Page: Love NeverDies Lời giải: Hồng Bá Mạnh Tốn cho nhà kinh tế Giải tập giáo trình CHƯƠNG GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC NEU – Winter 2019 Bài 31 Với hàm cos x :  Chọn dãy điểm x1k  k 2 x2 k   k 2 tiến  k   , ta thấy:   lim cos  x1k   lim cos  k 2   lim1   lim cos  x2 k   lim cos   k 2   lim  x2 k  k  k  k  2  k  x1k  Vậy, không tồn lim cos x x  Tương tự với hàm số lại Như tan x cot x chọn dãy x1k    k x2 k    k Bài 32 x  3x   5x    15 a) lim   4 x 3 2x 1 5  3x  5x  3  3 3x  5x  x x  300   lim x  lim b) lim x  x  x  x  x  x  x  2  200 x x x  5x  x   c) lim   x  x  x    x d) lim  x    x 2 1 x    x  x     0  lim     1 x  1     4    x x  x x cos   lim  x   cos  (quy tắc kẹp) x 2 x  5x  x  5x  Bài 33    x  2 x2  2x  x3  x2  2x  4  lim  lim  a) lim x 2 x  x  10 x 2 x  x 5  x   x  5 b) lim x 0 c) lim x      x  1  1 x   x nhân liên hợp lim lim  x   bËc vµ x 0  x  1  1   x  12  x   1 x 0     x  4x 1  x  x   lim x   x    x  lim    4x 1  x2  x    lim   x 1 1  x  1   2x 1 1 3x  x  4x 1  x  x  x  4x 1  x2  x  4  3  3x  x   lim  1 1  x  1   1        x x x x x x x x  x  2 x   m sè h¹ng  x  x   x         m  x  1  x    x m  x  x   x  m   d) lim  lim  lim x 1 x  x   x n  n x 1  n sè h¹ng  x 1  x  1  x    x n  x  x   x n           Hoàng Bá Mạnh m Nhóm: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU         Trang: Love NeverDies m  m  1     m  1 m  m  1  lim    n  x 1  x    x n  n  1     n  1 n  n  1           x  1   x m 1   Bài 34 sin 3x tan 3x sin 3x cos x 3cos x a) lim  lim  lim 3x  x 0 tan x x 0 sin x cos3 x x 0 sin x cos3 x 2x sin   x  1  sin  x    sin  x   b) lim  lim  lim  x 1 x  x 1 x  x  x  x 1   x  1 x  x 1       2 sin x.sin   x  cos x  cos3x sin x sin x  lim  lim 4 2 x 0 x 0 x 0 x x 2x x c) lim  chó ý: cos cos  2 sin.sin vµ sin   x    sin x sin 5x  sin 3x 2sin x cos x sin x  lim  lim 8cos x   x 0 x 0 x 0 sin x sin x 4x d) lim Bài 35 lim u  x  v x   lim 1   u  x   1 x a v x  u x  1   u x   lim 1   u  x   1 1  x a   v x  x a lim v x  u x  1  e xa  ek Câu 36 x2 cos x  1 a) lim  cos x  1  lim  lim 22   x 0 x x 0 x 0 x x   lim  cos x  x2  e  x 0  3x  x   x  3x  x   x 2 x 2    lim  lim   lim    x   x x  x  x  x  x    x   x 3x  x  x           x   x x    2 2 x2 1 x b) lim cot x x2 cos2 x   lim 1  x  e x 0 x 0 x  sin x cos  x cot  x d) lim  cot  x  1  sin  x  1  lim  e1 sin  x  lim cos  x  1  lim 1  sin  x  x 1 x 1 x 1 sin  x x 1    c) lim cot x  x   lim Câu 37 a) lim x 0 log a 1  x   lim ln 1  x  x 0 x  ln a x ln a x  x   x a ln   ln    1 ln   ln x  ln a a a  a     b) lim  lim  lim  lim  x a x a x  a x a x a xa xa xa a a a ax 1 e x ln a  e x ln a   lim  lim ln a  ln a x 0 x 0 x 0 x ln a x x c) lim 1  x  lim  d) x 0 x 1  lim x 0  ln1 x  e x 1   ln 1  x   x 0  ln 1  x  x  lim  ln 1 x  e Bài 38 Hoàng Bá Mạnh Nhóm: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU Trang: Love NeverDies  e3  cos x  cos x   cos x  cos x  lim    x 0  sin x sin x   sin x a) lim x 0   cos x  cos x     lim   x 0 2    sin x cos x  sin x  cos x  cos x  1  x x 2 sin