A MỤC LỤC Nội dung 1- Mở đầu 1.1.Lí chọn đề tài 1.2.Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1.Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị Tài liệu tham khảo Trang 1 2 2 18 19 19 20 21 1 / Mở đầu: 1.1 Lí chọn đề tài: Ở trường phổ thơng, dạy Tốn dạy hoạt động Tốn học Đối với học sinh, xem việc giải Tốn hình thức chủ yếu hoạt động Tốn học Giải Tốn phương tiện có hiệu thay việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển lực tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng Tốn vào thực tiễn Đồng thời hình thành người học phẩm chất người lao động như: Cẩn thận, xác, sáng tạo, độc lập, kiên trì [6] Chính vậy, tổ chức cách có hiệu việc hướng dẫn học sinh làm tập Tốn có vai trò định chất lượng dạy học Tốn Trong loại phương trình cấp THCS phương trình bậc hai ẩn giữ vai trị quan trọng Các kiến thức phương trình bậc hai ẩn mang tính hệ thống, bao quát khái niệm, phép toán tập hợp số, biểu thức đại số Các dạng toán phương trình bậc hai ẩn mở rộng, khắc sâu, hồn thiện dạng tốn học chương trình số học đại số Đồng thời phương trình bậc hai ẩn đơn vị kiến thức sau kết thúc chương trình đại số cấp THCS Vì thơng qua việc nắm bắt kiến thức phương trình bậc hai ẩn đánh giá khả trình độ học môn số học đại số học sinh Chính mà phương trình bậc hai ẩn dùng để kiểm tra đánh giá chất lượng học sinh cấp THCS thông qua kỳ thi học sinh giỏi, thi học kì thi tuyển vào THPT Thực tế, kiến thức phương trình bậc hai ẩn sách giáo khoa khơng nhiều ngồi cơng thức nghiệm định lý Vi-ét Tuy nhiên, dạng tập lại phong phú đa dạng yêu cầu học sinh phải biết phân biệt dạng tập, biết cách giải dạng tập cụ thể Song thực tế trường THCS Thiệu Ngọc năm trước đây, em học sinh lớp lúng túng làm dạng tập phương trình bậc hai ẩn Hầu hết em chưa phân biệt dạng tập chưa tìm cách giải cho dạng mà đơn làm dạng tốn giải phương trình cách áp dụng cơng thức nghiệm Thậm chí em cịn máy móc sử dụng cơng thức nghiệm phương trình cần áp dụng hệ định lý Vi-ét với phương trình bậc hai khuyết Chính thế, kết học tập em mơn tốn khơng cao dẫn tới tỉ lệ tốt nghiệp THCS, tỉ lệ thi vào THPT nhà trường cịn thấp Bên cạnh đó, văn kiện đại hội Đảng lần thứ XII khẳng định: Đổi bản, toàn diện giáo dục, đào tạo, phát triển nguồn nhân lực, không quốc sách hàng đầu, “chìa khố” mở đường đưa đất nước tiến lên phía trước, mà cịn “mệnh lệnh” sống tiêu điểm phát triển, mang tính đột phá, khai mở đường phát triển nguồn nhân lực Việt Nam kỷ XXI, khẳng định triết lí nhân sinh giáo dục nước nhà “dạy người, dạy chữ, dạy nghề”.[5] Đứng trước mục tiêu giáo dục xã hội thay đổi lớn ngành, thân suy nghĩ trăn trở chất lượng giảng dạy học tập nhà trường tỷ lệ học sinh tốt nghiệp THCS tỷ lệ học sinh vào THPT nhà trường Chính q trình công tác giảng dạy giành thời gian tìm hiểu nghiên cứu: “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải số dạng toán phương trình bậc hai ẩn góp phần nâng cao chất lượng mơn Tốn trường THCS Thiệu Ngọc, Huyện Thiệu Hố” 1.2 Mục đích nghiên cứu : Trên sở nghiên cứu đề tài: “ Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải số dạng toán phương trình bậc hai ẩn góp phần nâng cao chất lượng mơn Tốn trường THCS Thiệu Ngọc, Huyện Thiệu Hố”, q trình ơn luyện cho học sinh tơi mong muốn giúp học sinh tìm cách giải cho dạng tập phương trình bậc hai ẩn cách tốt Đặc biệt, em hiểu sở lý luận cách giải nắm kiến thức liên quan đến dạng tốn Từ đó, giúp em đạt kết cao kiểm tra học kỳ, thi vào THPT nâng cao chất lượng dạy học Toán nhà trường 1.3.Đối tượng nghiên cứu : Hướng dẫn học sinh lớp giải số dạng toán phương trình bậc hai ẩn 1.4 Các phương pháp nghiên cứu: - Xây dựng sở lí thuyết - Điều tra, khảo sát thông qua thực tế: Thơng qua q trình cơng tác giảng dạy để nghiên cứu; Thơng qua q trình ơn tập cho học sinh lớp qua việc ôn thi học kì ơn thi vào THPT - Thơng qua việc nghiên cứu tài liệu giảng dạy, tài liệu tham khảo - Thông qua học hỏi đồng nghiệp, thu thập thông tin qua tạp chí giáo dục, qua mạng Internet - Bằng cách khảo sát chất lượng học sinh, nắm bắt, xử lý thông tin, số liệu 2/ Nội dung sáng kiến kinh nghiệm: 2.1.Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm: “Giải tốn phận khơng thể tách rời q trình tri thức, đảm bảo cho học sinh khơng hiểu biết lí thuyết Tốn cách vững mà biết vận dụng tri thức Tốn học vào thực hành Chỉ có q trình áp dụng lí thuyết tổng qt trừu tượng vào ví dụ cụ thể tốn nhiều loại hiểu biết lí thuyết cách đầy đủ” [3] Chính vậy, hướng dẫn học sinh giải tốn phương trình bậc hai ẩn có vai trị quan trọng Thực tiễn dạy học phương trình bậc hai ẩn cho thấy, tập tốn có chức dụng ý khác Để nắm bắt điều giáo viên cần hướng dẫn học sinh nắm khái niệm tập hợp số biểu thức đại số, phép tốn tính chất phép tốn học để xây dựng cơng thức nghiệm, công cụ để giải phương trình bậc hai ẩn Việc thiết lập định lý Vi- ét kết hợp với công thức nghiệm số dạng toán học lớp giúp học sinh giải số dạng toán khác phương trình bậc hai ẩn Thực tế nghiên cứu giảng dạy cho thấy, dạng