KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC: 2017 -2018 Mơn thi: Tốn (Lần 5) PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THỌ XUÂN Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) ( Đề thi có 06 bài, gồm 01 trang ) 6x +  + −  : ( x + 2)  x +1 x +1 x − x + 1  Bài 1: (4,5 điểm) Cho biểu thức: Q =  a) Tìm điều kiện xác định Q, rút gọn Q b) Tìm x Q = c) Tìm giá trị lớn biểu thức Q Bài 2: (4,5 điểm) 2x + 2x + 6x + 9x − − = 1− a) Giải phương trình: 2x + 2x + (2 x + 1)(2 x + 7) b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 – 2x2 – x +2 c) Tìm giá trị x, y nguyên dương cho: x2 = y2 + 2y + 13 Bài 3: (4,0 điểm) ab + bc + ca + = = a) Cho abc ≠ ± Chứng minh a = b = c b c a x2 − 2x + 2011 b) Cho biĨu thøc M = víi x > x2 T×m x để M có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Bi 4: (5,0 im) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao AD, BE, CF cắt H a) Chứng minh rằng: BD.DC = DH.DA HD HE HF + + = b) Chứng minh rằng: AD BE CF c) Chứng minh rằng: H giao điểm đường phân giác tam giác DEF d) Gọi M, N, P, Q, I, K trung điểm đoạn thẳng BC, CA, AB, EF, FD, DE Chứng minh ba đường thẳng MQ, NI, PK đồng quy điểm Bài 5: (1.0 điểm) Cho tam giác ABC cân A có AB = AC =b ; BC = a Đường phân giác BD tam giác ABC có độ dài cạnh bên tam giác ABC Chứng minh rằng: 1 b − = b a (a + b) Bµi 6: (1,0 điểm) Cho a, b, c > 0; a + b + c = Chứng minh rằng: Hết a b c + + ≥ + b2 + c2 + a 2 Họ tên thí sinh :…………………… Giám thị số :……………………… Số báo danh : …………………… Giám thị số 2: ……………………… Cán coi thi khơng giải thích thêm PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THỌ XUÂN HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP NĂM HỌC 2017-2018 MƠN: TỐN Hướng dẫn chấm gồm 04 trang Bài Bài (4,5đ) Bài (4,5đ) Nội dung cần đạt a) Đk: x ≠ −1; x ≠ −2 x2 − x + + 6x + − x − ( x + 2)( x + 1) Q= = = x +1 x + ( x + 1)( x + 2)( x − x + 1) x − x + 1 = ⇔ x − x + = ⇔ ( x + 1)( x − 2) = b) x − x +1 Suy x = -1 x = So sánh với điều kiện suy x = Q = 1 3  c) Q = ; Vì > 0; x – x + =  x − ÷ + ≥ > x − x +1 2 4  Q đạt GTLN ⇔ x − x + đạt GTNN ⇔ x − x + = 4 ⇔ x= (t/m) Lúc Q = Vậy GTLN Q Q = x= −1 −7 ;x ≠ 2 ( x + 3) (2 x + 7) − ( x + ) ( x + 1) = ( x + ) ( x + 1) − x + x − ( x + 1) (2 x + 7) ( x + ) ( x + 1) ( x + ) ( x + 1) ( x + ) ( x + 1) a) ĐK: x ≠ ⇔ Thang điểm 0,5 1,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x + 20 x + 21 − x − 12 x − x + 16 x + − x − x + = ( x + ) ( x + 1) ( x + ) ( x + 1) x + 16 −2 x + x + 16 ⇔ = ( x + ) ( x + 1) ( x + ) ( x + 1) 0,5 x = ⇒ x + 16 = −2 x + x + 16 ⇔ x + x = ⇔ x (2 x + 1) = ⇔   x = − (Lo¹i)  0,5 2 Vậy phương trình có nghiệm x = b) Ta có x3 – 2x2 – x + = (x3-2x2)-(x-2)=x2(x- 2)-(x-2) =(x-2)(x2-1) = (x-2)(x-1)(x+1) 2 c)Ta có x = y + 2y + 13 ⇔ x2 = (y + 1)2 + 12 ⇔ (x + y + 1)(x - y – 1) = 12 Do x + y + – (x - y – 1) = 2y + số chẵn x , y ∈ N* nên x + y + > x – y – Do x + y + x – y – hai số nguyên dương chẵn Từ suy có trường hợp: x + y + = x – y – = ⇔ x = y = Vậy (x; y) = (4; 1) 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài (4,0đ) ab + bc + ca + 1 1 = = ⇒a+ =b+ =c+ b c a b c a Do đó: 1 b−c 1 c−a 1 a−b a−b= − = ; b−c= − = ; c−a = − = c b bc a c ac b a ab (a − b)(b − c)(c − a) Suy ra: (a – b)(b – c)(c – a) = a b 2c2 ⇔(a – b)(b – c)(c – a)(a2b2c2 - 1) = ⇒ (a - b)(b – c)(c – a) = (do abc ≠ ± 1) Suy a = b = c a) Từ Ta cã: M = = = ( x − 2011) 0,5 0,5 25 ® x2 − 2.2011x + 1+ 20112 + 2010x2 2011x2 0, 25 ® + 2010x ( x − 2011) + 2010 ≥ 2010 = 2011x 2011x2 2011 2011 DÊu “=” xÊy ⇔ ( x − 2011) = ⇔ x = 2011 (tháa m·n) 0,5 0, x − 2x + 2011 2011x − 2.2011x + 2011 = x2 2011x2 0,5 2 Vậy giá trị nhỏ A 0, 25 đ 2010 đạt đợc x = 2011 2011 0, 25 ® Bài (5,0đ) A E F H C B D a) Chỉ ∆BDH ∼ ∆ADC (g.g) BD DH ⇒ = AD DC ⇒BD.DC = DH.DA SHBC HD.BC HD = = b) Ta có: SABC AD.BC AD HE SHAC HF SHAB = = Tương tự: ; BE SABC CF SABC 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 HD HE HF SHBC + SHAC + SHAB SABC + + = = =1 AD BE CF SABC SABC · · c) Chứng minh ∆AEF ∼ ∆ABC (c.g.c) ⇒ AEF = ABC · · · · Tương tự DEC Do đó: AEF = ABC = DEC · · · · · · Mà AEF = 900 nên HEF + HEF = DEC + HED = HED ⇒ EH phân giác góc DEF Tương tự FH phân giác góc EFD Do H giao đường phân giác tam giác DEF d) Do 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 A E Q P N F K H I C B D M Do ∆BEC vuông E, M trung điểm BC nên EM = BC (trung tuyến ứng với cạnh huyền) Tương tự : FM = BC Do đó: ∆EMF cân M, mà Q trung điểm EF nên MQ ⊥ EF ⇒ MQ đường trung trực EF hay MQ đường trung trực tam giác DEF Hoàn toàn tương tự, chứng minh NI PK đường trung trực tam giác DEF nên ba đường thẳng MQ, NI, PK đồng quy điểm Bài (1,0đ) A H D C B Vẽ BH đường cao tam giác ABC Tam giác BAD cân B (BA=BD) có BH đường cao nên đường trung tuyến 0,5 0,5 ⇒ AH = AD Tam giác ABC có BD đường phân giác , ta có : DA AB b DA DC DA + DC AC b b2 = = ⇒ = = = = ⇒ DA = DC BC a b a a+b a +b a +b a +b 0,25 Tam giác HAB vuông H , theo đ/lý Pytago ta có : AB = BH + AH ⇒ BH = b − AD (1) 0,25 Tam giác HBC vuông H , theo đ/lý Pytago, ta có BC = BH + HC ⇒ BH = BC − ( AC − AH )2 = a − (b − ⇒ BH = a − b + b AD − AD AD ) (2) 0,25 Từ (1) (2) ta có : AD AD = a − b + b AD − ⇒ b − a = b AD − b 4 −ab a −b b 1 b ⇒ (b + a )(b − a ) = ⇒ = ⇒ − = a+b ab (a + b) b a (a + b) b2 − Bài (1,0đ) 0,25 Vậy toán c/m Do a, b > + b2 ≥ 2b với b nên a ab ab ab =a− ≥a− =a− 2 1+ b 1+ b 2b 0,25 b bc c ca ≥ b − ≥ c − ; + c2 1+ a2 a b c ab + bc + ca + + ≥ − mà a + b + c = nên (1) 0,25 + b2 + c2 + a 2 Cũng từ a + b + c = ⇒ (a + b + c)2 = ⇔ a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = mà a2 + b2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ac nên a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca suy 3(ab + bc + ca) ≤ ⇔ ab + bc + ca ≤ (2) 0,25 a b c 3 + + ≥ − = đpcm Từ (1) (2) suy + b2 + c2 + a 2 0,25 Đẳng thức xảy a = b = c = Ghi chú: - Học sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa - Bài hình học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng chấm điểm Tương tự ta có : ... Tương tự DEC Do đó: AEF = ABC = DEC · · · · · · Mà AEF = 900 nên HEF + HEF = DEC + HED = HED ⇒ EH phân giác góc DEF Tương tự FH phân giác góc EFD Do H giao đường phân giác tam giác DEF d) Do...PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THỌ XUÂN HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP NĂM HỌC 2017- 20 18 MÔN: TOÁN Hướng dẫn chấm gồm 04 trang Bài Bài (4,5đ) Bài (4,5đ) Nội dung cần đạt a)... trung tuyến 0,5 0,5 ⇒ AH = AD Tam giác ABC có BD đường phân giác , ta có : DA AB b DA DC DA + DC AC b b2 = = ⇒ = = = = ⇒ DA = DC BC a b a a+b a +b a +b a +b 0,25 Tam giác HAB vuông H , theo đ/lý