1 mở đầu - Lý chọn đề tài Trong chương trình tốn phổ thơng nói chung chương trình Đại số 10 nói riêng làm quen với phương trình bậc bốn Tuy nhiên em học sinh gặp phương trình bậc bốn dạng đơn giản phương trình trùng phương, phương trình quy hồi qua vài phép biến đổi học sinh giải cách dễ dàng Tuy vậy, gặp phương trình bậc bốn khơng có dạng đặc biệt em tỏ lúng túng khụng gii c Mặt khác giải toán liên quan đến phương trình, hệ phương trình: vô tỷ, lượng giác, mũ lôgarit, thường phải quy giải phương trình bậc cao, có phương trình bậc bốn Một số toán hình häc, vËt lý sau tr¶i qua mét sè bước, cuối đến việc phải giải phương trình bậc bốn Cho dù bước nhỏ toán không giải bước nhỏ chưa thể đưa kết luận toán Q trình giải tốn giải phương trình bậc bốn đòi hỏi học sinh phải biết vân dụng kiến thức tồn chương trình, kỹ biến đổi từ dạng phức tạp dạng đơn giản cách linh hoạt Học sinh cần có tư lơgíc, khả tổng hợp vận dụng thành thạo kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử, biến đổi đồng kiến thức bất đẳng thức Từ giúp học sinh rèn luyện tư lơgíc, khả tưởng tượng, phát huy tính tích cực, chủ động vận dụng kin thc vo thc tin Xuất phát từ tầm quan trọng nội dung từ thực trạng trên, để học sinh dễ dàng tự tin gặp tập phương trình bậc bốn, giúp em phát huy khả phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua tập nhỏ, với tích luỹ kinh nghiệm thân qua năm giảng dạy, đưa sáng kiến kinh nghiệm Mt s phương pháp giải phương trình bậc cho häc sinh líp 10" S¸ng kiÕn kinh nghiƯm thân áp dụng trình giảng dạy trường THPT Hàm Rồng - Mục đích nghiên cứu: Giúp học sinh hiểu sâu nắm phương pháp giải phương trình bậc Từ nghiên cứu tìm tòi sáng tạo nhằm nâng cao -1- chất lượng học môn toán trường THPT, góp phần đạt kết tốt cho việc giải toán Hình học, vật lý, toán phương trình vô tỉ, lượng giác, mũ, logarit - Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp giải phương trình bậc ®èi víi häc sinh khèi 10 tr­êng THPT Hµm Rång - Phương pháp nghiên cứu : Phương pháp thu thập tài liệu Phương pháp điều tra Phương pháp phân tích Phương pháp tổng hợp Phương pháp đánh giá nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận : Phương trình bậc đầy đủ phương trình có dạng: ax4+bx3+cx2+dx+e =0 (a 0) Bài toán giải phương trình bậc trọng ®Ị thi häc sinh giái c¸c cÊp, còng nh­ tài liệu nâng cao xuất nhiều tạp chí toán học 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: - Trong chương trình THPT, thời lượng chương trình có hạn mà mảng phương trình bậc bậc bốn chưa trình bày rõ ràng, đầy đủ Ngược lại sơ lược, mang tính chất giới thiệu qua số tập đơn giản - Do chưa hệ thống kiến thức chưa học đầy đủ phương pháp để giải dạng phương trình bậc bốn nên