toán phương trình bậc hai ẩn cách tổng qt hồn thiện dạng tốn học lớp 6, lớp 7, lớp phần đầu chương trình đại số lớp Về lý thuyết phương trình bậc hai ẩn ít, có công thức nghiệm định lý Vi- ét lại đòi hỏi nhiều việc khai thác kiến thức vận dụng kiến thức cũ Đặc biệt khai thác định lý Vi- ét áp dụng dạng toán học giáo viên hướng dẫn học sinh giải nhiều dạng tốn phương trình bậc hai ẩn Từ để học sinh tìm hướng giải tốn cách tốt nhất, góp phần phát triển học sinh lực tư duy, rèn luyện thao tác trí tuệ, hình thành phẩm chất tư khoa học phẩm chất đạo đức người lao động Đồng thời góp phần kiểm tra trình dạy - học giáo viên - học sinh từ kịp thời hồn chỉnh, bổ sung để việc dạy học có hiệu G.polya nói : “Tìm cách giải cho tốn phát minh” [3] Vì vậy, để hướng dẫn học sinh giải số dạng toán phương trình bậc hai ẩn giáo viên cần giúp học sinh nắm kiến thức Đặc biệt, giáo viên cần rèn luyện cho học sinh kỹ giải tốn cách nắm vững quy trình làm : Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề Bước 2: Tìm cách giải Bước 3: Trình bày lời giải Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải [3] Qua hình thành phát triển học sinh kỹ giải toán khả tư phẩm chất trí tuệ Như vậy, muốn giải dạng tốn phương trình bậc hai ẩn học sinh phải nắm vững kiến thức dạng toán học lớp lớp Đặc biệt nắm vững công thức nghiệm, định lý Vi- ét, hệ định lý biết cách khai thác tốt định lý Học sinh phải nhận dạng nhanh dạng tốn để tìm phương pháp giải cho dạng cách linh hoạt, sáng tạo Chính mà phương trình bậc hai ẩn giữ vai trò quan trọng chương trình đại số nói riêng chương tốn nói chung cấp THCS đồng thời phương trình bậc hai ẩn dùng để kiểm tra, đánh giá chất lượng học sinh cấp THCS 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Qua tìm hiểu, khảo sát thực tế học sinh khối trường THCS Thiệu Ngọc cho thấy, học sinh lúng túng giải dạng tốn phương trình bậc hai ẩn Các em chưa biết phân loại dạng toán chưa biết cách giải dạng toán Hầu hết em đơn giải dạng tốn giải phương trình cách áp dụng cơng thức nghiệm Nhiều em máy móc sử dụng cơng thức nghiệm, có phương trình khơng cần sử dụng công thức nghiệm em áp dụng công thức nghiệm Đa số em chưa giải dạng toán yêu cầu phải sử dụng khai thác định lý Vi- ét Đặc biệt em chưa biết vận dụng dạng toán học vào giải dạng tốn phương trình bậc hai ẩn Do kết làm kiểm tra thi em chưa cao đặc biệt kết thi học kì, thi tuyển vào THPT Nguyên nhân dẫn đến thực trạng em chưa nắm vững công thức nghiệm chưa biết vận dụng công thức nghiệm cách hợp lý Chưa biết sử dụng chưa biết cách khai thác định lý Vi- ét Các em không nhớ kiến thức dạng tốn học khơng biết vận dụng dạng tốn vào giải dạng tốn phương trình bậc hai ẩn Trong thân giáo viên lại chủ quan dạy phần kiến thức Có thể giáo viên cho cần truyền đạt cho học sinh nắm công thức nghiệm định lý Vi- ét đủ mà không nghĩ đến việc hướng dẫn học sinh ôn luyện kiến thức cũ hướng dẫn học sinh khai thác định lý Vi- ét để giải dạng tốn phương trình bậc hai ẩn Bên cạnh đó, tổ nhóm chun mơn chưa xác định tầm quan trọng dạng tốn phương trình bậc hai ẩn chưa trọng đạo giáo viên có phương hướng giải pháp tích cực cho dạy phần Chính mà hiệu giảng dạy chương phương trình bậc hai ẩn nhà trường năm qua chưa cao Điều dẫn đến chất lượng dạy kết đạt học sinh chưa đạt yêu cầu đề ra, tỉ lệ học sinh khá, giỏi Cụ thể, kết khảo sát chất lượng học sinh lớp mơn Tốn trước áp dụng đề tài sau: Năm học 2016-2017 2017-2018 Số học sinh 32 30 Giỏi SL % 4 Khá SL % 12,5 10 31,3 13,3 30 TB SL % 12 10 37,5 33,3 Yếu SL % 12,5 16,7 Kém SL % 2 6,2 6,7 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề: Trước tình hình trên, để giúp học sinh sử dụng công thức nghiệm tổng quát ( công thức nghiệm thu gọn) vào giải số dạng toán phương trình bậc hai ẩn phù hợp với yêu cầu trình độ học sinh lớp trường THCS Thiệu Ngọc, Huyện Thiệu Hố tơi tiến hành giải pháp sau: 2.3.1 Yêu cầu học sinh biết cách tổ chức học tập nội dung học: Để giúp học sinh biết cách tổ chức học tập nội dung học cách hiệu thực theo bước sau: Bước 1: Xây dựng mục tiêu học tập: Cần giúp học sinh cách xây dựng kế hoạch học tập, ban đầu học sinh chưa biết cách thiết lập mục tiêu cho Tơi hướng dẫn đạo thực theo mục tiêu sau: Về kiến thức: Học sinh nhớ biệt thức ∆ = b − 4ac (∆ ' = b '2 − ac) nhớ kĩ điều kiện ∆ ( ∆ ' ) để phương trình bậc hai ẩn vơ nghiệm, có nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt Biết vận dụng hệ định lý Vi –ét vào giải phương trình bậc hai khơng có tham số có tham số Về kĩ năng: Học sinh nhớ vận dụng công thức nghiệm tổng quát, công thức nghiệm thu gọn vào giải phương trình cách linh hoạt Học sinh thấy lợi ích việc sử dụng cơng thức nghiệm thu gọn, việc sử dụng định lý Vi - ét vào giải toán Bước 2: Thực mục tiêu: Là khâu quan trọng nhất, định thành bại việc học học sinh Do đó, tơi đặt trọng tâm vào khâu để hướng dẫn, giúp đỡ, kiểm tra việc thực học sinh Việc thực tốt mục tiêu học tập tạo phẩm chất, lực người biết học, biết tự học Trong thực mục