SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi: TỐN (Tốn chun) Thời gian: 150 phút (khơng kể giao đề) Khóa thi ngày: 10-12/6/2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm)  x 2 x   x2  x x  x  a) Cho biểu thức A     x  0  x  x  x x  x    Rút gọn biểu thức A tìm x để A  b) Chứng minh với số nguyên dương n, số M  9.34n  8.24n  2019 chia hết cho 20 Câu (1,0 điểm) Cho parabol  P  : y   x đường thẳng  d  : y  x  m  Tìm tất giá trị tham số m để  d  cắt  P  tai hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x12  x22  Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình x  x  x   x  3  x2  y  x  y   b) Giải hệ phương trình :  2   x  y  xy   13 Câu (2,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn Gọi H , K hình chiếu vng góc C lên đường thẳng AB, AD a) Chứng minh AB AH  AD AK  AC b) Trên hai đoạn thẳng BC, CD lấy hai điểm M , N (M khác B, M khác C) cho hai tam giác ABM ACN có diện tích nhau; BD cắt AM AN lần BM DN lượt E, F Chứng minh   1và BE  DF  EF BC DC Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC ( AB  AC ) nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H Ba điểm D, E, F chân đường cao vẽ từ A, B, C tam giác ABC Gọi I trung điểm cạnh BC, P giao điểm EF BC Đường thẳng DF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF điểm thứ hai K a) Chứng minh PB.PC  PE.PF KE song song với BC b) Đường thẳng PH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF điểm thứ hai Q Chứng minh tứ giác BIQF nội tiếp đường tròn Câu (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1  a  P  b2  1  b   c  1  c   a    ab  a  bc  b  ca  c  2 ĐÁP ÁN Câu a) Với x  0, ta có :  x 2 x   x2  x x  x  A   x  x  x x  x 3     x 2    x 1  x  x x x 1 x  x 1     x 1  x 3  x  x   x   x x  1 x  1  x 3  x  1 x  x  1 x 1 x 1   x  x     x   x  3 x 3 x 3   x   x  1  x  x  A6 x3 x  26 x3 x 40  x4 x  x 40  x 4   x 1  x 1   x    x  16(tmdk ) Vậy với x  16 A  b) M  9.34n  8.24n  2019 ta có: 81  1 mod   81n  1 mod   9.81n   1 mod  8.16n  0(mod 4)  M    2019  2020  mod  Hay M (1) Lại có: 81  1 mod5   81n  1(mod5)  9.81n   4(mod5) 16  1(mod5)  16n  1 mod5   8.16n   3(mod5)  M    2019  2020   mod5  M (2) Từ 1 ,    4,5   M 20(dfcm) Câu Xét phương trình hồnh độ giao điểm  P   d  :  x2  x  m   x2  x  m   (1) Ta có     m     4m ( d ) cắt  P  hai điểm phân biệt  Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt 0m (2)  x  x  1 Áp dụng hệ thức Vi-et, ta có:  Theo đề bài:  x1 x2  m  x12  x22    x1  x2   x1x2     m  2   m  Từ (2) (3)   m  (3) giá trị cần tìm Câu a) x  x  x   x  3   x  x   x  x  12  (1) Đặt y  x  x  y  y   Phương trình (1) trở thành: y  y  12     y2  3 Với y  x2  x   x   Vậy nghiệm phương trình cho x   2  x  y  4x  y  b)  2   x  y  xy  y  13  x  x   y  y    2  x  xy  y  y  y   16  x  2   y  12  (1)  2  x  y    y  1  16 2  x  2   y  12  16  2  x  y    y  1  16   x     x  y    y  1  2   x     x  y    x     y  1  2 2   x  