Cac chuyen de ve ham so Chuyên đề 1: Sự tơng giao của hai đồ thị I . Bài toán cơ bản : VD 1 : Cho hàm số y = 1 1 + x x có đồ thị là ( C ) a) Tìm m để đờng thẳng (d): y = mx + 1 cắt ( C ) tại 2 điểm phân biệt. b) Tìm m để (d) cắt ( C ) tại 2 điểm thuộc hai nhánh của ( C). VD 2 : Cho hàm số y = mx 3 x 2 2x + 8m có đồ thị là ( C). Tìm m để ( C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ thoả mãn: x < -1. VD 3 : Cho hàm số: y = x 4 (3m + 4 )x 2 + m 2 có đồ thị là ( C ) a) Tìm m để ( C ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. b) Tìm m để ( C ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. VD 4 : Tìm m để đồ thị của hàm số y = x 3 m(x 1) 1 tiếp xúc với trục hoành. VD 5 : Tìm m để (d) : y = m x cắt ( C) : y = 1 13 2 + x xx tại 2 điểm đối xứng với nhau qua đờng phân giác thứ nhất. Chuyên đề 2: Tiếp tuyến với đồ thị I. Bài toán cơ bản: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là ( C ) . Hãy viết phơng trình tiếp tuyến của ( C ). Dạng 1 : Biết tiếp điểm M(x o ,y o ) ( C ) ( Tiếp tuyến tại M của ( C) ). Phơng trình tiếp tuyến là: y y o = f (x o )(x x o ) ( y 0 = f(x o ) ). Dạng 2 : Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trớc. Cách giải 1: - Giải phơng trình kxf = )( để tìm hoành độ tiếp điểm x o - Thế x o vào công thức dạng 1. Cách giải 2: - PT đờng thẳng (d) có hệ số góc k là : y = kx + b - (d) tiếp xúc với ( C ) hệ = += kxf bkxxf )( )( có nghiệm. - Giải hệ trên tìm đợc b từ đó suy ra phơng trình tiếp tuyến. Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua điểm ),( M cho trớc ( hoặc phải tìm). Cách giải 1: - PT đờng thẳng (d) có hệ số góc k qua M là: y = k(x- ) + - (d) tiếp xúc với ( C ) hệ = += kxf xkxf )( )()( (1) có nghiệm. - Giải hệ ta tìm đợc k từ đó ta có phơng trình tiếp tuyến. Chú ý: Số nghiệm của (1) chính là số tiếp tuyến của ( C ) qua M Cách giải 2: - Gọi tiếp điểm là (x o ,y o ) khi đó PT tiếp tuyến là: y y o = f (x o )(x - x o ) - Vì tiếp tuyến qua M nên ta có 000 ))(( yxxf + = (2) - Giải (2) để tìm x o từ đó ta đợc phơng trình tiếp tuyến. Chú ý: Số nghiệm của (2) chính là số tiếp tuyến của ( C ) qua M GV: Nguyen Canh Chien Truong THPT Thanh Chuong 1 Cac chuyen de ve ham so II. Các ví dụ : VD 1 : Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) của hàm số y = x 3 3x 2 + 2 tại các giao điểm với trục ox. VD 2 : Cho hàm số y = 1 43 2 + x xx có đồ thị là ( C ). Viết phơng trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến có hệ số góc là - 1. VD 3 : Cho hàm số y = x 3 + x 2 + x + 2 . CMR trên đồ thị của hàm số không thể có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. VD 4 : Tìm trên đồ thị của hàm số y = x 3 + 3x + 2 những điểm mà từ đó kẻ đợc đúng một tiếp tuyến với đồ thị của hàm số. VD 5 : Cho hàm số y = 22 232 2 2 + + x xx có đồ thị là ( C ). CMR tại các giao điểm của ( C ) với trục hoành , các tiếp với ( C ) vuông góc với nhau. VD 6 : Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) của