SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2018-2019 MƠN TỐN Thời gian làm : 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Bài a) Cho a, b, c ba số nguyên thỏa mãn a  b  c3  2018c Chứng minh A  a3  b3  c3 chia hết cho b) Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn x   3y c) Cho B  1.2.3  2.3.4  3.4.5   n  n  1 n   với n * Chứng minh B khơng thể số phương Bài a) Giải phương trình : 3x  x  11   x  5 3x  2  x  x  y  y  b) Giải hệ phương trình:  3 2   x  y  x y  xy  Bài a) Rút gọn biểu thức C   x  x2  x  1  x với x  x 1 b) Cho số thực a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm GTLN D  ab  ac c) Với x, y, z độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh  y  z  x  z  x  y  x  y  z   xyz Bài Cho tam giác ABC nhọn  AB  AC  , đường phân giác AD  D  BC  Các điểm E F chuyển động caanhj AB, AC cho BE  CF Trên cạnh BC lấy điểm P Q cho EP FQ song song với AD a) So sánh BP CQ b) Chứng minh trọng tâm G tam giác AEF thuộc đường thẳng cố định Bài Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB  2R Gọi C trung điểm AO, vẽ tia Cx vng góc với AB cắt nửa đường tròn (O) I Lấy K điểm đoạn CI (K khác C I), tia AK cắt nửa đường tròn (O) M, tia BM cắt tia Cx D Vẽ tiếp tuyến với đường tròn  O  M cắt tia Cx N a) Chứng minh KMN cân b) Tính diện tích ABD theo R K trung điểm CI c) Khi K di động CL Chứng minh đường tròn ngoại tiếp AKD qua điểm cố định thứ hai khác A ĐÁP ÁN Bài a) Ta có: a  b  c3  2018c  a  b  c   c  1 c  c  1  2016c chia hết cho Mặt khác  a3  b3  c3    a  b  c    a  1 a  a  1   b  1 b b  1   c  1 c  c  1 chia hết cho Do A  a3  b3  c3 chia hết cho b) Xét x   y  Xét x  x Nếu y chẵn , đặt y  2k  k  *   3y   9k  2 mod8 , vô lý Nếu y lẻ, đặt y  2k  1 k  *   3y   9k  4 mod8 , vô lý Vậy x  y  thỏa mãn toán c) Ta có : 4B  1.2.3.4  2.3.4.  1  3.4.5.     n  n  1 n    n  3   n  1  n  n  1 n   n  3  n4  6n3  11n2  6n  n4  6n3  11n2  6n    n2  3n  1 Mặt khác: n4  6n3  11n2  6n  n4  6n3  9n2   n  3n    n2  3n   B   n2  3n  1 2 Do B khơng thể số phương Bài a) ĐKXĐ: x   Phương trình tương đương 3x  3x  3x 3x   x   3x   x 3x   3x   3x          3x x   3x   x   3x   3x  x   3x       x   3x  3x   3x   Xét 3x    x  12 3x   x     x3 x    Xét 3x     3x 2 3  3x    3x    x    x     3 5  Vậy S  3;        x  y  x  y  1  b) Hệ phương trình     x  y  x  y    a  1 b  x  y  a Đặt  ta có:  x  y  b ab  Nếu b   x  y, vô nghiệm b  ta có: ab2   a  Thế vào  a  1 b  b2   x    x  y   b   a    2   y   x y2    b  5b      11    x   x  y  3 b   a     x  y  y      Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm Bài a) Ta có C  x  2 x2  x   x  1  x 2x x  x2    x 1 x   x  1 x 1  x x   x  x   x 1   x 1 x 1 x 1 x 1  b) 1 1  Ta có: D  a  b  c   a 1  a   a  a    a     2 4  1 , đạt a  b  c  c) Vì x, y, z độ dài ba cạnh tam giác nên y  z  x; z  x  y; x  y  z  Áp dụng BĐT Cô si ta có: GTLN D  y  z  x  z  x  y   z  z  x  y  x  y  z   x  x  y  z  y  z  x   y Nhân vế theo vế BĐT ta có đpcm Bài A E G O B P D N M F Q C BD BA BD CD    CD CA BA CA BP BD CD CQ    Lại có PF / / AD / /QE  , Mà BE  CF  BP  CQ BE BA CA CF b) Gọi M , N trung điểm BC, EF MN đường trung bình hình thang PEFQ  MN / / PE / / AD , Mà AD cố định, M cố định nên MN cố định Gọi a) Vì AD phân giác nên O trọng tâm tam giác ABC AG AO    OG / / MN mà O cố định nên G di động đường thẳng qua O Ta có: AN AM song song với MN cố định Bài D M I K E C A O B a) Ta có: KMN  MBA , tứ giác BMKC có BMK  BCK  900 nên nội tiếp  MKN  MBA  MKN  KMN  KMN cân N b) Ta có: KAC  BDC; ACK  BCD  ACK  DC  AC.CB  R 3R    : KC 2  R2  R2 R DCB  AC KC  DC CE Do đó: S ABD  DC AB R 3.2 R   R2 2 c) Gọi E điểm đối xứng với B qua C Ta có CDE  CDB  CAK nên tứ giác AKDE nội tiếp Do đường tròn ngoại tiếp AKD đường tròn ngoại tiếp tứ giác AKDE Ta có A, C, B cố định nên AE cố định Vậy đường tròn ngoại tiếp AKD qua điểm cố định thứ E khác A ... , vô lý Nếu y lẻ, đặt y  2k  1 k  *   3y   9k  4 mod8 , vô lý Vậy x  y  thỏa mãn toán c) Ta có : 4B  1.2.3.4  2.3.4.  1  3.4.5.     n  n  1 n    n  3   n