SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NGA SƠN - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: XÂY DỰNG CƠNG THỨC TÍNH NHANH CHO MỘT SỐ DẠNG TOÁN THỰC TẾ LÃI SUẤT VÀ TĂNG TRƯỞNG MŨ TRONG ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM TOÁN THPT QUỐC GIA Người thực hiện: Nguyễn Văn Vương Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HĨA NĂM 2017 MỤC LỤC Trang I Mở đầu… ………………………………………… ………………1 Lí chọn đề tài…… …………………………………… ……….1 Mục đích đối tượng nghiên cứu…………………… … ……….1 Phương pháp nghiên cứu………………… ……………… ………2 II Nội dung……… ………………………………………………….2 Cơ sở lí luận………………………………………………… 2 Thực trạng……………………………………………………… .2 Giải pháp…………………………………………………….………3 3.1Bài toán lãi đơn…………….…………………………….…………… 3.2Bài toán lãi kép dành cho gửi tiền lần………… ….…………… 3.3Bài toán lãi kép dành cho gửi tiền hàng tháng…… ………………… 3.4Bài tốn trả góp tiền hàng tháng … …………………… .9 3.5Bài toán rút sổ tiết kiệm theo định kì………………… .12 3.6Bài tốn lãi suất khơng kì hạn…………………….………………… 14 3.7Bài tốn lãi kép liên tục - công thức tăng trưởng mũ ……………….16 3.8Mở rộng số tốn thực tế khác áp dụng cơng thức lãi kép .19 III Kết luận………………………………………………….…………22 Kết nghiên cứu……………………………………….……… 22 Kết luận kiến nghị…………………………………….……… 22 Tài liệu tham khảo……………………………………………….… 23 I MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Đất nước ta đường đổi cần có người phát triển tồn diện, động sáng tạo Muốn phải nghiệp giáo dục đào tạo, đòi hỏi nghiệp giáo dục đào tạo phải đổi để đáp ứng nhu cầu xã hội Đổi nghiệp giáo dục đào tạo phụ thuộc vào nhiều yếu tố, yếu tố quan trọng đổi phương pháp dạy học, bao gồm phương pháp dạy học mơn Tốn Mục tiêu Giáo dục phổ thông chỉ: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.” Trong năm trước đây, toán lãi suất ngân hàng tăng trưởng mũ xuất đề thi học sinh giỏi giải tốn máy tính casio cấp tỉnh khu vực dành cho học sinh khối THCS THPT Năm 2017, GD & ĐT định áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho mơn tốn tốn thực tế “lãi suất ngân hàng tăng trưởng mũ” coi tốn khơng thể thiếu đề thi THPT Quốc gia, minh chứng điều thấy rõ đề thi thử nghiệm Bộ GD& ĐT Sự đổi đoán làm thay đổi tồn cấu trúc đề thi mơn Tốn, với thời lượng 90 phút cho 50 câu trắc nghiệm u cầu đặt với học sinh khơng đơn tư chặt chẽ, logic, cẩn thận mà quan trọng linh hoạt, nhanh nhẹn, kĩ thao tác tốc độ Để thành công việc giải tốt đề thi trắc nghiệm Tốn ngồi việc học sâu cần phải học rộng, nhớ nhiều, đặc biệt phải biết xây dựng, xâu chuỗi cơng thức cho dạng tốn để rút ngắn thời gian làm Trong đề thi thử nghiệm Bộ, toán lãi suất tăng trưởng mũ nằm mức độ kiến thức vận dụng vận dụng cao, toán dành cho học sinh khá, giỏi lấy điểm 8, 9, 10 Cái khó tốn đa phần thầy giáo giảng dạy nhận xét nằm ba yếu tố: yếu tố thứ đề dài, câu dẫn nhiễu gây khó hiểu; yếu tố thứ hai sử dụng tư quy nạp, cấp số, tư khó học sinh phổ thơng; yếu tố thứ ba, tốn đòi hỏi biến đổi phức tạp dễ gây sai sót, nhầm lẫn tính tốn cho học sinh Đây toán mới, áp dụng vào thi cử năm đầu tiên, thị trường sách tài liệu tham khảo ít, hạn chế chưa đầu tư kĩ lưỡng nội dung hình thức Việc có tài liệu hồn chỉnh, đầy đủ, phân chia dạng tốn khoa học ln nhu cầu cấp thiết cho thầy cô học sinh MỤC ĐÍCH VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Mục đích nghiên cứu: giúp học sinh có tài liệu học tập hồn chỉnh, đầy đủ, phân chia dạng tốn khoa học, thêm kiến thức giải tốt toán thực tế lãi suất tăng trưởng mũ - Đối tượng nghiên cứu: Đề tài: “Xây dựng công thức tính nhanh cho số dạng tốn thực tế lãi suất tăng trưởng mũ đề thi trắc nghiệm toán THPT Quốc gia ” 3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Đề tài sử dụng chủ yếu phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết - Phương pháp thu thập thông tin, xử lý số liệu (từ nguồn tài liệu ôn thi, đề thi thử nghiệm, đề thi thử trường THPT, đề thi học sinh giỏi tỉnh khu vực, báo cáo, luận văn sinh viên, thạc sĩ chuyên nghành kế toán, giảng số giảng viên kinh tế,…) - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế (thông qua toán thực tiễn ngân hàng, cửa hàng bán trả góp địa phương) II NỘI DUNG CƠ SỞ LÍ LUẬN Nhiệm vụ trọng tâm trường THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò Đối với người thầy giáo dạy Toán, việc giúp học sinh nắm vững kiến thức Tốn phổ thơng nói chung, đặc biệt xâu chuỗi nội dung, tạo mối liên hệ mật thiết mặt kiến thức việc làm cần thiết Muốn học tốt mơn Tốn, học sinh phải nắm vững tri thức khoa học mơn Tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết cách linh hoạt vào toán cụ thể Điều thể việc học đơi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư logic suy nghĩ linh hoạt Khi gặp toán thực tế lãi suất tăng trưởng mũ có nhiều hướng tiếp cận để tư lời giải Tuy nhiên với toán hay khó, lối tư theo hướng bó hẹp khn khổ kiến thức chương hay kiến thức cấp học khiến học sinh khó khăn việc tìm hướng giải Vì tính chất phân loại đề thi THPT Quốc gia nay, toán thực tế lãi suất tăng trưởng mũ đặt yêu cầu cao học sinh Để giải tốn, học sinh khơng nắm vững kiến thức chương mũ logarit, phép biến đổi logic tốn học biết mà phải biết suy luận thực tế Tạo mối liên kết chặt chẽ mặt kiến thức, kĩ năng, kết hợp lí luận thực tiễn giúp học sinh thấy chất vấn đề học, gây nên hứng thú tích cực học tập, làm cho em chủ động tiếp thu lĩnh hội tri thức, giúp em không ngừng tìm tòi thêm nhiều cách giải mới, rút ngắn đến mức tối đa thời gian làm bài, suy luận chắn đưa đến kết đúng, khắc phục tâm lý lo sợ gặp dạng tốn khó Đây mục tiêu quan trọng hoạt động dạy học giáo viên THỰC TRẠNG Khảo sát thực tế nhiều nhóm học sinh trường THPT Nga Sơn