A/CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN TỚI BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI DẠNG Tính biểu thức số: a) Thực phép tính: b) A = c) A = d) A = e) Tính: f)Cho x1 = x2 = Hãy tính: A = x1 x2; B = DẠNG RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CHỮ 1.Rút gọn: B= ( với a > 0, b > 0, a Câu 2: Cho biểu thức A = a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị a để A < Câu 3: Rút gọn biểu thức: b) với a > 0, a A = với Câu Rút gọn B = , với < x < Câu Rút gọn biểu thức: với a ≥ a ≠ với a > 0, a ≠ 1, a ≠ Câu 6.rút gọn biểu thức: P = Câu Cho biểu thức P= 1) Rút gọn P 2) Tìm x để P = với x ≥ 0, x ≠ Câu : Cho M = với a) Rút gọn M b) Tìm x cho M > Câu Cho biểu thức: K = với x >0 x 1) Rút gọn biểu thức K 2) Tìm giá trị biểu thức K x = + Câu 10 Rút gọn B = Câu 11 Cho biểu thức: P = Rút gọn biểu thức P 3) Tìm a để P > - với với a > 0, a ≠ 1) Câu 12.Cho biểu thức P = với x > 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tìm giá trị x để P > Câu 13 Cho biểu thức P= với a > a a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị a để P > B/Các dạng toán liên quan tới phương trình bậc hai định lý Vi-ét Câu Cho phương trình: x2 – 2(m-2)x -8m = (m tham số) a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: Câu Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx + = (1) a) Giải phương trình cho m = b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: ( x1 + )2 + ( x2 + )2 = HD : a) Với m = ta có phương trình: x2 – 6x + = Giải ta hai nghiệm: x1 = b) Ta có: ∆/ = m2 – Phương trình (1) có nghiệm (*) Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 2m x1x2 = Suy ra: ( x1 + )2 + ( x2 + )2 = x12 + 2x1 + x22 + 2x2 = =0 (x1 + x2)2 – 2x1x2 + 2(x1 + x2) = 4m2 – + 4m m2 + m – = Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy có nghiệm m = - thỏa mãn Vậy m = - giá trị cần tìm Câu Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx - = (1) a) Chứng minh phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x x2 b) Tìm giá trị m để: x12 + x22 – x1x2 = HD: a) Ta có ∆/ = m2 + > 0, ∀m ∈ R Do phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt b) Theo định lí Vi-ét thì: x1 + x2 = 2m x1.x2 = - Ta có: x12 + x22 – x1x2 = ⇔ (x1 + x2)2 – 3x1.x2 = ⇔ 4m2 + = ⇔ m2 = ⇔ m = ± Câu Cho phương trình ẩn x: x2 – x + + m = (1) a) Giải phương trình cho với m = b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn: x1x2.( x1x2 – ) = 3( x1 + x2 ) HD: a) Với m = ta có phương trình x2 – x + = Vì ∆ = - < nên phương trình vơ nghiệm b) Ta có: ∆ = – 4(1 + m) = -3 – 4m ≤ −3 ⇔ m ≤ Để phương trình có nghiệm ∆ ≥ ⇔ - – 4m ≥ ⇔ 4m Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = x1.x2 = + m Thay vào đẳng thức: x1x2.( x1x2 – ) = 3( x1 + x2 ), ta được: (1 + m)(1 + m – 2) = ⇔ m2 = ⇔ m = ± Đối chiếu với điều kiện (1) suy có m = -2 thỏa mãn -3 (1) Câu Cho phương trình x2 - 6x + m = 1) Với giá trị m phương trình có nghiệm trái dấu 2) Tìm m để phương trình có nghiệm x 1, x2 thoả mãn điều kiện x - x2 = HD: 1) Phương trình có nghiệm trái dấu khi: m < 2) Phương trình có nghiệm x1, x2 ⇔ ∆’ = - m ≥ ⇔ m ≤  x1 + x =  Theo hệ thứcViét ta có  x1 x = m (1) (2) Theo yêu cầu x1 - x2 = (3) Từ (1) (3) ⇒ x1 = 5, thay vào (1) ⇒ x2 = Suy m = x1.x2 = (thoả mãn) Vậy m = giá trị cần tìm Câu Cho phương trình: x2 - (m - 1)x - m - = (1) 1) Giải phương trình với m = -3 2) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thoả mãn hệ thức = 10 3) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc giá trị m