Chủ đề 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Kiến thức cần nhớ Hệ phương trình bậc hai ẩn hệ phương trình có dạng: ax  by  c  a ' x  b ' y  c '  + Cặp số  x0 ; y0  gọi nghiệm hệ phương trình nghiệm chung hai phương trình + Hệ có nghiệm nhất, vô nghiệm vô số nghiệm tùy theo vị trí tương đối hai đường thẳng biểu diễn nghiệm hai phương trình + Phương pháp giải hệ: Chúng ta thường dùng phương pháp phương pháp cộng đại số để khử bớt ẩn, từ giải hệ Một số ví dụ Ví dụ Xác định hệ số a, b hàm số y  ax  b để: 1) Đồ thị qua hai điểm A 1;3 , B  2;  2) Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ 4 cắt trục hồnh điểm có hồnh độ Lời giải: 1) Thay tọa độ điểm A, B vào phương trình đường thẳng ta được: 3  a  b b   a a    Vậy a  1, b     2a  b   2a   a b   a  4  a.0  b b  4 a    2) Tương tự phần (1) ta có hệ:  0  a  b 2a  b  b  4 Vậy a  2, b  4 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Ví dụ Giải hệ phương trình sau: 1 x  y   a)     1  x y  x  x 1   b)   x   x  1  y 3  2x 1  x  y  y 1  c)  3y 2 x     1  y 1 x y Lời giải: 1 a) Đặt u  ; v  Theo đề ta có hệ phương trình: x y v   u u  v  5u  u      3u  2v  1 3u    u   1 v   u v  Từ suy ra: x  b) Đặt u  1  1; y   u v x y Theo ta có hệ phương trình: ;v  x 1 y 1 u  v  u   v u   v u      u  3v  1 3  v  3v  1 4v  4 v  1  x  x  2  x   x  2x   Từ suy ra:    y y   y y     1   y  1 c) Điều kiện x  , x  y  Đặt a  x   ta có hệ phương trình  b   x y  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  2x 1  a  b  a   x      1 2a  b  b   y   x y Vậy hệ có nghiệm x  1; y  x  y  Ví dụ Cho hệ phương trình:  mx  y   1 2 a) Giải hệ phương trình với m  b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm  x, y  x, y trái dấu c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm  x; y  thỏa mãn x y Giải: a) Với m  ta có hệ phương trình:  x  y  x  y  x  x  y       2 x  y  3 y  6  y  2 2  y    y  b) Từ phương trình (1) ta có x  y  Thay x  y  vào phương trình (2) ta được: m  y    y    2m  1 y   5m (3) Hệ có nghiệm (3) có nghiệm Điều  5m tương đương với: 2m    m  Từ ta được: y  ; 2m    5m  x  5 2y  Ta có: x y  Do 2m   2m  1 x, y    5m   m  (thỏa mãn điều kiện) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word c)Ta có: x  y   5m  2m  2m  Từ (4) suy 2m    m  (4) 1 Với điều kiện m  ta có: 2  m  l    m   Vậy m       5m      5m  3 m    x  my  m  1 Ví dụ Cho hệ phương trình:  mx  y  3m    a) Khơng giải hệ phương trình trên, cho biết với giá trị m hệ phương trình có nghiệm nhất? b) Giải biện luận hệ phương trình theo m c) Tìm số ngun m cho hệ phương trình có nghiệm  x, y  mà x, y số nguyên d) Chứng minh hệ có nghiệm  x, y  điểm M  x, y  chạy đường thẳng cố định e) Tìm m để hệ có nghiệm cho x y đạt giá trị nhỏ Lời giải: a) Từ phương trình (2) ta có y  3m   mx Thay vào phương trình (1) ta được: x  m  3m   mx   m    m2  1 x  3m2  2m  (3) Hệ có nghiệm phương trình (3) có nghiệm , tức m    m  1 Ta lập luận theo cách khác: Hệ có nghiệm m   m2   m  1 : m http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word b) Từ phương trình (2) ta có y  3m   mx Thay vào phương trình (1) ta được: x  m  3m   mx   m    m2  1 x  3m2  2m  (3) Trường hợp 1: m  1 Khi hệ có nghiệm  3m2  2m   m  1 3m  1 3m    x  m2    m  1  m  1 m   3m  m    y  3m   m m   m  Trường hợp 2: m  Khi phương trình (3) thành: 0.x  Vậy hệ có vơ số nghiệm dạng  x;  x  , x  Trường hợp 3: m  1 phương trình (3) thành: 0.x  (3) vơ nghiệm, hệ vơ nghiệm c) Hệ cho có nghiệm m  1 3m    x  m    m  Ta có:  Vậy x, y nguyên m 1  y  m 1  1 m 1 m 1  nguyên Do m  2; 1;1; Vậy m  3; 2;0 (thỏa mãn) m  (loại) Vậy m nhận giá trị 3; 2;0 d) Khi hệ có nghiệm  x, y  ta có: x  y   2    1  2 m 1  m 1  Vậy điểm M  x; y  ln chạy đường thẳng cố định có phương trình y  x  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word e) Khi hệ có nghiệm  x; y  theo (d) ta có: y  x  Do đó: xy  x  x    x  x     x  1   1 