trường THPT khác địa bàn huyện Nga Sơn (THPT Ba Đình, THPT Mai Anh Tuấn, THPT Trần Phú) cho thấy học sinh ngày khơng mặn mà với tốn thực tế, tốn lãi suất tăng trưởng mũ Lí bạn đưa toán khó, khó từ khâu đọc đề tư hiểu đề, trình biến đổi dài, phức tạp, tốn nhiều thời gian hay gây nhầm lẫn, điểm số dành cho dạng đề thi có từ 0,2 đến 0,4 điểm Một phần khó yếu tố tâm lí học sinh nghĩ toán dành cho học sinh giỏi lấy điểm cao nên chủ quan không học, không làm Điều dẫn đến thật đáng buồn, phần lớn bạn học sinh ôn thi hay làm thử đề thi trắc nghiệm toán bỏ qua hồn tồn tốn thực tế lãi suất tăng trưởng mũ khoanh “chùa” đáp án, tốn khơng phải tốn q khó, tốn mấu chốt đề Bằng kinh nghiệm tích lũy năm học phổ thơng năm giảng dạy Tốn trường THPT Nga Sơn, dù ỏi, tơi thấy rằng: Với học sinh học được, thích học tốn thực tế lãi suất tăng trưởng mũ, gặp tốn khó em ln tư lời giải giải tới đáp số lại khoảng thời gian lâu, với thời lượng quy định chưa đến phút cho câu trắc nghiệm hiển nhiên thất bại Từ ta thấy mấu chốt vấn đề khơng nằm tư mà nằm hồn toàn kĩ Câu hỏi đặt “ làm để khắc phục điều bất cập Nếu vận dụng kiến thức có, tư duy, chia dạng, xây dựng xâu chuỗi thành hệ thống cơng thức để nhớ liệu có hiệu rút ngắn thời gian làm tạo cho học sinh hứng thú gặp tốn dạng đề thi khơng?” Đó mục đích đề tài “Xây dựng cơng thức tính nhanh cho số dạng toán thực tế lãi suất tăng trưởng mũ đề thi trắc nghiệm toán THPT Quốc gia ” mà hướng đến GIẢI PHÁP 3.1 Bài toán lãi đơn (Số tiền lãi tháng tính số tiền gốc mà khơng tính số tiền lãi tháng trước số tiền gốc sinh ra) 3.1.1 Bài toán: Gửi vào ngân hàng số tiền M, lãi suất tháng r (hoặc kì hạn: tháng (quý), tháng, năm,…) , thời gian gửi n tháng (hoặc kì hạn) Tính số tiền thu T (cả vốn lẫn lãi)  Xây dựng công thức: + Số tiền thu sau tháng 1: T1  M  Mr  M (1  r ) + Số tiền thu sau tháng 2: T2  T1  Mr  M (1  r )  Mr  M (1  2Mr ) … + Số tiền thu sau tháng n: Tn  M (1  nr )  Kết luận * Số tiền thu được: T  M (1  nr ) (1) * Xác định đại lượng công thức (1) + Số tiền ban đầu: M  + Lãi suất: r  T M Mn + Thời gian gửi: n  T (1a)  nr (1b) T M Mr (1c) 3.1.2 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Một người gửi vào ngân hàng 50.000.000 đồng với lãi suất 0,9% /tháng theo hình thức lãi đơn Tính số tiền người thu sau năm (12 tháng)? A 55.400.000 đ B 55.675.484 đ C 50.450.000 đ D 50.550.000 đ Giải: Theo cơng thức (1) ta có số tiền thu là: T  M (1  nr )  50(1  12.0,9%)  55.400.000 đ Đáp án A Ví dụ 2: Ơng A gửi vào ngân hàng số tiền 35.000.000 đồng với lãi suất 0,65% / tháng, theo hình thức lãi đơn Một thời gian ơng A thu số tiền vốn lẫn lãi 40.460.000 đồng Hỏi thời gian ông A gửi ngân hàng tháng? A 12 tháng B 24 tháng C 18 tháng D 22 tháng Giải: Theo công thức (1b) ta có lãi suất ngân hàng trả cho ơng A là: r T  M 40460000  35000000   24 (tháng) Đáp án B Mn 35000000.0,65% Ví dụ 3: Anh Hùng cầm sổ tiết kiệm ngân hàng rút toàn số tiền vốn lẫn lãi anh gửi ngân hàng cách năm rưỡi theo hình thức lãi đơn với lãi suất 2,4%/quý Biết số tiền anh nhận từ ngân hàng 45.760.000 đồng Hỏi số tiền ban đầu anh Hùng gửi ngân hàng bao nhiêu? A 39.690.473 đ B 29.859.793 đ C 31.955.307 đ D 40.000.000 đ Giải: Một năm rưỡi 18 tháng, tương ứng quý Theo công thức (1a) số tiền anh Hùng gửi ngân hàng là: M  T 45760000   40.000.000 đ Đáp án D  nr  6.2,4% Ví dụ 4: Để tiếp bước ước mơ đến trường Linh, bố Linh vay vốn hỗ trợ gói vay vốn dành cho sinh viên, với số tiền vay tối đa triệu đồng/năm Trong năm đại học, năm bố Linh vay tối đa số tiền phép vay vào đầu năm, biết thời gian hoàn thành hợp đồng năm kể từ ngày vay vốn điều kiện lãi suất thời gian giá trị hợp đồng số tiền lãi tháng trước khơng cộng dồn làm vốn sinh lãi tháng sau Sau năm kể từ ngày vay vốn lần thứ nhất, bố Linh hoàn vốn lãi cho ngân hàng với số tiền 33.036.800 đồng Hỏi lãi suất mà ngân hàng dành cho gói vay vốn %/năm? A 0,72% B 1,2% C 0,65% D 7% Giải: Số tiền vay năm thứ nhất, chịu lãi năm, vốn lãi là: 8.10 (1  6r ) Số tiền vay năm thứ hai, chịu lãi năm, vốn lãi là: 8.10 (1  5r ) Số tiền vay năm thứ ba, chịu lãi năm, vốn lãi là: 8.10 (1  4r ) Số tiền vay năm thứ tư, chịu lãi năm, vốn lãi là: 8.10 (1  3r ) Ta có: 8.10 (1  3r )  8.10 (1  4r )  8.10 (1  5r )  8.10 (1  6r )  33036800 Giải ta r  0.72% Đáp án A 3.2 Bài toán lãi kép dành cho gửi tiền lần (Số tiền lãi tháng trước tính vào tiền gốc để tính lãi cho tháng sau) 3.2.1 Bài toán: Gửi vào ngân hàng số tiền M, lãi suất hàng tháng r (hoặc kì hạn), thời gian gửi n tháng (hoặc kì hạn) Tính số tiền thu T (cả vốn lẫn lãi)  Xây dựng công thức + Số tiền thu sau tháng 1: T1  M  Mr  M (1  r ) + Số tiền thu sau tháng 2: T2  T1  T1 r  M (1  r )  M (1  r )r  M (1  r ) + Số tiền thu sau tháng 3: T3  T2  T2 r  M (1  r )  M (1  r ) r  M (1  r ) … + Số tiền thu sau tháng n: Tn  M (1  r ) n  Kết luận * Số tiền thu được: T  M (1  r ) n (2) * Xác định đại lượng công thức (2) + Số tiền ban đầu: M  T (1  r ) n (2a) T  (2b) M T + Thời gian gửi: n  log1 r (2c) M + Lãi suất: r  n 3.2.2 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Bác Khánh gửi tiết kiệm vào ngân hàng 100.000.000 đồng theo hình thức lãi kép, lãi suất 0,7%/tháng Tính vốn lãi bác thu sau tháng? A 106.300.000 đ B 932.095.263 đ C 106.479.312 đ D 107.000.000 đ Giải: Theo công thức (2) số tiền bác Khánh thu là: T  M (1  r ) n  100000000(1  0,7%)  106479311,7 (đồng) Đáp án C Ví dụ 2: Ơng An gửi vào ngân hàng 50.000.000 đồng theo thể thức lãi kép với lãi suất 0,67%/tháng Sau thời gian ông An rút vốn lẫn lãi 55.267.654 đồng Hỏi ông An gửi ngân hàng bao lâu? A 16 tháng B năm C 15 tháng D năm rưỡi Giải: Theo công thức (2c) thời gian ông An gửi là: n  log1 r T 