HD: 1) Với m = - ta có phương trình: x + 8x = ⇔ x (x + 8) = ⇔ x = x = -  2) Phương trình (1) có nghiệm khi: ∆’ ≥ ⇔ (m - 1)2 + (m + 3) ≥ ⇔ m2 - 2m + + m + ≥ 15 (m − ) + > ⇔ m2 - m + > ⇔ ∀m Chứng tỏ phương trình có nghiệm phân biệt ∀ m  x1 + x = 2(m - 1) (1)  (2) Theo hệ thức Vi ét ta có:  x1 - x = - m - 2 Ta có x1 + x = 10 ⇔ (x + x )2 - 2x x = 10 ⇔ (m - 1)2 + (m + 3) = 10 2 m = ⇔ 2m (2m - 3) = ⇔  m = 2  ⇔ 4m - 6m + 10 = 10 3) Từ (2) ta có m = -x1x2 - vào (1) ta có: x1 + x2 = (- x1x2 - - 1) = - 2x1x2 - Câu Cho phương trình: x2- 4x + m +1 = (1) 1) Giải phương trình (1) m = 2) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x 1, x2 thỏa mãn đẳng thức = (x1 + x2) C/GIẢI BÀI TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài : Hai ô tô khởi hành lúc quãng đường từ A đến B dài 120 km Mỗi ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10 km nên đến B trước ô tô thứ hai 0,4 Tính vận tốc tô HD: Gọi vận tốc ô tô thứ x (km/h) Suy vận tốc ô tô thứ hai là: x – 10 (km/h) (Đk: x > 10) 120 Thời gian để ô tô thứ ô tô thứ hai chạy từ A đến B x (h) 120 x - 10 (h) 120 120 = − 0, Theo ta có phương trình: x x - 10 Giải ta x = 60 (thỏa mãn).Vậy vận tốc ô tô thứ 60 km/h ô tô thứ hai 50 km/h Bài Tính kích thước hình chữ nhật có diện tích 40 cm 2, biết tăng kích thước thêm cm diện tích tăng thêm 48 cm2 HD Gọi kích thước hình chữ nhật x (cm) y (cm) ( x; y > 0)  xy = 40  xy = 40  ⇔  ( x + 3) ( y + 3) = xy + 48  x + y = 13 Theo ta có hệ phương trình:  Suy x, y hai nghiệm phương trình: t2 – 13t + 40 = (1) Giải phương trình (1) ta hai nghiệm Vậy kích thước hình chữ nhật cm cm Bài 3.: Một xí nghiệp sản xuất 120 sản phẩm loại I 120 sản phẩm loại II thời gian Mỗi sản xuất số sản phẩm loại I số sản phẩm loại II 10 sản phẩm Hỏi xí nghiệp sản xuất sản phẩm loại HD : Gọi x số sản phẩm loại I mà xí nghiệp sản xuất giờ(x > 0) Suy số sản phẩm loại II sản xuất x + 10 120 Thời gian sản xuất 120 sản phẩm loại I x (giờ) 120 Thời gian sản xuất 120 sản phẩm loại II x + 10 (giờ) 120 120 + =7 Theo ta có phương trình: x x + 10 (1) −40 Giải phương trình (1) ta x1 = 30 (thỏa mãn); x2 = (loại) Vậy xí nghiệp sản xuất 30 sản phẩm loại I 40 sản phẩm loại II Bài 4: Một ruộng hình chữ nhật, tăng chiều dài thêm 2m, chiều rộng thêm 3m diện tích tăng thêm 100m Nếu giảm chiều dài chiều rộng 2m diện tích giảm 68m2 Tính diện tích ruộng HD : Gọi chiều dài ruộng x, chiều rộng y (x, y > 0, x tính m) Diện tích ruộng x.y Nếu tăng chiều dài thêm 2m, chiều rộng thêm m diện tích ruộng lúc là: (x + 2) (y + 3) Nếu giảm chiều dài chiều rộng 2m diện tích ruộng lại (x-2) (y-2) Theo ta có hệ phương trình: (x + 2) (y + 3) = xy + 100  (x - 2) (y - 2) = xy - 68  xy + 3x + 2y + = xy + 100 ⇔   xy - 2x - 2y + = xy - 68 3x + 2y = 94  x = 22  x = 22 ⇔  ⇔  ⇔   2x + 2y = 72  x + y = 36  y = 14 Vậy diện tích ruộng là: S = 22 14= 308 (m2) Bài 5.Một đoàn xe chở 480 hàng Khi khởi hành có thêm xe nên xe chở Hỏi lúc đầu đồn xe có chiếc, biết xe chở khối lượng hàng HD: Gọi x (chiếc) số xe lúc đầu (x nguyên, dương) Số xe lúc sau là: x + (chiếc) 480 480 Lúc đầu xe chở: x (tấn hàng), sau xe chở: x + (tấn hàng) 480 480 =8 ⇔ x x +3 Ta có phương trình: x2 + 3x - 180 = Giải phương trình ta x1 = - 15 (loại); x2 = 12 (TMĐK) Vậy đoàn xe lúc đầu có 12 D/TỨ GIÁC NỘI TIẾP VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN Bài Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt E Lấy I thuộc cạnh AB, M thuộc cạnh BC cho: vuông ) (I M không trùng với đỉnh hình a) Chứng minh BIEM tứ giác nội