TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TR ƯỜ NG THPT CHUYÊN ĐỀ KH Ả O SÁT CH Ấ T L ƯỢ NG L Ớ P 12, L Ầ N 3 - N Ă M 2013 Môn: TOÁN; Kh ố i: D; Th ờ i gian làm bài : 180 phút I. PH Ầ N CHUNG CHO T Ấ T C Ả THÍ SINH (7,0 đ i ể m ) Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 22 3 1 2 4 +−= mxxy (1), v ớ i m là tham s ố . a) Kh ả o sát s ự bi ế n thiên và v ẽ đồ th ị c ủ a hàm s ố (1) khi 3 4 = m . b) Tìm m để đồ th ị c ủ a hàm s ố (1) có ba đ i ể m c ự c tr ị t ạ o thành m ộ t tam giác có tâm đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p trùng gốc tọa độ O. Câu 2 (1,0 đ i ể m ). Gi ả i ph ươ ng trình . 2 sin ) cos 2 (sin 2 cos ) cos 1 ( 3 sin x x x x x x + = − + Câu 3 (1,0 đ i ể m ). Gi ả i b ấ t ph ươ ng trình ( ) ( ) 4 2 2 1 2 3 2 3 x x x x − < + − . Câu 4 (1,0 đ i ể m ). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 , 0 , 3 1 2 = = + + = x y x x y xung quanh tr ụ c hoành. Câu 5 (1,0 đ i ể m ). Cho hình l ă ng tr ụ ' ' ' . CBAABC có các đ áy là tam giác đề u c ạ nh 3 a . Hình chi ế u vuông góc c ủ a 'C lên mặt phẳng ) ( ABC là đ i ể m D th ỏ a mãn đ i ề u ki ệ n DBDC 2−= . Góc giữa đường thẳng 'AC và m ặ t ph ẳ ng ) ( ABC b ằ ng . 45 0 Tính theo a th ể tích kh ố i l ă ng tr ụ ' ' ' . CBAABC và tính côsin góc gi ữ a hai đườ ng th ẳ ng ' B B và AC . Câu 6 (1,0 điểm). Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn .4211 2 =+++ yx Tìm giá trị lớn nhất của bi ể u th ứ c 2 1 + + + = x y y x P . II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a hoặc phần b) a. Theo ch ươ ng trình Chu ẩ n Câu 7.a (1,0 đ i ể m ). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC có ), 5 ; 4 ( − B phương trình các đường th ẳ ng ch ứ a đườ ng cao k ẻ t ừ A và trung tuy ế n k ẻ t ừ B l ầ n l ượ t là 0 7 3 = − − y x và . 0 1 = + + y x Tìm t ọ a độ các đ i ể m A và C bi ế t di ệ n tích tam giác ABC b ằ ng 16. Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian v ớ i h ệ t ọ a độ , Oxy z cho các đườ ng th ẳ ng ; 2 3 1 1 1 : 1 − = = − zyx d ; 1 1 2 2 1 : 2 − = − = zyx d . 11 2 2 3 : 3 zyx d = + = − − Tìm t ọ a độ đ i ể m P thu ộ c 1 d và đ i ể m Q thu ộ c 2 d sao cho đườ ng th ẳ ng PQ vuông góc v ớ i 3 d và độ dài PQ nh ỏ nh ấ t. Câu 9.a (1,0 đ i ể m ). Trong m ặ t ph ẳ ng t ọ a độ Oxy , tìm t ậ p h ợ p đ i ể m bi ể u di ễ n các s ố ph ứ c z th ỏ a mãn 11 + + + + + z iz z iz là số thuần ảo. b. Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm). Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ t ọ a độ , Ox y cho đ i ể m ). 2 ; 3 2 ( M Vi ế t ph ươ ng trình chính t ắ c của elíp (E) đi qua M biết rằng M nhìn hai tiêu điểm của (E) dưới một góc vuông. Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho điểm )2;3;1(K và mặt phẳng .03:)( =−++ zyxP Viết phương trình đường thẳng d đi qua K, song song với mặt phẳng )(Oyz và tạo với (P) một góc α có .2tan = α Câu 9.b (1,0 điểm). Giải hệ phương trình ).,( )log1(2)22(log)1(log )36(333.2 222 2 R∈ ⎩ ⎨ ⎧ +=+++ −=− + yx yxyx yxxyx ---------------------------- Hết -------------------------- Cảm ơn cô (phuongthaodata@gmail.com ) gửi tới www.laisac.page.tl 1 TR ƯỜ NG ĐẠ I H Ọ C VINH TR ƯỜ NG THPT CHUYÊN Đ ÁP ÁN ĐỀ KH Ả O SÁT CH Ấ T L ƯỢ NG L Ớ P 12, L Ầ N 3 - N Ă M 2013 Môn: TOÁN – Kh ố i D; Th ờ i gian làm bài: 180 phút Câu Đ áp án Đ i ể m a) (1,0 đ i ể m) Khi 3 4 =m hàm số trở thành . 