hàm số y = 1 2 2 + x xx biết tiếp tuyến đi qua điểm M( 2, 2). VD 7 : Cho hàm số y = 1 1 2 2 + + x mxx có đồ thị là ( C ). a) Tìm m để ( C ) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt A và B . b) CMR tại A và B đạo hàm của hàm số thoả mãn công thức 1 2 2 + + = x mx y c) CMR tiếp tuyến của ( C ) tại A và B luôn vuông góc với nhau. VD 8 : a) CMR tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị của hàm số y = x 3 + 3x 2 + 2x + 3 có hệ số góc nhỏ nhất. b) CMR tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị của hàm số y = - x 3 + 3x + 2 có hệ số góc lớn nhất. VD 9 : Cho hàm số y = 2 2 + x x a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số. b) CMR trên ( C ) có vô số cặp điểm mà ở đó tiếp tuyến song song với nhau và các cặp điểm này đối xứng nhau qua tâm của ( C ). VD 10 : Cho hàm số y = x 3 3x + 2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số. b) Tìm trên đờng thẳng y = 4 các điểm sao cho từ đó kẻ đợc 3 tiếp tuyến với ( C ) c) Tìm trên đờng thẳng y = 4 các điểm sao cho từ đó kẻ đợc 2 tiếp tuyến với ( C ) vuông góc với nhau. VD 11 : Cho hàm số y = 1 12 2 + x xx a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số b) CMR trên đờng thẳng y = 7 có 4 điểm sao cho từ mỗi điểm đó kẻ đợc 2 tiếp tuyến với ( C ) và tạo với nhau một góc 45 o . Chuyên đề 3: Bài toán quỹ tích. I. Các ví dụ áp dụng: VD 1 : Cho đồ thị ( C ) của hàm số y = x 2 4x + 3 và đờng thẳng ( d) : y = mx trong đó m là tham số. a) Tìm m để (d) cắt ( C ) tại 2 điểm phân biệt A và B. b) Tìm quỹ tích trung điểm của AB. GV: Nguyen Canh Chien Truong THPT Thanh Chuong 1 Cac chuyen de ve ham so VD 2 : Tìm quỹ tích tâm đối xứng của đồ thị của hàm số y = 2 3 + + mx mx VD 3 : Tìm quỹ tích điểm uốn của đồ thị hàm số: y = 2x 3 - 3(m -2)x 2 - (m - 1)x + m VD 4 : Cho hàm số y = 2 32 2 + x mxx với m là tham số. a) Tìm m để hàm số có cực trị. b) Tìm quỹ tích các điểm cực trị của đồ thị của hàm số. VD 5 : Cho hàm số y = 2 34 2 + ++ x xx a) Tìm k để đờng thẳng y = kx + 1 cắt đồ thị của hàm số tại 2 điểm phân biệt A ,B b)Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB khi k thay đổi. Chuyên đề 4: Phép đối xứng đồ thị II. Các ví dụ. VD 1 : Cho ( C ) : y = x 2 + 2x +1 và ( C / ) : y = x 2 6x + 9 . CMR ( C ) và ( C / ) đối xứng với nhau qua đờng thẳng x = 1. VD 2 : Chứng minh ( C ) : y = x 2 + 2x + 3 và ( C / ) : y = -x 2 + 6x - 10 đối xứng nhau qua điểm I 2 1 ,1 . VD 3 : (ĐHQG Hà Nội 95): Xác định hàm số y = f(x) sao cho đồ thị của nó đối xứng với đồ thị của hàm số y = g(x) = 2 )1( 2 x x qua điểm M(1,1). VD 4 (ĐHBK Hà Nội 90) : Tìm m để đồ thị của hàm số y = 12 3 22 3 +++ mmxx x có ít nhất một cặp điểm đối xứng qua gốc toạ độ. VD 5 (ĐHQG-97):Tìm các cặp điểm M 1 và M 2 ở trên đồ thị của hàm số y = 1 2 2 ++ x xx đối xứng với nhau qua điểm I(0, 2 5 ). VD 6 :Tìm 2 điểm A , B nằm trên đồ thị của hàm số y = 1 2 x x và đối xứng với nhau qua đờng thẳng y = x 1. chuyên