MỤC LỤC Nội dung Trang Lời mở đầu §1 Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ Một số quy ước đọc chuyên đề Phương pháp đặt ẩn phụ 3 Phương pháp đánh giá 10 Phương pháp lượng giác 13 Một số Phương pháp khác 15 16 §2 Một số tập tự làm 18 Kết luận LỜI MỞ ĐẦU Tốn học có vẻ đẹp lơi cuốn, vẻ đẹp lơi đầy huyền bí tốn liên quan đến phương trình vơ tỷ lại có nét đẹp riêng Có lẽ lí mà kì thi học sinh giỏi, thi đại học thường có mặt tốn liên quan đến phương trình vơ tỷ để thách thức nhà tốn học tương lai Chuyên đề: ‘‘Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ’’ với mong muốn phần giúp thầy em học sinh tìm thấy nhiều điều bổ ích thú vị dạng tốn Với ví dụ phương pháp giải, người đọc tự sáng tác cho tốn với số mà thích Tuy nhiên chun đề khó tránh sai sót, tơi mong nhận động viên ý kiến đóng góp chân thành bạn đọc để chuyên đề hoàn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! §1 Mét sè phương pháp giải phương trình vô tỷ số quy ước đọc chuyên đề 1.1 Vt: Vế trái phương trình Vt : Bình phương vế trái phương trình 1.2 Vp: Vế phải phương trình Vp : Bình phương vế phải phương trình 1.3 Vt (1) : Vế trái phương trình (1) 1.4 Vp (1) : Vế phải phương trình (1) 1.5 Đk, đk: Điều kiện 1.6 BĐT: Bất đẳng thức Phương pháp đặt ẩn phụ 2.1 Một số lưu ý Khi giải phương trình vô tỷ phương pháp đặt ẩn phụ ta gặp dạng như: 2.1.1 Đặt ẩn phụ đưa phương trình cho phương trình đại số không chứa thức với ẩn ẩn phụ 2.1.2 Đặt ẩn phụ mà ẩn chính, ta tính ẩn theo ẩn 2.1.3 Đặt ẩn phụ để đưa phương trình hệ hai phương trình với hai Èn lµ hai Èn phơ, còng cã thĨ hai Èn gåm mét Èn chÝnh vµ mét Èn phơ, th­êng ta hệ đối xứng 2.1.4 Đặt ẩn phụ để phương trình có hai ẩn phụ, ta biến đổi phương trình tích với vế phải Thường giải phương trình ta hay biến đổi tương đương, biến đổi hệ nhớ phải thử l¹i nghiƯm 2.2 Mét sè vÝ dơ VÝ dơ Giải phương trình sau: 1) 18 x 18 x x  17 x  x   2) x  3x    3)  x2   4) x  x2  1   4 x   x x  2x2   x  2x  x2  H­íng dÉn (HD): 1) Đặt thành y x y với y Khi phương trình cho trở (3 y  y  2)(6 y  y  1)  , suy (3 y  y  2)  , ta 10 14 10 Từ phương trình có nghiệm x 2) Ta cã x  x   ( x  1)2  x  ( x  x  1)( x  x  1)  , víi mäi x Mặt khác x 3x 2( x  x  1)  ( x x 1) Đặt y x2  x   y  ), (có thể viết đk y xác x x ta y2 1   3 y   y  y  , ta y (loại y ) 3 Từ phương trình có nghiƯm lµ x  3) Ta thÊy x  kh«ng tháa m·n   x  Khi phương trình tương đương với hệ 4   x    x   2    x        x        x    1  2  y  4(1) Đặt x y , ta  x 2 4  ( y  2)   2( y  2)  (4  y ) (2) XÐt (2)   y  y  y   y  y  28 y  40 y  16  (do hai vế không âm) ( y 2)( y  y  16 y  8)   ( y  2)(( y  2)( y  y  8)  8)  DÉn ®Õn y  (do (( y  2)( y  y  8)  8)  víi mäi y tháa m·n (1)) Từ phương trình có nghiệm x Nhận xét: Bài toán ta giải Phương pháp đánh giá phần sau 4) Ta có phương trình tương đương với x  x  x  x   x   x  x (1  x )  x  x  x  x3  x  x(1   x  x  x )  x   2 1   x  x  x  0(1) XÐt (1), đặt y x , suy y  vµ x   y Ta y y (1  y )   y  y    (2 y  1)(4 y  y  1)   y 1 5 Tõ ®ã suy x   Thử lại ta nghiệm phương trình x  vµ x   5 Nhận xét: Bài toán ta giải Phương pháp lượng giác phần sau Ví dụ Giải phương trình x 3x  ( x  3) x  HD: Đặt x y , với y Khi ta y  3x  ( x  3) y  ( y  3)( y  x)  DÉn ®Õn y  vµ y  x Tõ phương trình có nghiệm x Ví dụ Giải phương trình 17 x8  x8   HD: Đặt 17 x8 y với y  vµ x8   z Khi ta hệ y z z  y 1   3 2 y  z  33 2 y  ( y  1)  33 XÐt y  ( y  1)3  33  ( y  2)(2 y  y  y 17) Suy y - = Từ nghiệm phương trình lµ x = vµ x = -1 VÝ dụ Giải phương trình sau: 1) x  x   3x  x 2) 81x   x3  x  x2 HD: 1) §Ỉt  x  y , víi  y   x  y  xy Khi ta hệ 2 x  y  ThÕ hc lại đặt x y S ; xy P giải tiếp ta nghiệm phương trình lµ x  ; x  vµ x 14 2) Đặt 81x    y  3x  y  y  y  3 x  y  y y Khi ta hệ  3 y  x3  x x Xét hiệu hai phương trình dÉn ®Õn x  y (do 1 1 ( x  y )  ( x  2)  ( y  2)   ) 2 Thay vµo hƯ vµ giải phương trình ta x 0; x Ví dụ Giải phương tr×nh x  14 x   x  x  20  x  HD: Đk x Với điều kiện ta biến đổi phương trình cho sau: x  14 x   x  x  20  x   x  14 x   x  x  20  25( x  1)  10 ( x  1)( x  4)( x  5)  x  x   ( x  1)( x  5) x   2( x  1)( x  5)  3( x  4)  ( x  1)( x  5) x  §Ỉt ( x  1)( x  5)  y; x   z , víi y  0; z y z Ta y  3z  yz  ( y  z )(2 y  3z )  , tõ ®ã ta ®­ỵc  y  z  2 NÕu y  z th× ta ®­ỵc x   61 (do x  ) NÕu y  z ta x 8; x Vậy phương trình có ba nghiệm Ví dụ Giải phương trình x x 4x  , víi x  28 Nhận xét: Dạng phương trình ta thường đặt 4x   ay  b , sau ®ã 28 bình phương lên ta cố ý biến đổi hƯ ®èi xøng víi hai Èn x, y Tõ ta biết giá trị a, b Với toán ta tìm a  1; b  (NÕu a = vµ b = mà giải phương trình đơn giản, ta không xét đây) HD: §Ỉt 4x   y  , x  nªn 28 4x  9   , tõ ®ã y  28 28  x  x y Ta hÖ 7 y  y  x  Giải hệ bình thường theo dạng ta   x, y    x 6 50 14 Nhận xét: Khi giải phương trình lúc có nghiệm thực, có phương trình vô nghiệm cho học sinh làm ta kiểm tra lực học sinh trình bầy lời giải toán Chẳng hạn toán ví dụ HD: §Ỉt  x  y  x    x3 = y với y Khi ta hệ  vµ tõ  x   y phương trình ban đầu ta có x Xét hiệu hai phương trình hệ ta phương trình ( x y )( x  xy  y  x  y )  Víi x   y th× x   x  , dÉn ®Õn vô nghiệm Còn x xy y  x  y  ( y  x)(1  x)  y  víi mäi y x Do hệ vô nghiệm hay phương trình cho vô nghiệm 2.3 Một số tập tương tự Bài Giải phương trình sau: 1) x2 x 2x2 x (HD: Đặt y x ; y , ta ( y  1)( y  y  1)(2 y  y  4)  Tõ ®ã y  1; y  x  1; x 2) 33 ;y nghiệm phương trình 33  ;x   ) x  x   x3  (HD: Từ phương trình suy x Đặt y Phương trình trở thành x2 x y , bình phương