CỤM TRƯỜNG THANH XUÂN – CẦU GIẤY – THƯỜNG TÍN – HÀ NỘI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Câu Cho hàm số y  x  x  1 a) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị  P  hàm số 1 b) Tìm m để phương trình  x2  x   m  có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn x1  1   x2 Câu Câu a) Giải bất phương trình sau:  x  x  x  x   b) 2  2 x  xy  y  x  y   Giải hệ phương trình sau :  x  y  x  y     c) Tìm m để bất phương trình   ? Cho tam giác ABC Đặt a  BC , b  AC , c  AB Gọi M điểm tùy ý a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  MA2  MB2  MC theo a , b , c b) Câu x2  x  m  nghiệm x x2  x    Giả sử a  cm , b  2cm , c   cm Tính số đo góc nhỏ tam giác ABC diện tích tam giác ABC Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu A lên BD ; I trung điểm BH Biết đỉnh A  2;1 , phương trình đường chéo BD Câu  42 41  là: x  y  19  , điểm I  ;   13 13  a) Viết phương trình tham số đường thẳng AH Tìm tọa độ điểm H ? b) Viết phương trình tổng quát cạnh AD Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn a  b2  c2  Chứng minh a b c 3    2 b c c a a b - HẾT -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Trang (http://tailieugiangday.com – Website đề thi – chuyên đề file word có lời giải chi tiết) Quý thầy cô liên hệ đặt mua word: 03338.222.55 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Cho hàm số y  x  x  a) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị  P  hàm số b) Tìm m để phương trình  x2  x   m  có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn x1  1   x2 Lời giải a) Tập xác định: D  Tọa độ đỉnh I 1;1 Hệ số a   nên hàm số nghịch biến khoảng  ;1 đồng biến khoảng 1;   Bảng biến thiên: Đồ thị:  P  có tọa độ đỉnh I 1;1 ; trục đối xứng đường thẳng x   P  qua điểm A  0;  ; B  2;  Trang b) Tìm m để phương trình  x2  x   m  có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn x1  1   x2 Lời giải Cách 1: Để phương trình  x2  x   m  có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn x1  1   x2    1   m    ( x1  1)( x2  1)    x1 x2  ( x1  x2 )   ( x  3)( x  3)   x x  3( x  x )     2 1  m  m  1   2  m       m  5 m    2  m     Vậy m  5 Cách 2: Ta có  x2  x   m   x  x   m * Số nghiệm phương trình * số giao điểm hai đồ thị hàm số: y  x  x   P  với đường thẳng y  m Để phương trình * có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn x1  1   x2 , từ đồ thị phần a) ta có m   m  5 Câu a) Giải bất phương trình sau:  x  x  x  5x   Lời giải x  x  x2  5x   * Trang  x  3 ĐKXĐ: x  x     x    x  4 x   x2  x     x  3  *     x  x   x   So sánh điều kiện, suy tập nghiệm bất phương trình 1  S    ;  4   ;     3 2  2 x  xy  y  x  y   0(1) b) Giải hệ phương trình sau :   x  y  x  y   0(2) Lời giải Tác giả ; Trần Dung ; Fb: Dung Chang Từ phương trình : x2  xy  y  5x  y    x2  xy  xy  y  x  x  y  y    (2 x2  xy  x)  (2 xy  y2  y)  (2 y  x  2)   x(2 x  y 1)  y(2 x  y  1)  2(2 x  y  1)   (2 x  y 1)( x  y  2)   x  y   (3)   x  y   (4) Kết hợp (2) (3) (2) (4) ta có hệ :  x2  y  x  y     x  (2 x  1)  x  (2 x  1)    x2  y  x  y       2 x  y    y  x   y  x        x  (2  x)  x  (2  x)   x  y2  x  y   x  y2  x  y           x  y     y   x   y   x  x   2    5 x  x    5 x  x      13   y  x   y  x       y   2    2 x  x    ( x  1)   x    y   x   y   x  y     13   Vậy nghiệm hệ S   x ; y   1;1 ,  ;     5  c) Tìm m để bất phương trình   x2  x  m  nghiệm x x2  x  ? Lời giải +/ Ta có x  x    x 1   x  2 nên : Trang 2   x  x   x  x  m 3x  x  m   x2  4x  m      2 x2  2x   x  x  m  3x  x   2x  2x   m  (1) ( 2) +/ u cầu tốn trở thành