Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I Lý thuyết *Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm trục số giá trị tuyệt đối số a( a số thực) * Giá trị tuyệt đối số khơng âm nó, giá trị tuyệt đối số âm số đối TQ: Nếu a   a  a Nếu a   a  a Nếu x-a  0=> |x-a| = x-a Nếu x-a  0=> |x-a| = a-x *Tính chất Giá trị tuyệt đối số không âm TQ: a  với a  R Cụ thể: |a| =0 a=0 |a| ≠ a ≠ * Hai số đối có giá trị tuyệt đối nhau, ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối chúng hai số đối a  b TQ: a  b    a  b * Mọi số lớn đối giá trị tuyệt đối đồng thời nhỏ giá trị tuyệt đối TQ:  a  a  a  a  a  a  0; a  a  a  * Trong hai số âm số nhỏ có giá trị tuyệt đối lớn TQ: Nếu a  b   a  b * Trong hai số dương số nhỏ có giá trị tuyệt đối nhỏ TQ: Nếu  a  b  a  b * Giá trị tuyệt đối tích tích giá trị tuyệt đối TQ: a.b  a b * Giá trị tuyệt đối thương thương hai giá trị tuyệt đối TQ: a a  b b * Bình phương giá trị tuyệt đối số bình phương số TQ: a  a * Tổng hai giá trị tuyệt đối hai số lớn giá trị tuyệt đối hai số, dấu xảy hai số dấu TQ: a  b  a  b a  b  a  b  a.b  II Các dạng tốn : I Tìm giá trị x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối: Dạng 1: A(x)  k ( Trong A(x) biểu thức chứa x, k số cho trước ) * Cách giải: - Nếu k < khơng có giá trị x thoả mãn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt đối số không âm ) - Nếu k = ta có A( x)   A( x)   A( x)  k  A( x)  k - Nếu k > ta có: A( x)  k   Bài 1.1: Tìm x, biết: a) x   b)   2x  4 c) 1  x  d)  2x   Bài 1.2: Tìm x, biết: a) 2 x   b) 7,5   x  4,5 c) x    3,75    2,15 15 Bài 1.3: Tìm x, biết: a) 3x    b) x 1  c)  x    3,5 d) x  1 2 Bài 1.4: Tìm x, biết:   5% 4 5 4,5  x  a) x  b)  5 x  4 c)  x  4 d) Bài 1.5: Tìm x, biết: 2 21 x 3:   a) 6,5  : x  b) 11  : 4x   c) 15  2,5 : x   4 d) Dạng 2: A(x)  B(x) ( Trong A(x) B(x) hai biểu thức chứa x ) * Cách giải: a  b  A( x)  B ( x) Vận dụng tính chất: a  b   ta có: A( x)  B( x)    a  b  A( x)   B ( x) Bài 2.1: Tìm x, biết: a) x   x  b) x   3x   c) x   5x   2  3x  x  d) Bài 2.2: Tìm x, biết: x   x  b) 2 x  x5  a) x   x   c) x   x  d) 3 Dạng 3: A(x)  B(x) ( Trong A(x) B(x) hai biểu thức chứa x ) * Cách 1: Ta thấy B(x) < khơng có giá trị x thoả mãn giá trị tuyệt đối số không âm Do ta giải sau: A( x)  B( x) (1) Điều kiện: B(x)  (*)  A( x)  B ( x) (1) Trở thành A( x)  B( x)   ( Đối chiếu giá tri x tìm với  A( x)   B ( x) điều kiện ( * ) * Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: Nếu a   a  a Nếu a   a  a Ta giải sau: A( x)  B( x) (1)  Nếu A(x)  (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm với điều kiện )  Nếu A (x ) < (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm với điều kiện ) Bài 3.1: Tìm x, biết: x   2x c) 5x  x  12 d)  x  5x  Bài 3.2: Tìm x, biết: a)  x  x b) x  3x  c) x    x d) x   x  21 Bài 3.3: Tìm x, biết: a)  x  4 x b) 3x    x c) x  15   3x d) x   x  Bài 3.4: Tìm x, biết: a) x   x  b) 3x    x c) 3x   x  d) x    x Bài 3.5: Tìm x, biết: a) x    x b) x   x  c) 3x    3x d)  x   x a) b) x   3x  Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối: * Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: A( x)  B( x)  C ( x)  m Căn bảng xét khoảng giải toán ( Đối chiếu điều kiện tương ứng ) Bài 4.1: Tìm x, biết: a) 3x   x  x   x   12 b) x   x   x   x   5 5 c)  x  x    1,2 d) x   x    x Bài 4.2: Tìm x, biết: a) x   x   c) x   x   d) x   x   x   e) x   x   x   f) x    x  11 Bài 4.3: Tìm x, biết: a) x   x   x   b) 3x x   x x   12 c) x   x   x   d) x    x  x e) x  x   x  f) x   x  x  x  Bài 4.4: Tìm x, biết: a) x   x   c) x   x   b) x   x   d) x   3x   x  Dạng 5: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt: A(x)  B(x)  C(x)  D(x) (1) Điều kiện: D(x)  kéo theo A( x)  0; B( x)  0; C ( x)  Do (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x) Bài 5.1: Tìm x, biết: a) x   x   x   x c) x   x  b) x   x   x   x   5x   x   4x d) x  1,1  x  1,2  x  1,3  x  1,4  5x Bài 5.2: Tìm x, biết: 100  x  x   x   101x 101 101 101 101 1 1  x  x   x   100x b) x  2 3 99.100 1 1  x  x   x   50 x c) x  3 5.7 97.99 1 1  x  x   x   101x d) x  5 9.13 397.401 a) x  Dạng 6: Dạng hỗn hợp: Bài 6.1: Tìm x, biết: a) x    b) x  x   x2  2 Bài 6.2: Tìm x, biết: c) x x   x a) x   1  b) x x 1   c) x x    c) x  x  Bài 6.3: Tìm x, biết: a) x x  x 1 2 b)  x   x  Bài 6.4: Tìm x, biết: a) x   x   x  3  2x  4 b) x    3  2x  4 c) 3x    Dạng 7: A  B  Vận dụng tính chất khơng âm giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng thức * Nhận xét: Tổng số không âm số khơng âm tổng số hạng tổng đồng thời * Cách giải chung: A  B  A  0   A  B 0 B  0  A  B2: Khẳng định: A  B    B  B1: đánh giá: Bài 7.1: Tìm x, y thoả mãn: a) 3x   y   b) x  y  y  0 25 c)  x  y   Bài 7.2: Tìm x, y thoả mãn: a)  x  y 3  b) 11 23   x  1,5   y 0 17 13 c) x  2007  y  2008  * Chú ý1: Bài tốn cho dạng A  B  kết không thay đổi * Cách giải: A  B  (1) A  0   A  B 0 B  0  (2) A  B  Từ (1) (2)  A  B    Bài 7.3: Tìm x, y thoả mãn: a) 5x   y   b) x  y  y   Bài 7.4: Tìm x, y thoả mãn: c) x  y   y   a) 12x   11y   b) 3x  y  y   c) x  y   xy  10  * Chú ý 2: Do tính chất khơng âm giá trị tuyệt đối tương tự tính chất khơng âm luỹ thừa bậc chẵn nên kết hợp hai kiến thức ta có tương tự Bài 7.5: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: a) x  y   y   b) x  y 2007  y  2008  c) x  y 2006  2007 y   d) Bài 7.6: Tìm x, y thoả mãn : a) x  12   y  32  b) 2x  54  y   c) 3x  y 2004  y  d) x  y    y   0 x  y   2007 y  3 0 2008  2000 2 0 Bài 7.7: Tìm x, y thoả mãn: a) x  2007  y  2008  c) 13 1  x  24 2 2006  b) 2007 y 0 2008 25 x  y  10 y  0 d) 2007 x  y 2008  2008 y  2007  Dạng 8: A  B  A  B * Cách giải: Sử dụng tính chất: a  b  a  b Từ ta có: a  b  a  b  a.b  Bài 8.1: Tìm x, biết: a) x    x  d) x   x   11 b) x   x   e) x   x   3x  c) 3x   3x   f) x    x  x   Bài 8.2: Tìm x, biết: a) x   x   b) x   x   d) 5x    x   3x e) x   3x   x   Bài 2: Tìm x, y thoả mãn : 2 a) x  1   y  3  Bài 3: Tìm x, y thoả mãn: a) x  2007  y  2008  c) 3x    x  13 f) x   x   Bài 4: Tìm x thoả mãn: a) x    x  II Tìm cặp giá trị ( x; y ) nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: Dạng 1: A  B  m với m  * Cách giải: A  B  * Nếu m = ta có A  B    * Nếu m > ta giải sau: A  B  m (1) Do A  nên từ (1) ta có:  B  m từ tìm giá trị B A tương ứng Bài 1.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn: a) x  2007  x  2008  b) x  y   y   c) x  y 2  y   Bài 1.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn: a) x  y  y   b) x  y    y  34  c) x  y   y   Bài 1.3: Tìm cặp số nguyên (x, y ) thoả mãn: a) x   y   b) x   y   c) 3x  y   d) 5x  y   Bài 1.4: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) x   y   b) x   y   12 c) 3x  y   10 d) x  y   21 Bài 1.5: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) y   x  b) y   x  c) y   x  d) y  12  x  2 Dạng 2: A  B  m với m > * Cách giải: Đánh giá A  B  m (1) A  0    A  B  (2) B  0  Từ (1) (2)   A  B  m từ giải toán A  B  k dạng với 0k m Bài 2.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) x  y  b) x   y   c) x   y   d) 3x  y   Bài 2.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 2x   y   a) x   y   b) c) x   y 1  d) 2x   y   Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức: a  b  a  b xét khoảng giá trị ẩn số Bài 3.1: Tìm số nguyên x thoả mãn: a) x    x  b) x   x   c) x   x   d) x   x   Bài 3.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn đồng thời điều kiện sau a) x + y = x   y  b) x +y = x   y  x  c) x –y = x  y  d) x – 2y = x  y   Bài 3.3: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn đồng thời: a) x + y = x   y   b) x – y = x   y   c) x – y = x   y   d) 2x + y = x   y   Dạng 4: Kết hợp tính chất khơng âm giá trị tuyệt đối dấu tích: * Cách giải : A( x).B( x)  A( y) Đánh giá: A( y)   A( x).B( x)   n  x  m tìm giá trị x Bài 4.1: Tìm số nguyên x thoả mãn: a) x  2x  3  b) 2x  12x  5  3x  15  2x  c) 3  xx  2  d) Bài 4.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) 2  x x  1  y  b) x  31  x   y c) x  25  x   y   Bài 4.3: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) x  13  x   y  b) x  25  x   y   c) x  3x  5  y   Dạng 5: Sử dụng phương pháp đối lập hai vế đẳng thức: * Cách giải: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: A = B Đánh giá: A  m (1) Đánh giá: B  m (2) A  m B  m Từ (1) (2) ta có: A  B   Bài 5.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) x   x     y  22 c) y    10 2 x  6 2 b) x    x  12 y 1  d) x    x  y3 3 Bài 5.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) x   x   c) 3x   3x   b) x   x   2 y  5  12  y  3 d) x  y    2 Bài 5.3: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 16 y2  y2 10 y4 2 a) x  y  22   c) x  2007   b) x  22   14 y 1  y  y  2008  20 3y2 5 d) x  y    30 3y5 6 III – Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:  Cách giải chung: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối thu gọn: Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với 3,5  x  4,1 a) A  x  3,5  4,1  x b) B   x  3,5  x  4,1 Bài 2: Rút gọn biểu thức sau x < - 1,3: a) A  x  1,3  x  2,5 b) B   x  1,3  x  2,5 Bài 3: Rút gọn biểu thức: a) A  x  2,5  x  1,7 b) B  x   x  c) C  x   x  3 x b) B   x    x   Bài 4: Rút gọn biểu thức a) A  x   x  5 Bài 5: Rút gọn biểu thức: a) A  x  0,8  x  2,5  1,9 với x < - 0,8 b)  x  4,1 1 1 c) C   x  x   với  x  5 5 B  x  4,1  x  d) D  x   x  9 với với x > ==============&=&=&============== IV.Tính giá trị biểu thức: Bài 1: Tính giá trị biểu thức: a) M = a + 2ab – b với a  1,5; b  0,75 b) N = a  với a  1,5; b  0,75 b Bài 2: Tính giá trị biểu thức: a) A  x  xy  y với x  2,5; y  c) C  3 b) B  3a  3ab  b với a  ; b  0,25 5a 1  với a  ; b  0,25 d) D  x  x  với