NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số Chuyên đề: NHÓM TOÁN VD – VDC CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ PHẦN 1: BIẾT ĐẶC ĐIỂM CỦA HÀM SỐ y = f ( x ) Dạng toán Dạng toán Các toán cực trị hàm ẩn bậc (dành cho khối 10) Dạng tốn tìm biểu thức cụ thể hàm số y = f ( x ) tốn khơng chứa tham số Dạng tốn Dạng tốn tìm biểu thức cụ thể hàm số y = f ( x ) toán chứa tham số Dạng toán Biết đặc điểm hàm số đồ thị, BBT đạo hàm hàm f ( x ) , tìm ( ) f ( x ) ) , y f f ( f ( x ) ) toán không chứa tham cực trị = hàm y f= (ϕ ( x ) ) ; y f (= số Dạng toán Biết đặc điểm hàm số BBT, BBT đạo hàm hàm f ( x ) , tìm ( ) cực trị= hàm y f= ( f ( x ) ) , y f f ( f ( x ) ) toán chứa tham số Biết đặc điểm hàm số BBT, đồ thị, đạo hàm hàm f ( x ) , tìm cực trị = hàm y ln= ( f ( x ) ) , y e f ( x) ,sin f ( x ) , cos f ( x ) tốn khơng chứa tham số Dạng tốn Biết đặc điểm hàm số BBT, đồ thị, đạo hàm hàm f ( x ) , tìm cực trị = hàm y ln= ( f ( x ) ) , y e f ( x) ,sin f ( x ) , cos f ( x ) toán chứa tham số Dạng toán Các dạng khác với dạng đưa ra… https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐNVD – VDC Dạng tốn NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số DẠNG Các toán cực trị hàm ẩn bậc (dành cho khối 10) Câu 1:   Cho hàm số f x   ax  bx  c đồ thị hình bên Hỏi hàm số g  f x có điểm cực NHĨM TOÁN VD – VDC trị? y O x 1 A B C D Lời giải Chọn C Xét hàm số g = f ( x ) Đặt t = x Khi với t ≥ , hàm g = f (t ) có đồ thị dạng đồ thị hàm số f ( x) bên phải trục Oy Hàm số g = f ( x ) hàm chẵn nên đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng Từ ta có đồ thị hàm g ( t ) sau: NHĨM TỐNVD – VDC Câu 2: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số có điểm cực trị Cho parabol y = f ( x) = ax + bx + c (a ≠ 0) cắt trục hồnh hai điểm có hồnh độ 2, biết hàm số y = f ( x) nghịch biến khoảng ( x0 ; +∞) khoảng cách từ giao điểm parabol với trục tung đến điểm O Tìm số điểm cực trị hàm số = y A B C Lời giải f ( x +1 ) D Chọn D Do hàm số y = f ( x ) nghịch biến khoảng ( x0 ; + ∞ ) nên a < https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số Biết y = f ( x) = ax + bx + c (a ≠ 0) cắt trục hoành hai điểm có hồnh độ nên f ( x) = a( x − 1)( x − 2) = a( x − 3x + 2) = ax − 3ax + 2a NHĨM TỐN VD – VDC a = Parabol cắt trục tung điểm có tung độ 2a , ta có 2a= ⇔   a = −2 Do hàm số y = f ( x) nghịch biến khoảng ( x0 ; +∞) nên a = −2 f ( x) = −2 x + x − Vậy parabol y = Đồ thị hàm số = y f ( x + ) (hình vẽ phần tơ đậm) có cách + Vẽ đồ thị y f ( x + ) ( C1 ) = + Giữ nguyên phần đồ thị ( C1 ) trục hoành lấy đối xứng phần ( C1 ) trục hoành f ( x) = −2 x + x − qua trục tung sau tịnh tiến Để vẽ ( C1 ) lấy đối xứng phần đồ thị y = sáng trái đơn vị y -1 O x NHĨM TỐNVD – VDC Từ đồ thị suy hàm số có điểm cực trị Câu 3: Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ ) có đồ thị parabol hình vẽ Tìm m để giá trị lớn y hàm số = f ( x ) + m − [ −2;1] đạt giá trị nhỏ A m = B m = C m = D m = https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số Lời giải Chọn C ( x + 1) + m − Đặt g ( x ) = ( x + 1) + m − NHĨM TỐN VD – VDC Từ giả thiết suy y = Với ∀x ∈ [ −2;1] ta có g ( x ) ∈ [ m − 5; m − 1] Giá trị lớn hàm số ymax= max { m − , m − } + Trường hợp 1: m − ≥ m − ⇔ ( m − ) ≥ ( m − 1) ⇔ m ≤ 2 Khi ymax = m − = − m ≥ ⇒ GTLN hàm số đạt GTNN 2, m = + Trường hợp 2: m − ≥ m − ⇔ m ≥ Khi ymax = m − = m − ≥ ⇒ GTLN hàm số đạt GTNN 2, m = Vậy m = DẠNG Dạng tốn tìm biểu thức cụ thể hàm số y = f ( x ) tốn khơng chứa tham số Câu 1: Cho hàm số y = ax3 + bx + cx + d Biết đồ thị hàm số có điểm cực trị M (1; − 1) nhận I ( 0;1) làm tâm đối xứng Giá trị y ( ) B y ( ) = −2 C y ( ) = D y ( ) = Lời giải Chọn D Ta có: y′ = 3ax + 2bx + c, y '' = 6ax + 2b Do đồ thị hàm số có điểm cực trị M (1; − 1) nhận I ( 0;1) làm tâm đối xứng nên:  y (1) = −1 a + b + c + d =−1 a =1  3a += b 2b + c =  y′ (1) =   ⇔ ⇔   y '' ( ) = 2b = c = −3 y =1 d 1= d =  ( ) NHĨM TỐNVD – VDC A y ( ) = Vậy: y = x − x + Suy y ( ) = 23 − 3.2 + = Câu 2: Đồ thị hàm số y = ax3 + bx + cx + d có hai điểm cực trị A (1; ) B ( −1;6 ) Giá trị P = a + b + c + d bao nhiêu? A P = 18 B P = 26 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc C P = 15 D P = 23 Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số Lời giải Chọn B Vì A (1; ) B ( −1;6 ) điểm cực trị nên  y ' (1) = 2b + c a + 2c = 3a + = 6= a    b c+d b+d =  y (1) = a + b += =  ⇔ ⇔ ⇔   y ' ( −1) = 3a − 2b + c =0 2a + 2c =−4 c =−3  y −1 = c+d = = −a + b −= 4b d  ( ) Câu 3: Vậy P = a + b + c + d = 26 Cho hàm số y  f ( x)  ax3  bx  cx  d (a  0) xác định  thỏa mãn f (2)  Đồ NHĨM TỐN VD – VDC Tập xác định D =  Ta có y ' = 3ax + 2bx + c = y '' 6ax + 2b thị hàm số f '( x) cho hình bên NHĨM TỐNVD – VDC Tìm giá trị cực tiểu yCT hàm số f ( x) A yCT  3 B yCT  C yCT  1 D yCT  2 Lời giải Chọn A Vì đồ thị hàm f '( x) cắt Ox hai điểm phân biệt có hồnh độ x  1 x  nên f '( x)  k ( x 1)( x  1) với k số thực khác Vì đồ thị hàm f '( x) qua điểm (0; 3) nên ta có 3  k  k  Suy f '( x)  x  Mà f '( x)  3ax  2bx  c nên ta có a  1, b  0, c  3 Từ f ( x)  x3  x  d Mặt khác f (2)  nên d  1 Suy f ( x)  x3  x 1  x  1 Ta có f '( x)     x  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số Bảng biến thiên Câu 4: ( )  x − 15 x f ′ ( x ) + (10 − x ) f ( x ) =  Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  , thỏa mãn  với 2 ′ f x + f x >       ( )   ( )  NHĨM TỐN VD – VDC Vậy yCT  3 ∀x ≠ f (1) = −4 Tổng cực đại cực tiểu hàm số y = f ( x ) C −2 B 3 A −3 D Lời giải Chọn A 2 ⇒ f '( x) ≠ Từ  f ′ ( x )  +  f ( x )  > với ∀x ≠ ta suy ra: Với x ≠ ta có f ( x ) = ( ) Do từ x − 15 x f ′ ( x ) + (10 − x ) f ( x ) = với ∀x ≠ , ta suy ra: ( ) Với x ≠ ta có f ( x ) = ⇔ x − 15 x f ′ ( x ) = ⇔ x = Suy ( ) x−2 x) ∫ f ( x ) dx = ∫ x ( x − 5)dx ⇔ ln f (= f′ x NHĨM TỐNVD – VDC f ′( x) x − Với kết ta được= ∀x ∉ {0;5} f ( x ) x ( x − 5) ln x + ln x − + C ⇔ f ( x ) =eC ( x − ) x Do f (1) = −4 nên C = f ( x= ) ( x − 5) x với ∀x ∉ {0;5} Vì f ( x ) liên tục  nên f ( x ) liên tục tại= x 0,= x suy f= ( ) f= ( 5) Hay f ( x= ) ( x − 5) x Khi f ′ ( x ) = với ∀x ∈  x−2 3x Ta có f ′ ( x ) = ⇔ x = , f ′ ( x ) không xác định x = Bảng biến thiên f ( x ) : https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số −3 Từ suy yCD = f ( ) = 0; yCT = f ( ) = −3 Vậy yCD + yCT = DẠNG Dạng tốn tìm biểu thức cụ thể hàm số y = f ( x ) Câu x − 3mx + 4m3 có điểm Tổng tất giá trị tham số thực m cho đồ thị hàm số y = cực đại cực tiểu đối xứng với qua đường phân giác góc phần tư thứ A B C D Lời giải Chọn C x = Ta có: = y′ x − 6mx , y′= ⇔   x = 2m Để hàm số có cực đại cực tiểu m ≠ NHĨM TỐN VD – VDC tốn chứa tham số Khi điểm cực trị đồ thị hàm số là: A ( 0; 4m3 ) , B ( 2m ;0 ) Ta có I ( m ; 2m3 ) trung điểm đoạn thẳng