tiếp đường tròn b) Tính số đo góc c) Gọi N giao điểm tia AM tia DC; K giao điểm BN tia EM Chứng minh CK BN Bài Cho đường tròn (O;R); AB CD hai đường kính khác đường tròn Tiếp tuyến B đường tròn (O;R) cắt đường thẳng AC, AD thứ tự E F a) Chứng minh tứ giác ACBD hình chữ nhật b) Chứng minh ∆ACD ∆CBE c) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn d) Gọi S, S1, S2 thứ tự diện tích ∆AEF, ∆BCE ∆BDF Chứng minh: Bài Cho tam giác ABC vuông A, M điểm thuộc cạnh AC (M khác A C ) Đường tròn đường kính MC cắt BC N cắt tia BM I Chứng minh rằng: a) ABNM ABCI tứ giác nội tiếp đường tròn b) NM tia phân giác góc 2 c) BM.BI + CM.CA = AB + AC Bài Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB Vẽ dây cung CD vng góc với AB (CD khơng qua tâm O) Trên tia đối tia BA lấy điểm S; SC cắt (O; R) điểm thứ hai M a) Chứng minh ∆SMA đồng dạng với ∆SBC b) Gọi H giao điểm MA BC; K giao điểm MD AB Chứng minh BMHK tứ giác nội tiếp HK // CD c) Chứng minh: OK.OS = R2 Hướng dẫn giải: Bài a) Tứ giác BIEM có: tròn đường kính IM b) Tứ giác BIEM nội tiếp suy ra: (gt); suy tứ giác BIEM nội tiếp đường (do ABCD hình vng) c) ∆EBI ∆ECM có: , BE = CE , ) ( N K M B ∆EBI = ∆ECM (g-c-g) MC = IB; suy MB = IA Vì CN // BA nên theo định lí Thalet, ta có: C I IA = IB Suy IM song song với E BN (định lí Thalet đảo) · · · ⇒ BKE = IME = 450 (2) Lại có BCE = 450 (do A D ABCD hình vng) · · · · Suy BKE = BCE ⇒ BKCE tứ giác nội tiếp · 0 Suy ra: BKC + BEC = 180 mà BEC = 90 ; suy · BKC = 900 ; hay CK ⊥ BN Bài a) Tứ giác ACBD có hai đường chéo AB CD cắt trung điểm đường, suy ACBD hình chữ nhật b) Tứ giác ACBD hình chữ nhật suy ra: A D O C E B F · CBE = · · » CAD = BCE = 90 (1) Lại có sđ BC (góc tạo tiếp tuyến dây cung); · ACD = · · » » » sđ AD (góc nội tiếp), mà BC = AD (do BC = AD) ⇒ CBE = ACD (2) Từ (1) (2) suy ∆ACD ~ ∆CBE · · c) Vì ACBD hình chữ nhật nên CB song song với AF, suy ra: CBE = DFE (3) · · Từ (2) (3) suy ACD = DFE tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn S1 EB2 = d) Do CB // AF nên ∆CBE ~ ∆AFE, suy ra: S EF ⇒ S1 EB = S EF Tương tự ta có S2 BF = S EF Từ suy ra: S1 S + =1⇒ S S Bài a) Ta có: B · · MAB = 900 (gt)(1) MNC = 900 (góc tiếp chắn nửa · ⇒ MNB = 900 (2) đường nội tròn) N Từ (1) (2) suy ABNM tứ giác nội tiếp Tương tự, tứ giác ABCI có: C M A I · · BAC = BIC = 900 ⇒ ABCI tứ giác nội tiếp đường tròn · · b) Tứ giác ABNM nội tiếp suy MNA = MBA (góc nội tiếp chắn cung AM) (3) · · Tứ giác MNCI nội tiếp suy MNI = MCI (góc nội tiếp chắn cung MI) (4) · · Tứ giác ABCI nội tiếp suy MBA = MCI (góc nội tiếp chắn cung AI) (5) · · · Từ (3),(4),(5) suy MNI = MNA ⇒ NM tia phân giác ANI · · c) ∆BNM ∆BIC có chung góc B BNM = BIC = 90 ⇒ ∆BNM ~ ∆BIC (g.g) ⇒ BN BI = BM BC ⇒⊂ BM.BI = BN BC Tương tự ta có: CM.CA = CN.CB Suy ra: BM.BI + CM.CA = BC2 (6) Áp dụng định lí Pitago cho tam giác ABC vng A ta có: BC2 = AB2 + AC2 (7) Từ (6) (7) suy điều phải chứng minh Bài a) ∆SBC ∆SMA có: · · · · BSC = MSA , SCB = SAM ¼ (góc nội tiếp chắn MB ) ⇒ ∆SBC ~ ∆SMA b) Vì AB ⊥ CD nên » = AD » AC · · MHB = MKB (vì » + sdMB) ¼ (sdAD ⇒ tứ giác BMHK nội tiếp Suy đường tròn · · ⇒ HMB + HKB = 1800 (1) · · Lại có: HMB = AMB = 90 (2) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) · Từ (1) (2) suy HKB = 90 , HK // CD (cùng vng góc với AB) ¼ » c) Vẽ đường kính MN, suy MB = AN 1 · · · · OSM = ASC = OMK = NMD = » » » ¼ » (sđ AC - sđ BM ); sđ ND = (sđ AD Ta có: - sđ AN ); · · » » ¼ » mà AC = AD MB = AN nên suy OSM = OMK ⇒ ∆OSM ~ ∆OMK (g.g) ⇒ OS OM = ⇒ OK.OS = OM = R OM OK