dẫn đến x y  y   , ta ®­ỵc y  Tõ ®ã x  ) Bài Giải phương trình (4 x  1) x   x x (HD: Đặt x   y , víi y  Từ ta y y x Phương trình có nghiệm x ) Bài Giải phương tr×nh sau: 1) 3(2  x  2)  x x (HD: Đặt x   y, x   z , với y 0; z Ta x   y  z  Từ phương trình có nghiệm x 3; x  2)  2(1  x)  x  (HD: §k  x Đặt 2(1 x)  y  y  vµ 11  ) x  z  z  x víi y  0; z  1 x  2( y  z )  1(1) Tõ (1) thay   y  z   1(2) Suy y z vào (2) ta ) Xét hiệu hai bình phương suy z ( z  1)  ( z    34  1 Từ ta nghiệm phương trình x      1  34    ) Bài Giải phương trình x  x  1000  8000 x  1000  x  x  2000 y (HD: Đặt 8000x = y , ta (*) y y  2000 x Tõ (*) suy ( x  y )( x  y  1999)  , x y 1999 Suy x y , ta nghiƯm x  2001 , lo¹i x  ) Bài Giải phương trình sau: x3 x2 1) (HD: Đặt y  x   0; z  x x , ta 2 5y y y  y  y  5y yz  2( y  z )   2    2       2  z z z z z z NÕu NÕu y  ta z y z x  1 x   x2  x    (v« nghiƯm) 4 x  x    x  37 ta x  x  x     37  x  x   m·n)) 2) x  x   2( x3  21x  20  4  x  1 (HD: §k  x  Đặt x x 10  y vµ x   z , víi y  0; z  (tháa Khi ta ( y z )( y 3z ) Từ phương trình cã nghiƯm lµ x  193 17  73 vµ x  ) 4 Bµi Giải phương trình sau: 1) x2 4x x (HD: Đặt x y , ta x 1; x 2) 2x2 4x (HD: Đặt  29 ) x3 , víi x  3  17 3  17 x3 (loại), x x y ,được x 4 ) 3) 27 x  18 x  x  , víi x  (HD: Tương tự, ta x 37 ) 18 Phương pháp đánh giá 3.1 Một số lưu ý Khi giải phương trình vô tỷ (chẳng hạn f ( x) g ( x) ) phương pháp đánh giá, thường để ta phương trình chØ cã mét nghiƯm (nghiƯm nhÊt).Ta th­êng sư dơng bất đẳng thức cổ điển Cô si, Bunhiacopxki, đưa vế trái tổng bình phương biểu thức, đồng thêi vÕ ph¶i b»ng Ta còng cã thĨ sư dụng tính đơn điệu hàm số (có thể thấy sử dụng đạo hàm xét biến thiên hàm số) để đánh giá cách hợp lý  f ( x)  g ( x) Th­êng ta ®¸nh gi¸ nh­ sau:  f ( x)  C ( C )  f ( x)  g ( x) C , đánh giá g ( x )  C ( C )  f ( x)  g ( x) còng nh­ lµ f ( x) g ( x) Ngoài cụ thể ta có cách đánh giá khác Cũng có số phương trình vô tỷ có nhiều ẩn mà ta giải phương pháp đánh giá 10 3.2 Một số ví dụ Ví dụ Giải phương trình x x   HD: Bµi toán có đề thi vào Đại học Bách Khoa ĐHQG năm 2001 Bài có nhiều cách giải, đáp án sử dụng đạo hàm Ta làm đơn giản sau: Ta thấy x Nếu x  th× Vt > = Vp NÕu x  th× Vt < = Vp nghiệm phương trình Do phương trình nghiệm hai trường hợp Vậy phương trình có nghiệm x Ví dụ Giải phương trình 3x  x   x  10 x  14   x  x HD: Bài đơn giản, đánh giá Vt Vp , hai vế Ta phương trình cã nghiƯm nhÊt lµ x  1 VÝ dụ Giải phương trình 27 x  24 x  28 27  1 x6 HD: Phương trình cho tương đương với phương trình 24 (9 x 4) 3(9 x 4) , đk x Đặt (9 x  4)  y , suy y    1 Khi ta y2 3y y2 3y   1 4   1  y (bình phương hai 3 vế) Theo BĐT Cô-si ta y y6 , ®ã  y2  y2   y       ( y  2)    y  48  y  12 y  12  y  12 y  36   ( y  6) 11 Từ ta y  , suy x  tháa m·n đk 9 Vậy phương trình có nghiệm x Ví dụ Giải phương tr×nh x  3x  x  x3  x  3x   HD: Phương trình cho tương đương víi (2 x  x  1)( x  3)  x  x  (2 x  x  1)  ( x 3) (1) Phương trình xác 2 định với x số thực Theo BĐT Cô-si cho hai số dương ta : Vt(1) Vp(1) Do ®ã (1)  x  x   x   x x Từ phương trình có nghiệm x x Ví dụ Giải phương trình x   1   4 x   x x     x   HD: §k  Với đk đó, phương trình cho tương đương với x phương trình:  x2   1  x   4(1) x x (  x  x)  (  x  x.1)   2 theo BĐT Bunhiacopxki, ta 1 1          1  x x  x x     x2  x   Suy Vt (1)  = Vp (1) Do ®ã (1)   , nghÜa lµ dÊu b»ng 1  2   x x  hƯ x¶y Từ phương trình có nghiệm x Ví dụ Giải phương trình 13 x  x  x  x  16 HD: §k 1  x Với đk phương trình tương đương víi 12 x (13  x   x )  16  x (13  x   x ) 256(1) Theo BĐT Bunhiacopxki, ta (13  x   x )  ( 13 13  x  3  x )  (13  27)(13(1  x )  3(1  x ))  40(16  10 x ) Theo BĐT Cô-si cho hai số dương ta ®­ỵc  10 x  (16  10 x )  10 x (16  10 x )     64   2 Do ®ã Vt(1)  4.64  256 , ta x2 2   x2  9  x   x (1)   Tõ ®ã dÉn ®Õn x    20 x  16 10 x  16  10 x Vậy phương trình có hai nghiệm x Phương pháp lượng giác 4.1 Một số lưu ý Khi giải phương trình vô tỷ phương pháp lượng giác ta đặt f ( x) sin  nÕu f ( x)   1;1 víi ®iỊu kiƯn     ;  hc f ( x)  cos  víi  2 ®iỊu kiƯn    0;   Còng cã ®Ỉt f ( x)  tan  ; f ( x) cot để đưa phương trình cho phương trình lượng giác Giải phương trình lượng giác từ tìm nghiệm phương trình cho 4.2 Mét sè vÝ dơ VÝ dơ Gi¶i phương trình 1 2 x x2 HD: Đặt x cos y, y (0; ), y Phương trình cho trë thµnh 1   2  sin y  cos y  2.sin y §Ỉt sin y  cos y  z ,   z  cos y sin y 13 suy sin y  2sin y cos y z , ta z  vµ z   Víi z  th× y  Víi z    , ®ã x  2 2 11 y , x   12 2 VËy ph­¬ng trình có nghiệm x x   2 VÝ dô Giải phương trình x3 (1 x )3  x 2(1  x ) HD: §k x Đặt x  sin y, y    ;  suy cos y   2 Khi phương trình trở thành sin y cos3 y sin y cos y Đặt sin y  cos y  z, z    2; (chính xác z 1; ), biến đổi phương trình ta z  2.z  3z    ( z  2)( z   1)( z   1)   z   z  1 NÕu z  thì y , x  NÕu z   th× sin y  cos y    x   x     x2    x  x 1  2 Vậy phương trình có nghiệm 4.3 Một số tập tương tự Bài Giải phương tr×nh x3  3x   x (HD: Đặt x cos y , phương trình cã tËp nghiƯm lµ  5 3   S  cos ;cos ;cos   ) 8 14 Bài Giải phương trình   x   x  (1  x )3  Bài Giải phương trình x x x2 2 Bài Giải phương trình ( x)  x  x  x x(1  x )  x2 Bài Giải phương trình x Một số phương pháp khác 5.1 Một số lưu ý Ngoài phương pháp thường gặp trên, ta có lời giải khác lạ số phương trình vô tỷ Cũng ta sử dụng kết hợp phương pháp để giải phương trình 5.2 Một số ví dụ Ví dụ Giải phương trình  x  x   x  y  y    y  x  16 Nhận xét: Bài toán không khó, kiểm tra tính cẩn