AB Đường phân giác góc phần tư thứ d : x − y = Do để điểm cực đại cực tiểu đối xứng với qua d thì: 2m − 4m3 = ⇔ − 2m =0 ⇔ m =±  m − 2m = Vậy tổng tất giá trị tham số thực m Câu Cho hàm số y = x − 2m x + m có đồ thị ( C ) Để đồ thị ( C ) có ba điểm cực trị A , B , C cho bốn điểm A , B , C , O bốn đỉnh hình thoi ( O gốc tọa độ) giá trị tham số m B m = ± Chọn B C m = ± D m = Lời giải NHĨM TỐNVD – VDC A m = − x = Ta có = y′ x3 − 4m x ; y′= ⇔  x = m Điều kiện để hàm số có ba cực trị y′ = có ba nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ x = Khi đó: y′= ⇔   x = ±m Tọa độ điểm cực trị A ( 0; m ) , B ( m; −m + m ) , C ( m; −m + m ) Ta có OA ⊥ BC , nên bốn điểm A , B , C , O bốn đỉnh hình thoi điều kiện cần đủ OA BC cắt trung điểm đoạn 0 =  x A + xO = xB + xC ⇔ ⇔ ( m4 + m2 ) + ( −m4 + m2 )  y A + yO = yB + yC m + =− ⇔ 2m − m = ⇔ m =⇔ m = ± 2 Vậy m = ± https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để điểm M ( 2m3 ; m ) với hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x − ( 2m + 1) x + 6m ( m + 1) x + tạo thành tam giác có diện tích nhỏ A m = −1 Chọn D Tập xác định: D =  y′ = x − ( 2m + 1) x + 6m ( m + 1) D m = NHĨM TỐN VD – VDC C m = Lời giải B m =  x= m ⇒ y= 2m3 + 3m + y′ = ⇔ x − ( 2m + 1) x + 6m ( m + 1) = 0⇔  x = m + ⇒ y = 2m + 3m Hàm số có cực trị: ∆′ > ⇔ ( 2m + 1) − 36m ( m + 1) > ⇔ > 0, ∀x ∈  Gọi A, B hai điểm cực trị đồ thị hàm số  ⇒ A ( m; 2m3 + 3m + 1) , B ( m + 1; 2m3 + 3m ) ⇒ AB =(1; − 1) ⇒ AB = Phương trình đường thẳng ∆ qua điểm cực trị: x + y − 2m3 − 3m − m − =0 = d (M , ∆) 2m3 + m − 2m3 − 3m − m − 3m + = 2 1 3m + 3m + S ∆MAB= d ( M , ∆ ) AB= 2= 2 2 S = ⇔ m = Câu x − 2mx + m ( C ) Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực trị đồng thời ba Cho hàm số y = x = y′= ⇔  x = m Hàm số có điểm cực trị ⇔ y′ = có nghiệm phân biệt ⇔ m > Các điểm cực trị đồ thị A ( 0; m ) , B = AC = Ta có: AB ( ) ( m ; − m2 + m , C − m ; − m2 + m ) m + m , BC = m Gọi I trung điểm BC Suy I ( 0; −m + m ) AI = m = S  AB + BC + CA  m = AI BC   r ⇔ m = 2   (2 ) m + m + m m = ( loai ) ⇔ m m − m3 + − = 0⇔  m + 1= m − ( ) https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐNVD – VDC điểm cực trị đồ thị hàm số tạo thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp A m = B m = C m = −2 D m = Lời giải Chọn D y′ x − 4mx Ta có = NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số Câu x − mx + m Gọi ma Cho ( P ) đường Parabol qua ba điểm cực trị đồ thị hàm số y = giá trị để ( P ) qua B A ( ) 10; 15 ( ) 2; Hỏi ma thuộc khoảng đây? B ( − 2; ) C Để hàm số có ba cực trị ab < ⇔ − Gọi parabol qua điểm A ( 0; m ) , B D ( − 8; ) Lời giải Chọn B y=′ x3 − 2= mx x ( x − 2m )  x 0,= = y m2  y′ = ⇔= 2m= ,y x  − 2m , y =  x = ( − 5; ) m < ⇔ m > ( ) ( ) 2m ; , C − 2m ; có dạng: y = ax + bx + c ( ) ( ) + ma2 ⇔ ma2 − ma − = Vậy ma = NHĨM TỐNVD – VDC m  2ma + 2mb + c = a = −   m  Ta có: 2ma − 2mb + c = hay y = − x + m2 ⇔ b = c = m c = m     m Theo yêu cầu toán parabol qua B 2; nên: = − a 2  ma = −1 ⇔  ma = Câu Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x8 + ( m − 3) x − ( m − ) x + đạt cực tiểu x = ? A B C Lời giải Chọn C D Vơ số Ta có y = x8 + ( m − 3) x − ( m − ) x + ⇒ y′ = x + ( m − 3) x − ( m − ) x3 ( ) y′ = ⇔ x x + ( m − 3) x − ( m − ) = x = ⇔  g ( x ) = x + ( m − 3) x − ( m − ) = https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHĨM TỐN VD – VDC  m ≥1  m − ≥   m = ( loai ) ⇔ ⇔ ⇔m=   = − m nhan ( ) m + 1= m − 2m +    m = nhan ( )  Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số Xét hàm số g ( x ) = x + ( m − 3) x − ( m − ) có g ′ ( x ) = 32 x3 + ( m − 3) Ta thấy g ′ ( x ) = có nghiệm nên g ( x ) = có tối đa hai nghiệm Với m = x = nghiệm bội g ( x ) Khi x = nghiệm bội y′ y′ đổi dấu từ âm sang dương qua điểm x = nên x = điểm cực tiểu hàm số Vậy m = thỏa ycbt x =  Với m = −3 g ( x ) = x − 30 x =⇔  x = 15  Bảng biến thiên NHĨM TỐN VD – VDC +) TH1: Nếu g ( x ) = có nghiệm x = ⇒ m = m = −3 Dựa vào BBT x = không điểm cực tiểu hàm số Vậy m = −3 không thỏa ycbt +) TH2: g ( ) ≠ ⇔ m ≠ ±3 Để hàm số đạt cực tiểu x = ⇔ g ( ) > ⇔ m − < ⇔ −3 < m < Do m ∈  nên m ∈ {−2; −1;0;1; 2} Vậy hai trường hợp ta giá trị ngun m thỏa ycbt NHĨM TỐNVD – VDC DẠNG Biết đặc điểm hàm số đồ thị, BBT, đạo hàm = f ( x ) ) , y f ( f ( f ( x ) ) ) hàm f ( x ) , tìm cực trị hàm y f= (ϕ ( x ) ) ; y f (= tốn khơng chứa tham số Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục  có hai điểm cực trị x = −1, x = 1, có đồ thị hình vẽ sau: Hỏi hàm số y f ( x − x + 1) + 2019 có điểm cực trị? = A B https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc C D Trang 10 NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số Suy bảng biến thiên: NHĨM TỐN VD – VDC Vậy hàm số y = g ( x) có điểm cực trị Câu 3: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ Biết đồ thị hàm số g= ( x) f ( x ) − m có điểm cực trị Khi số giá trị nguyên tham số m A B D Chọn B = y f ( x ) − m có hai điểm cực trị Do hàm y = f ( x ) có hai điểm cực trị nên = y f ( x ) − m với trục hoành phải hay Để thoả mãn yêu cầu số giao điểm đồ thị số giao điểm y = f ( x ) y = m phải g ( x) = f (1 − x) ⇒ g ′( x) = −3 f ′(1 − x) Suy < m < 11 Do m ∈  ⇒ m ∈ {4,5, 6, 7,8,9,10} nên chọn đáp án B Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ Đồ thị hàm = số y A m ∈ ( 4;11) f ( x ) − 2m có điểm cực trị  11  B m ∈  2;   2 Chọn B https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc C m =  11  D m ∈  2;   2 Lời giải Trang 21 NHĨM TỐNVD – VDC C Lời giải NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số Từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số y = Để đồ thị hàm số f ( x ) − 2m y = f ( x) có hai điểm cực trị có điểm cực trị đồ thị y = f ( x ) cắt đường thẳng 11 NHĨM TỐN VD – VDC điểm phân biệt ⇔ < 2m < 11 ⇔ < m < y = 2m − = DẠNG TOÁN Biết bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) xét cực trị hàm số y = f ( x ) Lý thuyết:  f ( x ) x ≥  Ta = có y f= ( x )  f − x x <  ( ) Do đó, đồ thị ( C ′ ) hàm số y = f ( x ) suy từ đồ thị ( C ) hàm số y = f ( x ) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị ( C ) bên phải trục tung ( kể giao điểm ( C ) với trục tung – có), bỏ phần bên trái trục tung + Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung + Đồ thị ( C ′ ) hợp hai phần  Từ bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) ta suy số điểm cực trị, dấu điểm cực trị hàm số tồn giao điểm với trục tung (nếu có)  Phương pháp chung giải Bài toán: Biết bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) Tìm số điểm cực trị hàm số y = f ( x ) : - Bước 1: Từ bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) , suy số điểm cực trị dương hàm số - Bước 2: Xét tồn giao điểm đồ thị ( C ) hàm số y = f ( x ) với trục tung - Bước 3: Xác định số