55267654  log1 0, 67%  15 (tháng) Đáp án C M 50000000 Ví dụ 3: Một người gửi vào ngân hàng số tiền 60.000.000 đồng theo thể thức lãi kép, sau năm người rút 70.094.179 đồng vốn lẫn lãi Hỏi lãi suất hàng tháng người gửi bao nhiêu? A 0,7% B 8% C 1,1% D 0,65% Giải năm tương ứng 24 tháng Theo công thức (2b) lãi suất hàng tháng là: rn T 70094179   24   0,65% Đáp án D M 60000000 Ví dụ 4: Anh Bình gửi 25.000.000 vào ngân hàng theo thể thức lãi kép thời gian 10 năm với lãi suất 5%/năm Hỏi người nhận số tiền nhiều hay ngân hàng trả lãi suất 0,42%/tháng? A Ít 617.213 đồng B Nhiều 617.213 đồng C Bằng D Nhiều 712.100 đồng Giải: Số tiền anh Bình có (cả vốn lẫn lãi) sau 10 năm với lãi suất 5%/năm là: T  M (1  r ) n  25000000(1  5%)10  40722366 đồng Số tiền anh Bình có sau 10 năm (120 tháng) với lãi suất 0,42%/tháng là: T  M (1  r ) n  25000000(1  0,42%)120  41339579 đồng Ta thấy số tiền thu theo lãi suất 0,42%/tháng nhiều số tiền thu theo lãi suất 5%/năm là: 41339579  40722366  617213 đồng Đáp án B Ví dụ 5: Ơng Tuấn gửi tiết kiệm theo kì hạn tháng với lãi suất 4,2%/kì lãi hàng kì nhập vào vốn Hỏi sau năm người thu số tiền gấp đơi số tiền ban đầu? A năm tháng B năm tháng C 47 năm D năm Giải: Theo cơng thức (2) ta có phương trình: M (1  4,2%) n  2M (1  4,2%) n   n  log1 4, 2%  17 (kì) Đáp án B Ví dụ 6: Anh A muốn xây nhà, chi phí xây nhà hết tỉ đồng, anh có 700 triệu đồng Vì khơng muốn vay tiền nên anh A định gửi số tiền 700 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 12%/năm, tiền lãi năm trước cộng vào tiền gốc năm sau Tuy nhiên giá xây dựng tăng năm 1% so với năm trước Hỏi sau anh A tiết kiệm đủ tiền xây nhà (kết lấy gần đến chữ số thập phân)? A năm tháng B năm C năm rưỡi D năm tháng Giải: Theo công thức (2) số tiền anh A có sau n năm là: T  700000000(1  12%) n Chi phí để xây nhà sau n năm (giá xây dựng tăng 1%) là: A  10 (1  1%) n Ta có T  A  700000000(1  12%) n  10 (1  1%) n n 10 10   12%    n  log 112%  3,5   7   1%  11% Vậy sau năm rưỡi anh A tiết kiệm đủ tiền xây nhà Đáp án C Ví dụ 7: Bạn Long gửi 150.000.000 đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn năm với lãi suất r  5% ; 7%/ năm Sau năm bạn rút toàn số tiền vay thêm ngân hàng 212.000.000 đồng với lãi suất r Hỏi ngân hàng cần lấy lãi suất r để năm sau trả ngân hàng số tiền bạn Long lại nhỏ (giả sử lãi suất không thay đổi)? A 7,2% B 6,5% C 5% D 6% Giải: Số tiền bạn Long có vốn lãi sau năm là: 150.10 (1  r ) Số tiền bạn Long nợ ngân hàng vốn lãi sau năm kể từ ngày vay là: 212.10 (1  r ) Sau trả ngân hàng, số tiền lại: 150.10 (1  r )  212.10  212.10 (1  r ) Xét hàm số: f (r )  150.10 (1  r )  212.10  212.10 (1  r ) f ' (r )  600.10 (1  r )  636.10 (1  r )   r  6% Lập bảng biến thiên ta f (r ) nhỏ r  6% Đáp án D Ví dụ 8: Bạn An tốn tiền mua xe kì khoản năm: 5.000.000 đồng, 10.000.000 đồng, 15.000.000 đồng, 20.000.000 đồng 25.000.000 đồng Kì khoản đầu toán năm sau ngày mua, với lãi suất áp dụng 6% Hỏi xe bạn An mua giá tiền? A 60.734.562 đồng B 61.212.350 đồng B 93.106.419 đông D 94.202.419 đồng Giải: Theo cơng thức (2a): M  T , ta có giá trị xe là: (1  r ) n 5.10 10.10 15.10 20.10 25.10 A      60734562 Đáp án A (1  6%)1 (1  6%) (1  6%) (1  6%) (1  6%) Ví dụ 9: Một người gửi tiết kiệm 100.000.000 đồng vào ngân hàng Có hình thức kì hạn gửi: tháng, tháng, tháng, năm, biết lãi suất trả cho hình thức lãi suất 0,65%/tháng Hỏi người nên gửi theo hình thức để sau 10 năm thu số tiền nhiều nhất? A Kì hạn tháng B Kì hạn tháng C Kì hạn tháng D Kì hạn năm Giải: + Số tiền người thu theo kì hạn tháng sau 10 năm (120 tháng) là: T  M (1  r ) n  100000000(1  0,65%)120  217597302 đồng + Theo kì hạn tháng lãi suất là: 0,65%.3  1,95% Người gửi 10 năm tương ứng 10.12  40 kì hạn Số tiền người thu theo kì hạn tháng sau 10 năm là: T  M (1  r ) n  100000000(1  1,95%) 40  216515606 đồng + Theo kì hạn tháng lãi suất là: 0,65%.6  3,9% Người gửi 10 năm tương ứng 10.12  20 kì hạn Số tiền người thu theo kì hạn tháng sau 10 năm là: T  M (1  r ) n  100000000(1  3,9%) 20  214936885 đồng + Theo kì hạn năm lãi suất là: 0,65%.12  7,8% Số tiền người thu theo kì hạn năm sau 10 năm là: T  M (1  r ) n  100000000(1  7,8%)10  211927643 đồng Vậy số tiền thu theo kì hạn tháng nhiều Đáp án A Chú ý: - Nếu toán gửi tiền theo kì hạn n tháng mà cho lãi suất r /tháng lãi suất theo kì hạn nr /kì - Nếu tốn gửi tiền theo kì hạn n tháng mà cho lãi suất r /năm lãi suất theo kì hạn nr /kì 12 3.3 Bài toán lãi kép dành cho gửi tiền hàng tháng (Số tiền lãi tháng trước tính vào tiền gốc để tính lãi cho tháng sau) 3.3.1 Bài toán: Hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền M khơng đổi, lãi suất hàng tháng (hoặc kì hạn) r, thời gian gửi n tháng (hoặc kì hạn) Tính số tiền thu T (cả vốn lẫn lãi)  Xây dựng công thức + Ban đầu gửi: M + Sau tháng (tính từ lúc gửi), số tiền vốn, lãi gửi thêm là: T1  M  Mr  M  M (1  r )  M + Sau tháng, số tiền vốn, lãi gửi thêm:   T2  M (1  r )  1  M (1  r )  1r  M  M (1  r )  (1  r )  + Sau tháng, số tiền vốn, lãi gửi thêm:   T3  M (1  r )  (1  r )  (1  r )  … + Sau n-1 tháng, số tiền vốn, lãi gửi thêm:   Tn 1  M (1  r ) n 1  (1  r ) n    (1  r )     M (1  r ) n  r + Sau n tháng, số tiền vốn lãi (không gửi thêm): Tn       M M M (1  r ) n   (1  r ) n  r  (1  r ) n 1  (r  1) r r r  Kết luận * Số tiền thu được: T     M (1  r ) n 1  (r  1) (3) r * Xác định đại lượng công thức (3) Tr (3a) (1  r )  (r  1) (T  M )r  + Thời gian gửi: n  log1 r 1    (3b) M  + Số tiền gửi tháng: M  n 1 + Lãi suất: Coi r ẩn, dùng chức SOLVE dò nghiệm cho phương  M trình T  (1  r ) n 1  (r  1) r  3.3.2 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Để năm sau có tiền cho trai