tiêu, thân quán triệt học sinh cần phải: Tập trung tư tưởng học, tự học Không thực nhiều nhiệm vụ lúc Không vừa học vừa xem vô tuyến, khơng nói chuyện lung tung, Cần tạo hứng thú học, tự học Tin học điều cần học, hy vọng tìm điều lạ học, thưởng sau đạt kết cao Cần sử dụng thời gian cách tối ưu, có hiệu cao Tập trung giải dứt điểm nhiệm vụ, phương châm đâu gọn đấy, học xong nấy, hơm khơng để ngày mai Những vượt q khả đánh dấu lại hỏi cơ, nhờ bạn có điều kiện Cần tâm vượt khó, khắc phục khó khăn điều kiện, hồn cảnh cá nhân, gia đình Bước 3: Tự đánh giá việc thực mục tiêu: tức biết cách kiểm điểm lại xem mục tiêu đặt có hồn thành hết khơng? Mỗi mục tiêu có hồn thành tốt khơng? Có tồn gì, ngun nhân, dự kiến cách khắc phục 2.3.2 Yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức phương trình bậc hai ẩn Để làm tập người học phải nắm vững lý thuyết Khơng nắm lý thuyết khó làm tập có làm làm mị, làm khơng có hiệu tốt Việc vận dụng cơng thức nghiệm vào giải tốn Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh phải nắm kiển thức phương trình bậc hai ẩn Cụ thể học sinh phải nắm vững vấn đề : - Cơ sở lý thuyết phương trình bậc hai ẩn - Cơng thức nghiệm tổng quát, công thức nghiệm thu gọn, định lý Vi –ét hệ định lí Vi –ét - Sự giống khác công thức nghiệm tổng quát công thức nghiệm thu gọn - Mối quan hệ nghiệm phương trình bậc hai ẩn Bởi vì: Khi hiểu sở lý thuyết phương trình bậc hai ẩn học sinh tiếp thu kiển thức phương trình bậc hai ẩn cách thoải mái, em có niềm tin hơn, hào hứng học phương trình bậc hai ẩn Khi nắm công thức nghiệm tổng quát, công thức nghiệm thu gọn, giống khác chúng học sinh giải tốn có vận dụng phương trình bậc hai ẩn cách hợp lý Mặt khác, giải tốn phương trình bậc hai ẩn, người học cách giải mà cịn phải tìm nhiều cách giải, đặc biệt tìm cách giải hay cho tốn mang lại hiệu cao học tập Mà để tìm cách giải hay phải nắm vững mối quan hệ nghiệm phương trình bậc hai Những mối quan hệ giúp nắm sở lý thuyết phương pháp, cách giải tốn liên quan đến phương trình bậc hai ẩn Tóm lại, để học sinh nắm kiến thức phương trình bậc hai vận dụng kiến thức vào giải toán việc giáo viên phải giúp học sinh nắm vững vấn đề Có nghĩa yêu cầu học sinh phải thuộc công thức nghiệm, Định lý Vi –ét, hệ định lý Vi –ét, nắm giống khác công thức mối quan hệ nghiệm phương trình 2.3.3 Xây dựng hệ thống tập phương pháp giải số dạng tốn phương trình bậc hai ấn Trong thực tế giải tốn, khơng phải lúc làm theo bước trên, lúc dùng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai ẩn mà giải toán cách linh hoạt Việc rèn luyện cho học sinh thông qua hệ thống tập phân loại đem lại hiệu cao dạy học Đồng thời, giúp học sinh có tư vân dụng giải toán cách tốt 2.3.3.1 Dạng 1: Giải phương trình : Đây dạng tốn đơn giản phương trình bậc hai ẩn Nhưng chủ quan giảng dạy học sinh dễ mắc sai lầm : sử dụng cơng thức nghiệm máy móc chưa biết sử dụng cơng thức nghiệm cho phù hợp Do cần hướng dẫn học sinh phân biệt hai trường hợp sau: 2.3.3.1.1.Trường hợp thứ : Đối với phương trình bậc hai khuyết khơng cần dùng cơng thức nghiệm mà nên biến đổi đưa phương trình dạng gặp : * Nếu khuyết hệ số c ta biến đổi phương trình dạng phương trình tích học x = b lớp cụ thể sau: ax + bx = ⇔ x(ax + b) = ⇔  x=− a  [7] * Nếu khuyết hệ số b ta đưa phương trình dạng phương trình chứa bậc hai học đầu chương trình lớp cách giải cụ thể sau: Bước 1: Chuyển hạng tử tự sang vế phải Bước 2: Chia hai vế cho hệ số bậc hai đưa dạng : x2 = d +) Nếu d > phương trình có nghiệm x = ± d +) Nếu d = phương trình có nghiệm x = +) Nếu d < phương trình vơ nghiệm [2] Ví dụ 1: (Bài 12a, c, d, tr.42 SGK) : Giải phương trình sau [1]: a) x2 - = ; c) 0,4x2 + = 0; d) 2x2 + x = Ở phương trình a) khuyết b nên ta biến đổi đưa dạng trình chứa bậc hai; Phương trình c) hệ số a c dấu nên phương trình vơ nghiệm; Phương trình d) khuyết c nên ta đưa dạng phương trình tích giải sau: Giải: a) x2 = ⇔ x2 = ⇔ x= ± 2 Vậy phương trình có tập nghiệm S= { 2; − 2 } c) 0,4x2 +1 = ⇔ 0,4x2 = - (Vô lí 0,4x2 ≥ với x mà -1 phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = −b '+ ∆ ' ; a x2 = −b '− ∆ ' a + Nếu ∆’ = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = −b ' a + Nếu ∆’ < phương trình vơ nghiệm [1] - Nếu hệ số b lẻ nên áp dụng công thức nghiệm tổng quát Đối với phương trình ax + bx + c = ( a ≠ ) ∆ = b − 4ac : + Nếu ∆ > phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = −b + ∆ −b − ∆ ; x2 = 2a 2a + Nếu ∆ = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = −b 2a + Nếu ∆ < phương trình vơ nghiệm [1] Ví dụ 1: (Bài 16c, tr.45 SGK+ Bài 17c, tr.49 SGK ) : Giải phương trình sau [1] : a ) x + x − = 0; b) x − x + = * Ở phương trình a) a = 6; b = 1; c = -5 nên a − b + c = nên áp dụng hệ định lý Vi-ét ta nhẩm nghiệm phương trình Ngồi cách nhẩm nghiệm hệ số b =1 lẻ nên áp dụng công thức nghiệm tổng quát ta tìm nghiệm phương trình cho * Ở phương trình b) ta làm hai cách câu a: Vì a = 5; b = - 6; c = a + b + c = nên áp dụng hệ định lý Vi-ét ta nhẩm nghiệm phương trình cho Ngồi ra, hệ số b = - số chẵn nên áp dụng cơng thức nghiệm thu gọn ta tìm nghiệm phương trình cho Giải: a) Cách 1: Vì a - b + c = -1 - = nên phương trình có hai nghiệm: x = -1; x2 = Cách 2: ∆ = 12 - 4.6.