SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 10 TRƯỜNG THPT YÊN LẠC ĐỀ THI MƠN: TỐN NĂM HỌC 2018-2019 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu (2,0 điểm) Tìm tập xác định hàm số y   x2  x    2x Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y  x  2mx  3m hàm số y  2 x  Tìm m để hai đồ thị cho cắt hai điểm phân biệt A B cho AB  Câu (2,0 điểm) Tìm m để phương trình x  x  m  x  có nghiệm Câu (2,0 điểm) Tìm tham số m để bất phương trình x 1  có tập nghiệm  mx  x  m  Câu (2,0 điểm) Giải phương trình x  x 1  x   x  10 y  x  y   Câu (2,0 điểm) Giải hệ phương trình  2   x  y  2 x  xy  y  24  Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC cạnh 3a Lấy điểm M, N cạnh BC, CA cho BM =a, CN=2a Gọi P điểm nằm cạnh AB cho AM vng góc với PN Tính độ dài PN theo a Câu (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có BC  AB , ABC  1200 phương trình đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh B  d  : x  y   Biết  A  3;1 Tìm tọa độ đỉnh lại tam giác Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC gọi I tâm đường tròn nội tiếp ABC , biết IG  IC Chứng minh a bc 2ab  (Với AB  c, BC  a, CA  b ) a b Câu 10 (2,0 điểm) Cho số thực a, b, c  thỏa mãn a  b  c  S  a  b2  b2  c2  c2  a2 Tìm giá trị nhỏ Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu.Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………….……… …….…….….….; Số báo danh………………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 10 ĐỀ THI MƠN: TỐN (Đáp án có 05 trang) NĂM HỌC 2018-2019 I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm tròn II ĐÁP ÁN: Câu Nội dung trình bày Điểm 1 (2,0 điểm) Tìm tập xác định hàm số y   x2  x    2x  x  x   Hàm số có xác định   1 1 x   0,5  x   x  x       x  1 1 x    1  1 x  0,5  x     x    x   0  x  0,5 Vậy tập xác định hàm số là: D  0;1 0,5 (2,0 điểm) Cho hàm số y  x  2mx  3m hàm số y  2 x  Tìm m để hai đồ thị cho cắt hai điểm phân biệt A B cho AB  Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị là: x  2mx  3m  2 x   x  m  1 x  3m   (*) Hai đồ thị cắt hai điểm phân biệt (*) có hai nghiệm phân biệt  m  1  '     m  4 0,5 0,5 Gọi A x1 ; 2 x1  3; B  x2 ; 2 x2  3 với x1 ; x2 nghiệm phương trình (*)  x1  x2  2  m  1 Theo Vi-et ta có:   x1.x2  3  m  1 0,5 2 Ta có: AB   x1  x2    x1  x2   20 x1.x2  20  m  1  60  m  1 2 AB   20  m  1  60  m  1    m  1   m  1   0,5  m  0; m  5 So sánh với điều kiện ta m=0 m=-5 (2,0 điểm) Tìm m để phương trình Ta có x  x  m  x  có nghiệm  x  1 2x2  2x  m  x     x  x  m   0(*) 0,5 (*)  x  x   m Xét y  x  x y   m x y 0,5 +∞ +∞ -3 0,5 -4 Ta có bảng biến thiên hàm số y  x  x là: Phương trình cho có nghiệm (*) phải có nghiệm x  hay  m  4  m  x 1  có tập (2,0 điểm) Tìm tham số m để bất phương trình mx  x  m  0,5 nghiệm  Để bất phương trình có tập nghiệm  ta cần có mx  x  m   với x   m  m   m  1   ( m =0 không thỏa mãn)     m  m  3m   0,5 Với m  1 Khi ta có mx  x  m   với x   Bpt  x   mx  x  m   mx  x  m   (1) Bpt có tập nghiệm    (1) Mà m  1  m    41 m    4m  16m  25      41 m   0,5  41 Với m  Khi ta có mx  x  m   với x   Bpt  x   mx  x  m   mx  x  m   (2) Bpt có tập nghiệm    (2) Mà m   m  KL: m    41 m    4m  16m  25      41 m   0,5  41  41  41 ; m 2 0,5 (2,0 điểm) Giải phương trình x  x 1  x  Điều kiện: x   0,5 Đặt t  x   t  t 5 Ta có x  thay vào ta phương trình sau: t 10t  25 2  t  5 1  t  t  22t  8t  77  16 2  t  2t  7t  2t 11  t  1 2 1   x  1 t2  1  2 t0 t  1  2      t   t    x   3  t4  1 0,5 0,5 0,5  x  10 y  x  y   (2,0 điểm) Giải hệ phương trình  2   x  y  2 x  xy  y  24  Đặt a  x  10 y ; b  x  y  a, b   a  b  a  b     Khi hệ trở thành  a  b ab    24 a  b  2ab  144    a b  a8       a  b  12 b  a  b       a ,b0 a           a  b  144  a b  a  4     b        a  b  12  b  8   a   x  10 y  2 x  y  32 Với     b   x  y   x  y   16 Giải hệ ta x  ; y  3 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC cạnh 3a Lấy điểm M, N 0,5 0,5 0,5 0,5 cạnh BC, CA cho BM =a, CN=2a Gọi P điểm nằm cạnh AB cho AM vng góc với PN Tính độ dài PN theo a A P N 0,5 B C M   Đặt AP  x AB  x             Ta có: AM  AB  BM  AB  BC  AB  AC  AB  AB  AC 3 3        PN  PA  AN   x AB  AC       AM  PN  AM PN    AB  AC    x AB  AC   3 3          a2  2x 2  x   a  a     AB AC   AB AC  a cos 600    9 3  2x 2  x  a2 2x  x  a  a    0       x  9 9 32 15 9 3 2        Khi PN   AB  AC  PN    AB  AC  15 3  15  0,5  16 2 a 21  a  a   225 45 225 21  PN  15 (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có BC  AB , phương trình đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh B ABC  1200  d  : x  y   Biết  0,5 0,5 A  3;1 Tìm tọa độ đỉnh lại tam giác B A C M 0,5 Đặt AB  a  a   Ta có: AC  AB  AC  AB ACcos1200  a AB  BC AC a 4 a a a  BM      4 2 3a 7a Ta có AB  BM  a    AM 4 Suy tam giác ABM vng B Khi phương trình AB: x  y   0,5 0,5 B giao AB BM  B  2;  Ta có: AB  d  A, BM    a   BM  6  m  2 2 M trung điểm AC nên C  3;  C  3;  0,5 Gọi M  m;  m  BM      (2,0 điểm) Cho tam giác ABC gọi I tâm đường tròn nội tiếp ABC , biết IG  IC Chứng minh a bc 2ab  (Với AB  c, BC  a, CA  b ) a b C N I G A 0,5 B M     Ta chứng minh a IA  bIB  cIC          a IC  CA  b IC  CB  cIC   CI    a.CA  b.CB abc       a 1 b     GI  CI  CG     CA     CB  abc 3  abc 3       0,5      Khi   2a  b  c  CA   2b  a  c  CB  aCA  bCB     ab  CA.CB b  2a  b  c   a  2b  a  c      Do ab  CA.CB  ab  ab cos C  ab 1  cos C       0,5 Nên ta có: b  2a  b  c   a  2b  a  c    b  3a  a  b  c   a  3b  a  b  c    6ab   a  b  a  b  c   (2,0 điểm) Cho số thực a, b, c  thỏa mãn a  b  c  10 S  a  b2  b2  c2  c2  a2 a  b  c 2ab  ab 0,5 Tìm giá trị nhỏ Ta thấy S  a2  1 1 1 2    b     c    16 b2 16b 16 c  16c 16 a2 16a    16  1717 a2 16 32 16 b  16 1717 a2 16 32 16 b  1717 16 a2 0,5 16 32 16 b  a b c   17 17 16  17 16  17 16   17 17 5 16 c 16 a  16 a b c  16 b 17 17 17    15 217  2a 2b 2c  a  b  c   217     Vậy MinS  0,5 17 Dấu “=” xảy  a  b  c  2 0,5 0,5