theo học đại học, ông Bách định tháng dành khoản tiền 2.500.000 đồng gửi tiết kiệm ngân hàng Hỏi với lãi suất 0.6% /tháng, sau hai năm ông Bách có tiền? A 28.600.000 đồng B 28.859.682 đồng C 55.724.000 đồng D 64.714.007 đồng Giải: năm tương ứng 24 tháng Theo công thức (3) số tiền ơng Bách có là: T     M 2500000 (1  r ) n 1  (r  1)  (1  0,6%) 25  (0,6%  1)  64714007 đồng Đáp án r 0,6% D 10   Tn  T (1  r ) n  M (1  r ) n 1   (1  r )   T (1  r ) n    M (1  r ) n  r Để sau n tháng hết nợ   M Tr (1  r ) n n Tn   T (1  r )  (1  r )    M  r (1  r ) n  n  Kết luận   M (1  r ) n  (4) r Tr (1  r ) n * Số tiền trung bình phải trả tháng để hết nợ: M  (4a) (1  r ) n  * Số tiền nợ tháng thứ n: Tn  T (1  r ) n  * Xác định đại lượng công thức (4a) + Số tiền nợ ban đầu: T  + Thời gian trả: n  log1 r   M (1  r ) n  (4b) r (1  r ) n M (4c) M  Tr + Lãi suất: Coi r ẩn, dùng chức SOLVE dò nghiệm cho phương Tr (1  r ) n trình M  (1  r ) n  3.4.2 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Anh Hòa mua trả góp xe máy SH giá 54.000.000 đồng Anh trả trước cho cửa hàng 20.000.000 đồng, số tiền lại tốn theo hình thức trả góp hàng tháng 5.000.000 đồng, lãi suất 0.5%/tháng Sau tháng, anh định trả nốt số tiền lại Khi anh Hòa phải trả cho ngân hàng tiền? A 25.377.510 đồng B 10.962.539 đồng C 10.000.000 đồng D 9.607.289 đồng Giải: Số tiền anh Hòa thực trả góp cho ngân hàng là: 34.000.000 đồng Theo cơng thức (4), số tiền nợ sau tháng là: Tn  T (1  r ) n      M 5.10 (1  r ) n   34.10 (1  0,5%)  (1  0,5%)   9607289 đồng r 0,5% Vậy anh Hòa phải trả thêm 9.607.289 đồng Đáp án D Ví dụ 2: Ơng A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 12%/năm Ơng muốn hồn nợ cho ngân hàng theo cách sau: sau tháng kể từ ngày vay, ơng bắt đầu hồn nợ Hai lần hồn nợ liên tiếp cách tháng, số tiền hoàn nợ lần trả hết tiền nợ sau tháng kể từ ngày vay Hỏi theo cách số tiền M ơng A phải trả cho ngân hàng tháng (biết lãi suất không thay đổi suốt thời gian ông A hoàn nợ)? 100.1,013 A M  1,013 B M  1,013  100.1,03 C M  120.1,12 D M  1,12  (Trích đề thi thử nghiệm THPT Quốc gia Bộ GD&ĐT lần 1) Giải: Lãi suất 12%/năm tương đương 1%/tháng.Theo công thức (4a): 12 M  Tr (1  r ) n 100.1%(1  1%) 1,013   (1  r ) n  (1  1%)  1,013  Đáp án B Ví dụ 3: Một xe máy điện giá 10.000.000 đồng bán trả góp 11 lần, lần trả góp với số tiền 1.000.000 đông (lần đầu trả sau nhận xe tháng) Tính lãi suất hàng tháng? A 1,48% B 1,5% C 1,6% D 1,62% Giải: Theo công thức (4a) ta có M  Tr (1  r ) n 10 7.r (1  r )11 (*)  10  (1  r ) n  (1  r )11  Dùng chức SOLVE máy tính dò nghiệm ta r  0,0162 Vậy lãi suất r  1,62% Đáp án D Ví dụ 4: Bạn An mua điện thoại Iphon theo hình thức trả góp với lãi suất 0,45%/tháng, biết tháng bạn phải trả đặn 1500000 đồng trả vòng năm Hỏi điện thoại giá tiền? A 17.485.000 đồng B 18.546.000 đồng C 28.310.187 đồng D 18.899.325 đồng Giải:     M (1  r ) n  1500000 (1  0,45%)12  Theo công thức (4b): T    17485000 (đồng) r (1  r ) n 0,45%(1  0,45%)12 Đáp án A Ví dụ 5: Bác Minh mua máy quay phim Panasonic giá 60.000.000 đồng, khơng đủ tiền để trả lần nên bác chọn phương thức mua trả góp với lãi suất tiền chưa trả 0,5% tháng Biết mua bác trả trước 15.000.000 đồng tháng phải trả đặn 2.034.000 đồng, hỏi sau thời gian bác Minh hoàn thành hợp đồng? A năm tháng B năm tháng C năm D 18 tháng Giải: Theo công thức (4c), thời gian để bác Minh hoàn thành hợp đồng là: n  log1 r M 2034000  log1 0,5%  23,5 M  Tr 2034000  45000000.0,5% Vậy thời gian bác Minh hoàn thành hợp đồng 24 tháng (2 năm) Đáp án C Ví dụ 6: Cuối năm, ơng Bách dự tính mua trả chậm xe máy cách trả 2.200.000 đồng tiền mặt, 3.800.000 đồng cuối năm sau 5.300.000 đồng cuối năm Lãi suất áp dụng 6,24%/năm, hỏi giá xe bao nhiêu? A 10.472.000 đồng B 8.272.000 đồng C 6.072.000 đồng D 11.472.000 đồng Giải: Gọi T số tiền ông Bách nợ lại ngân hàng Theo công thức (4), với n=1,cuối năm sau ơng Bách nợ: T1  T (1  r )  M  1,0624T  3800000 13 Theo công thức (4a), với n=1, cuối năm ông Bách trả hết nợ nên: 5300000  1,0624T1  5300000  1,0624(1,0624T  3800000)  T  8272000 đồng Vậy xe giá 8272000  2200000  10472000 đồng Đáp án A Ví dụ 7: Để có tiền làm kinh tế, anh Nam vay ngân hàng 150.000.000 đồng với lãi suất 9%/năm, kì hạn năm, tiền lãi cộng vào gốc trả vào cuối kì hạn Tuy nhiên sau năm anh khơng có đủ số tiền gốc lãi để trả lần nên ngân hàng đồng ý cho anh thực trả góp n tháng hình thức: trả trước 50.000.000 đồng, số tiền lại tháng trả 10.040.000 đồng chịu lãi suất 1,25%/tháng Hỏi anh Nam phải trả số tiền số tiền phải trả theo phương thức trả góp nhiều hay trả lần bao nhiêu? A 14 tháng, 12.345.000 đồng B 14 tháng, nhiều 12.345.000 đồng C 12 tháng, nhiều 12.345.000 đồng D 12 tháng, 9.215.000 đồng Giải: Số tiền gốc lãi anh Nam nợ cuối kì hạn: T  150000000(1  9%)  178215000 (đồng) Số tiền thực trả góp: 178215000  50000000  128215000 Theo cơng thức (4c), thời gian thực trả góp là: n  log1 r M 10040000  log11, 25%  14 tháng M  Tr 10040000  128215000.1,25% Số tiền a Nam trả theo hình thức trả góp nhiều trả lần là: 14.10040000  128215000  12345000 đồng Đáp án B 3.5 Bài toán rút sổ tiết kiệm theo định kì 3.5.1 Bài tốn: Số tiền gửi tiết kiệm ban đầu T, lãi suất r, số tháng rút tiền n, số tiền rút hàng tháng m  Xây dựng công thức + Sau tháng, thực rút tiền lần 1, số tiền lại (tính lãi): T1  T  Tr  M  T (1  r )  M + Sau tháng, thực rút tiền lần 2, số tiền lại (tính lãi): T2  T (1  r )  M   T (1  r )  M r  M  T (1  r )  M (1  r )  1 + Sau tháng, thực rút tiền lần 3, số tiền lại (tính lãi):   T3  T (1  r )  M (1  r )  (1  r )  … + Sau n tháng, thực rút tiền lần n, số tiền lại:   Tn  T (1  r ) n  M (1  r ) n 1   (1  r )   T (1  r ) n    M (1  r ) n  r Để sau n tháng hết tiền sổ Tn   T (1  r ) n    M Tr (1  r ) n (1  r ) n    M  r (1  r ) n   Kết luận * Số tiền lại sau rút tháng thứ n: Tn  T (1  r ) n    M (1  r ) n  r (5) 14 * Số tiền trung bình rút tháng để hết tiền: M  Tr (1  r ) n (5a) (1  r ) n  * Xác định đại lượng công thức (5a) + Thời gian rút: n  log1 r   M (1  r ) n  (5b) r (1  r ) n M (5c) M  Tr + Số tiền gửi ban đầu: T  + Lãi suất: Coi r ẩn, dùng chức SOLVE dò nghiệm cho phương trình M  Tr (1  r ) n (1  r ) n  Nhận xét: Thực toán giống toán trả góp, lại hiểu ngân hàng nợ tiền người cho vay, trái lại so với vay trả góp 3.5.2 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Thay việc gửi tiền tháng cho trai theo học đại học, anh Hùng định lập cho trai sổ tiết kiệm rút tiền định kì theo tháng số tiền 90.000.000 đồng với lãi suất 0,9%/tháng a Nếu tháng trai anh Hùng rút số tiền 3.000.000 đồng sau năm sổ tiết kiệm lại tiền A 64.796.147 đồng B 63.379.000 đồng C 62.379.312 đồng D 34.525.825 đồng b Nếu tháng trai anh Hùng rút số tiền vào ngày ngân hàng trả lãi hàng tháng bạn rút tiền để sau hai năm học hết số tiền A 7.750.479 đồng B 4.186.353 đồng C 7.072.304 đồng D 3.890.000 đồng Giải: a Theo công thức (5), số tiền lại sau năm (12 tháng) là: T12  90000000(1  0,9%)12    3000000 (1  0,9%)12   62379312 đồng Đáp án C 0,9% b Theo công thức (5b), số tiền hàng tháng trai anh Hùng rút để sau năm (24 tháng) hết tiền là: M  Tr (1  r ) n 90000000.0,9%(1  0,9%) 24   4186353 đồng Đáp án B (1  r ) n  (1  0,9%) 24  Ví dụ 2: Do bận rộn công việc nên hàng tháng ngân hàng gửi tiền cho bố mẹ, anh Nam lập cho ông bà tài khoản tiết kiệm rút tiền định kì theo tháng với lãi suất 0,6%/tháng Biết tháng bố anh Nam ngân hàng rút 2.070.000 đồng vào ngày ngân hàng trả lãi, sau 10 tháng tài khoản vừa hết tiền Hỏi anh Nam lập tài khoản tiết kiệm tiền? A 20.033.000 đồng B 21.971.153 đồng C 21.395.544 đồng D 19.197.937 đồng Giải: Theo cơng thức (5b) ta có: 15 T     M (1  r ) n  2070000 (1  0,6%)10    20033000 đồng Đáp án A r (1  r ) n 0,6%(1  0,6%)10 Ví dụ 3: Sau thời gian làm chị Lan tích cóp số tiền 900.000.000 đồng Để kiếm thêm lãi, chị Lan cho doanh nghiệp tư nhân A vay với lãi suất 1,5%/tháng để làm ăn thỏa thuận: Sau năm kể từ ngày cho vay doanh nghiệp phải trả trước cho chị Lan 500.000.000 đồng, số tiền lại tháng chị Lan lấy 50.000.000 đồng, lãi suất không thay đổi Hỏi tính từ lúc cho vay, sau chị Lan lấy hết số tiền vốn lãi? A năm B 14 tháng C năm tháng D năm tháng Giải: Sau năm (12 tháng) số tiền vốn lãi doanh nghiệp A nợ chị Lan là: T  9.10 (1  1,5%)12  1076056354 Số tiền ngân hàng nợ để chị Lan lấy hàng tháng là: 1076056354  500000000  576056354 đồng Theo công thức (5c), thời gian chị Lan lấy tiền hàng tháng là: n  log1 r M 50000000  log11,5%  13 tháng M  Tr 50000000  576056354.1,5% Vậy từ lúc cho vay, sau năm tháng chị Lan lấy hết số tiền Đáp án C Ví dụ 4: Chị Hương lập cho gái tài khoản tiết kiệm rút tiền định kì theo tháng để tiện cho việc theo học đại học Tài khoản ban đầu số tiền 60.000.000 đồng Biết tháng gái chị Hương rút đề đặn 3.500.000 sau năm rưỡi rút hết số tiền tài khoản Hỏi lãi suất mà ngân hàng trả cho tài khoản tiết kiệm chị Hương bao nhiêu? A 0,12% B 0,45% C 0,6% D 0,52% Giải: Một năm rưỡi tương đương 18 tháng Theo công thức (5a) ta có: M  Tr (1  r ) n 60000000.r (1  r )18 Dùng chức SOLVE máy  3500000  (1  r ) n  (1  r )18  tính dò nghiệm ta r  0,0052  0,52% Đáp án D 3.6 Bài tốn lãi suất khơng kì hạn 3.6.1 Bài tốn: Số tiền gửi tiết kiệm ban đầu M, lãi suất khơng kì hạn r, số ngày gửi khơng kì hạn n, số tiền thu T  Xây dựng cơng thức Lãi suất khơng kì hạn tính theo cơng thức lãi đơn Theo số ngân hàng: Agribank, Sacombank, Viettinbank, Công thương, … số ngày tháng qui ước 30, số ngày năm qui ước 360 n.r ) (6A) 30 n.r ) (6B) * Nếu lãi suất r lãi suất năm thì: T  M (1  360 * Nếu lãi suất r lãi suất tháng thì: T  M (1  3.6.2 Ví dụ minh họa 16 Ví dụ 1: Anh Vương gửi tiết kiệm ngân hàng 150.000.000 đồng với lãi suất 0,65%/tháng Do có việc phải sử dụng đến tiền nên gửi tháng 10 ngày anh phải rút ( chưa tháng anh rút lãi) a Hỏi anh Vương thu vốn lẫn lãi bao nhiêu, biết lãi suất khơng kì hạn ngân hàng áp dụng cho anh 0,2%/tháng A 153.046.017 đồng B 150.100.000 đồng C 154.200.000 đồng D 153.000.000 đồng b Lãi suất khơng kì hạn anh có 10 ngày bao nhiêu? A 1.019.630 đồng B 201.000 đồng C 101.963 đồng D 110.000 đồng Giải: a Số tiền vốn lãi anh có sau tháng là: 150000000(1  0,65%)  152944054 đồng Theo công thức (6a) số tiền vốn lãi anh có tháng 10 ngày là: 152944054(1  10.0,2% )  153046017 đồng Đáp án A 30 b Lãi suất khơng kì hạn anh có 10 ngày là: 153046017  152944054  101963 đồng Đáp án C Ví dụ 2: Anh Hòa gửi tiết kiệm ngân hàng 55.000.000 đồng kì hạn tháng với lãi suất 5%/năm, gửi tháng rưỡi anh phải rút để mua lại xe SH bạn Biết vốn lãi anh rút 55.309.375 đồng Hỏi ngân hàng tính lãi suất khơng kì hạn năm cho anh bao nhiêu? A 1,5%/tháng B 1,5%/năm C 2%/năm D 1,65%/năm Giải: tháng rưỡi quy ước tính 4.30+15=135 ngày 135.r )  55309375 (đồng) Dùng chức 360 SOLVE máy tính dò nghiệm ta r  0,015  1,5% /năm Đáp án B Theo công thức (6b): 55000000(1  Ví dụ 3: Bác Minh khơng dùng đến tiền nên gửi tiết kiệm với số tiền ban đầu 20.000.000 đồng theo kì hạn tháng, lãi suất 0,72%/tháng Sau năm bác Minh lẩy vốn lẫn lãi gửi tiếp ngân hàng với kì hạn tháng, lãi suất 0,78%/tháng số lần kì hạn a Sau bác Minh phải rút tiền để mua máy kinh doanh, lúc rút 28.735.595 đồng Biết gửi tiền có kì hạn tính lãi suất vào cuối kì hạn để tính vào kì hạn sau, rút trước kì hạn (rút trước ngày cuối kì hạn) lãi suất tính theo lãi suất khơng kì hạn 2%/năm Tính