Dấu xảy khi: 2 x 1 3 1   m 1   m  m 1 m 1 Vậy với m  x y đạt giá trị nhỏ Chú ý: Ta tìm quan hệ x  y  theo cách khác: Khi hệ  x  my  m  1 phương trình  có nghiệm  m  1 lấy mx  y  3m    phương trình (2) trừ phương trình (1) hệ ta thu được:  m  1 x   m  1 y   m  1  x  y   x  my   4m Ví dụ Cho hệ phương trình:  Chứng minh với mx  y  3m  m hệ phương trình ln có nghiệm Gọi  x0 ; y0  cặp nghiệm phương trình: Chứng minh: x0  y0   x0  y0   10  (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán - ĐHSP Hà Nội 2015) Lời giải: Từ phương trình (2) hệ phương trình ta có y  3m   mx thay vào phương trình 1 hệ ta có:  m2  1 x  3m2  3m  Do m   với m nên phương trình ln có nghiệm x0 Suy hệ ln có nghiệm với m Gọi  x0 ; y0  nghiệm hệ: Từ hệ phương trình ta có:  x0   m  y0   Nhân hai vế phương trình thứ với   x0  ,   y0   m   x0  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word phương trình thứ hai với  y0   trừ hai phương trình cho ta được:   x0  x0     y0   y0  1   x0  y0   x0  y0   10  Ngoài ta giải theo cách khác sau:  d  : x  my  4m   0,  d ' : mx  y  3m   Ta dễ dàng chứng minh đường thẳng  d  qua điểm cố định: A  2;  đường thẳng  d ' qua điểm cố định : B  3;1 Mặt khác ta dễ chứng minh đường thẳng ( d ) đường thẳng ( d ') vng góc với nên hai đường thẳng cắt Gọi M  x0 ; y0  giao điểm hai đường thẳng tam giác M AB vuông M Gọi I trung điểm AB 5 5 I  ;  , AB  10 suy 2 2 2  5  5  2 IM  AB  IM  AB   x0     y0     10 2      x0  y0   x0  y0   10  (1)  x  my  Ví dụ Cho hệ phương trình:  mx  y  2m  (2) Hệ có nghiệm  x, y  , tìm giá trị nhỏ biểu thức sau đây: a) P  x  y (1) b) Q  x  y (2) Lời giải: Từ phương trình (2) ta suy ra: y  2m   mx Thay vào phương trình (1) ta được: x  m  2m   mx     m2  1 x  2m2  m  (3) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Hệ có nghiệm phương trình (3) có nghiệm nhất, điều xảy khi: m    m  1  2m2  m   m  1 2m  3 2m  x     2  m 1 m 1   m  1  m  1 m  Khi  2m    y  2m   m m   m  a) Ta có: P  x   x    x  12 x  12   x  3   P  x  2m  3    4m   3m   m  3 m 1 Vậy giá trị nhỏ P b) Ta có: Q  x  y  x   x   đặt t  x  Khi Q   t  1   t  1  t  4t  6t  4t   t  4t  6t  4t   2t  12t   4 Q   t   x 1 2m    2m   m   m  2 m 1 Vậy giá trị nhỏ Q  mx   m  1 y  Ví dụ 7): Cho hệ phương trình:  Chứng minh hệ  m  1 x  my  8m  ln có nghiệm   x; y  tìm GTLN biểu thức  P  x2  y   y Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Xét hai đường thẳng  d1  : mx   m  1 y   0;  d  :  m  1 x  my  8m   + Nếu m   d1  : y    d  : x   suy  d1  ln vng góc với  d   d1  : x   + Nếu m  1  d2  : y  11  suy  d1  vng góc với  d  + Nếu m  0;1 đường thẳng  d1  ,  d  có hệ số góc là: a1   m m 1 suy a1.a2  1  d1    d  , a2  m 1 m Tóm lại với m hai đường thẳng  d1  ln vng góc với  d  Nên hai đường thẳng ln vng góc với Xét hai đường thẳng  d1  : mx   m  1 y   0;  d  :  m  1 x  my  8m   ln vng góc với nên cắt nhau, suy hệ có nghiệm Gọi giao điểm I  x; y  , đường thẳng  d1  qua A  1;1 cố định, đường thẳng  d  qua B  3; 5  cố định suy I thuộc đường tròn đường kính AB Gọi M 1; 2  trung điểm AB MI  AB 2   x  1   y    13 (*)   P   x  1   y    x  y    x  y  2   x    y      hay P  10    x    y    Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:  x    y    1  3  x  12   y  2   52  x    y        52  13 Vậy P  10   13 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ... giải: Từ phương trình (2) hệ phương trình ta có y  3m   mx thay vào phương trình 1 hệ ta có:  m2  1 x  3m2  3m  Do m   với m nên phương trình ln có nghiệm x0 Suy hệ ln có nghiệm với... chuyên đề thi, tài liệu file word b) Từ phương trình (2) ta có y  3m   mx Thay vào phương trình (1) ta được: x  m  3m   mx   m    m2  1 x  3m2  2m  (3) Trường hợp 1: m  1 Khi hệ. .. mx  y  3m    a) Khơng giải hệ phương trình trên, cho biết với giá trị m hệ phương trình có nghiệm nhất? b) Giải biện luận hệ phương trình theo m c) Tìm số ngun m cho hệ phương trình có