(-5) = + 120 = 121 Vì ∆ > nên phương trình có nghiệm phân biệt : −1 + 121 = 12  5 Vậy phương trình có tập nghiệm S= −1;   6 x1 = −1 − 121 = −1 ; 12 x2 = b) Cách 1: Vì a + b + c = - +1 = nên phương trình có hai nghiệm: x1 = ; x2 = Cách 2: ∆ ’ = (-3)2 - 5.1 = - = Vì ∆ ’ > nên phương trình có nghiệm phân biệt : 3+ 3− = ; x2 = = 5  1 Vậy phương trình có tập nghiệm S= 1;   5 x1 = Đối với phương trình bậc hai đủ lưu ý học sinh : Nếu hệ số a hệ số c trái dấu phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Tóm lại : Đối với dạng tốn giải phương trình bậc hai ta thấy dù phương trình bậc hai dạng khuyết hay phương trình bậc hai dạng đầy đủ ta giải công thức nghiệm tổng quát Do đó, giáo viên cần lưu ý học sinh phải xem xét đề để chọn cách giải ngắn gọn, phù hợp khơng máy móc dùng công thức nghiệm Muốn vậy, giáo viên cần rèn luyện cho học sinh giải phương trình bậc hai nhiều cách, để học sinh so sánh cách giải, từ lựa chọn cách giải ngắn gọn hợp lý 2.3.3.2 Dạng 2: Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm, có nghiệm kép, vơ nghiệm, có nghiệm phân biệt Đối với dạng toán giáo viên hướng dẫn học sinh thực theo bước sau: Bước 1: Xác định hệ số a, b, c ( a, c, b') (nếu chưa thành thạo) Bước 2: Tính ∆ ∆ ' Bước Kiểm tra điều kiện + Nếu ∆ 0 ( ∆ ' > 0) phương trình có nghiệm phân biệt + Nếu ∆ ≥ ( ∆ ' ≥ ) phương trình có nghiệm 2.3.2.2.1: Trường hợp biểu thức ∆ ( ∆ ’) có dạng bậc Ví dụ 1: (Bài 24 b, tr.50 SGK): Cho phương trình (ẩn x): x − 2(m − 1) x + m = Với giá trị m phương trình có nghiệm phân biệt ? có nghiệm kép? vơ nghiệm [1] * Ta có: a = 1; b ' = −(m − 1); c = m nên áp dụng công thức nghiệm thu gọn ta tính ∆ ' Từ ta xác định giá trị m trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt ( ∆ ' >0); Phương trình có nghiệm kép ( ∆ ' =0); Phương trình vơ nghiệm ( ∆ ' ⇔ m < + Phương trình có nghiệm kép ⇔ ∆ ' = - 2m = ⇔ m = + Phương trình vơ nghiệm ⇔ ∆ ' = 49 - 12m < ⇔ m > 2 Giáo viên lưu ý học sinh: - Trường hợp hệ số b lẻ ta áp dụng công thức nghiệm tổng quát giải tương tự ví dụ - Trong số tốn tìm điều kiện để phương trình có nghiệm mà hệ số a chứa tham số ta phải xét trường hợp a = Sau xét trường hợp a ≠ làm bước Ví dụ 2: Cho phương trình (m − 1) x + 2(m + 2) x + m = (1)(m tham số) a, Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm b, Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm phân biệt [4] * Câu a): Phương trình (1) hệ số: a = m-1 có chứa tham số nên để tìm m cho phương trình có nghiệm ta xét trường hợp : a=0 (tức m-1=0) phương trình (1) có dạng bậc a ≠ (tức m-1 ≠ 0) ta tính ∆ ' tìm điều kiện để phương trình có nghiệm ( ∆ ' ≥ 0) *Câu b): Để phương trình có hai nghiệm phân biệt ta xét điều kiện để phương trình (1) phương trình bậc ( a ≠ ) điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt ( ∆ ' >0) Giải: a, + TH1: Khi m-1 = ⇔ m =1 phương trình (1) trở thành: −1 −1 Vậy với m=1 phương trình (1) có nghiệm x = ⇔ +TH2 : Khi m - ≠ m ≠ Ta có 6x + = ⇔ x = 10 ∆ ' = (m + 2) − m.(m − 1) = m + 4m + − m + m = 5m + −4 Để phương trình có nghiệm ∆ ' ≥ hay 5m + ≥ ⇔ m ≥ −4 Kết hợp trường hợp ta m ≥ phương trình (1) có nghiệm a ≠ b, Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt  , tức là: ∆ ' > m ≠ m − ≠  ⇔ −4  5m + ≥  m ≥ −4 phương trình (1) có nghiệm phân biệt [4] 2.3.2.2.2: Trường hợp biểu thức ∆ ( ∆ ’) đa thức bậc hai Vậy với m ≠ m ≥ Ví dụ : Cho phương trình x + (m + 1) x + = ( với m tham số) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt? Có nghiệm kép? Vơ nghiệm? * Phương trình hệ số: a = 1; b = m + 1; c = áp dụng công thức nghiệm tổng quát ta tính ∆ = m2 + 2m - 11 đa thức bậc hai Để giải yêu cầu toán ta xem m2 + 2m – 11=0 phương trình bậc hai với ẩn m, giải phương trình ẩn m nghiệm m1 = -1+ 12 ; m2 = -1- 12 Lập bảng xét dấu ta giải yêu cầu tốn Giải : Ta có : ∆ x = (m + 1)2 - 4.1.3 = m2 + 2m + - 12 = m2 + 2m - 11 Xét phương trình : m2 + 2m - 11 =0 (1) ∆ ’m= 12 -1.(-11) = + 11 = 12 Vì ∆ ’m> nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt : m1 = - 1+ 12 ; m2 = - 1- 12 Ta có bảng xét dấu : m -1- 12 -1+ 12 ∆ + - + Dựa vào bảng xét dấu ta có : - Phương trình cho có nghiệm kép ⇔ m = - 1+ 12 m = - 1- 12 - Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ m > -1+ 12 m < - 1- 12 - Phương trình vơ nghiệm ⇔ -1- 12 (m − 1) > Vậy với m ≠ phương trình cho có hai nghiệm phân biệt [4] Như vậy, với công thức nghiệm tổng quát công thức nghiệm thu gọn ta giải tốn tìm tham số để phương trình bậc hai có nghiệm kép , có hai nghiệm phân biệt, vơ nghiệm Khi đó, giáo viên đưa dạng toán : “ Giải biện luận phương trình dạng ax2+ bx+c=0” sau : 2.3.3.3 Dạng 3: Giải biện luận phương trình phương trình dạng ax + bx + c = Đối với dạng toán giáo viên hướng dẫn học sinh thực theo sau: * Với a=0 : phương trình trở thành bậc