số kì hạn a số ngày gửi khơng kì hạn, biết hình thức khơng kì hạn khơng tính theo cơng thức lãi kép A kì hạn, 45 ngày B kì hạn, 45 ngày C kì hạn, 30 ngày D kì hạn, 15 ngày Giải: Số tiền nhận vốn lẫn lãi sau năm (4 kì hạn tháng) là: 20000000(1  3.0,72%)  21784798 Số tiền nhận vốn lẫn lãi sau kì hạn tháng là: 17 21784798(1  6.0,78%)1  22804326 Số tiền nhận vốn lẫn lãi sau kì hạn là: 21784798(1  6.0,78%)  23871569 Số tiền nhận vốn lẫn lãi sau kì hạn là: 21784798(1  6.0,78%)  24988758 Số tiền nhận vốn lẫn lãi sau kì hạn là: 21784798(1  6.0,78%)  26158232 Số tiền nhận vốn lẫn lãi sau kì hạn là: 21784798(1  6.0,78%)  27382437 Số tiền nhận vốn lẫn lãi sau kì hạn là: 21784798(1  6.0,78%)  28663935 Số tiền nhận vốn lẫn lãi sau kì hạn là: 21784798(1  6.0,78%)  30005408 Từ bảng tính ta thấy kì hạn tháng số tiền thu nhiều giả thiết Vậy kết luận bác Minh gửi kì hạn kì hạn tháng số ngày gửi khơng kì hạn Gọi số ngày gửi khơng kì hạn b, lãi suất khơng kì hạn khơng tính theo cơng thức lãi kép nên tính theo cơng thức lãi đơn Ta có: 28663935(1  0,02.b )  28735595 360 Dùng chức SOLVE máy tính dò nghiệm ta b  45 ngày Đáp án A 3.7 Bài tốn lãi kép liên tục – cơng thức tăng trưởng mũ 3.7.1 Bài toán: Vốn ban đầu M, lãi suất r, thời gian n, số vốn thu T  Công thức: T  M e nr (8) (Trích dẫn cơng thức (3), trang 92, SGK 12 nâng cao, chứng minh)  Xác định đại lượng công thức (8) + Số vốn ban đầu: M  r + Thời gian: n  ln n + Lãi suất: r  ln T M T M T e nr (8a) (8b) (8c) 3.7.2 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Một người gửi 100.000.000 đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép liên tục, lãi suất 7,5%/năm Sau năm số tiền thu vốn lẫn lãi bao nhiêu? A 122.504.300 đồng B 125.232.272 đồng C 121.000.000 đông D 948.773.583 đồng Giải: Theo công thức (8) số tiền thu là: T  M e nr  100000000e 3.7,5%  125232272 Đáp án B Ví dụ 2: Một người gửi ngân hàng 60.000.000 đồng theo thể thức lãi kép liên tục Sau năm hai tháng người lấy vốn lãi số tiền 66.642.637 đồng Hỏi ngân hàng trả lãi suất bao nhiêu? A 0,75% B 0,76% C 0,88% D 0,65% Giải: n Theo công thức (8c) lãi suất ngân hàng trả là: r  ln T 66642637  ln  0,75% M 14 60000000 Đáp án A 18 Ví dụ 3: Sự tăng dân số ước tính theo cơng thức lãi kép liên tục (tăng trưởng mũ) Biết tỉ lệ tăng dân số giớ hàng năm 1,32%, người ta dự đoán dân số giới năm 2020 khoảng 6762,8 triệu người Hỏi 10 năm trước (năm 2010) dân số giới khoảng bao nhiêu? A 5925,1 triệu B 5974,2 triệu C 5931,6 triệu D 5926,5 triệu Giải: Theo công thức (8a) dân số giới 10 năm trước là: M  T 6762,8  10.1,32%  5926,5 triệu người Đáp án D nr e e Ví dụ 4: Biết năm 2001, dân số Việt Nam 78.685.800 người tỉ lệ tăng dân số năm 1,7% tăng dân số ước tính theo cơng thức tăng trưởng mũ Hỏi tăng dân số với tỉ lệ đến năm dân số nước ta mức 100 triệu người? A 2015 B 2014 C 2018 D 2017 Giải: Theo công thức (8b) thời gian để dân số nước ta mức 100 triệu người là: T 100000000 n  ln  ln  14 năm Cứ tăng dân số với tỉ lệ đến r M 1,7% 78685800 năm 2015 dân số nước ta mức 100 triệu Đáp án A Ví dụ 5: Cho biết chu kì bán rã chất phóng xạ Plutoni Pu 239 24.360 năm Sự phân hủy tính theo công thức T  M e nr (M lượng ban đầu, r tỉ lệ phân hủy (r0), n thời gian) Biết số lượng vi khuẩn ban đầu 100 con, sau có 300 Hỏi sau 10 có Sau số lượng vi khuẩn ban đầu tăng gấp đôi? A 800 con, 15 phút giây B 900 con, 59 phút 32 giây C 800 con, phút 55 giây D 900 con, phút 17 giây Giải: ln Ta có 300  100.e 5r 10 ln r Sau 10 giờ: T  100.e  900 Thời gian số lượng vi khuẩ tăng gấp đôi: T 2M n  ln  ln  ln  ln  3,155 (tức phút 17 giây) Đáp án D r M r M r ln 19 Chú ý: Một số tăng trưởng không tuân theo công thức (8) mà tăng theo hàm riêng đặc trưng Ví dụ 7: Số lượng loại vi khuẩn A phòng thí nghiệm tính theo cơng thức S (t )  S (0).2 t , S(0) số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, S(t) số lượng vi khuẩn A có sau t phút Biết sau phút, số lượng vi khuẩn A 625 nghìn Sau kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A 10 triệu con? A 48 phút B 19 phút C phút D 12 phút (Trích đề thi thử nghiệm THPT Quốc Gia lần Bộ GD&ĐT) Giải: S (3) 625000   78125 23 S (t ) 10000000  log  phút Đáp án C Từ S (t )  S (0).2 t  t  log S (0) 78125 Ví dụ 8: Năng lượng trận động đất tính cơng thức E  1,74.10191, 44 M với Ta có S (3)  S (0).2  S (0)  M độ lớn theo thang độ Richte Thàng phố A xảy trận động đất độ Richte lượng gấp 14 lần trận động đất xảy thành phố B Hỏi độ lớn trận động đất xảy thành phố B bao nhiêu? A 7,2 độ Richte B 7,8 độ Richte C 9,6 độ Richte D 6,9 độ Richte Giải: Năng lương trận động đất thành phố A: E A  1,74.10191, 44.8 Năng lương trận động đất thành phố B: E B  1,74.10191, 44.M Ta có: E A  14 E B  1,74.10191, 44.8  14.1,74.10191, 44.M  1011,52  14.101, 44.M B B MB  B 1011,52 log  7,2 độ Richte Đáp án A 1,44 14 Ví dụ 9: Một loại xanh trình quang hợp nhận lượng nhỏ cacbon 14 Khi phận chết tượng quang hợp ngưng khơng nhận thêm cacbon 14 Lượng cacbon 14 phận bị phân hủy cách chậm chạp, chuyển hóa thành nitơ 14 Gọi P(t) số phần trăn cacbon 14 lại phận sinh trưởng t 5750 từ t năm trước P(t) tính theo cơng thức P(t )  100.0,5 % Phân tích mẫu gỗ từ cơng trình kiến trúc, người ta thấy lương cacbon 14 lại mẫu gỗ 65% Xác định niên đại cơng trình kiến trúc đó? A 3570 năm B 3754 năm C 4573 năm D 3574 năm Giải: Ta có 100.0,5 t 5750  65  t 5750  100 100  t  5750 log  3574 năm Đáp án D 65 65 Ví dụ 10: Trên Radio FM có vạch chia để người dùng dễ dàng chọn sóng Radio cần tìm Vạch ngồi bên trái bên phải tương ứng với 88 MHz 108 MHz Hai vạch cách 12 cm Biết vị trí vạch cách vạch ngồi bên trái x cm có tần số F  ka x MHz với k a số Tìm vị trí vạch ứng với tần số 91MHz để bắt sóng VOV A Cách vạch ngồi bên phải 8,47 cm 20 B Cách vạch bên trái 2cm C Cách vạch bên phải 10,04 cm D Cách vạch bên trái 10,3 cm Giải: Tại vị trí 88 MHz 88  ka  k  88 Tại vị trí 108 MHz 108  88a 12  a  12 27 22 x  27  91 Tại vị trí 91MHz 91  88. 