tìm m để bất phương trình 1   nghiệm với x thuộc  1  42   m     m   17  2 12    m    m  Ta thấy : 1 nghiệm với x thuộc   nghiệm với x thuộc  17  Vậy m  ;   2 Câu a) Cho tam giác ABC Đặt a  BC , b  AC , c  AB Gọi M điểm tùy ý Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  MA2  MB2  MC theo a , b , c Lời giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC suy GA  GB  GC  2 Ta có P  MA2  MB2  MC  MA  MB  MC        MA2  MG  GA  MG  2.MG.GA  GA   2 Với  MB  MG  GB  MG  2.MG.GB  GB  2  MC  MG  GC  MG  2.MG.GC  GC   MA  MB  MC  3MG   GA2  GB  GC  2 Khi P  3MG   GA2  GB  GC  Pmin  MG 2min  MGmin  M  G  4  b2  c2 a      2b  2c  a  GA  ma   9    4  a  c2 b2      2a  2c  b  Mặt khác GB  mb   9 4   2   GC  mc   a  b  c    2a  2b  c  9 4  Từ trên, ta được: Pmin  GA2  GB  GC  M G  a  b2  c  Dấu diễn   b) Giả sử a  cm , b  2cm , c   cm Tính số đo góc nhỏ tam giác ABC diện tích tam giác ABC   Lời giải Do a  cm, b  2cm, c   cm nên b cạnh nhỏ ba cạnh tam giác Từ góc B góc có số đo nhỏ tam giác Áp dụng hệ định lý Cosin tam giác ABC ta có: Trang   a  c  b2    Vậy góc B có số đo 45 cos B    2ac 2      3  sin 45  Diện tích tam giác ABC là: S  ac.sin B  cm2   2 Hoặc: Gọi p nửa chu vi tam giác ABC Ta có: p a b  c 3   2 pa  3  p b   1 pc   1 3 cm2   Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu A lên Diện tích tam giác ABC là: S  Câu p  p  a  p  b  p  c   BD ; I trung điểm BH Biết đỉnh A  2;1 , phương trình đường chéo BD  42 41  là: x  y  19  , điểm I  ;   13 13  a) Viết phương trình tham số đường thẳng AH Tìm tọa độ điểm H ? Lời giải BD : x  y  19  có véc tơ pháp tuyến n BD  1;5 AH  BD nên AH nhận n BD  1;5 làm véc tơ phương  u AH  n BD  1;5 + Đường thẳng AH qua A  2;1 có véc tơ phương u AH  1;5 nên có phương x   t trình tham số là:  t    y   5t + H giao điểm AH BD nên tọa độ H thỏa mãn hệ phương trình: Trang  x   t x   t    32 43    y   5t  H  ;   y   5t  13 13   x  y  19    t   13 b) Viết phương trình tổng quát cạnh AD Lời giải A B I H C D  32 43  Theo câu a) ta có H  ;  mà I trung điểm BH nên suy B  4;3 nên tọa độ  13 13  véctơ AB   2;   1;1 Đường thẳng AD qua điểm A  2;1 , nhận n  1;1 làm vectơ pháp tuyến, có phương trình tổng quát là:  x     y  1   x  y   Câu Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn a  b2  c2  Chứng minh a b c 3    2 b c c a a b Lời giải Do a , b , c dương a  b2  c2  nên  a , b , c   a ,1  b2 ,1  c2  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm 2a ,1  a ,1  a , ta được: 2a  1  a   1  a   3 2a 1  a 1  a   2a 1  a 1  a   23 27  * , dấu "  " xảy  3a   a  Ta có: a a a2    b2  c  a a 1  a  a2  2a 1  a 1  a  *  a2 23  27  3a 2 1 Chứng minh tương tự, ta được: Trang b b b2    c  a  b b 1  b2  c c c2    a  b  c c 1  c  b2  2b 1  b 1  b  c2  2c 1  c 1  c    b2 3b  23  27  2 c2  3 3c  23  27 Cộng 1 ,   ,  3 vế theo vế ta được: a b c 3    a  b2  c   2 b c c a a b 2  a b c 3 (đpcm) Dấu "  " xảy  a  b  c     2 b c c a a b Trang ...(http://tailieugiangday.com – Website đề thi – chuyên đề file word có lời giải chi tiết) Q thầy liên hệ đặt mua word: 03338.222.55 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Cho hàm số y  x  x  a) Lập bảng biến thi n vẽ đồ...  Lời giải Do a  cm, b  2cm, c   cm nên b cạnh nhỏ ba cạnh tam giác Từ góc B góc có số đo nhỏ tam giác Áp dụng hệ định lý Cosin tam giác ABC ta có: Trang   a  c  b2    Vậy góc B có. ..  có tọa độ đỉnh I 1;1 ; trục đối xứng đường thẳng x   P  qua điểm A  0;  ; B  2;  Trang b) Tìm m để phương trình  x2  x   m  có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn x1  1   x2 Lời giải