bx+c=0 + Nếu b ≠ phương trình có nghiệm x= −c b + Nếu b=0 c ≠ phương trình vơ nghiệm + b=0 c=0 phương trình có vơ số nghiệm * Với a ≠ : phương trình trở thành bậc hai có biệt thức Δ = b2 – 4ac + Nếu ∆ > phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = + Nếu ∆ = phương trình có nghiệm kép: x1 =x2= −b 2a −b + ∆ −b − ∆ ; x2 = 2a 2a + Nếu ∆ < phương trình vơ nghiệm [2] Ví dụ : Giải biện luận phương trình:[2] a) x − (1 − m) x − m = ; b) (m − 2) x − 2(m + 1) x + m = (1) * Ở câu a): Phương trình có hệ số: a=1 ≠ nên ta xét trường hợp a ≠ Tính ∆=(m+1)2 xét trường hợp để phương trình có nghiệm hay khơng có nghiệm bước nêu *Câu b): Ta xét trường hợp : a=0 (tức m-2=0) phương trình (1) có dạng bậc trường hợp a ≠ (tức m-2 ≠ 0) ta tính ∆ ' biện luận nghiệm phương trình bước nêu Giải : a) Ta có : ∆ = [-(1- m )]2 + 4.1.m = m2 + 2m + = (m+1)2 + ∆ > ⇔ (m+1)2 >0 ⇔ m ≠ -1 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1=-1 ; x2=m + ∆ = ⇔ (m+1)2 =0 ⇔ m=-1: phương trình có nghiệm kép: x1 =x2=-1 Đáp số : m ≠ : S={-1 ; m} m=-1 : S={-1} b) * TH1 : Khi m- = ⇔ m =2, phương trình (1) trở thành: *TH2 : Khi m - ≠ ⇔ m ∆ ' = (m + 1) − m.(m − 2) = 4m + -6x + = ⇔ x = Vậy với m=2 phương trình (1) có nghiệm x = ≠ ta phương trình bậc hai có biệt thức 12 −1 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: m + ± 4m + x1;2 = ; m−2 −1 −1 + ∆ = ⇔ 4m+1=0 ⇔ m= : Phương trình có nghiệm kép: x1 =x2= −1 + ∆ < ⇔ 4m+1 m ≠ : S={x1; x2} với x1;2 = m−2 m=2: S={ } [2] + ∆ > ⇔ 4m+1>0 ⇔ m> Từ dạng toán 2.3.2 ta có dạng : “ Chứng minh phương trình vơ nghiệm, có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép” 2.3.3.4 Dạng 4: Chứng minh phương trình ln vơ nghiệm, có nghiệm kép, có nghiệm phân biệt với m Đối với dạng toán giáo viên hướng dẫn học sinh thực theo bước sau: Bước 1: Tính ∆ ∆ ' Bước 2:+ Chứng minh ∆ ≥ phương trình ln có nghiệm với ∀m + Chứng minh ∆ > phương trình ln có nghiệm phân biệt với ∀m [2] Ví dụ 1: Cho phương trình x − mx + m − = (1) ( m tham số) Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm với m Giải : Ta có ∆ = (− m)2 − 4(m − 1) = m − 4m + = (m − 2) Nhận thấy ∆ = (m − 2)2 ≥ 0, ∀m Suy ra, phương trình (1) ln có nghiệm với m [4] Ví dụ 2: Cho phương trình x − 2(m − 1) x + m − = (1) ( m tham số) Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt Giải : Ta có ∆ ' = [−(m − 1)]2 − (m − 3) = m − 3m + = (m − m + ) + = ( m − ) + Vì (m- 3 7 ) ≥ với m nên (m- )2+ ≥ >0 với m ⇒ ∆ > 0, ∀m 2 4 Vậy phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt [4] Qua ví dụ ví dụ GV lưu ý học sinh cách sử dụng đẳng thức ta tách biểu thức thành bình phương biểu thức cộng với số thực dương ; Các biểu thức sau không âm: A ; A2 , Đặc biệt, ta chứng minh phương trình có nghiệm phân biệt với ∀m cách chứng minh a.c < ( a, c trái dấu) 13 2.3.3.5 Dạng 5: Tìm giá trị tham số để phương trình có hai nghiệm dấu, trái dấu, hai nghiệm dương, hai nghiệm cùng âm : Theo định lí Vi-ét : Cho phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có ∆ ≥ b a phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn : x1 + x2 = − ; x1 x2 = c a Từ ta sử dụng điều kiện để hoàn thành tốn a) Phương trình có nghiệm trái dấu ⇔ P < ∆ ≥ P > b) Phương trình có nghiệm dấu ⇔  ∆ ≥  c) Phương trình có nghiệm dương ⇔  P > S >  ∆ ≥  d) Phương trình có nghiệm âm ⇔  P > S <  [2] Ví dụ : Cho phương trình : x + 2(m + 1) x + 2m − = ( m tham số) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt dấu, trái dấu, dương, âm * Phương trình có hai nghiệm phân biệt ∆ ’>0 Do để tìm m cho phương trình có hai nghiệm phân biệt dấu, trái dấu, dương, âm ta cần xét trường hợp ∆ ’>0, điều kiện lại giữ nguyên tốn tổng qt nêu Giải : Ta có: ∆ ’= (m+1)2 - 1.(2m-5) = m2 + 2m + - 2m + = m2 + Vì m2 ≥ với ∀ m nên m2+6 ≥ > với ∀ m Do phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với m Theo định lý Vi- ét ta có : S = 2(m+1); P = 2m-5 + Phương trình có hai nghiệm khác dấu : 2m - < ⇒ m < + Phương trình có hai nghiệm dấu : 2m - > ⇒ m > + Phương trình có hai nghiệm dương :   2m − > m > ⇔ ⇒m >   2(m + 1) > m > −1   2m − > m > ⇔ + Phương trình có hai nghiệm âm :   2(m + 1) < m < −1 ⇒ khơng có giá trị m để phương trình có hai nghiệm âm Bằng cách tương tự GV cịn hướng dẫn học sinh giải tiếp dạng tốn : Chứng minh phương trình có hai nghiệm dấu, hai nghiệm khác dấu, hai nghiệm dương, hai nghiệm âm với giá trị tham số 14 Ví dụ 2: Cho phương trình ẩn x : x − 2mx − m − = Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt hai nghiệm trái dấu với giá trị m Giải : Ta có: ∆ ’ = (- m)2 - 2.( - m2 -1 ) = m2 + 2m2 + = 3m2 + > với ∀ m Vì 3m2 ≥ với ∀ m nên 3m2+2 ≥ > với ∀ m Do phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với m Mặt khác: P = -2.