12   x  log 27  1,9643 12 88  22  22 Vậy vị trí vạch ứng với tần số 91 MHz cách vạch bên trái 1,9642 cm Suy cách vạch bên phải 12  1,9642  10,0358 Đáp án C 3.8 Mở rộng số tốn thực tế khác áp dụng cơng thức lãi kép Ví dụ 1: Anh Hùng lĩnh lương khởi điểm 3.000.000 đồng/tháng, năm lại tăng lương thêm 7% Hỏi: a Sau 36 năm làm việc lương anh Hùng bao nhiêu? A 10.350.000 đồng B 5.310.000 đồng C 6.314.556 đồng D 32.029.744 đồng b Sau 36 năm làm việc anh Hùng lĩnh tất tiền? A 1.931.952.737 đồng B 1.912.550.125 đồng C 1.012.324.000 đồng D 1.500.625.300 đồng Giải: Hết năm đầu tăng lương, sau 35 năm anh Hùng tăng 11 lần a Lương anh Hùng sau 35 năm là: 3000000(1  7%)11  6314556 (đồng) Đáp án C b Từ đầu năm thứ đến hết năm thứ ba, anh Hùng nhận: u1  3000000.36 Từ đầu năm thứ tư đến hết năm thứ sáu, anh Hùng nhận: u  3000000.(1  7%).36 Từ đầu năm bảy đến hết năm thứ chín, anh Hùng nhận: u  3000000.(1  7%) 36 … Từ đầu năm thứ 34 đến hết năm thứ 36, anh Hùng nhận: u12  3000000.(1  7%)11 36 Vậy sau 36 năm anh Hùng nhận tổng số tiền là: T  u1  u   u12  3000000.36 (1  7%)12   1931952737 đồng Đáp án A (1  7%)  Ví dụ 2: Dự báo với mức tiêu thụ dầu không đổi trữ lượng dầu dự trữ nước A hết sau 100 năm Do nhu cầu thực tế, mức tiêu thụ tăng 4% năm Hỏi sau khoảng năm số dầu dự trữ nước A hết? A 41 năm B 40 năm C 35 năm D 38 năm Giải: Gọi M mức tiêu thụ dầu hàng năm nước A theo dự báo Theo thực tế: Năm thứ tiêu thụ: u1  M Năm thứ hai tiêu thụ: u  M (1  4%) Năm thứ ba tiêu thụ: u  M (1  4%) , …Năm thứ n tiêu thụ: u n  M (1  4%) n 1 21 Tổng tiêu thụ n năm là: T  u1  u   u n  M (1  4%) n  (1  4%)  (1  4%) n   100 M  n  log1, 04  41 năm Đáp án A Ta có: M (1  4%)  Ví dụ 3: Biết thể tích khí CO2 năm 1998 V (m ) 10 năm , năm thể tích CO2 tăng 0,4% 10 năm nữa, thể tích CO2 năm tăng 0,45% Tính thể tích CO2 năm 2017? A m B 1,09 m C 1,084 m D 1,12 m Giải: Thể tích CO2 năm 2008 V2008  V (1  0,4%)10 Thể tích CO2 năm 2017 V2017  V2008 (1  0,45%)  V (1  0,4%)10 (1  0,45%)  1,08364392V (m ) Đáp án C Ví dụ 4: Biết tỉ lệ lạm phát hàng năm Thái Lan 15 năm qua 5% Năm 2007, tiền nạp xăng cho ô tô 25,5$ Hỏi năm 2017 tiền nạp xăng cho tơ bao nhiêu? A 41,5$ B 43,6$ C 38,25$ D 39,5$ Giải: Từ năm 2007 đến năm 2017 10 năm Theo công thức lãi kép, tiền nạp xăng cho tơ năm 2017 là: T  25,5(1  5%)10  41,5$ Đáp án A Ví dụ 5: Số lượng động vật nguyên sinh tăng trưởng với tốc độ 0,524 con/ngày Giả sử ngày số lượng động vật nguyên sinh Hỏi sau tháng (30 ngày) số lượng động vật nguyên sinh bao nhiêu? A 617.418 B 409.100 C 602.324 D 405.130 Giải: Từ ngày thứ đến ngày thứ 30 số lượng động vật nguyên sinh tăng trưởng 29 ngày Theo cơng thức lãi kép ta có: 2(1  0,524) 29  405130 Đáp án D Ví dụ 6: Cho phản ứng hóa học N O5  NO2  O2 nơi có nhiệt độ 45 C , nhà hóa học nhận thấy biến thiên nồng độ mol/l N O5 theo thời gian tỉ lệ thuận với nông độ mol/l N O5 với hệ số tỉ lệ k=-0,0005 Hỏi sau khoảng thời gian nồng độ mol/l N O5 90% giá trị ban đầu? A 211 giây B 301 giây C 102 giây D 527 giây Giải: Gọi Tt nồng độ N O5 thời điểm t, M nồng độ N O5 ban đầu Tt  0,9 M Ta có:  Tt  M (1  (0,0005)) t  0,9  0,9995 t Dùng chức SOLVE máy tính dò nghiệm ta t  211 Đáp án A Ví dụ 7: Tính đến đầu năm 2011, dân số tồn tỉnh Thanh Hóa đạt gần 906.820 triệu người, mức tăng dân số 1,37% năm Tỉnh thực tốt chủ trương 100% trẻ em độ tuổi vào lớp Đến năm học 2024-2025 ngành giáo dục tỉnh cần chuẩn bị phòng học cho học sinh lớp 1, phòng 35 22 học sinh (giả sử năm sinh lứa học sinh vào lớp tồn tỉnh Thanh Hóa có 2400 người chết, số trẻ tử vong trước tuổi khơng đáng kể)? A 458 phòng B 459 phòng C 391 phòng D 322 phòng Giải: Chỉ em sinh năm 2018 đủ tuổi học vào lớp năm học 2024-2025 Dân số năm 2018 là: 906820(1  1,37%)  1011106 Dân số năm 2017 là: 906820(1  1,37%)  997441 Số trẻ vào lớp là: 1011106  997441  2400  16065 Số phòng học 16065 : 35  459 (phòng) Đáp án B BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Anh Nam cầm sổ tiết kiệm ngân hàng rút toàn số tiền vốn lẫn lãi anh gửi ngân hàng cách năm theo hình thức lãi đơn với lãi suất 2,4%/quý Biết số tiền anh nhận từ ngân hàng 54.760.000 đồng Hỏi số tiền ban đầu anh Nam gửi ngân hàng bao nhiêu? Bài 2: Anh An muốn xây nhà, chi phí xây nhà hết 800 triệu đồng, anh có 500 triệu đồng Vì khơng muốn vay tiền nên anh An định gửi số tiền 700 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 6%/năm, tiền lãi năm trước cộng vào tiền gốc năm sau Giá xây dựng giảm 0,2%/năm Hỏi sau anh An tiết kiệm đủ tiền xây nhà? Bài 3: Khi bắt đầu làm, bạn Hòa định gửi tiết kiệm ngân hàng phần lương tháng với lãi suất 6%/năm để lấy tiền mua xe máy Với mức lương triệu đồng, sau trang trải khoản chi phí sinh hoạt bạn bỏ số tiền 2500000 đồng Khi mua xe bạn rút vốn lẫn lãi 140.575.133 đồng Hỏi bạn Hòa gửi ngân hàng bao lâu? Bài 4: Bác A mua xe máy SH giá 65.000.000 đồng, khơng đủ tiền để trả lần nên bác chọn phương thức mua trả góp với lãi suất tiền chưa trả x% tháng Biết mua bác trả trước 35.000.000 đồng tháng phải trả đặn 2.500.000 đồng, sau thời gian 16 tháng bác A hoàn thành hợp đồng Hỏi lãi suất mà cửa hàng áp dụng cho bác A bao nhiêu? Bài 5: Do bận rộn công việc nên hàng tháng ngân hàng gửi tiền học cho gái, anh Nam lập cho gái tài khoản tiết kiệm rút tiền định kì theo tháng với lãi suất 0,6%/tháng Biết tháng gái anh Nam ngân hàng rút 3.000.000 đồng vào ngày ngân hàng trả lãi, sau năm tài khoản vừa hết tiền Hỏi anh Nam lập tài khoản tiết kiệm tiền? Bài 6: Bà Hoa gửi tiết kiệm với số tiền ban đầu 30.000.000 đồng theo kì hạn tháng, lãi suất 0,65%/tháng Sau năm bà lẩy vốn lẫn lãi gửi tiếp ngân hàng với kì hạn tháng, lãi suất 0,7%/tháng kì hạn Sau bà Hoa phải rút tiền để kinh doanh, biết gửi tiền có kì hạn tính lãi suất vào cuối kì hạn để tính vào kì hạn sau, rút trước kì hạn lãi suất tính theo lãi suất khơng kì hạn 2%/năm Tính số tiền mà bà Hoa thu sau lần gửi? Bài 7: Ecoli vi khuẩn đường ruột gây tiêu chảy, đau bụng dội Cứ sau 20 phút số lượng vi khuẩn Ecoli lại tăng gấp đơi Ban đầu có 60 vi khuẩn Ecoli đường ruột Hỏi sau số lượng vi khuẩn bao nhiêu? 