PHẦN I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài: Phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh việc làm quan trọng cần thiết trình dạy học, giáo dục học sinh Phát triển tư sáng tạo giúp học sinh tự tin vào thân để khơng ngừng khám phá, tìm tòi, phát mới; sáng tạo giúp học sinh chủ động tiếp thu kiến thức, có nghị lực niềm tin để chinh phục khó khăn học tập Cao tư sáng tạo giúp học sinh tìm đường ngắn nhất, nhanh để đạt thành công học tập, sống Xuất phát từ đặc thù mơn tốn với khái quát trừu tượng cao, liên kết liên tục kiến thức toán học theo năm học, cấp học Điều đòi hỏi học sinh khơng cần phải tích cực, chủ động tiếp thu, lĩnh hội kiến thức mà phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức học, biết kết nối kiến thức cũ để chiếm lĩnh kiến thức mới… Vì lẽ việc đổi phương pháp dạy học dạy học mơn Tốn trở nên quan trọng, thiết nhiệm vụ người giáo viên dạy Tốn Nội dung hình học khơng gian thường xem nội dung khó học học sinh THPT, dạy học chủ đề nhiều giáo viên cảm thấy khó dạy, khơng hứng thú chủ đề khác môn Toán Nguyên nhân quan trọng dẫn đến thực trạng nêu hình học khơng gian đòi hỏi mức độ tư tưởng tượng cao; học sinh quen với tư hình học phẳng nên gặp nhiều khó khăn làm quen tư hình học khơng gian Để học tốt hình học khơng gian học sinh cần phát huy tư sáng tạo, ngược học sinh học tốt mơn tốn nói chung chủ đề hình học khơng gian nói riêng góp phần phát triển tư sáng tạo Những lí nêu sở để chọn đề tài nghiên cứu: “ Phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh Trung học phổ thông thông qua số kỹ thuật giải tốn hình học khơng gian lớp 11” 1.2 Mục đích đề tài - Nghiên cứu phương pháp giảng dạy giải tập toán theo hướng hình thành phát triển tư sáng tạo cho học sinh - Dựa theo chuẩn kiến thức kỹ hình học 11 Bộ GD-ĐT xuất phát từ thực tiễn giảng dạy hình học khơng gian 11, thông qua số phương pháp nhằm rèn luyện lực tư cho học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Bài tập hình học khơng gian chương I+II SGK hình học 11 theo chương trình nâng cao 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Đặt vấn đề, giải vấn đề PHẦN NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận đề tài 2.1.1 Cơ sở tốn học + Các định nghĩa, định lý, tính chất hình học phẳng THCS, hình học khơng gian SGK Hình học 11 + Các tính chất phép chiếu song song, phép chiếu vng góc, cụ thể: * Đối với phép chiếu song song tính chất sau thường sử dụng giải tập tốn hình học: Tính chất 1: Qua phép chiếu song song yếu tố sau không thay đổi (bất biến): + Tỉ số hai đoạn thẳng nằm hai đường thẳng song song trùng + Sự thẳng hàng điểm ( phương chiếu không song song với đường thẳng chứa điểm đó) + Độ dài đoạn thẳng thuộc đường thẳng song song với phương chiếu không thay đổi, nghĩa biến đọan AB thành A’B’ AB = A’B’ Tính chất 2: + Phép chiếu song song biến đường thẳng không song song với phương chiếu thành đường thẳng + Biến trung điểm đoạn thẳng không thuộc đường thẳng song song với phương chiếu thành trung điểm đoạn thẳng Tính chất 3: + Ảnh ba điểm phân biệt qua phép chiếu song song trùng ba điểm thẳng hàng + Phép chiếu song song theo hai phương không phương biến ba điểm A, B, C thành thành điểm thẳng hàng A1, B1, C1 A2, B2, C2 A, B, C thẳng hàng * Đối với phép chiếu vng góc tính chất sau thường sử dụng: Tính chất: Qua phép chiếu vng góc góc vng có ảnh góc vng có cạnh song song thuộc mặt phẳng chiếu, cạnh lại khơng vng góc với mặt phẳng chiếu 2.1.2 Cơ sở tâm lý học Theo nhà tâm lý học, người bắt đầu tư tích cực nảy sinh nhu cầu cần tư duy, tức đứng trước khó khăn