(m2 +1) < với ∀ m Do phương trình có hai nghiệm phân biệt hai nghiệm trái dấu với giá trị m 2.3.3.6 Dạng 6: Tìm giá trị tham số để phương trình bậc hai có hai nghiệm thỗ mãn điều kiện cho trước : 2.3.3.6.1 Bài tốn 1: Tìm điều kiện m để phương trình bậc hai có nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện: mx1 + nx2 = p (1) (m, n, p số cho trước) Đối với dạng toán giáo viên hướng dẫn học sinh thực theo bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm x 1, x2 ( ∆ ≥ ∆ ' ≥ ) (*) b a c (3) a  mx1 + nx2 = p  Bước 3: Giải hệ phương trình sau để tìm x1, x2:  −b  x1 + x2 = a Bước 4: Thay x1, x2 vào (3) ⇒ m cần tìm Bước 2: Lập hệ thức Vi - ét : x1 + x2 = − (2); x1 x2 = Bước 5: Đối chiếu giá trị m vừa tìm với điều kiện bước kết luận Lưu ý: Cũng kết hợp (1) với (3) để có hệ phương trình bước Tìm x1, x2 tiếp tục làm bước bước [2] Ví dụ 1: Cho phương trình x − x + m = Tìm giá trị m để phương trình cho có nghiệm thoả mãn x1- x2 = (1) Giải: Ta có: ∆ ' = (−4) − m = 16 − m Để phương trình có nghiệm x1, x2 ∆ ≥ , tức là: 16 − m ≥ ⇔ m ≤ 16 (*)  x1 + x2 =  x1.x2 = m Theo hệ thức Vi - ét ta có:  (2) (3)  x1 + x2 = x = ⇔  x1 − x2 =  x2 = Kết hợp (1) với (2) ta có hệ phương trình :  Thay x1 = 5, x2 = vào (3) ta có: m=5.3=15 (thoả mãn đk *) Vậy với m = 15 phương trình có nghiệm x1,x2 thoả mãn x1-x2=2 GV lưu ý học sinh: Các tốn tìm m để phương trình bậc ( chứa tham số m) có nghiệm đối ( x1 = -x2), có nghiệm k lần nghiệm ( x1 = kx2),có nghiệm lớn nghiệm k đơn vị ( x = x2 + k hay x1 - x2 =k), ta thực bước giống 2.3.3.6.2 Bài tốn 2: Tìm điều kiện m để phương trình bậc hai có nghiệm thoả mãn biểu thức đối xứng nghiệm x1, x2 15 Đối với dạng toán giáo viên hướng dẫn học sinh thực theo bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện m để phương trình bậc hai có nghiệm x1, x2 ( ∆ ≥ ∆ ' ≥ ) (*) b a Bước 2: Lập hệ thức Vi - ét : x1 + x2 = − (1); x1 x2 = c (2) a Bước 3: Biến đổi biểu thức đầu dạng tổng nghiệm, tích nghiệm, sau thay kết bước vào biểu thức giải phương trình ẩn m thu Bước 4: Đối chiếu kết vừa tìm bước với điều kiện bước kết luận [2] GV đưa vài biểu thức thường gặp: a, x12 + x2 = k ⇔ ( x1 + x2 )2 − x1 x2 = k b, x13 + x23 = k ⇔ ( x1 + x2 )3 − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = k 1 x +x c, x + x = k ⇔ x x = k 2 x1 x2 x12 + x2 ( x1 + x2 ) − x1 x2 + = k ⇔ = k ⇔ = k [2] d, x2 x1 x1.x2 x1 x2 GV lưu ý HS: Khái niệm biểu thức đối xứng: “ Biểu thức x1 , x2 gọi đối xứng ta thay x1 x2 x2 x1 biểu thức khơng đổi” [2] Đối với biểu thức khác làm tương tự, cách sử dụng phương pháp đẳng thức, đặt nhân tử chung, quy đồng phân thức, để đưa dạng tổng, tích nghiệm Ví dụ 1: Cho phương trình x − x + m − = (1) Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 12 Giải: Ta có ∆ ' = (−2) − ( m − 1) = − m + = − m Để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 ∆ ' ≥ , tức là: − m ≥ ⇔ m ≤ (*)  x1 + x2 =  x1 x2 = m − Theo hệ thức Vi - ét ta có:  Ta có: x12 + x2 = 12 ⇔ ( x1 + x2 )2 − x1 x2 = 12 ⇔ 42 − 2.(m − 1) = 12 ⇔ 16 − 2m + = 12 ⇔ m = Nhận thấy m = thoả mãn điều kiện (*) Vậy với m = phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22= 12 GV lưu ý học sinh: Đối với tốn tính giá trị biểu thức đối xứng ta thực hoàn tồn tương tự ví dụ khơng tìm m Ví dụ 2: Cho phương trình x − x + m − = (1) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình Tính giá trị biểu thức: x12 + x22 Giải: Ta có ∆ ' = (−2) − ( m − 1) = − m + = − m Để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 ∆ ' ≥ , tức là: − m ≥ ⇔ m ≤ (*)  x1 + x2 = (I )  x1 x2 = m − Theo hệ thức Vi - ét ta có:  Ta có: x12 + x2 = ( x1 + x2 )2 − x1 x2 (II) 16 Thay (I) vào (II) ta có: x12 + x22 = 42 − 2.(m − 1) = 16 − 2m + = 18 − 2m Ví dụ : Cho phương trình: x − mx + = (m tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mãn: | x1 - x2 |=2 Bài tốn nhìn dạng tốn 2.3.3.6.1, làm bước toán 2.3.3.6.1 dài Tuy nhiên, bình phương hai vế | x1 - x2 |=2 ta biến đổi tốn dạng tổng tích hai nghiệm để kết hợp với hệ thức Vi- et thực bước ví dụ Giải : Ta có ∆ = m − 12 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 ∆ = m − 12 >0 ⇔ m2>12 m > ⇔ |m|> ⇔   m < −2 Theo định lý Vi - ét ta có : x1 + x2 =m; x1x2 = Theo ta có : | x1 - x2 |=2 ⇔ (x1-x2)2=4 ⇔ (x1+ x2)2 – 4x1x2=4 ⇔ m2-4.3=4 ⇔ m2=16 ⇔ m= ± 4(TM) Vậy m= ± giá trị cần tìm 2.3.3.6.3 Bài tốn 3: Tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thoả mãn: x1 < α < x2 ( α số cho trước) Đối với dạng toán giáo viên hướng dẫn học sinh thực theo bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện m để phương trình bậc hai có nghiệm x1, x2 ( ∆ ≥ ∆ ' ≥ ) (*) b c (2) a a Bước 3: Từ giải thiết x1 < α < x2 ⇒ x1 − α < 0, x2 − α > ⇒ ( x1 − α )( x2 − α ) < ⇒ x1 x2 − α ( x1 + x2 ) + α < (3) Bước 2: : Lập hệ thức Vi - ét : x1 + x2 = − (1); x1 x2 = Bước 4: Thay (1), (2) vào (3) ta bất phương trình ẩn m Bước 5: Giải bất phương trình ẩn m vừa tìm ⇒ đối chiếu kết với điều kiện bước ⇒ Kết luận Ví dụ 1: Cho phương trình x − 2(m − 1) x + 2m − = (1) a, Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt với m b, Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 < < x2 Giải: a, HS tự chứng minh  x1 + x2 = 2(m − 1) (1) (2)  x1.x2 = 2m − b, Theo hệ thức Vi - ét ta có:  Từ giải thiết x1 < < x2 ⇒ x1 − < 0, x2 − > ⇒ ( x1 − 1)( x2 − 1) < ⇒ x1 x2 − ( x1 + x2 ) + < (3) Thay (1) (2) vào (3) ta có: 2m - - (2m-2)+1 < ⇒ 0m - < (đúng với m) Vậy với m phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 < < x2 Như dạng tốn “ Tìm điều kiện tham số để hai nghiệm phương trình thoả mãn điều kiện ” phải sử dụng định lý 17 Vi - ét, đẳng thức đáng nhớ phải có kỹ biến đổi đại số tốt 2.3.3.7 Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình bậc hai khơng phụ thuộc vào tham số Dạng toán thường gặp, cách giải khơng phức tạp dạng toán tổng hợp nhiều kiến thức chương trình đại số lớp Để giải dạng tốn ta làm theo bước sau : Bước 1: Tìm điều kiện m để phương trình bậc hai có nghiệm x1, x2 ( ∆ ≥ ∆ ' ≥ ) (*) b a Bước 2: Lập hệ thức Vi - ét: x1 + x2 = − (1); x1 x2 = c (2) a Bước 3: Rút m từ (1) vào (2) ( ngược lại) ta hệ thức liên hệ GV lưu ý: Trong số ta cộng trừ (1) cho (2) ⇒ ta thu hệ thức cần tìm Tuỳ tốn vận dụng cách linh hoạt để tìm kết nhanh Ví dụ 1: Cho phương trình x + 2mx + 2m − = Tìm hệ thức liên hệ x 1, x2 độc lập với m Giải: + Ta có: ∆ ' = m − 2m + = (m − 1) ≥ 0, ∀m ⇒ Phương trình ln có nghiệm với m  x1 + x2 = − 2m (1)  x1.x2 = 2m − (2) + Theo Vi - ét ta có:  x1 + x2 x +x Thay vào (2), ta được: x1x2 = 2 -1 ⇔ x1 x2 + x1 x2 = −1 −2 −2 x x + x x = − Vậy hệ thức cần tìm là: 2 Từ (1) ⇒ m = 2.3.3.8 Dạng 8: Tìm giá trị tham số để biểu thức chứa x 1, x2 có giá trị nhỏ nhất, lớn tìm giá trị nhỏ hay lớn biểu thức chứa x1, x2 Dạng toán dạng toán học sinh làm quen từ lớp 7, khác em phải biết áp dụng định lý Vi - ét để lập biểu thức chứa x 1, x2 Vì để giải dạng tốn , trước hết phải tính tổng tích nghiệm dựa vào định lý Vi - ét sau tìm điều kiện tham số để biểu thức vừa lập có giá trị nhỏ hay lớn tìm giá trị nhỏ hay lớn biểu thức theo yêu cầu toán cụ thể bước sau : Bước 1: Tìm điều kiện m để phương trình bậc hai có nghiệm x1, x2 ( ∆ ≥ ∆ ' ≥ ) (*) b a Bước 2: Lập hệ thức Vi – ét: x1 + x2 = − ; x1 x2 = c a Bước 3: Biến đổi biểu thức dạng tổng tích nghiệm để áp dụng hệ thức Vi - ét ⇒ ta thu biểu thức bậc m Bước 4: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ + Nếu hệ số a biểu thức m >0 ta có giá trị nhỏ Để tìm giá trị nhỏ ta biến đổi biểu thức chứa m dạng A2 + a ≥ a, ∀m , giá trị nhỏ a ( phải rõ đạt giá trị m ⇒ so với điều kiện bước kết luận) 18 + Nếu hệ số a biểu thức m < ta có giá trị lớn Để tìm giá trị lớn ta biến đổi biểu thức chứa m dạng a - A ≤ a, ∀m , giá trị lớn a (phải rõ đạt giá trị m ⇒ so với điều kiện bước kết luận) Ví dụ : Cho phương trình bậc hai ẩn x : x − 2(m − 1) x + n + = Khi m - n = 4, tìm giá trị nhỏ P = x12 + x22 Giải : Từ m - n = ta suy ; n = m - Theo định lý Vi - ét : x1 + x2 = 2( m - 1) ; x1x2 = n + Do : P = x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 - 2x1x2 = [ 2( m - ) ]2 - 2( n + )= [ 4( m2 - 2m + ) ] - ( m - ) = 4m2 - 8m + - 2m + 6= 4m2 - 10m + = ( 2m - 2,5 )2 + 1,75 ≥ 1,75 Vậy giá trị nhỏ P = 1,75 m = 1,25 Ví dụ 2: Cho phương trình x + 2mx + 2m − = (1) có nghiệm x1, x2 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x12x2 + x1x22 Giải: + Ta có ∆ ' = m − 2m + = (m − 1) ≥ 0, ∀m ⇒ ∆ ' ≥ 0, ∀m , phương trình ln có nghiệm + Theo hệ thức Vi - ét ta có: x1 + x2 = -2m; x1x2 = 2m-1 + Ta có: A = x1x2.(x1 + x2) =-2m.(2m-1)= -4m2 + 2m 1 1 1 − ] = - [(2m- )2 - ]= - (2m- )2 ≤ , ∀m 4 4 1 Dấu "=" xảy ⇔ 2m − = ⇔ m = 1 KL:Vậy với m = biểu thức A đạt giá trị lớn 4 = - [ (2m)2 - 2m + Trên số dạng tốn phương trình bậc hai ấn mà thân tạm phân loại để hướng dẫn học sinh trình giảng dạy ơn thi học kì bồi dưỡng học sinh giỏi , ôn thi vào THPT Trong thực tế, ngồi dạng tốn cịn nhiều dạng tốn khác phương trình bậc hai ẩn mà phát triển thêm từ dạng toán Tuy nhiên, phạm vi đề tài tơi đưa dạng tốn bản, thiết thực, phù hợp với trình độ học sinh lớp giúp em học sinh giải thành thạo phương trình bậc hai ẩn, phương trình bậc hai có chứa tham số Từ đó, em tự tin bước vào kì thi 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường: Sau thời gian nghiên cứu hoàn thiện, đề tài đưa vào áp dụng Trong trình thử nghiệm tơi thu số thành cơng bước đầu: * Về phía giáo viên: Tơi thấy trình độ chun mơn nâng cao hơn, đặc biệt đổi phương pháp dạy học ngành đề Đồng thời, hình thành giáo viên phương pháp làm việc khoa học Hơn thế, phát huy tích cực chủ động người học, hình thành học sinh kĩ năng, kĩ xảo giải Tốn Ngồi ra, đề tài cịn tài liệu dùng để tham khảo bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi học kì ơn thi vào THPT 19 * Về phía học sinh: Qua việc giới thiệu cho học sinh hệ thống dạng tập thường hay gặp phương trình bậc hai ẩn, tơi thấy phát huy tính tích cực , tư sáng tạo, say mê môn học học sinh, giúp hình thành học sinh phương pháp cách làm việc với khoa học Toán học Đặc biệt, em xác định dạng phương pháp để giải tốn liên quan đến phương trình bậc hai cách chủ động Ngoài việc giải thành thạo , linh hoạt tập phương trình bậc hai ẩn, em làm tốt dạng Tốn có liên quan đến phương trình bậc hai, tự tin khơng cịn tượng rập khn máy móc giải tốn liên quan đến phương trình bậc hai ẩn Đặc biệt, thể kết học tập