2 3 8 3 1 2 4 + − = x x y 1 o . T ậ p xác đị nh: R = D , y là hàm s ố ch ẵ n. 2 o . S ự bi ế n thiên: * Gi ớ i h ạ n t ạ i vô c ự c: . ) 2 3 8 3 1 ( lim lim 4 2 4 +∞ = + − = ±∞ → ±∞ → x x x y x x * Chiều biến thiên: Ta có . , 3 16 3 4 ' 3 R ∈ − = x x x y ⎢ ⎣ ⎡ ± = = ⇔= 2 0 0 ' x x y ; ⎢ ⎣ ⎡ > < < − ⇔ > 2 0 2 0 ' x x y ; ⎢ ⎣ ⎡ < < − < ⇔ < . 2 0 2 0 ' x x y Suy ra hàm s ố đồ ng bi ế n trên m ỗ i kho ả ng ) 0 ; 2 ( − và ) ; 2 ( ∞ + ; ngh ị ch bi ế n trên m ỗ i kho ả ng )2;( −−∞ và ).2;0( * C ự c tr ị : Hàm s ố đạ t c ự c đạ i t ạ i đ i ể m , 0 = x giá trị cực đại 2 = C Đ y ; hàm số đạt cực tiểu tại các đ i ể m 2 − = x và ,2=x giá tr ị c ự c ti ể u . 3 10 − = CT y 0,5 * B ả ng bi ế n thiên: 3 o . Đồ th ị : Đồ th ị hàm s ố nh ậ n Oy làm tr ụ c đố i x ứ ng. 0,5 b) (1,0 đ i ể m) Ta có ). 3 ( 3 4 4 3 4 ' 2 3 m x x mx x y − = − = Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị ⇔ phương trình 0'= y có 3 nghiệm phân biệt . 0 > ⇔ m Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là ) 3 2 ; 3 ( ), 2 ; 0 ( 2 m m B A − − và ). 3 2 ; 3 ( 2 m m C − 0,5 Câu 1. (2,0 đ i ể m) Tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp trùng gốc tọa độ O khi và chỉ khi OCOBOA == 0 ) 1 3 3 )( 1 ( ) 3 2 ( 3 2 222 = − + − ⇔ − + = ⇔ m m m m m m ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ±− = == ⇔ . 6 213 0,1 m mm Kết hợp điều kiện 0>m ta có giá trị của m là . 6 213 ,1 +− == mm 0,5 Phương trình đã cho tương đương với xxxxxxxx cos2sin2sin2sin2coscos2cos3sin +=−+ .0)1sin)(cossin(cos sincos2cos sin3sin)sin2sincos2(cos2cos3sin =−−+⇔ +=⇔ +++=+⇔ xxxx xxx xxxxxxxx 0,5 Câu 2. (1,0 điểm) * . 4 1tan0sincos π π kxxxx +−=⇔−=⇔=+ x O 2 y 2 3 10 − 2 − x ∞ − ∞ + 0 0 0 0 − − + 'y y 3 10 − ∞ + – 2 2 2 + ∞ + 3 10 − 2 * ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − = = ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − = + +=+ ⇔ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⇔ = − .2 2 2 2 4 4 2 4 4 2 1 4 cos 1 sin cos π π π π π π π ππ π k x k x k x k x x x x V ậ y nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình là π π k x + − = 4 , . , 2 2 , 2 Z ∈ + − = = k k x k x π π π 0,5 Bất phương trình đã cho tương đương với . 0 2 3 3 ) 3 ( 2 224 < − + − + x x x x Đặ t . 3 2 t x x = + Suy ra . 3 2 2 4 t x x = + Khi đ ó b ấ t ph ươ ng trình tr ở thành . 2 2 1 0 2 3 2 2 < < − ⇔ < − − t t t Suy ra . 2 3 2 1 2 < + < − x x (1) 0,5 Câu 3. (1,0 đ i ể m) * V ớ i 0 ≥ x ta có ⎩ ⎨ ⎧ < + − ≥ ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ < − + ≥ ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ <+ ≥ ⇔ 0 ) 4 )( 1 ( 0 0 4 3 0 2 3 0 ) 1 ( 2 2 2 4 2 x x x x x x x x x .10 1 0 2 <≤⇔ ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ ⇔ x x x * V ớ i 0 < x ta có ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ <−+ < ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + − > < ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + < − < ⇔ 0 4 1 3 0 3 2 1 0 3 2 1 0 ) 1 ( 2 4 2 2 x x x x x x x x x . 