nhận thức cần phải khắc phục, tình gợi vấn đề, hay nói Rubinstein: “Tư sáng tạo ln ln bắt đầu tình gợi vấn đề” Việc giải tốn nói chung, giải tốn hình học khơng gian nói riêng đặt học sinh đứng trước khó khăn, khó khăn giải học sinh nắm vững kiến thức học biết cách vận dụng chúng Như phương pháp giải tốn hình học khơng gian cơng cụ hữu hiệu để học sinh có niềm tin, có động lực để giải tốn hình học Những hoạt động tốn học nói chung, họat động hình học nói riêng tạo nhiều tình gợi vấn đề từ tạo cho học sinh nhu cầu tư hình học, tư toán học Theo sở tâm lý học nhà tâm lý học kết luận kiểm chứng thực tiễn giáo dục nhu cầu tư nêu sơ để học sinh tiếp thu, lĩnh hội kiến thức hình học mới, kiến thức toán học 2.1.3 Cơ sở giáo dục học Hoạt động nhận thức toán học học sinh hiểu “ trình tư ẫn tới lĩnh hội tri thức toán học, nắm ý nghĩa tri thức đó, xác định mối liên hệ nhân mối liên hệ khác đối tượng toán học nghiên cứu ( khái niệm; quan hệ; quy luật toán học;…); từ học sinh vận dụng tri thức toán học giải vấn đề thực tiễn” Mục tiêu chủ yếu việc phát triển hoạt động nhận thức dạy học tốn phát triển trí tuệ nhân cách học sinh Ở phát triển trí tuệ hiểu thay đổi chất hoạt động nhận thức Sự biến đổi đặc trưng thay đổi cấu trúc phản ảnh phương thức phản ánh chúng Nói đồng nghĩa với phát triển trí tuệ thống việc vũ trang tri thức việc phát triển cách tối đa phương thức phản ánh chúng Trong thống dẫn đến làm thay đổi cấu trúc thân hệ thống tri thức (mở rộng cải tiến, bổ sung, cấu trúc lại) làm cho hệ thống tri thức ngày thêm sâu sắc phản ánh chất, tiếp cận dần với chân lí điều chỉnh, mở rộng phương thức phản ánh, đơi đến xóa bỏ phương thức phản ánh cũ để hình thành phương thức phản ánh hợp lí hơn, sáng tạo hơn, phù hợp với quy luật tự nhiên xã hội Phát triển trí tuệ hiểu cụ thể qua phát triển lực trí tuệ bao gồm lực thu nhận thơng tin tốn học; lực chế biến thơng tin tốn học; lực tư logic, tu biện chứng, tư phê phán, tư định lượng; lực khái quát nhanh chóng rộng rãi đối tượng, quan hệ, mối liên hệ tốn học; có tính mềm dẻo q trình tư duy; lực thay đổi nhanh chóng chuyển hướng suy nghĩ từ dạng sang dạng khác Như thơng qua hoạt động nhận thức tốn học nói chung, hoạt động nhận thức hình học khơng gian nói riêng nhằm thực mục tiêu giáo dục nhân cách cho học sinh; giáo dục tư phê phán; cách giải vấn đề sáng tạo; cách xử lí thông tin… sống thực tiễn 2.2 Thực trạng đề tài Qua thực tiễn trình dạy học đồng thời thơng qua việc tìm hiểu, điều tra từ giáo viên học sinh trường THPT địa bàn huyện Quảng Xương; tổng hợp thông tin có tìm hiểu phương tiện thơng tin đại nhận thấy việc dạy học chủ đề hình học khơng gian tồn thực trạng sau: + Đối với giáo viên: - Nhiều giáo viên cảm thấy hứng thú dạy chủ đề hình học khơng gian dẫn đến chưa thực tìm tòi, đổi phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh - Chưa phát huy hiệu tính chủ động, sáng tạo học sinh Ít khuyến khích học sinh tìm tòi, khám phá cách giải - Chưa xây dựng hệ thống tập đa dạng, phù hợp với đối tượng học sinh ( chủ yếu tập lấy SGK) + Đối với học sinh: - Đa số cảm thấy khó dẫn đến ngại, khơng hứng thú học hình khơng gian Cá biệt có nhiều đối tượng học sinh bỏ hẵn khơng học phần hình học khơng gian mà tập chung vào chủ đề khác - Tư tưởng xem nhẹ chủ đề hình học khơng gian nhiều học sinh xuất phát từ việc nhận thức chủ đề chiếm phần nhỏ kì thi đại học, nhiều học sinh cho học tốt chủ đề khác để thi bù cho chủ đề hình học khơng gian - Đa số học sinh chưa ý thức sâu sắc việc học tốt hình học khơng gian góp phần phát triển tư sáng tạo từ góp phần học tốt chủ đề