23 Bài 8: Áp suất khơng khí P (mmHg) suy giảm mũ so với độ cao x (m) theo công thức P  P0 e xi , P0  760 mmHg áp suất mực nước biển (x=0), i hệ số suy giảm Biết độ cao 1000m áp suất khơng khí 672,71 mmHg Hỏi áp suất khơng khí độ cao 3000m bao nhiêu? Bài 9: Lãi suất tiền gửi tiết kiệm số ngân hàng thời gian vừa qua liên tục thay đổi Bạn Châu gửi số tiền ban đầu triệu đồng với lãi suất 0,75%/tháng, đầy năm lãi suất tăng lên 1,15%/tháng nửa năm bạn Châu tiếp tục gửi Sau nửa năm lãi suất giảm xuống 0,9%/tháng, bạn Châu tiếp tục gửi thêm số tháng tròn Khi rút tiền bạn Châu vốn lẫn lãi 5.747.478 đồng Hỏi bạn Châu gửi tiết kiệm tháng? Bài 10: Một lon nước Soda 80 F đưa vào máy làm lạnh chứa đá 32 F Nhiệt độ Soda phút thứ t tính theo cơng thức Newton: T (t )  32  48.0,9 t Phải làm mát Soda để nhiệt độ 50 F ? III KẾT LUẬN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thực tế cho thấy, với cách xây dựng xâu chuỗi công thức tạo cho học sinh nhanh nhẹn, linh hoạt, vững vàng, tiết kiệm thời gian q trình giải tốn Học sinh biết vận dụng có sáng tạo học tập, biết liên kết nhiều mảng kiến thức, gắn kết tư lí luận với thực tiễn Cách làm đáp ứng nhu cầu học tập tích cực học sinh Sau ơn tập dạng toán phương pháp, học sinh tự giải tập tương tự, tập nằm đề thi thử trường THPT Hiệu học tập học sinh nâng lên rõ rệt Để có viết trên, tơi phải nghiên cứu nhiều tài liệu kiểm chứng qua số nhóm học sinh có học lực giỏi, trung bình lớp mà tơi giảng dạy lớp 12A, 12D, 12K năm học 2016- 2017 Với 10 toán hệ thống tập tự luyện trên, lớp tơi chọn hai nhóm học sinh với số lượng nhau, có học lực ngang nhau, nhóm I: tơi cho làm sau triển khai viết, nhóm II: tơi cho làm trước triển khai viết, thời gian làm 20 phút Kết thu cụ thể thể bảng sau: Nhóm Số học sinh có lời Số học sinh có lời Số học giải 0-5 câu giải 6-10 câu sinh 0-2 câu 3-5 câu 6-8 câu 9-10 câu NHÓM I Lớp 12A 15 Lớp 12D 20 11 Lớp 12K 15 NHÓM II Lớp 12A 15 Lớp 12D 20 Lớp 12K 15 10 Qua bảng thống kê ta thấy cách làm thể hiệu vượt trội 24 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Trong trình dạy học, thể loại kiến thức, giáo viên nắm sở lý thuyết, chủ động việc tìm tòi cách giải mới, kế thừa phát huy kiến thức có sẵn cách sáng tạo, xây dựng phương pháp giải đưa hệ thống tập phù hợp với đối tượng học sinh, hướng dẫn học sinh vận dụng hợp lý vào việc giải tập tương ứng cách có hệ thống tạo điều kiện để học sinh củng cố hiểu sâu lý thuyết với việc thực hành giải toán hiệu hơn, tạo hứng thú, phát huy tính chủ động sáng tạo việc học học sinh Đề tài tác giả tâm huyết nghiên cứu, đầu tư kĩ lưỡng chất lượng, nội dung hình thức, mong hội đồng KH nghành xét duyệt phổ biến rộng rãi giúp giáo viên học sinh có thêm tài liệu bổ ích để giảng dạy học tập Bài viết khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong bạn đồng nghiệp bổ sung góp ý để viết hoàn thiện hơn, ứng dụng vào việc dạy học cho học sinh lớp giảng dạy, đem lại cho học sinh giảng hay hơn, hút XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 05/ 05/ 2017 Tơi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, không chép nội dung người khác Người viết: Nguyễn Văn Vương TÀI LIỆU THAM KHẢO Các đề thi thử nghiệm THPT Quốc gia năm 2017 Bộ GD & ĐT Tuyển tập tạp chí tốn học tuổi trẻ năm 2016, 2017 Khóa học luyện thi trắc nghiệm mơn tốn 2017, thầy Mẫn Ngọc Quang Chuyên đề luyện thi trắc nghiệm toán 2017, thầy Nguyễn Tiến Minh, thầy Đặng Thành Nam, thầy Đặng Việt Hùng, Thầy Đồn Trí Dũng Tuyển tập đề thi trắc nghiệm mơn tốn năm 2017 trường: Chun ĐH Vinh, Chuyên Lương Thế Vinh, Chuyên KHTN, Chuyên Quốc Học Huế, ĐH Quốc Gia Hà Nội, ĐH Sư phạm Hà Nội, Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, trường THPT tỉnh: Chuyên Lam Sơn, THPT Ba Đình, THPT Bỉm Sơn, THPT Mai Anh Tuấn, THPT Quảng Xương 1, THPT Hậu Lộc 1, THPT Tĩnh Gia 1, THPT Hàm Rồng, THPT Đào Duy Từ, THPT Như Thanh, THPT Lang Chánh,… Một số toán lãi suất ngân hàng Agribank chi nhánh Nga Sơn Bộ đề thi học sinh giỏi cấp THCS THPT qua năm tỉnh: Thanh Hóa, Ninh Bình, Thái Bình, Nghệ An, Hà Nội, Thành Phố HCM, Quảng Ngãi, Quảng Nam, Phú Thọ, An Giang, Kiên Giang, Đồng Tháp, Bến Tre, Cà Mau, Lạng Sơn, Lào Cai, Yên Bái, Phú Yên, Nam Định,… 25 Bài toán lãi suất ngân hàng thầy Hồng Đình Long Đề cương ơn thi lớp kế tốn ĐH Thương mại 10 Khóa luận thạc sĩ bạn Nguyễn Thị Xuân, báo cáo trường ĐH Kinh tế quốc dân 26 ... tốt toán thực tế lãi suất tăng trưởng mũ - Đối tượng nghiên cứu: Đề tài: Xây dựng cơng thức tính nhanh cho số dạng toán thực tế lãi suất tăng trưởng mũ đề thi trắc nghiệm toán THPT Quốc gia ” 3... cho số dạng toán thực tế lãi suất tăng trưởng mũ đề thi trắc nghiệm toán THPT Quốc gia ” mà hướng đến GIẢI PHÁP 3.1 Bài toán lãi đơn (Số tiền lãi tháng tính số tiền gốc mà khơng tính số tiền lãi. .. học sinh ôn thi hay làm thử đề thi trắc nghiệm toán bỏ qua hồn tồn tốn thực tế lãi suất tăng trưởng mũ khoanh “chùa” đáp án, tốn khơng phải tốn q khó, toán mấu chốt đề Bằng kinh nghiệm tích