điểm cực trị hàm số y = f ( x )  Trường hợp 1: Đồ thị ( C ) hàm số y = f ( x ) cắt trục tung Khi số điểm cực trị hàm số y = f ( x ) 2n +  Trường hợp 2: Đồ thị ( C ) hàm số y = f ( x ) khơng cắt trục tung Khi số điểm cực trị hàm số y = f ( x ) 2n Câu 1: NHĨM TỐNVD – VDC y = f ( x ) Giải sử có n điểm Bài tập: Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục  , có bảng biến thiên hình vẽ Tìm số điểm cực trị hàm số y = f ( x ) https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 22 NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số B D C Lời giải Chọn B Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục Oy điểm cực đại hàm số khơng có điểm cực trị dương nên hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị x = Câu 2: Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục  , có bảng biến thiên hình vẽ Tìm số điểm NHĨM TỐN VD – VDC A cực tiểu hàm số y = f ( x ) x f (x ) 2  + ||   +  f (x ) 1  A B C Lời giải D mà đồ thị hàm số y = f ( x ) nhận Oy làm trục đối xứng nên hàm số y = f ( x ) có điểm cực tiểu x = ±1 Câu 3: Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục  , có bảng biến thiên hình vẽ Mệnh đề sau đúng? A Hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị B Hàm số y = f ( x ) có điểm cực đại C Hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực tiểu D Hàm số y = f ( x ) có ba điểm cực tiểu https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 23 NHĨM TỐNVD – VDC Chọn B Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục Oy có điểm cực tiểu dương, NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số Lời giải Chọn D NHÓM TOÁN VD – VDC Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục Oy có điểm cực trị dương, mà đồ thị hàm số y = f ( x ) nhận Oy làm trục đối xứng nên hàm số y = f ( x ) có 2.2 + = điểm cực trị có điểm cực tiểu diểm x = 0, x = ±3 Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục  , có bảng biến thiên hình vẽ Mệnh đề sau sai? A Hàm số y = f ( x ) khơng có điểm cực đại B Hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị C Hàm số y = f ( x ) có cực trị dương Lời giải Chọn D Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục Oy khơng có cực trị, mà đồ thị hàm số y = f ( x ) nhận Oy làm trục đối xứng nên từ BBT suy hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị điểm cực tiểu x = Câu 5: NHĨM TỐNVD – VDC D Hàm số y = f ( x ) khơng có điểm cực trị Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục  , có bảng biến thiên hình vẽ Tìm số điểm cực trị hàm số y = f ( x ) A B C Lời giải D Chọn D Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục Oy có điểm cực trị dương, https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 24 NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số mà đồ thị hàm số y = f ( x ) nhận Oy làm trục đối xứng nên hàm số y = f ( x ) có 2.2 + = điểm cực trị Cho hàm số y = f ( x ) xác định  \ {−1} liên tục khoảng xác định nó, có bảng biến thiên hình vẽ Tìm số điểm cực trị hàm số y = f ( x ) A B C Lời giải D NHĨM TỐN VD – VDC Câu 6: Chọn B Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục Oy khơng có cực trị, mà đồ thị hàm số y = f ( x ) nhận Oy làm trục đối xứng nên từ BBT suy hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị điểm cực tiểu x = Câu 7: Cho hàm số y = f ( x ) xác định  \ {0} liên tục khoảng xác định nó, có bảng biến thiên hình vẽ Tìm số điểm cực trị hàm số y = f ( x ) B C Lời giải D Chọn B Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y = f ( x ) khơng cắt trục Oy khơng có cực trị, NHĨM TOÁNVD – VDC A nên từ BBT suy hàm số y = f ( x ) điểm cực trị Câu 8: Cho hàm số y = f ( x ) xác định  \ {0} liên tục khoảng xác định nó, có bảng biến thiên hình vẽ Tìm số điểm cực trị hàm số y = f ( x ) https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 25 NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số NHĨM TỐN VD – VDC Mệnh đề sau đúng? A Hàm số y = f ( x ) có điểm cực đại, điểm cực tiểu B Hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực đại C Hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực tiểu D Hàm số y = f ( x ) có ba điểm cực trị Lời giải Chọn C Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y = f ( x ) khơng cắt trục Oy có điểm cực trị dương, mà đồ thị hàm số y = f ( x ) nhận Oy làm trục đối xứng nên từ BBT suy hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị điểm cực tiểu x = ±1 Câu 9: Cho hàm số y = f ( x ) xác định  \ {1} liên tục khoảng xác định nó, có bảng NHĨM TỐNVD – VDC biến thiên hình vẽ Tìm số điểm cực trị hàm số y = f ( x ) Mệnh đề sau sai? A Hàm số y = f ( x ) hai điểm cực trị không âm B Hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực đại C Hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực tiểu D Hàm số y = f ( x ) có ba điểm cực trị Lời giải Chọn B https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 26 NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục Oy hàm số y = f ( x ) có cực trị dương, mà đồ thị hàm số y = f ( x ) nhận Oy làm trục đối xứng nên từ BBT suy hàm số Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) xác định  \ {−1} , liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên hình vẽ: Khẳng định sau đúng? NHĨM TOÁN VD – VDC y = f ( x ) có điểm cực trị, có điểm cực tiểu x = ±5 điểm cực đại x = A Đồ thị hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị B Đồ thị hàm số y = f ( x ) có điểm cực đại C Đồ thị hàm số y = f ( x ) có điểm cực tiểu D Đồ thị hàm số y = f ( x ) khơng có điểm cực tiểu Lời giải Chọn C Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục Oy hàm số y = f ( x ) có cực trị dương điểm cực đại, mà đồ thị hàm số y = f ( x ) nhận Oy làm trục đối xứng nên từ BBT tiểu x = NHĨM TỐNVD – VDC suy hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị, có điểm cực đại x = ±1 điểm cực Câu 11: Cho hàm số y = f ( x ) xác định  \ {0} liên tục khoảng xác định, có bảng biến thiên hình Khẳng định sau đúng? A Hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị B Hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị C Hàm số y = f ( x ) có ba điểm cực trị D Hàm số y = f ( x ) có điểm cực tiểu Lời giải https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 27 NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số Chọn B Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y = f ( x ) không cắt trục Oy hàm số y = f ( x ) có từ BBT suy hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị điểm cực tiểu x = ±2 Câu 12: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có bảng biến thiên sau Đồ thị hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị? A B C Lời giải NHĨM TỐN VD – VDC cực trị dương điểm cực tiểu, mà đồ thị hàm số y = f ( x ) nhận Oy làm trục đối xứng nên D Chọn A Đồ thị hàm số y = f ( x ) gồm phần: + Phần bên phải trục Oy đồ thị y = f ( x ) ( Kể giao điểm với trục Oy) + Đối xứng phần đồ thị qua trục Oy x −∞ - ( f ( x ) )′ -4 +∞ + 0 - +∞ + +∞ f ( 0) f (x) NHÓM TỐNVD – VDC • Hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau: Từ BBT ta thấy đồ thị hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị Câu 13: Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục  \ {2} có bảng biến thiên sau https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 28 NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số Số điểm cực trị đồ thị hàm số y = f ( x ) A C B D Chọn A Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục Oy có điểm cực trị dương, mà đồ thị hàm số y = f ( x ) nhận Oy làm trục đối xứng nên đồ thị hàm số y = f ( x ) có 2.2 + = điểm cực trị DẠNG TOÁN Biết bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) xét cực trị hàm số NHĨM TỐN VD – VDC Lời giải y= f ( x + a ) , y= f ( x + a + b ) … Lý thuyết: Nhận xét: đồ thị hàm số = y g ( x= ) f ( ax + b + m ) nhận đường thẳng x = − b trục a đối xứng, số điểm cực trị hàm số = y g ( x= ) f ( ax + b + m ) 2t + , với t số điểm cực trị lớn − b y f ( ax + b + m ) hàm= a Bài tập: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ NHĨM TOÁNVD – VDC Câu 1: Số điểm cực trị hàm số= y f ( x + + 3) A B C D Lời giải Chọn A +/ Ta có : Số điểm cực trị hàm= y f ( x + + 3) 2α + , với α số điểm cực trị lớn − y f ( x + += 3) f ( x + ) hàm= https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 29 NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số NHĨM TỐN VD – VDC  = − x  x + =−1  y f ( x + ) có điểm cực trị là:  = +/ Hàm ⇔ + = x  x = −  ⇒ Chọn A Vậy: Số điểm cực trị hàm= y f ( x + + 3) 2.0 + = DẠNG TOÁN Biết đồ thị hàm số y = f ' ( x ) xét cực trị hàm số y = f ( x ) DẠNG TOÁN 10 Biết đồ thị hàm số y = f ' ( x ) xét cực trị hàm = số y f ( ax + b ) DẠNG TOÁN 11 Biết đồ thị hàm số y = f ' ( x ) xét cực trị hàm số y = f ( x ) DẠNG TOÁN 12 Biết đồ thị hàm số y = f ' ( x ) xét cực trị hàm số y= f ( x + a ) , y= f ( x + a + b ) … Câu 1: Hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x )  Hình vẽ bên đồ thị hàm số f ' ( x )  NHĨM TỐNVD – VDC Hỏi hàm = số y f ( x ) + 2018 có điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn A Phương pháp: Tính đạo hàm hàm hợp, giải phương trình đạo hàm để tìm số điểm cực trị Cách giải:  x= x1 < Dựa vào hình vẽ, ta thấy f ' ( x ) = có nghiệm phân biệt  =  x { x2 ; x3 } >  f ( x ) + 2018 x ≥ Ta có: g ( x ) = f ( x ) + 2018 =   f ( − x ) + 2018 x < https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 30 NHÓM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số  f ' ( x ) x ≥ ⇒ g '( x) =   − f ' ( − x ) x < NHĨM TỐN VD – VDC  x = x2 x = x f ' ( x ) x ≥ = 0⇔ g '( x) = ⇔  x = − x2 x ) x <  − f ' ( −=   x = − x3 Do g ' ( x ) = bị tiệt tiêu điểm x2 , − x2 , x3 , − x3 khơng có đạo hàm x = Vậy hàm số cho có điểm cực trị DẠNG TOÁN 13 Biết bảng xét dấu hàm số y = f ' ( x ) xét cực trị hàm số y = f ( x ) DẠNG TOÁN 14 Biết bảng xét dấu hàm số y = f ' ( x ) xét cực trị hàm = số y f ( ax + b ) DẠNG TOÁN 15 Biết bảng xét dấu hàm số y = f ' ( x ) xét cực trị hàm số y = f ( x ) Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) =( x + 1) ( x + m − 3m − ) ( x + 3) với x ∈  Có số nguyên m để hàm số g ( x ) = f ( x ) có điểm cực trị? A B C D Lời giải f ( x ) có cực trị có hồnh độ dương Để g ( x ) = f ( x ) có điểm cực trị ⇒ y =  x = −1  Mặt khác, y ' = (trong x = −1 nghiệm kép) ⇔ x = −3 2  x = −m + 3m + ycbt ⇔ −m + 3m + > ⇔ −1 < m < Do m ∈  ⇒ m ∈ {0;1; 2;3} DẠNG TOÁN 16 Biết bảng xét dấu hàm số y = f ' ( x ) xét cực trị hàm số y= f ( x + a ) , y= f ( x + a + b ) … Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục  có bảng xét dấu hàm y = f ′ ( x ) sau Hàm số y= f ( x − ) + 2020 có điểm cực trị? A B https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc C D Trang 31 NHÓM TỐNVD – VDC Chọn D NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số Lời giải Chọn A Khi ta có bảng biến thiên x y′ −2 || −∞ −1 + − Do hàm số y = f ( x ) có cực trị − || + − || + +∞ ⇒ f ( x − ) có năm cực trị (tịnh tiến đồ thị sang phải hai đơn vị số cực trị khơng thay đổi) NHĨM TỐN VD – VDC  f ( x ) x ≥ Xét hàm= số y f= ( x )  f − x x <  ( ) ⇒ y= f ( x − ) + 2020 có cực trị (tịnh tiến đồ thị lên 2020 đơn vị không làm thay đổi số cực trị) Câu 2: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm  f ′ ( x ) có bảng xét dấu sau: A B C NHĨM TỐNVD – VDC Số điểm cực trị hàm số g= ( x ) f ( x − x ) D Lời giải Chọn B ( = g ( x) f x − x ) Xét hàm số h= h( x ) ( x ) f ( x2 − x ) ⇒ g ( x ) = ( ) ′ Ta có h′ ( x ) = f ( x − x ) = ( x − 1) f ′ ( x − x )   x = x =  x − =0   ⇔  x − x =−2 ⇔  x = h′ ( x )= ⇔  −1  f ′ ( x − x ) =  x = 2 x − x =    Ta có bảng biến thiên hàm số h= ( x ) f ( x2 − x ) : https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 32 NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số NHĨM TỐN VD – VDC Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số h ( x ) có điểm cực trị dương nên hàm số g ( x ) = h ( x ) có điểm cực trị Câu 3: Cho hàm số f ( x) liên tục  có bảng xét dấu sau: Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số f (| x | + m) có điểm cực trị A m < −2 B m ≥ −2 C m < D −2 ≤ m ≤ Lời giải Chọn A NHĨM TỐNVD – VDC Từ bảng xét dấu f ( x) ta có dạng đồ thị f ( x) :  Đồ thị hàm số f (| x | + m) có cách tịnh tiến đồ thị hàm số f ( x) theo vectơ v = (−m;0) , sau lấy đối xứng phần đồ thị f ( x + m) với x ≥ qua trục Oy Vậy để đồ thị hàm số f (| x | + m) có điểm cực trị m < −2 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 33 NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số Câu 4: Cho hàm số f ( x) liên tục  có bảng xét dấu sau: NHĨM TỐN VD – VDC Số điểm cực trị đồ thị hàm số g (= x) f (| x − | −2) A B C D Lời giải Chọn A g '( x)= (| x − | −2) ' f = '(| x − | −2) ( x − 3) f '(| x − | −2) | 2x − | x = /  x = 1/ | x − | −2 =0 g '( x)= ⇔  ⇔ x = / | x − | − =    x = −1/ BBT: NHĨM TỐNVD – VDC Vậy đồ thị hàm số cho có điểm cực trị Câu 5: Xét số thực c > b > a > Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục  có bảng xét dấu đạo hàm sau: ( ) Đặt g ( x ) = f x3 Số điểm cực trị hàm số y = g ( x ) A B C D Lời giải Chọn D https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 34 NHÓM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số  x2 = Đặt h ( x ) = f ( x ) , h′ ( x ) = x f ′ ( x ) , h′ ( x ) = ⇔ 3x f ′ ( x ) = 0⇔  f ′ ( x ) = 3 ( ) NHĨM TỐN VD – VDC x = x =  x =   3 x = a 3  a ⇔ ⇔ x = = f = x h( x ) Ta có = g x f x ) (  x b =   x3 = b x = c   x c =  ( ) BBT hàm số g ′ ( x ) Số điểm cực trị hàm số y = g ( x ) NHĨM TỐNVD – VDC https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 35