0 2 10 3 2 10 3 0 2 < < +− − ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + − < < ⇔ x x x Từ hai trường hợp trên ta có nghiệm của bất phương trình là . 1 2 103 < < +− − x 0,5 Ta có . 1 0 3 1 2 − = ⇔ = + + x x x Th ể tích V c ầ n tính là th ể tích kh ố i tròn xoay t ạ o thành khi quay hình thang cong gi ớ i h ạ n b ở i các đườ ng 3 , 1 , 0 , 3 1 2 = − = = + + = x x y x x y xung quanh Ox. Suy ra ∫ ∫ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + += + + = 3 1 2 2 3 1 2 2 d 3 2 3 2 1 d 3 ) 1 ( x x x x x x x V π π () . 3 d 2 ) 3 ln 4 ( 3 d 2 | 3 | ln 3 1 2 3 1 2 1 3 2 ∫∫ − − − + − + = + − + + = x x x x x x π π π π (1) 0,5 Câu 4. (1,0 đ i ể m) Tính . 3 d 3 1 2 ∫ − + = x x I Đặt .tan3 tx = Khi 1−=x thì , 6 π −=t khi 3=x thì 3 π =t và . cos d 3 d 2 t t x = Suy ra . 6 3 d 3 1 cos d 3. )tan1(3 1 3 d 3 6 3 6 22 3 1 2 π π π π π = = + = + = ∫∫∫ −− − t t t tx x I Thay vào (1) ta được . 3 3 )3ln4( 2 π π − + = V 0,5 Từ giả thiết .45))(,'(')(' 0 =∠=∠⇒⊥⇒ ABCACADCABCDC Sử dụng định lí cosin cho tam giác ABD 7aAD =⇒ .745tan' 0 aADDC ==⇒ Suy ra thể tích lăng trụ . 4 219 4 3)3( .7.' 3 2 a a aSDCV ABC === Câu 5. (1,0 điểm) 0,5 'B A C B D 'C a3 0 45 'A 3 Vì ' // ' BB CC nên '. ) , ' ( ) , ' ( ACC AC CC AC BB ∠ = ∠ = ∠ (1) Ta có 2 2 2 2 2 2 14 ' ' , 11 ' ' a AD D C A C a DC D C CC = + = = + = . 11 1 ' . 2 '' ' cos 2 2 2 = −+ = ∠ ⇒ CC CA AC CC CA ACC (2) T ừ (1) và (2) suy ra . 11 1 ' cos ) , ' cos( = ∠ = ACC AC BB 0,5 T ừ gi ả thi ế t ta có ) 2 1 )( 1 ( 2 2 2 16 2 2 y x y x + + + + + = . 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 y x y x y x y x y x + + + + + ≥ + + + + + + = T ừ đ ó ta có , 3 2 1 2 ≤ + + y x hay . 8 2 2 ≤ + y x Suy ra . 2 2 0 , 2 4 2 ≤ ≤ − ≤ x x y Khi đ ó 2 + + ≤ x y x P . 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 4 2 + + + = − + + + = + − + ≤ x x x x x x x x (1) 0,5 Câu 6. (1,0 đ i ể m) Xét hàm s ố 2 2 2 1)( + ++= x x x f trên ]. 2 2 ; 0 [ Ta có ]. 2 2 ; 0 [ , 0 ) 2 ( 2 4 ) ( ' 2 2 ∈ ∀ ≥ + + = x x xx xf Suy ra . 2 2 ) 2 2 ( ) ( = ≤ f x f (2) Từ (1) và (2) ta có ,22≤P d ấ u đẳ ng th ứ c x ả y ra khi .0,22 == yx V ậ y giá tr ị l ớ n nh ấ t c ủ a P là ,22 đạt khi .0,22 == yx 0,5 .073:pt =−+⇒⊥ yxBCAHBC ), 3 7 ; ( c c C BC C − ⇒ ∈ ).;73( aaAAHA + ⇒ ∈ Suy ra trung điểm AC là . 2 7 3 ; 2 7 3 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + + c a c a M Do . 0 8 2 0 1 2 7 3 2 7 3 0 1 : = + − ⇔ = + + − + + + ⇒ = + + ∈ c a c a c a y x BM M (1) 0,5 Câu 7.a (1,0 đ i ể m) Ta có 10 |1410| ) , ( , 4 10 ) 3 12 ( ) 4 ( 2 2 + = = − = − + − = a BC A d AH c c c BC . 16 | ) 7 5 )( 4 ( | . 2 1 = + − = = ⇒ a c AH BC S ABC (2) T ừ (1) và (2) suy ra ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − −− ⇒ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =−= =−= . 