khác, môn học khác - Đa số học sinh chủ động tư giải tốn hình học khơng gian, số nắm phương pháp giải tốn hình học khơng gian sử dụng chưa linh hoạt, thiếu sáng tạo 2.3 Các biện pháp giải vấn đề Nhằm nâng cao kết học tập góp phần phát triển tư sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chủ đề hình học khơng gian lớp 11 tơi thực nội dung sau: + Cơng tác chuẩn bị: - Đánh giá đối tượng học sinh; soạn bài; xây dựng hệ thống tập đa dạng phù hợp với nội dung chương trình đối tượng học sinh - Ngồi tiết dạy theo phân phối chương trình tùy theo mức độ nhận thức học sinh để xây dựng kế hoạch dạy tự chọn, bồi dưỡng hay phụ đạo cho học sinh chủ đề hình học khơng gian - Chuẩn bị đồ dùng học tập cần thiết ( tài liệu, mơ hình hình học, phần mềm hỗ trợ dạy học hình học khơng gian….) + Tổ chức thực hiện: - Dạy học theo chương trình, kế hoạch đề - Trang bị cho học sinh phương pháp giải tốn hình học khơng gian thơng qua tập, ví dụ điển hình - Đưa tập ôn tập, tập phát triển tư hình học phù hợp với đối tượng học sinh - Tích cực đổi phương pháp dạy học như: Tăng cường hoạt động theo nhóm, sử dụng mơ hình trực quan… Khuyến khích học sinh giải tốn hình học không gian nhiều cách Đặt câu hỏi, vấn đề đòi hỏi học sinh phải tích cực tư để trả lời - Giao tập nhà phù hợp với đối tượng học sinh, trọng tập đòi hỏi học sinh phải chủ động sáng tạo - Kiểm tra, đánh giá, phân loại học sinh nhiều hình thức ( định tính định lượng) Cụ thể q trình dạy học chủ đề hình học khơng gian lớp 11 tơi xác định thực hiệu số biện pháp sau đây: 2.3.1 Biện pháp 1: Vận dụng phương pháp tách phận phẳng khỏi không gian Khi giải tốn hình học khơng gian học sinh gặp phải nhiều khó khăn so với tốn hình học phẳng như: Việc tưởng tượng, hình dung để tìm mối liên hệ yếu tố hình học ( quan hệ đường thẳng, mặt phẳng…); việc vẽ hình để biểu diễn hình khơng gian mặt phẳng… Khó khăn ảnh hưởng đến việc vận dụng lí thuyết để giải tốn hình học khơng gian Để khắc phục khó khăn việc tách phận phẳng khỏi không gian giúp học sinh quy toán phức tạp giải toán đơn giản hơn, dễ hiểu dễ thực a) Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G, AG cắt (BCD) A’ Chứng minh A’ trọng tâm tam giác BCD ( Đường thẳng qua đỉnh trọng tâm tứ diện qua trọng tâm mặt đối diện với đỉnh ấy) Định hướng phương pháp lời giải: Bằng việc bóc tách yếu tố phẳng khỏi khơng gian, tốn chuyển thành tốn hình học phẳng sau đây: Cho tam giác ABN, M trung điểm AB, G trung điểm MN, AG cắt cạnh BN A’ Chứng minh BA’ = A’N Không gian Mặt phẳng A A M M B G G D A' N N B D A' C Bài tốn học sinh THCS dễ dàng chứng minh sau học tính chất đường trung bình Cụ thể chứng minh sau: Kẻ đường thẳng qua M song song với AA’ cắt BN D MD; GA’ lần lươt đường trung bình  ABA’  NMD nên BD = DA’ = A’N Vậy BA’ = 2A’N Ví dụ 2: (SGK hình học 11 - Cơ bản) Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ Chứng minh đường thẳng AC’ qua trọng tâm G  BA’D Định hướng phương pháp lời giải: Bài toán trở nên đơn giản hơn, dễ hình dung, dễ giải nhiều học sinh biết cách bóc tách phận phẳng khỏi không gian để đưa tốn hình học phẳng sau: Cho hình bình hành AA’C’C, O trung điểm cạnh AC, A’O cắt cạnh AC’ G Chứng minh C’G = 2AG Không gian Mặt phẳng A D A O B O C C G G M D' A' A' E B' C' C' Chứng minh: Gọi E trung điểm A’C’ kẻ CE cắt AC’ M Dễ thấy A’ECO hình bình hành nên CE // A’O Vậy OG EM đường trung bình  ADC  C’A’G  AG = GM = MC’ (đpcm) Ví dụ 3: Tứ diện SABC, có cạnh bên tạo với mặt đáy góc  Đáy  ABC vng C, cạnh AB = a Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Định hướng phương pháp lời giải: Gọi H chân