sin 2 cos x   1   lim x  2     lim   lim   x 0 sin x x 0   2 x 0 sin x 12    x  sin x  4.6  2     x9  b) lim   x 1 x     tan3 x 1 x 1  x9   lim   x 1 x    sin3 x 1 3 x 1 cos3 x 1  23  x c)  1  1 lim x  ln  x  1  ln x   lim x ln 1    lim ln 1    ln e  x  x   x  x   x  ln 1   x  1  log2 x ln x  lim  lim   x 1 x  x 1  x  1 ln x 1  x  1 ln ln d) lim e)   lim sin x   sin x  lim cos x  cos x  x 1  x x 1  x sin 2 x 1  x x 1  x  lim sin  lim sin x  x  2   x 1  x   sin    lim sin x   sin x  (quy tắc kẹp) x  f) lim x 1/2 arcsin 1  x  4x 1  lim x 1/2 arcsin 1  x  1  x  1  x   sin x arcsin x   lim 1 x 0 x 0 x x Chú ý: lim  sin x cos x   cos x    cos x  sin x  cos x  1 x x   g) lim cot x  sin x  cos x  1  lim  lim x 0 x 0 x  sin x sin x x    x  x  sin   2 sin  x  cos x    1   lim   1 1    lim   lim x 0 x 0 x 0  x x   x     2        3x 3x   sin ln   sin  2     3x  3x  x x x 2 ln   sin 2 sin sin sin   ln  cos3 x    2  lim     lim  lim  lim h) lim x 0 ln  cos x  x 0 x x 0 x x 0 5x 25 25 x  x 0  5x   sin sin sin ln   sin ln   sin   2 2      5x  5x 2 sin     Bài 39 lim f  x  g  x   lim f  x  lim g  x   k lim f  x    x a x a Hồng Bá Mạnh x a x a Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU Trang: Love NeverDies Bài 40 a)  cos ax lim  lim x 0 x 0 sin x ax ax sin 2  lim x a x   1  cos ax   o  sin x  x 0 sin x  ax  sin x     sin ax ax  sin sin   cos ax  lim b) lim  lim  ax x 0 x 0 x 0 a2 x a2 x   2 2    1    1  cos ax  ~ a2 x 2  sin ax  sin bx 2 x   sin ax sin bx  sin ax  sin bx  lim    lim   x 0   a   1  x 0 x 0 ax ax ax ax bx       c) lim    sin ax  sin bx ~ ax ax 1 e x ln a  d) lim  lim    a x  1 ~ x ln a x 0 x ln a x 0 x ln a ln 1  ax   lim ln 1  ax   lim ln 1  ax  ax  ln e   ln 1  ax  ~ ax e) lim x 0 x 0 ax x 0 ax 1  kx  lim  f) 1 k x x 0  ln 1  kx  1 x 0  ln 1  kx  kx  lim  ln1 kx  e  1  kx  ~ k x  ax   a1 x  1   an x   n a  a   lim   x   n x n     ax   a1 x  1   an x   n  ~ ax   x 0 x 0 ax a a   g) lim Bài 41  x  x  x  lim 1  x ~  x x a   x  x a   x    x   x  x  lim 1 x a   x  x a   x   lim  x  x 0  lim x a   x  x a   x   lim a) lim b) lim  x  x  x  lim  1.0     x   o   x   x a   x  x a   x    x  Bài 42 9x2  3x   x x  3x  x ~ x  cos3x a)  cos3 x ~  lim  lim 2    x  x  2 x  3x  x 2x x x ln b)   e  ~  x ln 5  x2 cos x  ~    2  2   o  x  ; 3sin x ~ x  o  x   x  3sin x  cos x  ~ x    5x  x ln ln  lim  x 0 x  3sin x  cos x  x 0 x  lim c) lim x 0  ln 1  x ln  x  5x  3x   ln 1 u  ~ u  x  5x  5x  lim 2 x 0 x  x x 0  x lim 2 6x    ln13 x     5  1 ~ ln 1  x  ~  x   d)  1  x   1  1  x   1  e 5        sin x  sin x  ~ sin x ~ x Hồng Bá Mạnh Nhóm: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU Trang: Love NeverDies 6x 6  lim  lim  lim  x 0 sin x  sin x x 0 x x 0 5 1  3x  1 Bài 43 9x2  cos3x 9 lim f  x   lim  lim 22   f    f  x  liên tục x = f 0  x 0 x 0 x 0 x x sin x 2 Bài 44 a) f 1    lim f  x   lim  ax    a  lim f  x   lim x  x 1 x 1 x 1 x 1 f  x  liên tục x =  lim f  x   lim f  x   f 1  a    a  1 x 1 x 1 =>Nếu a  1 f  x  gián đoạn x = b) f 1  a  x  1 x  3  lim  x  