x  b Bài 3: Tính giá trị biểu thức: a) A  x  3x  x  với x  2 b) B  x  y với x  ; y  3 c) C  x   31  x với x = d) D  5x  x  với x  3x  V.Tìm giá trị lớn – nhỏ biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: Dạng 1: Sử dụng tính chất không âm giá trị tuyệt đối: * Cách giải chủ yếu từ tính chất khơng âm giá trị tuyệt đối vận dụng tính chất bất đẳng thức để đánh giá giá trị biểu thức: Bài 1.1: Tìm giá trị lớn biểu thức: a) A  0,5  x  3,5 D b) B   1,4  x  c) C  3x 2 d) 4x 5 2x 3 x 1 e) E  5,5  x  1,5 f) F   10,2  3x  14 g) i) I   2,5  x  5,8 k) K  10  x  G   x   y  12 h) H  5,8 2,5  x  5,8 l) L   x  m) M  x2 3 n) N   Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A  1,7  3,4  x b) B  x  2,8  3,5 d) D  3x  8,4  14,2 e) E  x   y  7,5  17,5  g) G  4,9  x  2,8 h) H  x  k) K  3x   l) L  3x   12 3x5 4 c) C  3,7  4,3  x f) F  2,5  x  5,8 i) I  1,5  1,9  x m) M  51  x  Bài 1.3: Tìm giá trị lớn biểu thức: 15 1 21 20 b) B   c) C   3x   3 815x  21  3x   y   21 24 d) D  6  e) E    x  y   x   14 x  y  2x   a) A   Bài 1.4: Tìm giá trị lớn biểu thức: a) A  x   11 7x   b) B  y   13 2y   c) C  Bài 1.5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A   C 8 x   24 b) B   14 y   35 15 28  12 x  y  x   35 Bài 1.6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 10 c) 15 x   32 x 1  a) A  21 x   33 4x   b) B  y   14 y   14 c) C   15 x   68 x   12 Dạng 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị biểu thức: Bài 2.1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A  x    x b) B  x   x  d) D  x   x  e) E  5x    5x c) C  3x    3x f) F  x    x Bài 2.2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A  x   x  b) B  x    3x c) C  x   4x  Bài 2.3: Tìm giá trị lớn biểu thức: a) A   x   x  b) B   x   x  c) C   3x    3x Bài 2.4: Tìm giá trị lớn biểu thức: a) A  2 x   x  b) B  3 x    3x c) C  5  x  5x  Bài 2.5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A  x   x  b) B  x   x   c) C  x   x  Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức a  b  a  b Bài 3.1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A  x   x  b) B  x   x  c) C  x   3x  Bài 3.2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A  x   x   b) B  3x   3x   c) C  x   x   12 Bài 3.3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A  x   x   x  b) B  x   3x   x   c) C  x   x   x  d) D  x   x   x   Bài 3.4: Cho x + y = tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  x 1  y  Bài 3.5: Cho x – y = 3, tìm giá trị biểu thức: B  x   y 1 Bài 3.6: Cho x – y = tìm giá trị nhỏ biểu thức: C  2x   y  Bài 3.7: Cho 2x+y = tìm giá trị nhỏ biểu thức: D  x   y   11 12 ... hai giá trị tuyệt đối hai số lớn giá trị tuyệt đối hai số, dấu xảy hai số dấu TQ: a  b  a  b a  b  a  b  a.b  II Các dạng toán : I Tìm giá trị x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt. .. giá trị tuyệt đối: Dạng 1: Sử dụng tính chất khơng âm giá trị tuyệt đối: * Cách giải chủ yếu từ tính chất khơng âm giá trị tuyệt đối vận dụng tính chất bất đẳng thức để đánh giá giá trị biểu thức:... B(x) < khơng có giá trị x thoả mãn giá trị tuyệt đối số khơng âm Do ta giải sau: A( x)  B( x) (1) Điều kiện: B(x)  (*)  A( x)  B ( x) (1) Trở thành A( x)  B( x)   ( Đối chiếu giá tri x tìm