SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2018-2019 MƠN: TỐN Câu Cho a   10    10  a) Chứng minh a nghiệm phương trình a  2a   a  a  a  6a  b) Tính giá trị P  a  2a  12  x3  y  Câu a) Giải hệ phương trình   x  y  xy  b) Giải phương trình  x  1 x   x  3  x   x  5  360 Câu a) Chứng a2  b2  c2  ab  bc  ca với số thực a, b, c b) Cho a, b, c  1và ab  ac  bc  Tìm GTNN GTLN P  a  b2  c2 Câu Cho ABC vuông A  AC  AB  Gọi H hình chiếu vng góc A BC, D điểm nằm đoạn thẳng AH (D khác A, H ) Đường thẳng BD cắt đường tròn tâm C bán kính CA E F ( F nằm B D), M điểm đoạn thẳng AB cho ACF  2BFM , MF cắt AH N a) Chứng minh BH BC  BE.BF tứ giác EFHC nội tiếp b) Chứng minh HD tia phân giác EHF c) Chứng minh F trung điểm MN a2 c2 2c   Chứng minh bc Câu Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn a  b2 a  c b  c số phương ĐÁP ÁN Câu a) Ta có: a2   82   4   10   10      1      1  a     a    a  2a   a  2a   Nên a nghiệm phương trình a  2a   b) Ta có: a  2a  4a  2a  4a  8a  a  2a   P a  2a   16 a  a  2a    2a  a  2a    a  2a   8    a  2a   16 16 Câu  x  y   x  y 2  3xy     a) Hệ phương trình  Đặt  x  y  xy  Ta có: x  y  a với a  4b   xy  b  a  a  3b   2a  6ab  16   2a3  3a   a   16  2a3  3a  6a  16   2b   a  a  2b   2a3  4a  7a  14a  8a  16    a    2a  a    Vì 2a  7a   vô nghiệm, nên a   b  Hệ có nghiệm  x; y   0;2 ; 2;0  b) Phương trình :  x  x  5 x  x  8 x  x    360 Đặt x2  x   t , ta có: t  t  3 t    360   t  7t  12t  360    t  5  t  12t  72   x  Vì t  12t  72  vô nghiệm nên t   x  x     x  6 Vậy S  0; 6 Câu a) Ta có :  a  b2  c    ab  bc  ca     a  b    b  c    c  a   2 Dấu "  " xảy a  b  c b) Vì a, b, c  1nên  a  1 b  1  a  b  ab     b  1 c  1   b  c  bc    a  b  c   ab  bc  ca   12   c  a  ca   c  1 a  1   a  b  c    a  b  c   36  a  b2  c  2.9  36  a  b2  c  18 Vậy GTLN P 18, đạt  a; b; c  hoán vị 1;1;4  Mặt khác a2  b2  c2  ab  bc  ca  nên GTNN P Đạt abc Câu B K M F H DN A C E a) Ta có: FAB  AEB  BAF BEA  BF BA   BA2  BE.BF BA BE áp dụng hệ thức lượng tam giác vng BA2  BH BC  BH BC  BE.BF  BH BF   BHF BE BC BEC  BHF  BEC nên tứ giác EFHC nội tiếp b) Ta có BHF  BEC  CFE  CHE mà AHB  AHC  900 nên AHF  AHE  HD tia phân giác EHF c) Gọi K giao điểm AH với (C) , chứng minh BK tiếp tuyến đường tròn (C) , ta có 2BFM  ACF  AEF  BFM  AEF  MN / / AE  ANM  KAE lại có : NAM  AEK  AMN EKA  MN AN  (1) Do AFN  FAE  1800 KA EA 1 EKF  FAE  1800  AFN  EKF  ECF  EHF  AHE 2 Hay AFN  AHE; ANM  HAE  AFN Từ (1) (2) ta có: EHA  AN NF  (2) EA AH MN NF NF NF     MN  NF  FM  FN KA AH AH KA Câu a2 c2 2c a2 c c2 c       0 Ta có: a  b2 a  c b  c a  b2 b  c a  c b  c  a  b  c   c  a  b2   b  c   a  b2   c2 b  c   c  a  c2  b  c   a2  c2  0 b  a  bc   c  a  bc   b  c   a  b2   b  c   a  c  a  bc   b  c   a  bc  b c    0  0 b  c  a  b2 a  c2   b  c   a  b2  a  c    a  bc   b  c   Xét a2  bc   bc  a số phương Xét b  c bc  c số phương 0