đường cao hạ từ S thì: HA = HB = HC,  ABC vng C nên  H trung điểm AB Không gian S H A B C Đến học sinh tính bán kính cách sử dụng tính chất đồng dạng tam giác Tuy nhiên học sinh giải toán cách đơn giản nhận thấy tâm mặt cầu tâm đường tròn ngoại tiếp  SAB, từ tách yếu tố phẳng khỏi không gian để đưa giải toán phẳng đơn giản sau: Tam giác SAB cân S, AB = a, góc A =  Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp  SAB S Mặt phẳng O A   B Bài toán phẳng giải dễ dàng sử dụng định lý hàm số Sin a AB  2R  R  sau: sin 2 SinS b) Một số tập áp dụng Bài 1: ( Trang 103 - Hình học 11 - Nâng cao) Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi vng góc a Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn b Chứng minh hình chiếu H điểm O (ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC 1 1    c Chứng minh 2 OH OA OB OC Bài 2: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác có cạnh đáy a cạnh bên b Bài 3: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với OA = a, OB = b, OC = c Gọi H hình chiếu O mặt phẳng (ABC) Tính diện tích tam giác HAB, HBC HCA c) Một số nhận xét + Yếu tố cốt lõi để giải tốn hình học khơng gian thường bị che khuất, khó phát hình khơng gian thường có nhiều đường phụ gây khó khăn cho học sinh việc hình dung, tưởng tượng Vì khéo léo bóc tách yếu tố phẳng khỏi không gian giúp học sinh đơn giản hóa tốn, dễ dàng tìm yếu tố then chốt tốn từ giải tốn dễ dàng + Hoạt động tách phận phẳng khỏi khơng gian có ý nghĩa cụ thể là: - Xác lập liên hệ hình học khơng gian hình học phẳng - Kết nối dạy học toán THCS THPT - Xác lập liên hệ liên môn, liên hệ bên mơn tốn - Nâng cao hiệu hoạt động giải tốn hình học khơng gian từ góp phần phát triển tư sáng tạo cho học sinh 2.3.2 Biện pháp 2: Vận dụng phương pháp trải hình Nhiều tốn hình học khơng gian giải dễ dàng cách đưa giải tốn hình học phẳng thơng qua hoạt động trải hình (hay khai triển hình) Đây hoạt động khai triển yếu tố không gian lên mặt phẳng, chuyển toán khơng gian tốn hình học phẳng, gắn kết tốn phẳng tốn khơng gian a) Các ví dụ minh họa: Ví dụ 4: Chứng minh tứ diện có cặp cạnh đối đơi ( tứ diện gần đều) góc tam diện đỉnh có tổng góc phẳng 180 Định hướng phương pháp lời giải: Ta trải tam giác ABC, ABD, DCD lên mặt phẳng (BCD) cho điểm A  ABC nằm vị trí điểm A khơng thuộc nửa mặt phẳng chứa D có bờ BC; tương ứng điểm A  ABD nằm vị trí điểm A ; điểm A  ACD nằm vị trí điểm A Khi BA = BA = CD; BC = DA = DA BD = CA = CA nên tứ giác BCDA ; DBCA hình bình hành  BC//DA ; BC//DA  A ; D; A thẳng hàng Tương tự A ; B; A A ; C; A thẳng hàng     A1 + A2 + A3 = 180  đpcm A1 A B C A2 D A3 C B D Ví dụ 5: Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 cạnh a, M; N thuộc cạnh AD; BB1 cho AM = BN Gọi I; J trung điểm AB; C1D1 a/ Chứng minh IJ cắt vng góc với MN trung điểm MN b/ Dựng thiết diện lập phương tạo mặt phẳng chứa MN; IJ Tìm vị trí M, N cho thiết diện có chu vi bé Định hướng phương pháp lời giải: a/ Kéo dài IN cắt AA1 K, ta có AK = BN  AK = AM  MK // AD1 Vì IJ//AD1  IJ // KM, IJ đường trung bình  NKM  IJ cắt MN trung điểm MN Mặt khác tam giác MIN cân I ( IM = IN) nên IJ vng góc với MN  đpcm b/ Dễ thấy thiết diện cần tìm lục giác IMFJEN E; F thuộc DD1; B1C1 cho MF//AD1; NE//BC1 Khi MF//IJ//NE FD1= EC1 = BN = AM = x (  x  a ) Khi chu vi thiết diện = 2(IM + MF + FJ) Tìm vị trí M, N để chu vi thiết diện bé ta tính chu vi theo x đưa tốn hình học tốn giải tích Tuy nhiên cách làm tương đối phức tạp, tốn giải theo cách đơn giản thơng qua họat động trải hình cụ thể sau: Ta trải mặt ABCD DCC1D1 lên mặt phẳng (ADD1A1) cho