ t➟♣ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû s✐♥❤ ❝õ❛ I : (v)✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✷✳✷✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ▲➜② f ∈ I : J ✳ ❑❤✐ ✤â f g ∈ I ✱ ∀g ∈ G(J)✳ ❱➻ I ❧➔ ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝ ♥➯♥ supp(f g) ⊂ I ✳ ❙✉② r❛ g supp(f ) ⊂ I ❤❛② supp(f ) ⊆ I : J ✳ ❚ø ✤â t❤❡♦ ❤➺ q✉↔ t❛ s✉② r❛ I : J ❧➔ ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝✳ ✰✮ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✿ I : J = v∈G(J) I : (v)✳ ✲ ❱ỵ✐ ∀v ∈ G(J) ⊆ J ✱ t❛ ❝â I : (v) ⊇ I : J ✳ ❉♦ ✤â I:J ⊆ I : (v) v∈G(J) ✸✽ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤ò② ▲✐♥❤ ✲ ❱ỵ✐ ∀f ∈ v∈G(J) I : (v) t❤➻ f v ∈ I, ∀v ∈ G(J)✳ ❉♦ ✤â f J ⊆ I ✈➻ G(J) ❧➔ t➟♣ s✐♥❤ ❝õ❛ J ✱ ❞♦ ✤â v∈G(J) I : (v) ⊆ I : J ✳ ❱➟② t❛ ❦➳t ❧✉➟♥ ✤÷đ❝ I : J = v∈G(J) I : (v)✳ ✰✮❚❛ ❝❤➾ r❛ {u/ gcd(u, v) : u ∈ G(I)} ❧➔ t➟♣ s✐♥❤ ❝õ❛ I : (v)✳ ❱ỵ✐ w ∈ I : (v) t❤➻ ∃ u ∈ G(I) s❛♦ ❝❤♦ u|wv✳ ⇒ u/ gcd(u, v)|w✳ ✸✳✷✳✷ ❇➣♦ ❤á❛ ✈➔ ❝➠♥ ❚❛ ❝â S = K[x1 , , xn ]✱ I ⊆ S ❧➔ ♠ët ✐✤➯❛♥ ♣❤➙♥ ❜➟❝✳ ❚❛ ❦➼ ❤✐➺✉ k m = (x1 , , xm )✳ ❙ü ❜➣♦ ❤á❛ I ❝õ❛ I ❧➔ ♠ët ✐✤➯❛♥ I := ∝ k=1 I : m ✈➔ √ ✐✤➯❛♥ I = {f ∈ S|f k ∈ I, ∃k ≥ 0}✳ I ❧➔ ✐✤➯❛♥ ❜➣♦ ❤á❛ ♥➳✉ I = I ✳ √ I ❧➔ ✐✤➯❛♥ ❝➠♥ ♥➳✉ I = I ✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✷✳✸✳ ❇➣♦ ❤á❛ ✈➔ ❝➠♥ ❝õ❛ ❝→❝ ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝ ❧➔ ❝→❝ ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝ tù❝ ❧➔ ♥➳✉ I ❧➔ ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝ t❤➻ I ✈➔ t❤ù❝✳ √ I ❝ơ♥❣ ❧➔ ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû I ❧➔ ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝✳ ❚❛ ❝â m = (x1, , xm) ♥➯♥ mk ❝ơ♥❣ ❧➔ ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝ ✈ỵ✐ ∀k ≥ 1✳ ⇒ I : mk ❧➔ ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝ ✈ỵ✐ ∀k ≥ 1✳ ❚❛ ❝â I : m ⊇ I : m2 ⊇ I : m3 ⊇ ♥➯♥ ∀f ∈ I ⇒ ∃k ≥ s❛♦ ❝❤♦ f ∈ I : mk ✳ ⇒ supp(f ) ⊆ I : mk ⊂ I ✳ ❱➟② I ❧➔ ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝✳ √ ✰✮ ✣➦t f = cxa + ∈ I ð ✤â tê♥❣ ❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥ ợ = c K õ tỗ t↕✐ k ❞÷ì♥❣ s❛♦ ❝❤♦ f k ∈ I ✳ ❱➻ I ❧➔ ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝ ❝❤♦ ♥➯♥ t❤❡♦ ❤➺ q✉↔ t❛ ❝â supp(f k ) ⊂ I ✳ ✸✾ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤ò② ▲✐♥❤ ✣➦t supp(f ) = {xa , , xa }✳ õ ỗ t {a1, , ar } ⊂ Rn ❧➔ ♠ët ❤➻♥❤ ✤❛ ❞✐➺♥✳ ●✐↔ sû a1 ❧➔ ✤➾♥❤ ❝õ❛ ❤➻♥❤ ✤❛ ❞✐➺♥✱ ♥â✐ ❝→❝❤ ❦❤→❝ a1 ổ tở ỗ {a2, , ar }✳ ❚❛ ❝â t❤➸ ✈✐➳t k = k1 + + kr ✈➔ k1 < k t❤➻ r (xa1 )k = (xa1 )k1 (xa2 )k2 (xar )kr ❙✉② r❛ r (ki /(k − k1 )).ai a1 = i=2 ✈ỵ✐ ri=2(ki/(k − k1)) = 1✳ ❙✉② r❛ a1 ❦❤ỉ♥❣ ❧➔ ✤➾♥❤✱ ♠➙✉ t❤✉➝♥✳ ⇒ (xa )k ∈ supp(f k ) ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ I ✳ √ √ ❉♦ ✤â xa ∈ I ✈➔ f − cxa ∈ I ✳ ❚❤❡♦ ♣❤➨♣ q✉② ♥↕♣ ❧ü❝ ❧÷đ♥❣ √ ❝õ❛ supp(f )✱ t❛ ❝â supp(f ) ⊂ I ✳ √ ❱➟② t❤❡♦ ❤➺ q✉↔ I ❧➔ ♠ët ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝✳ 1 ❈➠♥ ❝õ❛ ♠ët ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝ I ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ t➼♥❤ rã r➔♥❣✳ ▼ët ✤ì♥ t❤ù❝ xa ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❝❤ù❛ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ♥➳✉ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❝õ❛ a ❧➔ ❤♦➦❝ 1✳ ❈❤♦ u = xa ❧➔ ♠ët ✤ì♥ t❤ù❝✱ √u = i,a =0 xi✳ ❚❛ ❝â √u = u ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ u ❦❤æ♥❣ ❝❤ù❛ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣✳ i ❱➼ ❞ư ✸✳✷✳✹✳ ❈❤♦ ✤ì♥ t❤ù❝ u = x2y3✱ ❦❤✐ ✤â √u = xy✳ ❈❤♦ I ❧➔ ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝✳ ❑❤✐ ✤â {√u : u ∈ G(I)} √ ❧➔ t➟♣ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû s✐♥❤ ❝õ❛ I ✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✷✳✺✳ ✹✵ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤ò② ▲✐♥❤ √ √ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ❝â {√u : u ∈ G(I)} ⊂ I ✳ ❱➻ I ❧➔ ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝ √ ♥➯♥ ✈ỵ✐ v ∈ I t❛ ❝â v ❧➔ ❜ë✐ ❝õ❛ √u✱ u ∈ G(I) v I t tỗ t số ♥❣✉②➯♥ k ≥ ✤➸ vk ∈ I ✳ ❑❤✐ õ tỗ t ỡ tự w s vk = wu✳ ▼ët ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝ 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∩I2 ✈ỵ✐ I1 = (v, u2, , ur ) ✈➔ I2 = (w, u2, , ur )✳ ❍✐➸♥ ♥❤✐➯♥✱ I I1 I2 ữủ ợ ỡ tự u ∈ I1 ∩ I2✱ t❛ ❝â✿ ✰ ♥➳✉ u ❧➔ ❜ë✐ ❝õ❛ ui t❤➻ u ∈ I ✳ ✰ ♥➳✉ u ❦❤æ♥❣ ❧➔ ❜ë✐ ❝õ❛ ui t❤➻ u ❧➔ ❜ë✐ ❝õ❛ v ✈➔ w✳ ❱➻ (v, w) = 1✱ ♥➯♥ u ❧➔ ❜ë✐ ❝õ❛ u1✱ s✉② r❛ u ∈ I ✳ ◆➳✉ G(I1) ❤♦➦❝ G(I2) ❝❤ù❛ ♠ët ♣❤➛♥ tû ♠➔ ❦❤ỉ♥❣ ❧➔ ❧ơ② t❤ø❛✱ t❛ t✐➳♣ tư❝ ♥❤÷ tr➯♥ ✈➔ s ởt số ỳ ữợ sỹ I ❧➔ ❣✐❛♦ ❝→❝ ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝ s✐♥❤ ❜ð✐ ❧ơ② t❤ø❛✳ ❱✐➺❝ ❜ä ✤✐ ♥❤ú♥❣ ✐✤➯❛♥ ♠➔ ❝❤ù❛ ✐✤➯❛♥ ❦❤→❝ tr♦♥❣ ❣✐❛♦ t❛ ❝â ♠ët ♣❤➨♣ ❣✐❛♦ tè✐ t✐➸✉✳ ●✐↔ sû Q1 ∩ ∩ Qr = Q1 ∩ ∩ Qs ❧➔ ❤❛✐ ♣❤➨♣ ❣✐❛♦ tè✐ t✐➸✉ ❝õ❛ ❝→❝ ✐✤➯❛♥ s✐♥❤ ❜ð✐ ❧ơ② t❤ø❛✳ ❚❛ ❝❤➾ r❛ ✈ỵ✐ ♠é✐ i ∈ [r] ❝â j ∈ [s] s❛♦ ❝❤♦ Qj ⊂ Qi✳ ❉♦ t➼♥❤ ✤è✐ ①ù♥❣ t❛ ❝ơ♥❣ ❝â ✈ỵ✐ ♠é✐ k ∈ [s], ∃l ∈ [r] s❛♦ ❝❤♦ Ql ⊂ Qk ✳ ❍❛② r = s ✈➔ {Q1 , , Qr } = {Q1 , , Qs }✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ✈ỵ✐ i ∈ [r] t❛ ❣✐↔ ✤à♥❤ Qi = (xa1 , , xak )✳ ●✐↔ sû Qj Qi ✈ỵ✐ j [s] õ ợ ộ j tỗ t↕✐ xbl ∈ Qj \Qi ⇒ lj ∈ / [k] ❤♦➦❝ bj < al ✳ ✣➦t u = lcm{xbl , , xbl }✳ ❚❛ ❝â u ∈ k j j j s j=1 Qj s s ⊂ Qi ❙✉② r❛ ∃i ∈ [k] s❛♦ ❝❤♦ xai |u✱ ♠➙✉ t❤✉➝♥✳ ❱➟② ♠➺♥❤ ✤➲ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ i 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∀u ∈ supp(f )✳ ⇒ P = I : f ⊂ u∈supp(f ) I : u✳ ❍❛②✱ ♥➳✉ g ∈ u∈supp(f ) I : u t❤➻ ug ∈ I ✈ỵ✐ ∀u ∈ supp(f )✳ ❉♦ ✤â gf ∈ I : f = P ✱ s✉② r❛ P = u∈supp(f ) I : u✳ ❱➻ P ❧➔ ❜➜t ❦❤↔ q✉② ♥➯♥ P = I : u ✈ỵ✐ u ∈ supp(f )✳ ✹✼ ❑➳t ❧✉➟♥ ❚r➯♥ ✤➙② ❧➔ t♦➔♥ ❜ë ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ✧■✤➯❛♥ tr♦♥❣ ✈➔♥❤ ✤❛ t❤ù❝✧✳ ◗✉❛ q✉→ tr➻♥❤ t➻♠ ❤✐➸✉✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ✤➲ t➔✐✱ ❡♠ ✤➣ ❤✐➸✉ s➙✉ s➢❝ ❤ì♥ ✈➲ ❜❛♦ ✤â♥❣ ♥❣✉②➯♥ ❝õ❛ ✐✤➯❛♥ ✈➔ ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝ tr♦♥❣ ✈➔♥❤✳ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ ✤➣ ✤↕t ✤÷đ❝ ♠ư❝ ✤➼❝❤ ✈➔ ♥❤✐➺♠ ✈ö ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤➲ r❛ ❧➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤ú♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ❜❛♦ ✤â♥❣ ♥❣✉②➯♥ ✈➔ ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝✳ ❚✉② ợ tớ ữ ợ ✈è♥ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳✱ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔② ❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ t❤✐➳✉ sât✳ ❊♠ r➜t ữủ sỹ õ ỵ t ổ ✈➔ ❝→❝ ❜↕♥ s✐♥❤ ✈✐➯♥ ✤➸ ✤➲ t➔✐ ♥➔② ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❤ì♥✳ ❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✺ ♥➠♠ ✷✵✶✽ ❙✐♥❤ ✈✐➯♥ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤ò② ▲✐♥❤ ✹✽ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✶❪ ❍♦➔♥❣ ❳✉➙♥ ❙➼♥❤ ✭✷✵✵✶✮✱ ✣↕✐ sè ✤↕✐ ❝÷ì♥❣✱ ◆❳❇●❉✳ ❬✷❪ ◆❣✉②➵♥ ❍ú✉ ✣✐➸♥ ✭✷✵✵✸✮✱ ✣❛ t❤ù❝ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣✱ ◆❳❇●❉✳ ❬✸❪ ■r❡♥❛ ❙✇❛♥s♦♥ ❛♥❞ ❈r❛✐❣ ❍✉♥❡❦❡✱ ■♥t❡❣r❛❧ ❈❧♦s✉r❡ ♦❢ ■❞❡❛❧s✱ ❘✐♥❣s✱ ❛♥❞ 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