Đang tải... (xem toàn văn)
Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid (Luận văn thạc sĩ)Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid (Luận văn thạc sĩ)Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid (Luận văn thạc sĩ)Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid (Luận văn thạc sĩ)Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid (Luận văn thạc sĩ)Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid (Luận văn thạc sĩ)Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid (Luận văn thạc sĩ)Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid (Luận văn thạc sĩ)Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid (Luận văn thạc sĩ)Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid (Luận văn thạc sĩ)Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid (Luận văn thạc sĩ)Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid (Luận văn thạc sĩ)Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid (Luận văn thạc sĩ)Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid (Luận văn thạc sĩ)Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid (Luận văn thạc sĩ)Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid (Luận văn thạc sĩ)Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid (Luận văn thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐỖ THỊ THU GIANG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC OSTROWSKI VÀ TRAPEZOID LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐỖ THỊ THU GIANG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC OSTROWSKI VÀ TRAPEZOID Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Xuân Quý THÁI NGUYÊN - 2019 i Mục lục Bảng ký hiệu viết tắt Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm số, biến phân biến phân toàn phần 1.2 Bt ng thc Hăolder 1.3 Bất đẳng thức Ostrowski trapezoid 5 Chương Về bất đẳng thức Ostrowski Trapezoid 2.1 Về bất đẳng thức Ostrowski 2.1.1 Bất đẳng thức Ostrowski với hàm liên tục tuyệt đối 2.1.2 Bất đẳng thức Ostrowski với hàm có biến phân bị chặn 2.2 Về bất đẳng thức trapezoid 2.2.1 Bất đẳng thức trapezoid hàm có biến phân bị chặn 2.2.2 Bất đẳng thức trapezoid hàm đơn điệu 2.2.3 Bất đẳng thức trapezoid hàm liên tục tuyệt đối 2.2.4 Bất đẳng thức trapezoid hàm có đạo hàm cấp hai 2.3 Làm chặt bất đẳng thức Ostrowski hàm Chebysev 9 12 14 14 16 19 21 23 Chương Bất đẳng thức kiểu Ostrowski trapezoid liên hệ với định lý giá trị trung bình Pompeiu với trọng số mũ phức 28 3.1 Bất đẳng thức kiểu Ostrowski 30 3.2 Bất đẳng thức kiểu trapezoid 32 3.3 Một bất đẳng thức kiểu Ostrowski trapezoid 34 3.3.1 Làm chặt bất đẳng thức Ostrowski 34 3.3.2 Bất đẳng thức kiểu Ostrowski 35 3.3.3 Làm chặt bất đẳng thức trapezoid 36 3.3.4 Bất đẳng thức kiểu trapezoid 36 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 Bảng ký hiệu viết tắt b (f ) biến phân toàn phần hàm số f đoạn [a, b]; a n := a1 + a2 + · · · + an ; i=1 max{a, b} phần tử lớn tập hai phần tử a, b; b f s s | f (t) | dt := s với s ∈ [1; ∞), hay chuẩn cấp