điểm B, C, I mặt ABCD nằm vị trí điểm B’, C’, I’ không thuộc nửa mặt phẳng chứa D1, A1 có bờ AD Tương tự điểm C, C1, J nằm vị trí điểm C’, C1’, J’ C' B' K I' A M D A I M M' I B B C N F' C F F N A1 A1 D1 D1 J B1 C' D E C1 J' C1' J B1 E C1 Khi việc giải tốn khơng gian quy giải tốn hình học phẳng sau: Gọi chu vi thiết diện P, ta có: P = 2(I’M + MF + FJ’) Vì để P bé ta tìm vị trí M, F cho I’M + MF + FJ’ bé nhất, dễ thấy M trùng với M’ F trùng với F’ ( M’; F’ giao điểm I’J’ với AD DD1)  P bé  M; N trung điểm AD; BB1 b) Một số tập áp dụng: Bài 1: Chứng minh tổng góc phẳng hình chóp lớn 180 cạnh bên nhỏ nửa chu vi đáy Bài 2: Cho tứ diện gần ABCD có AB = CD = a; AC = BD = b; AD = BC = c Xác định vị trí điểm M cạnh AB cho chu vi tam giác MCD nhỏ Xác định giá trị nhỏ chu vi Bài 3: Cho tứ diện ABCD cạnh a Một mặt phẳng cắt cạnh tứ diện M, N, P, Q Chứng minh chu vi p thiết diện MNPQ không nhỏ 2a không lớn 3a Bài 4: Tứ diện ABCD có: AC = AD = BC = BD = 1; AB = a; CD = b; M, N trung điểm AB CD Tìm cạnh AD điểm P cho PM + PN đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ c) Nhận xét: + Phương pháp trải hình vận dụng nhiều tốn xác định vị trí điểm; tốn cực trị hình học + Có thể giải tốn cách khác nhiên đơn giản hiệu vận dụng phương pháp trải hình + Việc biết cách vận dụng phương pháp trải hình giúp học sinh giải nhiều tốn hình khơng gian hay khó từ giúp học sinh rèn luyện phát triển tư sáng tạo 2.3.3 Biện pháp 3: Vận dụng phương pháp sử dụng tính bất biến phép chiếu song song 10 Nhiều tốn hình học đặc biệt tốn hình khơng gian dễ dàng giải thơng qua hoạt động sử dụng tính bất biến phép chiếu song song a) Các ví dụ họa: Ví dụ 6: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ Chứng minh đỉnh A, C’ trọng tâm G  BDA’ thẳng hàng Định hướng phương pháp lời giải: Hướng 1: C B O A D K G O' B' C' A' D' Xét phép chiếu S lên mặt phẳng (A’B’C’D’) theo phương AC’ Khi phép chiếu S biến A thành C’, biến C’ thành C’, biến O thành O’ Ta có OO’//AC’, O’ thuộc (A’B’C’D’) nên O’ giao OK A’C’  A' G A' C '   C’ ảnh G qua phép chiếu S  A, G, C’ thẳng A' O A' O' hàng Hướng 2: 11 C B O O' A D G G' B' C' A' D' Xét phép chiếu lên (AA’B’B) theo phương AD biến A thành A, biến C’ thành B’, biến O thành O’ trung điểm AB, biến G thành G’ Vì tỉ số đoạn thẳng phương bảo toàn qua phép chiếu song song nên A' G ' A' G  2 G ' O' GO  G’ giao AB’ A’O’ ảnh A, G, C’ thẳng hàng Tương tự xét phép chiếu lên (A’B’C’D’) theo phương AA’ ảnh A, G, C’ thẳng hàng  A, G, C’ thẳng hàng Ví dụ 7: Cho ba đường thẳng a, b, c đôi chéo nhau, dựng đường BA  m cho trước thẳng  cắt ba đường thẳng A, B, C cho BC Định hướng lời giải: Chọn mặt phẳng (P) cho b cắt (P) B’ phép chiếu song song theo phương b lên mặt phẳng (P) biến a, c thành a’, c’ cắt O Từ B’ vẽ đường thẳng song song với a’ cắt c’ B1, c’ B1O  m ta ln tìm điểm C’ cho B1C ' c C b B A a  C' B1 B' a' O c' A' ' 12 B' A' B1O   m Gọi A, C B ' C ' B1 C ' thuộc a, c cho ảnh A, B qua phép chiếu song song theo phương b lên mặt phẳng (P) A’, C’  AA’//b; CC’//b nên đường thẳng  qua A, C BA B' A'   m Vậy  đường thẳng cần cắt b B Khi theo định lí Talet BC B' C ' tìm Ví dụ Chứng minh tứ diện trực tâm ( cặp cạnh đối đơi vng góc) ba điểm sau thẳng hàng: Trọng tâm G, trực tâm H tâm mặt cầu ngoại tiếp O thẳng hàng Định hướng phương pháp giải: Đường thẳng C’B’ cắt a’ A’  A M G D O H H' B M' G' N O' C Gọi M, N trung điểm AB, CD Xét phép chiếu vng góc lên mặt phẳng (BCD), biến điểm B, C, D, N thành nó; biến A, H thành H’; biến điểm M, G, O thành M’, G’, O’ Khi O’ tâm đường tròn ngoại tiếp  BCD Ta có AB  CD (ABCD