em cụ thể biểu đồ so sánh trước sau áp dụng đề tài năm học 2016-2017; 2017 -2018 sau: Kết thi vào THPT tăng lên rõ rệt, tỉ lệ học sinh đậu THPT cao cụm cụ thể: Năm 2016-2017; 2017-2018 tỉ lệ thi vào THPT đạt 100% Tiếp tục áp dụng năm học 2018-2019, qua kết khảo sát học kỳ có 82% số đạt loại khá, giỏi; 18% số đạt điểm trung bình Kết cho thấy việc áp dụng đề tài góp phần nâng cao hiệu giảng dạy học tập Do hiệu giảng dạy nhà trường nói chung tiến năm vừa qua 3.Kết luận, kiến nghị: 3.1 Kết luận: Mặc dù thời gian ngắn việc hướng dẫn học sinh giải dạng toán phương trình bậc hai góp phần nâng cao hiệu dạy học mơn 20 Tốn, khắc phục mệt mỏi nhàm chán lúng túng người học, tạo hứng thú học tập học sinh, tạo cho người học niềm tin phẩm chất đạo đức người lao động mới, đặc biệt phát triển lực tư rèn luyện thao tác trí tuệ , hình thành phẩm chất tư khoa học Muốn hướng dẫn học sinh làm dạng tốn phương trình bậc hai ẩn có hiệu giáo viên cần chuẩn bị kĩ lưỡng tỉ mỉ, biết vận dụng linh hoạt để lựa chọn câu hỏi gợi ý sâu sắc lúc, chỗ phù hợp với trình độ nhận thức học sinh nhằm khêu gợi trí tị mị, hứng thú học sinh giúp em hiểu toán phải giải Đồng thời, lưu ý học sinh phải tìm hiểu tốn cách tổng thể, tránh vội vàng vào chi tiết, đặc biệt không vận dụng phương pháp cách rập khuôn, máy móc Bên cạch đó, điều khơng thể thiếu giáo viên phải có lịng u nghề, u trẻ, nhiệt tình có hiệu quả, chất lượng dạy học ngày nâng cao Do đó, góp phần không nhỏ việc nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường năm qua 3.2 Kiến nghị: - Đối với tổ chuyên môn nhà trường: Cần thường xuyên nắm bắt thông tin từ người dạy áp dụng đề tài để điều chỉnh bổ sung thêm cho đề tài ngày hoàn thiện Đó hình thức sinh hoạt chun môn nâng cao hiệu giảng dạy nhà trường - Đối với giáo viên: Để đề tài có tính hiệu cao giáo viên cần chuẩn bị kĩ lưỡng tỉ mỉ, biết vận dụng linh hoạt dạng toán cho phù hợp với đối tượng học sinh Không vận dụng đề tài cách rập khuôn máy móc mà phải liên tục sáng tạo để giúp đề tài phong phú có hiệu Phải vận dụng linh hoạt, phải đặc biệt ý đến đối tượng học sinh để vận dụng dạng toán đề tài theo mức độ từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp - Đối với học sinh đặc biệt học sinh yếu học lớp nên có buổi học phụ đạo riêng liên tục để nâng dần kỹ làm em Đề tài tiếp tục áp dụng mở rộng Bước đầu đề tài thu số thành công, song tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý chân thành bạn bè, đồng nghiệp bạn đọc Tơi xin chân thành cảm ơn Thanh Hố, ngày 29 tháng năm 2019 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Tôi xin cam đoan SKKN ĐƠN VỊ viết, không chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Trịnh Thị Tuyết 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Sách giáo viên Tốn – Tập 2, Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) - Nhà xuất giáo dục Các dạng tốn phương pháp giải Tốn 9-Tập 2, Tơn Thân (Chủ biên)Nhà xuất giáo dục Phương pháp dạy học mơn Tốn, Nguyễn Bá Kim –Nhà xuất đại học sư phạm Nguồn Internet 5.Văn kiện Đại hội Đảng lần thứ 12 Tạp chí giáo dục – Số 89/ 2004 Sách giáo khoa Toán 8- Tập 2, Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) - Nhà xuất giáo dục 22 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Trịnh Thị Tuyết Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên - Trường THCS Thiệu Ngọc, Huyện Thiệu Hoá, Tỉnh Thanh Hoá TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh Kết giá xếp đánh giá loại xếp loại (Phòng, (A, B, Sở, Tỉnh ) C) Năm học đánh giá xếp loại Hướng dẫn học sinh giải tốn cách lập phương Phịng C 2006 Phòng C 2007 Phòng C 2009 Phòng C 2013 Phòng C 2014 Phòng C 2017 Phòng B 2018 trình- Đại số Hướng dân học sinh làm tập phân tích đa thúc thành nhân tử Hướng dân học sinh lớp làm tập nhân số nguyên Hướng dẫn học sinh vận dụng “Bảy đẳng thức đáng nhớ” vào giải tập- Đại số trường THCS Một số biện pháp khắc phục tình trạng học sinh yếu mơn Tốn trường THCS Một số biện pháp hướng dẫn học sinh làm tập: “Nghiệm đa thức biến”- Đại số trường THCS Thiệu Ngọc Sử dụng sơ đồ tư nhằm nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn trường THCS Thiệu 23 Ngọc Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải số dạng tốn phương trình bậc hai Phịng A 2019 ẩn góp phần nâng cao chất lượng mơn Tốn trường THCS Thiệu Ngọc, Huyện Thiệu Hoá 24 ... trường THCS Thiệu 23 Ngọc Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải số dạng toán phương trình bậc hai Phịng A 20 19 ẩn góp phần nâng cao chất lượng mơn Tốn trường THCS Thiệu Ngọc, Huyện Thiệu Hoá 24... tài: “ Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải số dạng toán phương trình bậc hai ẩn góp phần nâng cao chất lượng mơn Tốn trường THCS Thiệu Ngọc, Huyện Thiệu Hố”, q trình ơn luyện cho học sinh mong... ? ?Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải số dạng toán phương trình bậc hai ẩn góp phần nâng cao chất lượng mơn Tốn trường THCS Thiệu Ngọc, Huyện Thiệu Hố” 1.2 Mục đích nghiên cứu : Trên sở nghiên cứu