x2  4x   lim   x 1 x 1 1 x 1 x lim f  x   lim x 1 x 1 x2  4x  lim f  x   lim  lim  x  3  2 x 1 x 1 x 1 x 1 Nếu lim f  x   f 1  a  2  f  x  liên tục phải x 1 Nếu lim f  x   f 1  a   f  x  liên tục trái x 1 Không tồn a để lim f  x    lim f  x   2 a  f  x  gián đoạn với a  x 1 x 1 Bài 45 a) Với x  , f  x  hàm sơ cấp nên liên tục  x  3 x    lim x    f  f x x  5x   lim f  3  lim f  x   lim       liên tục x 3 x 3 x 3 x 3 x 3  x  3 Vậy, f  x  liên tục với x  b) Với x  , f  x  hàm sơ cấp nên liên tục   x 2   x   ln 2x  f    m lim f  x   lim  lim  lim  ln x 2 x 2 x  x 2  x   x 2  x   Nếu m  ln f  x  liên tục liên tục Nếu m  ln f  x  gián đoạn 2, liên tục x  c)  x  1; x   x  f  x   cos ; 1  x   1  x; x  1 Dễ thấy f  x  liên tục khoảng 1;  ,  1;1  ; 1 hàm sơ cấp lim f  x   lim  x  1  Tại x  : f 1  x 1 lim f  x   lim cos x 1 x 1 x  cos   Tại x  1 : f  1  cos      2 Hoàng Bá Mạnh  x 1   lim f  x   f 1  f  x  liên tục x 1 lim f  x   lim 1  x   x 1 x 1 Nhóm: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU Trang: Love NeverDies lim f  x   lim cos x 1 x x 1   f  1  lim f  x  => f  x  gián đoạn -1, liên tục trái x 1 Bài 46  ln 1  x   ln 1  x  ; 1  x   x  f  x   k ; x 0  ln  x  ln  x    ;  x 1    x Dễ thấy f  x  liên tục khoảng  1;0   0;1 hàm sơ cấp Tại x  ta có f    k 2x   1 x   ln  ln    ln 1  x   ln 1  x  1 x   x  lim f  x   lim  lim   lim  2 x 0 x 0 x 0 x 0 2x x x 1 x 1 x Từ trên, f  x  liên tục (-1;1)  f  x  liên tục  lim f  x   f    k  x 0 Bài 47 a) Theo có lim f  x   f  x0  lim g  x   g  x0  lim g  x  không tồn x  x0 x  x0 x  x0  lim  f  x   g  x    f  x0   g  x0   f  x   g  x  gián đoạn x0 x  x0 b) Trường hợp khơng thể kết luận vì: Nếu lim f  x   f  x0  lim g  x   g  x0  lim  f  x   g  x    f  x0   g  x0  hồn tồn xảy x  x0 x  x0 x  x0 Hoặc kể trường hợp có hai hàm số khơng có giới hạn x  x0 Thì giới hạn lim  f  x   g  x   tồn lim  f  x   g  x    f  x0   g  x0  hoàn toàn x  x0 x  x0 xảy Bài 48 a) Đặt f  x   3x  sin x ta thấy f  x  liên tục hàm sơ cấp Mặt khác lại có     f     f        tồn x  để f  x    3x  sin x  4 x b) Đặt f  x    x  x  dễ thấy f  x  liên tục hàm sơ cấp Mặt khác lại có f 1  3   tồn x    lim f  x   lim x  x  x    x  x  để f  x    x  x  x  Bài 49 Đặt f  x   x  x  Dễ thấy f  x  liên tục f 1  16  f    38   f  x  có nghiệm khoảng (1;2) f  2   74   f  x  có nghiệm khoảng (-2;1) Bài 50 (Tương tự 49) Hoàng Bá Mạnh và: Với mốc: f     f 1  5  ; Nhóm: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU f    21  Trang: Love NeverDies ... sin x  sin x  ~ sin x ~ x Hồng Bá Mạnh Nhóm: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU Trang: Love NeverDies 6x 6  lim  lim  lim  x 0 sin x  sin x x 0 x x 0 5 1  3x  1 Bài 43 9x2  cos3x 9 lim f... f  x   lim cos x 1 x x 1   f  1  lim f  x  => f  x  gián đoạn -1 , liên tục trái x 1 Bài 46  ln 1  x   ln 1  x  ; 1  x   x  f  x   k ; x 0  ln  x  ln...   x  x  Dễ thấy f  x  liên tục f 1   16  f    38   f  x  có nghiệm khoảng (1;2) f  2   74   f  x  có nghiệm khoảng (-2 ;1) Bài 50 (Tương tự 49) Hoàng Bá Mạnh và: Với