tứ diện trực tâm ) AH’  CD nên BH’  CD (định lý đường vng góc), tương tự CH’  BD H’ trực tâm  BCD Theo tính chất phép chiếu vng góc M’ trung điểm BH’ G’ trung điểm M’N Để chứng minh H, G, O thẳng hàng ta cần chứng minh H’, G’, O’ thẳng hàng Tuy nhiên đến học sinh việc chứng minh không đơn giản Nhận thấy điểm M’, H’, G’, O’ thuộc mặt phẳng (BCD) nên ta bóc tách yếu tố phẳng khỏi khơng gian để đơn giản hóa toán cách đưa toán giải toán phẳng sau: Bài toán: “Cho  BCD H’, O’ trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác M’, N trung điểm BH’, CD; G’ trung điểm M’N Chứng minh ba điểm H’, G’, O’ thẳng hàng” 13 Đến học sinh hồn tồn giải tốn cách sử dụng tính chất hình học học THCS Cụ thể lời giải sau: C B C1 O' G' M' N H' D C C đường kính đường tròn ngoại tiếp  BCD ta có: C1 B  BC DH '  BC nên C B//DH’, tương tự C1 D  CD BH '  CD nên C D//BH’  BC DH’ hình bình hành  C D = BH’ = 2O’N Mặt khác BH’ = 2M’H’  M’H’ = O’N, BH’  CD O’N  CD nên M’H’//O’N  M’H’NO’ hình bình hành, từ G’ trung điểm M’N nên suy G’ trung điểm O’H’ O’, G’, H’ thẳng hàng Đến toán phẳng chứng minh việc sử dụng tính chất hình học phẳng Trở lại toán ban đầu, tương tự thực phép chiếu vng góc lên (ACD) biến O, G, H thành O’’, G’’, H’’ thẳng hàng Vậy áp dụng tính chất phép chiếu vng góc ta có O, G, H thẳng hàng b) Một số tập áp dụng: Bài 1( Bài tập Hình học 11 -Nâng cao - Trang 62) Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ a/ Hãy xác định đường thẳng d cắt hai đường thẳng AC’ BA’ đồng thời song song với B’D’ AI b/ Gọi I, J giao điểm d với AC’ BA’ Tính tỉ số AC ' Bài 2: Cho ba đường thẳng đôi chéo không song song với mặt phẳng điểm G không nằm đường thẳng ba đường thẳng Hãy dựng tam giác có đỉnh thứ tự nằm ba đường thẳng cho nhận G làm trọng tâm c) Nhận xét: + Có thể giải tốn sử dụng tính chất khác quan hệ song song, quan hệ vuông góc nhiên tốn phức tạp nhiều so với dùng tính chất phép chiếu song song 14 + Để giải toán hình học khơng gian thường phải kết hợp nhiều phương pháp (chẳng hạn kết hợp phương pháp sử dụng phép chiếu song song phương pháp bóc tách phận phẳng khỏi không gian) + Việc đơn giản hóa tốn; giải tốn cách giải hay, ngắn gọn; giải toán nhiều cách giúp nhiều cho học sinh phát triển tư sáng tạo 2.3.4 Biện pháp 4: Vận dụng phương pháp chuyển đổi ngôn ngữ Việc vận dụng hoạt động chuyển đổi ngơn ngữ vào học tốn nói chung, giải tập hình học nói riêng việc làm có nhiều tác dụng thiết thực, cơng cụ hiệu để học sinh giải nhiều toán từ nâng cao hiệu hoạt động nhận thức tốn học Chuyển đổi ngơn ngữ tốn học đóng vai trò cơng cụ để học sinh đơn giản hóa tốn, chuyển đổi yếu tố phức tạp sang yếu tố đơn giản, biến vấn đề chưa biết thành vấn đề biết, hướng việc tìm hiểu yếu tố tốn học sang tìm hiểu yếu tố tốn học khác Đối với hình học khơng gian dạng chuyển đổi ngôn ngữ chủ yếu sau: + Chuyển đổi từ ngơn ngữ hình học sang ngơn ngữ khác: Việc chuyển đổi chuyển hóa sư phạm từ ngơn ngữ khoa học sang ngơn ngữ tốn học phổ thông (chẳng hạn chuyển đổi ngôn ngữ từ tốn học cao cấp sang ngơn ngữ tốn phổ thơng) chuyển đổi ngơn ngữ hình học tổng hợp sang ngơn ngữ vec tơ, tọa độ, biến hình, đại số… + Chuyển đổi từ ngơn ngữ hình học sang ngơn ngữ hình học khác Việc huy động nhóm tri thức khác có nhiếu ý nghĩa thiết thực để giải tốn hình học Để huy động kiến thức cần thiết phải chuyển hóa qua lại yếu tố bên như: yếu tố vng góc chuyển hóa sang yếu tố song song, phép biến hình chuyển hóa sang phép biến hình khác… a) Các ví dụ áp dụng: Ví dụ 9: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có tâm O Dựng thiết diện hình lập phương