5 73 ; 5 36 , 5 2 ; 5 29 )1;2(),3;2( 5 36 , 5 2 2 , 3 C A CA ca c a 0,5 ) 1 ; 2 2 ; ( ), 3 2 , , 1 ( 21 + + ⇒ ∈ + + ⇒ ∈ q q q Q d Q p p p P d P . Suy ra ).22;22;1( −+−++−−+−= qpqpqpPQ 0)22(1)22(1)1(20. 33 =−+−+++−+−+−−⇔=⇒⊥ qpqpqpPQudPQ 02 =++−⇔ qp hay .2+= qp 0,5 Câu 8.a (1,0 điểm) Suy ra .2727)3(245122)6(9 22222 ≥++=++=+++= qqqqqPQ Suy ra 33min =PQ khi 3,1 −=−= qp hay ).2;4;3(),1;1;0( −−−− QP 0,5 Câu 9.a Giả sử yixz += và điểm biểu diễn số phức z là ).;( yxM Ta có . )1( )1(22)(2 1|| 2)(||2 11 22 22 2 2 yx ixxyx zzz izzizzz z iz z iz ++ ++++ = +++ +++++ = + + + + + 0,5 A B H C M 4 (1,0 đ i ể m) 11 + + + + + z i z z i z là s ố thu ầ n ả o ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −≠ = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≠ + + = + + ⇔ ).0;1();( 4 1 2 1 0 ) 1 ( 0 2 ) ( 2 2 2 2 2 22 y x y x y x x y x V ậ y t ậ p h ợ p đ i ể m M là đườ ng tròn 4 1 2 1 2 2 = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + y x b ỏ đ i đ i ể m ). 0 ; 1 ( − 0,5 Phương trình chính tắc của ). 0 ( 1 : ) ( 2 2 2 2 > > = + b a b y a x E . 1 4 12 ) ( 2 2 = + ⇔ ∈ b a E M (1) . 16 4 2 1 90 2 2 2 1 0 2 1 = − ⇒ = ⇒ = = ⇒ = ∠ b a c c F F MO MF F (2) 0,5 Câu 7.b (1,0 đ i ể m) T ừ (1) và (2) suy ra . 1 8 24 : ) ( 8 24 2 2 2 2 = + ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = y x E b a 0,5 Phương trình . 0 : ) ( = x Oyz Gi ả s ử d có vtcp ). 0 ( ), ; ; ( 2 2 2 ≠ + + c b a c b a u d Ta có 0 . 1 0 . ) ( ) 2 ; 3 ; 1 ( ) //( = ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ∉ ⇔ a nu OyzK Oyz d Oyz d hay . 0 = a Suy ra ) ; ; 0 ( c b u d và ). 1 ; 1 ; 1 ( P n 0,5 Câu 8.b (1,0 đ i ể m) Do 0 0 90 0 ≤ ≤ α nên t ừ . 3 2 sin 2 tan = ⇒ = α α Mà 2 2 . 3 | | )) ( , sin( c b c b Pd + + = . 0 0 ) ( 3 2 . 3 | | 2 22 ≠ = ⇔ = − ⇔ = + + ⇒ cbcb cb c b Chọn ).1;1;0(1 =⇒== d u c b Suy ra phương trình ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + = = . 2 3 1 : t z t y x d 0,5 Điều kiện: ⎩ ⎨ ⎧ > + > − > . 0 1 0 , 1 xy y x Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với x x y y x 6.3333.2 2 1 +=+ + + . 1 3 3 3 ) 3 2 ( 3 ) 3 2 ( 1 1 + = ⇔ = ⇔ + = + ⇔ + + x y x y x x y x Ph ươ ng trình th ứ hai c ủ a h ệ t ươ ng đươ ng v ớ i .2)1)(1(2log)1)(1(log 2 2 2 2 yxyxyxyx =++⇔=++ 0,5 Câu 9.b (1,0 đ i ể m) T ừ đ ó ta đượ c ⎩ ⎨ ⎧ =−− >+= ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ =+ >+= ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ = + + >+= 0 1 01 21 01 2)1)(1( 0 1 2 2 x x x y yxy xy yxyx x y ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = − = + = + = ⇔ . 2 5 3 , 2 51 2 53 , 2 51 yx yx 0,5 Cảm ơn cô (phuongthaodata@gmail.com ) gửi tới www.laisac.page.tl . )log1(2)22(log)1(log )36 (33 3.2 222 2 R∈ ⎩ ⎨ ⎧ +=+++ −=− + yx yxyx yxxyx -- -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- Hết -- -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - Cảm ơn cô (phuongthaodata@gmail.com. x I Đặt .tan3 tx = Khi 1−=x thì , 6 π −=t khi 3= x thì 3 π =t và . cos d 3 d 2 t t x = Suy ra . 6 3 d 3 1 cos d 3. )tan1 (3 1 3 d 3 6 3 6 22 3 1 2 π π π