thận học sinh mà sau đặt điều kiện đẫ tìm giá trị x Tuy nhiên học sinh học hời hợt ngồi nhìn mà không làm HD: Đặt đk cho phương trình xác định ta x Khi phương trình trở thành y    y , suy y Vậy phương trình có nghiệm  3 ( x; y )   2;  Ví dụ Giải phương trình x   x  x   x  x  HD: Đặt y x  1;  z  x  x  8; t  x  x  , suy y  z  t  vµ y  z  t (1) Mặt khác y z  t   (2) Tõ (1) (2) ta ( y z t )3  ( y  z  t )  3( y  z )( z  t )(t  y )  y  z   y   z (3)    z  t    z  t (4) t  y  t  y (5) 15 Xét (3) ta x x , xét (4) x (5) x x Vậy tập nghiệm phương trình S 1;0;1;9 Ví dụ Giải phương trình x  x  20  x  x  29  97   HD: Trong mặt phẳng tọa độ xét hai véc tơ a  ( x  2; 4) vµ b  ( x  2;5)   Khi ®ã ta ®­ỵc a  b  (4;5) , suy   a  b  97 vµ ta còng cã  a  x  x  20 ,      b  x x 29 Phương trình trở thành a b a b , đẳng thức xảy a b chiÒu  x  x   Từ ta phương trình có nghiệm x Đ2 Một số tập Tự làm Sau số tËp tù lµm mµ chóng ta cã thĨ sư dơng phương pháp Bài Giải phương tr×nh sau: 1) x2  x 1  x  x2   x2  x  2)   x  x(1   x ) 3)  x 2x  x2  x  x2 4) x    x  x2  5x 1 5) 3 x  x  2001  3 x  x  2002  x  2003 2002 Bài Giải phương trình sau: 1) x  x   x  x   3x  3x 42 60   5 x 7x 2) 3) ( x  2) x   x   4) 3x    x  x   x   16 5) x  x  10  x  x 10 Bài Giải phương trình sau: 1) x  (2004  x )(1   x ) 2) 3x  x 3) 3x x  x  x  x 5  4) 16 x   x3  x 5) x3  x  ( x  2)3  x Bài Giải phương trình sau: 1) x    x  x  3x  28 27  1 x6 2) 27 x  24 x  3) 13 x   x   16 x 4) x  86  x   KẾT LUẬN Trên trích dẫn vận dụng ‘‘một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ giải tốn’’ Đề tài thân đồng nghiệp đơn vị thí điểm em học sinh có học lực trở lên Kết thu khả quan, em học tập cách say mê hứng thú Một số em đạt thành tích tốt qua đợt thi học sinh giỏi vừa qua Vì tác dụng 17 tích cực việc bồi dưỡng học sinh giỏi nên kính mong hội đồng khoa học q thầy góp ý bổ sung để đề tài ngày hoàn thiện hơn, có ứng dụng rộng q trình dạy học trường THPT Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, không chép người khác Xin chân thành cảm ơn! Xác nhận thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa, ngày 25/5/2016 Người viết Lê Đình Hải 18 ... §1 Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ số quy ước đọc chuyên đề 1.1 Vt: Vế trái phương trình Vt : Bình phương vế trái phương trình 1.2 Vp: Vế phải phương trình Vp : Bình phương vế phải phương. ..  x )3 Bài Giải phương trình x x x2 2 Bài Giải phương trình (  x)  x  x  x x(1  x ) x2 Bài Giải phương trình x Một số phương pháp khác 5.1 Một số lưu ý Ngoài phương pháp thường gặp... tan ; f ( x) cot để đưa phương trình cho phương trình lượng giác Giải phương trình lượng giác từ tìm nghiệm phương trình cho 4.2 Một số ví dụ Ví dụ Giải phương trình 1 2 x x2 HD: Đặt x