đề 5 : khoảng cách 1) Khoảng cách từ một điểm đến một đờng thẳng. VD 1 (HVKTQS-95). Tìm trên đồ thị của hàm số y = 2 3 2 x x điểm M có tổng các khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất. VD 2 (HVQY-95). Tìm điểm M thuộc đồ thị của hàm số y = 2 2 + x x sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất. VD 3 (ĐHAN-97).Tìm M trên đồ thị của hàm số y = 3 12 + x x sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai đờng tiệm cận là nhỏ nhất. GV: Nguyen Canh Chien Truong THPT Thanh Chuong 1 Cac chuyen de ve ham so VD 4 (HVQHQT-99). Tìm điểm M trên đồ thị y = 3 2 + x x sao cho khoảng cách từ M tới các tiệm cận đứng và ngang bằng nhau. VD 5 (ĐHQG Hà Nội 98). Tìm M thuộc đồ thị của hàm số y = 1 22 2 + ++ x xx sao cho khoảng cách từ M đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục tung. VD 6 (ĐHQG-HCM-2000). Tìm điểm M trên đồ thị y = 1 1 2 + x xx sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai đ- ờng tiệm cận là nhỏ nhất. VD 7 (ĐH Ngoại Ngữ-2000). CMR tích các khoảng cách từ điểm K tuỳ ý thuộc đồ thị của hàm số y = 2 13 2 + x xx tới hai đờng tiệm cận luôn là một hằng số. VD 8 (HVKTQS-2000). Tìm điểm M trên đồ thị y = f(x) = 2 54 2 + ++ x xx có khoảng cách đến đờng thẳng y + 3x + 6 = 0 là nhỏ nhất. VD 9 (ĐH Ngoại Thơng 2001). Tìm điểm M trên đồ thị y = f(x) = 1 22 2 + x xx sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đờng tiệm cận là nhỏ nhất. VD 10 (ĐHSP 2001). Tìm m để hàm số y = 1 22 2 + ++ x mxx có cực đại , cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đờng thẳng x + y + 2 = 0 (d) bằng nhau. 2)Khoảng cách giữa hai điểm. VD 1 (ĐH Luật 95). Tìm hai điểm E , F thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị của hàm số y = 1 1 2 + x xx sao cho đoạn EF ngắn nhất. VD 2 (ĐH Nông Nghiệp 2000). CMR đờng thẳng (d) đi qua điểm I(0,k) có hệ số góc bằng (-1) luôn cắt đồ thị y = 2 12 + + x x tại 2 điểm phân biệt E và F . Tìm k để đoạn EF có độ dài nhỏ nhất. 3)Khoảng cách ngắn nhất giữa 2 đồ thị. VD 1 (ĐH Mỏ ĐC 99) . Cho đờng cong ( C ) : y = 2x 4 3x 2 +2x +1 và đờng thẳng (d) có PT : y = 2x 1. a) CMR (d) và ( C ) không có điểm chung. b) Tìm điểm A trên ( C ) có khoảng cách đến (d) là nhỏ nhất. CHUYấN 7: BIN LUN S TH I QUA MT IM Bi 1: CMR th hm s 3 2 ( 2) 3( 2) 4 2 1y m x m x x m= + + + luụn tn ti ba im c nh thng hng. Bi 2: Cho hm s 3 2 1y x mx m= + . Vit pt tt ti im c nh m dths luụn i qua vi mi m Bi 3 . Cho hs 2 2 (1 ) (1 ) , 1 x m x m y m x m + + + = .Tỡm im c nh m dths luụn i qua vi mi 1m . Bi 4: Cho hm s 2 2 2 1 1 x mx m m y mx m m + + = + + . Tỡm cỏc im trờn Oy sao cho khụng cú bt k th no ca hm s i qua. GV: Nguyen Canh Chien Truong THPT Thanh Chuong 1 . Cac chuyen de ve ham so Chuyên đề 1: Sự tơng giao của hai đồ thị I . Bài toán cơ bản :. của ( C ) qua M GV: Nguyen Canh Chien Truong THPT Thanh Chuong 1 Cac chuyen de ve ham so II. Các ví dụ : VD 1 : Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị