SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ YÊN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TS 10 THPT LƯƠNG VĂN CHÁNH Năm học 2019-2020 Mơn: Tốn (chun) Thời gian: 150 phút Câu (2,0 điểm)  x 3 x 2 x 2   x2  Cho biểu thức : A      1 :  x  3 x x 5 x  6  x  x   a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để P  A  đạt giá trị lớn x Câu (3,0 điểm) a) Giải phương trình: x2  x   x   x  y  x  y   x   y    b) Giải hệ PT:  x 2  y 2   1   y  x       Câu (1,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Trên tia đối tia BC lấy điểm D cho BD  BA Gọi M , N trung điểm AC, AD Đường thẳng qua B song song với AD cắt MN E a) Chứng minh tứ giác NAEB hình chữ nhật b) Chứng minh ACE  DCN Câu (1,5 điểm) a b c a) Tồn hay không số a, b, c thỏa mãn    b  ca c  ab a  bc 2019 x  y 85 b) Tìm tất cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn  x y 13 Câu (1,0 điểm) Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt M, N Kẻ dây MA đường tròn (O) tiếp xúc với  O ' dây MB đường tròn  O ' tiếp xúc với  O  Đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB cắt đường thẳng MN P  P  M  Chứng minh PN  PM Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca  Chứng minh rằng: a b2   b c   c a   Dấu "  " xảy ? ĐÁP ÁN Câu a) ĐKXĐ: x  0, x  4, x   x9 x4 x 2   x2 x x 2 A   :  x  x  x  x  x  x  x x 2      x 3  x A  : x  x  x  x     x 3 x    x 1 x 3  x 2 x 2   x 1 x b) Ta có: 1  1 1     P  A   2.1     1      1    x x x x x x       P   1     x   x      Pmax   1     x  1(tm) x  Câu a) ĐKXĐ: x  2 x  x   x   x  3x   3 x    x    x  1 x    x    x  1   x 1    x  1 x    x   0  x  1     x  1 x   x   0 x  1     x  1 x    x     x  2(tm)   x  1(tm)   0 x  1   x  y  x  y   x   y    b) Giải hệ phương trình  x 2  y 2   1    y    x   ĐKXĐ: x  2, y  2 y  x  1  x  y  x  y   x   y    y  x      x   y 2 2   x    y        1  y    x    y    x    Đặt y  x x   1 a  y   y  x  a  b      2 2 b  y  x    y   a  b    y    x   x2  b   a  2 a  1  a   a  x  (TM )   (TM )  b  y       a  x   (TM )   (TM ) y   b  Vậy  x; y   2;0 ;  0;2  Câu D B N E C A M a) Ta thấy M , N trung điểm AC, AD nên MN đường trung bình tam giác ACD  MN / /CD hay ANE  ADB Vì BA  BD  ABD cân B  BN  AB, BDA  BAD Vì BE / / AD  BNA  NBE  900 , ANE  NEB  BEAN tứ giác nội tiếp  NEA  1800  900  900 Vì NAE  BNA  NBE  900 (dfcm) b) Dễ thấy MAE  DAB (cùng phụ với BAE )  MAE  MNA Lại có AME góc chung nên MAE Mà MA  MC  MNA( g.g )  MA MN  ME MA MC MN  ME MC Do EMC góc chung  MEC MCN (c.g.c)  ECM  MNC Lại có MN / /CD (đường trung bình)  MNC  DCN  ACE  DCN (dfcm) Câu a) Giả sử tồn số thực  a, b, c  thỏa mãn yêu cầu đề Rõ ràng ĐK a, b, c là: a  bc, b2  ca, c  ab Nếu a  b  c a2  bc  a2  a2   a2  bc (vô lý) Vậy nên số a, b, c phải có số khác Khi đó:  a  b  b  c    c  a  2 0 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a b c abc     b  ca c  ab a  bc  a  b  b  c  c  a  2019       2  a  b  c  Khi đó, tồn số nhau, giả sử a  b thì: a b   b  ca  c  ab  b  ca c  ab   a  b  c  b  c    b  c  a  b  c (vô lý) Từ dãy tỉ số nhau, ta có: a b bc ca    2 2 b  ca  c  ab c  ab  a  bc a  ab  b  ca 2019 a b bc a b      b  c  a  b  c   c  a  a  b  c   a  b  a  b  c  2019  x  yz  Đặt :  y  zx  x  y  z  xy  yz  zx  z  xy    x  y   y  z    z  x   x  y  z 2 a  b  2c a  b  2c a  b  2c      c  b  a  c  b  a  c  b  a  a  b  c a  c  2b a  b  2b  2a 3 a  b       Kết cho thấy vô lý Vậy không tồn số thỏa mãn theo yêu cầu b) Vì x, y   x  y, x  y   x  y 85  x y 13  85  x  y   13 x  y    x  y  Áp dụng BĐT: x  y 2  x  y  Ta có : 85  x  y   13 x  y     x  y   (luôn đúng) 13 170  x  y   x  y   x  y  13 13 x  y  Mà :   x  y  13  x  y  85  x  y 13  x  (TM )   y  13  x y   x  y  13     2  x  y  85  x  13  x   85   x  (TM )    y  Vậy nghiệm phương trình  x; y   6;7  ;  7;6  Câu M K H O' O B A I N P Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB Gọi H , K theo thứ tự giao điểm OO ' với MN MI Rõ ràng OO '  MN HM  HN Ta thấy IM  IP nên NP  NM nên OI đường trung trực đoạn MA  MA  OI  OI / / MO ' (vì MA  MO ') Tương tự O ' I / / MO  OIMO ' hình bình hành, K trung điểm MI  HK đường trung bình MNI  NI / / HK hay NI / /OO ' Mà MN  MO '  MN  IN  IN  MP  PN  MN (dfcm) Câu Bình phương vế, ta cần chứng minh tương đương a  b  1  b  c  1  c  a  1  2ab 2bc c  1 a  1  2ca b b  1 c  1  1 a  1  (*) Áp dụng BĐT Cauchy ta có: a  1 b2  1  a 2b2  a  b2   a 2b2  2ab   ab  Gọi vế trái (*) S Áp dụng BĐT Cauchy ta có: S  a 2b  b 2c  c 2a  a  b  c  2ab  bc  1 2bc  ca  1  2ca  ab  1   ab  bc  ca    a  b  c    ab  bc  ca   3. ab  bc  ca   2 a  b  c   Dấu "  " xảy  ab   bc   ca   a  b  c  ab  bc  ca   ... b  ca  c  ab c  ab  a  bc a  ab  b  ca 2019 a b bc a b      b  c  a  b  c   c  a  a  b  c   a  b  a  b  c  2019  x  yz  Đặt :  y  zx  x  y  z  xy... chất dãy tỉ số nhau, ta có: a b c abc     b  ca c  ab a  bc  a  b  b  c  c  a  2019       2  a  b  c  Khi đó, tồn số nhau, giả sử a  b thì: a b   b  ca  c  ab... trung bình)  MNC  DCN  ACE  DCN (dfcm) Câu a) Giả sử tồn số thực  a, b, c  thỏa mãn yêu cầu đề Rõ ràng ĐK a, b, c là: a  bc, b2  ca, c  ab Nếu a  b  c a2  bc  a2  a2   a2  bc (vô