y   y     x  y  3 x  y  1    x  y  1 y     x  y  3  x  y  1  (2) x  y 1   x  y  1 x  y       x  5 y  (3) Thay (2) vào (1) ta được:  y   2   y  1    y  1  2  y 1 x    y  3  x  4 Thay  3 vào (1) ta được:  5 y      y  1    y  1     y  1   26  y  1    y  1  2  x  2  13  x  2  13 13 10 13 10 13 Vậy nghiệm hệ phương trình cho là:      x; y    0;1 ;  4; 3 ;  2  10  10  ; 1  ; 1   ;  2   13 13   13   Câu H B A Q I M E P F D C N K a) Kẻ BP  AC, DQ  AC Dễ chứng minh AQD  CPB (cạnh huyền – góc nhọn)  AQ  CP  AQ  AP  AC (1) AB AP   AB AH  AC AP AC AH Tương tự: AD AK  AC AQ APB AHC ( g.g )  (2) Từ (1), (2), (3)  AB AH  AD AK  AC AP  AC AQ  AC. AP  AQ   AC b) Hai tam giác ADN ADC có chung chiều cao kẻ từ A  Tương tự: BM S ABM  BC S ABC DN S ADN  DC S ADC Mà S ABM  S ACN ( gt ) S ABC  S ADC (Vì ABCD hình bình hành)  BM S ACN BM DN S ACN S ADN S ACN  S ADN       1 BC S ADC BC DC S ADC S ADC S ADC Gọi I giao điểm AC BD  IA  IC Ta có: S AMCN  S ACM  S ACN  S ACM  S ABM  S ABC  S ABCD  S ABD Vì IA  IC nên: S AEF  S AIE  S AIF  SCIE  SCIF  SCEF  S EMCNF 1  S AEF  S AMCN  S AEF  S ABC  EF  BD 2 Mà BE  DF  EF  BD  BE  DF  EF (dfcm) Câu A J E O K Q F B H D C I P a) Tứ giác BCEF có BEC  BFC  900 ( gt )  BCEF tứ giác nội tiếp  C1  E1 PBE PFC có EPC chung; PEB  FCB  PBE PFC ( g.g )  PB PE   PB.PC  PE.PF PF PC Tứ giác BDHF có: BDH  BFH  1800  BDHF tứ giác nội tiếp  EBC  EFC  AH  Gọi J trung điểm AH Dễ thấy HEF nội tiếp đường tròn  J ;     Tứ giác HEKF nội tiếp đường tròn  J   F1  HEK  1800  HKF  Mà EBC  EFC  EBC  HEK  KE / / BC b) Chứng minh IEH  EBC  HEF  IEH  sd HE  EI tiếp tuyến  J   IEF  EAF  BHF  FDB  DIEF tứ giác nội tiếp Dễ chứng minh PDF PEI ( g.g )  PD.PI  PE.PF Dễ chứng minh PHE PFQ( g.g )  PE.PF  PH PQ  PD.PI  PH PQ   PDH PD PH  PQ PI PQI (c.g.c)  PHD  PIQ Lại có PHD  AHQ  AFQ  AFQ  PIQ  BIQF tứ giác nội tiếp Câu 1 , x, y  Dễ chứng bất đẳng thức : x  y  xy;   x y x y Dấu xảy  x  y Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có: 1  a   b  a  b  2a  2ab  2a  2(ab  2a  4)     ab  a  ab  a  ab  a  ab  a  4 1 1  11 1 2 2 2     ab  a   ab  a  1   ab  a   ab  a  Tương tự: 1  b   c  11 1   bc  b  bc  b  1  c   a  11 1   ca  c  ca  c  11  1  P      2  ab  a  bc  b  ca  c   Vì abc  1nên: a a   bc  b  abc  ab  a ab  a  1 ab ab   ca  c  a bc  abc  ab ab  a  1 1 a ab       1 ab  a  bc  b  ca  c  ab  a  ab  a  ab  a  11  P  5 2 a  b  c  Dấu "  " xảy  ab  a   bc  b   ca  c    a  b  c  abc   Vậy P   a  b  c   ...   y  1  2  x  2  13  x  2  13 13 10 13 10 13 Vậy nghiệm hệ phương trình cho là:      x; y    0;1 ;  4; 3 ;  2  10  10  ; 1  ; 1   ;  2   13 13   13... 16(tmdk ) Vậy với x  16 A  b) M  9.34n  8.24n  2019 ta có: 81  1 mod   81n  1 mod   9.81n   1 mod  8.16n  0(mod 4)  M    2019  2020  mod  Hay M (1) Lại có: 81  1 mod5  ... 1 x  y       x  5 y  (3) Thay (2) vào (1) ta được:  y   2   y  1    y  1  2  y 1 x    y  3  x  4 Thay  3 vào (1) ta được:  5 y      y  1  