tạo mặt phẳng (P) qua O mặt phẳng vng góc với AC’ Định hướng lời giải toán: D A N B C S O P R D' A' Q B' C' 15 Nhận thấy AC’  (BDA’) nên AC’  (P)  (P)// (BDA’) Từ ta chuyển tốn với yếu tố vng góc thành tốn với yếu tố song song sau: Dựng thiết diện hình lập phương mặt phẳng (P) qua O // (BDA’) Khi áp dụng tính chất “ Hai mặt phẳng song song cắt mặt phẳng thứ ba theo hai giao tuyến phân biệt hai giao tuyến song song ” ta dễ thấy thiết diện cần tìm lục giác MNPQRS M, N, P, Q, R, S trung điểm CD, BC, BB’, A’B’, A’D’, DD’ Ví dụ 10: Tính thể tích tứ diện ABCD biết AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c ( Tứ diện gần đều) Định hướng lời giải tốn: Nhận thấy việc tính thể tích theo phương pháp thơng thường tính diện tích đáy chiều cao khó thực với tốn khó xác định chân đường cao hạ từ đỉnh tứ diện Bài toán dễ dàng giải thực phép chuyển đổi sau: Hướng 1: Từ B, C, D ta vẽ đường thẳng song song với CD, BD, BC Các đường thẳng đôi cắt M, N, P A y z a P c x b N D a b c B M Ta có AB = CD = BM = BP nên  AMP vuông A, tương tự tam giác AMN, ANP vuông A V APMN = 1/6 xyz  V C ABCD = ¼ V APMN = xyz 24 Tính x, y, z theo a, b, c Ta có:  x  z  4a  2  x  y  4b  y  z  4c   x  2a  2b  2c     y  2b  2c  2a  2  z  2a  2c  2b2 (a  b  c )(b  c  a )(c  a  b ) 12 Hướng 2: Qua cạnh hình chóp ta dựng mặt phẳng song song với cạnh đối diện, mặt phẳng giao tạo thành hình hộp ngoại tiếp tứ diện Vậy V  16 M B y x N A z D P Q C' V ABCD = V hộp – V MADB = xyz – 1/6 xyz = 1/3 xyz Ta tính x, y, z theo a, b, c kết hướng b) Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M, N, P, Q thuộc AB, BC, CD, DA cho AM  AB ; BN  BC ; AQ  AD ; DP  k DC 3 Hãy xác định k để bốn điểm P, Q, M, N nằm mặt phẳng Bài 2: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ Một đường thẳng d cắt đường MA thẳng AA’, BB’, CC’ M, N, P cho NM  NP Tính MA' c) Một số nhận xét + Phương pháp chuyển đổi ngơn ngữ có phạm vi rộng, áp dụng nhiều giải tốn hình học khơng gian + Việc vận dụng tốt phương pháp chuyển đổi ngơn ngữ giúp học sinh linh hoạt chuyển hóa yếu tố hình học để biến phức tạp thành đơn giản, chưa biết thành biết từ góp phần phát triển tư sáng tạo 2.4 Kết thực nghiệm đề tài: Tôi sử dụng đề tài nghiên cứu vào trình dạy học đạt kết tích cực hai mặt định tính định lượng, cụ thể sau: 2.4.1 Kết định tính + Nhiều học sinh khơng có tâm lí ngại sợ học chủ đề hình học khơng gian + Học sinh chủ động, tích cực xây dựng bài, chữa tập làm tập nhà + Nhiều học sinh tích cực tư để giải tốn hình học khơng gian cách sáng tạo, giải nhiều cách + Học sinh linh hoạt vận dụng kiến thức môn, liên môn để giải tốn hình học khơng gian 17 + Các tiết học hình học khơng gian hiệu chuyển trọng tâm từ hoạt động thầy sang hoạt động trò 2.4.2 Kết định lượng * Qua điều tra, thăm dò Tơi phát phiếu thăm dò 95 học sinh lớp 11 - trường THPT Quảng Xương thu kết quả: + 100% học sinh hỏi trả lời vận dụng phương pháp giải tốn hình học nêu giúp em dễ hiểu học giải tốn hình học khơng gian + 100% học sinh hỏi vận dụng phương pháp giúp em có nhiều hứng thú, niềm tin giải tập hình học khơng gian + 90 % học sinh hỏi trả lời cần thiết phải sử dụng phương pháp giải tốn hình học khơng gian * Qua kết kiểm tra: Trong trình thực nghiệm nhằm đánh giá hiệu đề tài tiến hành lớp 11C2 lớp 11C8 - Trường THPT Quảng Xương Kết học tập mơn Tốn hai lớp tương đương (đánh giá qua trình trực tiếp giảng dạy) Cụ thể tiến hành dạy ôn tập chủ đề tự chọn (3 tiết) ôn tập chương II (Hình học lớp 11- bản) cho hai lớp 11C2 11C8 Tôi chọn lớp 11C2 làm lớp dạy học thực nghiệm (sử dụng đề tài), lớp 11C8 làm