s a f ∞ hàm số f đoạn [a, b]; := sup | f (t) |; t∈(a;b) n−1 σ(f, ξ, In ) f (ξi )hi , (tổng Riemann hàm f [a, b]); := i=0 f [u,v],s chuẩn cấp s hàm số f đoạn [u, v] Mở đầu Chúng ta biết mơn Tốn coi mơn "thể thao trí tuệ" giúp người học có nhiều hội rèn luyện, phát triển tư bồi dưỡng lực thẩm mỹ nghiên cứu nét đẹp cơng thức giải tốn độc đáo mẻ Trong nhiều năm qua, hầu hết kỳ thi quan trọng thi học sinh giỏi Toán cấp tỉnh, cấp Quốc gia, Quốc tế, toán liên quan đến bất đẳng thức chiếm vị trí đáng kể Đối với lớp bất đẳng thức rời rạc khai thác triệt để chương trinh phổ thông, chí cấp THCS Vì tốn so sánh, nên kỳ thi học sinh giỏi thường xuất toán cực trị bất đẳng thức Tuy vậa,x],∞ + (b − x)2 f − iγf [x,b],∞ [a,b],∞ , 34 a+b (b − a)2 + x − 2 f − iγf [a,b],∞ , với x ∈ [a, b] Định lý 3.7 Xét hàm f : [a, b] → C liên tục tuyệt đối [a, b], α = β + iγ ∈ C Nếu β = 0, ta có b f (t) f (b) f (a) (b − x) + (x − a) − dt ebα eaα eαt a −aβ f − αf [a,x],1 + β1 e−(xβ+1) f − αf [x,b],1 , β > 0, x + β1 a, (x − a)e −(xβ+1) −bβ f − αf [a,x],1 + b−a f − αf [x,b],1 , β < 0, x + β1 b, ≤ −β e e −bβ (x − a) e−aβ f − αf f − αf [x,b],1 , ngược lại, [a,x],1 + e −aβ + β1 e−(xβ+1) ] f − αf [a,b],1 , β > 0, x + β1 a, [(x − a)e −(bβ+1) ≤ [ −β e + (b − x)e−bβ ] f − αf [a,b],1 , β < 0, x + β1 b, [(x − a)e−aβ + (b − x)e−bβ ] f − αf [a,b],1 , ngược lại 3.3 3.3.1 Một bất đẳng thức kiểu Ostrowski trapezoid Làm chặt bất đẳng thức Ostrowski Nếu α = Hệ 3.1, Định lý 3.4 Định lý 3.5 ta có kết chặt bất đẳng thức Ostrowski sau: b f (x)(b − a) − f (t)dt a 1 [(x − a)2 f [a,x],∞ + (b − x)2 f [x,b],∞ ], q+1 q+1 (x−a) q (b−x) q 1 + f + f , p > 1, 1 [a,x],p [x,b],p p q = 1, (q+1) q (q+1) q (x − a) f [a,x],1 + (b − x) f [x,b],1 , a+b 2 f [a,b],∞ , (b − a) + x − q+1 q+1 (x − a) q + (b − x) q f [a,b],p , p > 1, p1 + 1q = 1, (q + 1) q (b − a) f [a,b],1 , (3.9) (3.10) với x ∈ [a, b] Các số bất đẳng thức (3.9) (3.10) đánh giá tốt 35 3.3.2 Bất đẳng thức kiểu Ostrowski Xét hàm hα (t) = eαt với t ∈ [a, b] Nếu hàm f (t) = g(t)hα (t) = g(t)eαt Định lý 3.4, Hệ 3.1, Định lý 3.5, ta thu bất đẳng thức Ostrowski: Nếu β = 0, ta có b g(x)(b − a) − g(t)dt Ψ+ q,α (a, x) g hα [a,x],p a + Ψ− q,α (x, b) g hα p > p + q [x,b],p , = 1, b g(x)(b − a) − g(t)dt e−aβ − [(x − a)β + 1]e−xβ g hα β2 [a,x],∞ a β2 e−bβ − [(b − x)β − 1]e−xβ g hα [x,b],∞ + β2 a+b e−aβ + e−bβ + − x β − e−xβ g hα [a,b],∞ , b g(x)(b − a) − g(t)dt a 1 (−aβ+1) g hα [a,x],1 + (b − x)e−xβ g hα [x,b],1 , β > 0, a + β1 x, β e −(bβ+1) (x − a)e−xβ g hα [a,x],1 + −β e g hα [x,b],1 , β < 0, b + β1 ≥ x, (x − a)e−xβ g hα [a,x],1 + (b − x)e−xβ g hα [x,b],1 , ngược lại (−aβ+1) + (b − x)e−xβ g hα [a,b],1 , β > 0, a + β1 x, βe −(bβ+1) (x − a)e−xβ + −β e g hα (b − a)e−xβ g hα [a,b],1 , ngược lại [a,b],1 , β < 0, b + β ≥ x, với x ∈ [a, b] Nếu β = 0, ta có b g(x)(b − a) − f (t)dt a 1 [(x − a)2 g hα [a,x],∞ + (b − x)2 g hα [x,b],∞ ], q+1 q+1 (x−a) q (b−x) q g hα [a,x],p + g hα [x,b],p , p > 1, p1 + 1 q q (q+1) (q+1) (x − a) g hα [a,x],1 + (b − x) g hα [x,b],1 , q = 1, 36 a+b 2 g hα [a,b],∞ , (b − a) + x − q+1 q+1 (x − a) q + (b − x) q g hα [a,b],p , p > 1, p1 + (q + 1) q (b − a) g hα [a,b],1 , 3.3.3 q = 1, Làm chặt bất đẳng thức trapezoid Nếu α = Hệ 3.2, Định lý 3.6 Định lý 3.7 ta thu kết chặt bất đẳng thức trapezoid sau: b f (a)(x − a) + f (b)(b − x) − f (t)dt a 1 [(x − a)2 f [a,x],∞ + (b − x)2 f [x,b],∞ ], 2 q+1 q+1 (b−x) q (x−a) q f + f [x,b],p , p > 1, p1 + 1q = 1, 1 [a,x],p q q (q+1) (q+1) (x − a) f [a,x],1 + (b − x) f [x,b],1 , a+b 2 (b − a) + x − f [a,b],∞ , q+1 q+1 (x − a) q + (b − x) q f [a,b],p , p > 1, p1 + 1q = 1, (q + 1) q (b − a) f [a,b],1 , với x ∈ [a, b] 3.3.4 Bất đẳng thức kiểu trapezoid Xét hàm hα (t) = eαt với t ∈ [a, b] Nếu hàm f (t) = g(t)hα (t) = g(t)eαt Định lý 3.6, Hệ 3.2 Định lý 3.7 ta có bất đẳng thức trapezoid: Nếu β = 0, ta có b g(a)(x − a) + g(b)(b − x) − Ψ− q,α (a, x) g hα [a,x],p + + Ψ− q,α (a, x) + Ψq,α (x, b) p > p + q a + Ψq,α (x, b) = 1, b g(a)(x − a) + g(b)(b − x) − g(t)dt a g(t)dt g hα g hα [a,b],p , [x,b],p 37 e−xβ − [(x − a)β − 1]e−aβ g hα [a,x],∞ + β2 e−xβ − [(b − x)β + 1]e−bβ g hα [x,b],∞ + β2 2e−xβ + [(x − a)β − 1]e−aβ − [(b − x)β + 1]e−bβ β2 g hα [a,b],∞ b g(a)(x − a) + g(b)(b − x) − g(t)dt a −aβ g hα [a,x],1 + β1 e−(xβ+1) g hα [x,b],1 , β > 0, x + β1 ≥ a, (x − a)e −(xβ+1) g hα [a,x],1 + (b − x)e−bβ g hα [x,b],1 , β < 0, x + β1 b, −β e (x − a)e−aβ g hα [a,x],1 + (b − x)e−bβ g hα [x,b],1 , ngược lại, −aβ + β1 e−(xβ+1) g hα [a,b],1 , β > 0, x + β1 ≥ a, (x − a)e (−xβ+1) + (b − x)e−bβ g hα [a,b],1 , β < 0, x + β1 b, −β e [(x − a)e−aβ + (b − x)e−bβ ] g hα [a,b],1 , ngược lại, với x ∈ [a, b] Nếu β = 0, ta có b g(a)(x − a) + g(b)(b − x) − g(t)dt a 1 [(x − a)2 g hα [a,x],∞ + (b − x)2 g hα [x,b],∞ ], q+1 q+1 (b−x) q (x−a) q g hα [a,x],p + g hα [x,b],p , p > 1, p1 + 1q = 1, 1 q q (q+1) (q+1) (x − a) g hα [a,x],1 + (b − x) g hα [x,b],1 , a+b 2 (b − a) + x − g hα [a,b],∞ , q+1 q+1 (x − a) q + (b − x) q g hα [a,b],p , p > 1, p1 + 1q = 1, (q + 1) q (b − a) g hα [a,b],1 , với x ∈ [a, b] 38 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau: • Sơ lược hàm số, biến phân hàm số, bất đẳng thức Hăolder Bt ng thc Ostrowski v trapezoid Trỡnh by bất đẳng thức kiểu Ostrowski, trapezoid lớp hàm có biến phân bị chăn, hàm đơn điệu, hàm liên tục tuyệt đối Làm chặt bất đẳng thức Ostrowski hàm Chebyshev • Trình bày bất đẳng thức kiểu Ostrowski trapezoid liên hệ với định lý giá trị trung bình Pompeiu với trọng số mũ phức Một bất đẳng thức kiểu Ostrowski trapezoid số kết làm chặt bất đẳng thức kiểu Ostrowski trapezoid ... Chương Về bất đẳng thức Ostrowski Trapezoid 2.1 Về bất đẳng thức Ostrowski 2.1.1 Bất đẳng thức Ostrowski với hàm liên tục tuyệt đối 2.1.2 Bất đẳng thức Ostrowski với... chặn 2.2 Về bất đẳng thức trapezoid 2.2.1 Bất đẳng thức trapezoid hàm có biến phân bị chặn 2.2.2 Bất đẳng thức trapezoid hàm đơn điệu 2.2.3 Bất đẳng thức trapezoid. .. Bất đẳng thức kiểu Ostrowski 30 3.2 Bất đẳng thức kiểu trapezoid 32 3.3 Một bất đẳng thức kiểu Ostrowski trapezoid 34 3.3.1 Làm chặt bất đẳng