lớp dạy học đối chứng (không sử dụng đề tài) Sau dạy thực nghiệm đối chứng tiến hành cho học sinh hai lớp làm kiểm tra 45 phút thu kết thống kê theo bảng sau: Lớp Sĩ Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém số SL % SL % SL % SL % SL % 11 C2 47 15 32 23 49 14,9 4,1 0 11C8 48 12 25 25 52 16,7 6,3 0 Quá trình thực nghiệm với kết bước đầu thấy hiệu thiết thực việc vận dụng đề tài vào thực tiễn dạy học Những lí luận giải pháp mà đề tài nêu mang tính khả thi áp dụng dạy học mơn Tốn lớp 11 chủ đề hình học khơng gian 18 PHẦN KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 3.1 Kết luận: Bản thân người viết giáo viên dạy Tốn, ý thức trách nhiệm việc khơng ngừng tìm tòi đổi phương pháp dạy học nhằm nâng cao kết hoạt động học tập học sinh, áp dụng đề tài vào thực tiễn dạy học đạt kết tích cực Những kết sở để tơi hồn thành đề tài Trên sở vận dụng tri thức khoa học kết hợp với kiến thức thực tiễn dạy học thân, sau thời gian tập trung, nỗ lực nghiên cứu đề tài hoàn thành đạt kết sau: + Đề tài nghiên cứu số sở lí luận việc vận dụng phương pháp giải tốn hình học khơng gian ý nghĩa việc phát triển tư sáng tạo cho học sinh THPT + Đề tài sâu khai thác số phương pháp giải tốn hình học khơng gian có tác dụng hiệu thiết thực việc nâng cao chất lượng học tập phát triển tư sáng tạo cho học sinh THPT + Đề tài đưa ví dụ minh họa cho phương pháp giải tốn hình học khơng gian Thơng qua ví dụ nêu bật lên ý nghĩa phương pháp với việc dạy học hình học nói riêng, tốn học nói chung 3.2 Kiến nghị: - Do thời gian dành cho nghiên cứu có hạn, lực thân hạn chế, thực nghiệm sư phạm chưa nhiều, cần tiếp tục triển khai thực nghiệm nhiều đối tượng HS khác mong đồng nghiệp góp ý, bổ sung thêm dạng tập cho đề tài phong phú - Có thể áp dụng phương pháp cho cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi luyện thi đại học Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 15 tháng năm 2016 Tơi xin cam đoan SKKN ĐƠN VỊ viết, không chép nội dung người khác Đỗ Thị Thủy 19 Tài liệu tham khảo Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học mơn Tốn, Nxb Đại học sư phạm Đào Tam (2008), Phương pháp dạy học hình học trường THPT, NXB ĐHSP Bùi Văn Nghị (2009), Vận dụng lí luận vào thực tiễn dạy học mơn tốn trường phổ thơng, Nxb Đại học sư phạm Pơlya G (1976), Tốn học suy luận có lý, Nxb Giáo dục Đồn Quỳnh, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng (2007), Hình học 11 nâng cao, Nxb Giáo dục Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Tạ Mân (2007), Bài Tập Hình học 11 nâng cao, Nxb Giáo dục Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện, Hình học 11, NXB Giáo dục Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện, Bài tập Hình học 11, NXB Giáo dục Phan Huy Khải (1999), Tốn nâng cao hình học 11, NXB ĐHQG Hà Nội 10 Đào Tam, Trần Trung (2010), Tổ chức hoạt động nhận thức dạy học mơn Tốn trường THPT, Nxb Đại học sư phạm 11 Bùi Văn Nghị (2008), Phương pháp dạy học nội dung cụ thể mơn tốn, NXB ĐHSP 20 ... khơng gian - Đa số học sinh chưa ý thức sâu sắc việc học tốt hình học khơng gian góp phần phát triển tư sáng tạo từ góp phần học tốt chủ đề khác, môn học khác - Đa số học sinh chủ động tư giải. .. tốn hình học khơng gian từ góp phần phát triển tư sáng tạo cho học sinh 2.3.2 Biện pháp 2: Vận dụng phương pháp trải hình Nhiều tốn hình học khơng gian giải dễ dàng cách đưa giải tốn hình học. .. để học sinh có niềm tin, có động lực để giải tốn hình học Những hoạt động tốn học nói chung, họat động hình học nói riêng tạo nhiều tình gợi vấn đề từ tạo cho học sinh nhu cầu tư hình học, tư