gặp, hầu hết học sinh thấy lúng túng hướng giải - Tuy nhiên, dạng tập phương trình bậc bốn phong phú, đa dạng phức tạp - Đa số học sinh chưa có phương pháp để giải dạng phương trình bậc bốn nên nhiều em thường "bỏ qua" "bỏ dở" toán quy phương trình dạng -2- 2.3 Các phương pháp giải phương trình bậc : 2.3 Phương pháp đưa phương trình dạng tích Cho phương trình: ax4+bx3+cx2+dx+e =0 (a 0) (1) a) Phương pháp: Cách 1: Nhóm hạng tử, sau đặt thừa số chung để đưa vế trái dạng tích Cách 2: - Bước 1: Đoán nghiệm x0 phương trình dựa vào kết sau: + Nếu a+b+c+d+e=0 (1) cã nghiƯm x = + NÕu a-b+c-d+e=0 th× (1) cã nghiÖm x = -1 + NÕu a, b, c, d, e nguyên (1) có nghiệm hữu tỉ p p, q theo thứ tự ước q e a - Bước 2: + Bằng cách chia đa thức dùng lược đồ Hoócne, phân tích (1) thµnh:  x  x0 (x- x0)(ax3 +b1x2 +c1x+d1) =    ax  b1 x  c1 x  d1  (1.1) + Giải phương trình (1.1) cách: - Đoán nghiệm x1 phương trình (1.1) dựa vào kết sau: + NÕu a+b1+c1+d1=0 th× (1.1) cã nghiƯm x = + NÕu a-b1+c1-d1=0 th× (1.1) cã nghiƯm x = -1 + Nếu a, b1, c1 ,d1 nguyên (1.1) có nghiệm hữu tỉ p p, q theo thứ tự lµ q ­íc cđa d1 vµ a c b1 + NÕu ac13  b13 d1 (a, b1  0) th× (1.1) cã nghiƯm x =  - Ph©n tÝch (1.1) thµnh: (x- x1)(ax2 +b2x +c2) = b»ng cách chia đa thức dùng lược đồ Hoócne * Lược đồ Hoócne : Nếu f(x) có nghiệm x=x0 f(x) chứa nhân tử (x-x0), tức : f(x) =(x-x0).g(x) Trong ®ã : f(x) = anxn + an -1xn -1 + + a1x + a0 g(x)= bn-1xn-1 + bn - 2xn - + + b1x + b0 -3- víi : b n –  a n b  n –  x 0bn –  a n –   bi –  x bi  a i   b  x b1  a1 xi an x = x0 Ta có bảng sau ( Lược ®å Hoãcne) an - a0 x0bn-1 x0bi x0b0 bi-1 bn-1=an bn-2 b) Ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: (x2+3x-4)2+3(x2+3x-4)=x+4 (1.2) Giải: Phương trình (1.2) (x-1)2(x+4)2+3(x-1)(x+4)-(x+4)=0 (x+4)[(x-1)2(x+4)+3(x-1)-1]=0 x    (x+4)x(x2+2x-4)=0   x  4 x Vậy phương trình cã nghiÖm : x=0, x= -4, x  1 Ví dụ 2: Giải phương trình: x4 -4x3-x2+16x-12 =0 (1.3) Giải: Ta có a+b+c+d+e=0 nên phương trình có nghiệm x= Đưa phương trình dạng: (x-1)(x3-3x2-4x+12)=0 Phương trình x3-3x2-4x+12=0 có nghiệm x = nªn x   x 1  x   (1.3)  (x-1)(x-2)(x -x-6)=0   x     x  2  x  x    x Vậy phương trình có nghiệm phân biÖt x =1, x= 2, x= -2, x= * Nhận xét: Phương pháp đưa phương trình dạng tích phương pháp thường nghĩ đến giải phương trình Nhưng việc đưa dạng tích gặp khó khăn, nên nghĩ đến việc sử dụng phương pháp khác 2.3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ Dạng (PT trùng phương): ax4 + bx2+c =0 (a 0) (2) a) Phương pháp: - Đặt t = x2 (t 0), đưa (2) phương trình bËc hai: at2+bt+c=0 -4- (2') - Gi¶i (2'), nÕu (2') cã nghiƯm t0  th× (2) cã nghiƯm x   t0 * Chó ý: - (2) v« nghiƯm (2') vô nghiệm (2') có nghiệm t1 t2 (x-9)4= (9-x)4 < 9-x  4  x  8   x   < x – + – x = nên (11.2) vô nghiệm Vậy phương trình có nghiƯm : x = 8, x = BµI TËP CủNG Cố Bài 1: Giải phương trình sau: 1) 2x4 + 3x3 – 3x2 + 3x + = 2) x4 -8x3+7x2+36x-36=0 3) x4 -4x2 + 12x -9 = 4) x4+(x-1)(x2+2x+2)=0 5) (x2-4)(x2-2x)=2 6) (4x+1)(12x- 1)(3x+2)(x+1)=4 7) 2(x2+x+1)2-7(x-1)2=13(x3-1) 8) x4 -4x3 + 8x =5 9) x4+(x-1)4=97 10) x4 -5x3 + 8x2-10x+4 =0 Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: (x2-1)(x+3)(x+5)=m Bài 3: Tìm k để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x4-k2x2+2kx-1=0 Bài 4: Cho phương trình: x4 -4mx3 +(m+1)x2-4mx+1=0 a) Giải phương trình với m =1 b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 5: Giải biện luận phương trình: 2x4+mx2+2=0 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm - Thông qua dạy chương trình SGK lớp 10 nâng cao, qua trình làm tập SGK SBT nâng cao để đánh giá lực học sinh - 13 - - Trước học sau học: "Các phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10", cho häc sinh lµm bµi kiĨm tra vµ thèng kê kết để thấy hiệu đạt sáng kiến kinh nghiệm - Đối tượng đánh giá: học sinh líp 10A1 vµ 10A2 - Tr­êng THPT Hµm Rång §Ị kiĨm tra sè (Thêi gian: 90 phót) (Tr­íc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy) Câu (6 điểm): Giải phương trình sau: a) x4 +2x3 +10x -25 = b) (x2+3x+2)(x2+7x+12)=24 c) x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = Câu (4 điểm): Cho phương trình: x4+(2m-1)x3+(m2-2m)x2-(m2-m+1)x-m+1=0 a) Giải phương trình với m = -1 b) Xác định m để phương trình có nghiệm phân biệt Đáp án thang điểm đề kiểm tra số Câu Nội dung Điểm 1.a Phương trình x4 +2x3+x2 = x2-10x+25 0.50 (2®)  x2  x  x  2   x  x    x  5   x  x  x   x   (VN )   x  1   x  x   0.75 0.75 Vậy phương trình có nghiệm x= 1.b (2đ) Phương trình (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=24 0.50 (x2+5x+4)(x2+5x+6)=24 Đặt t= x2+5x+4 => x2+5x+6=t+2 t Phương trình trở thành: t(t+2)=24 t x  0.50 Víi t=4 th× x2+5x+4 =4    x  5 0.50 Víi t=-6 th× x2+5x+4 =-6 x2+5x+10=0 (VN) 0.50 Vậy phương trình có nghiƯm x=0, x= -5 - 14 - 1.c Ph­¬ng tr×nh  (x2 - 5x + 2)( x2 + x - 7) = (2®) 1.00   17 x   x  5x      1  29  x  x  7=0 x   2 VËy phương trình có nghiệm: x 1.00  17 1  29 ,x  2 Ph­¬ng trình (x-1)(x3+2mx2+m2x+m-1)=0 (4đ) (x-1)(x+m-1)[x2+(m+1)x+1]=0 (1) 1.00 x   x  1 m g(x)=x   m  1 x  1=0 (2)  x  x   a) Víi m=-1 : (1)   x  x  g(x)=x 1=0 1.50 b) Phương trình có nghiệm phân biệt 1-m (2) có nghiệm phân biệt khác khác 1-m m   m   m    m  3  m  3     m   g   m  2m       3   m 1 m   g (1)    m  3 2  g (1  m)  3  2m    m   3 VËy víi m   ; 3  1;    ;   phương trình có 2 nghiệm phân biệt Kết kiểm tra số 1: Loại Giỏi Khá Trung bình Yếu- Kém Tỷ lệ (%) 10 20 70 §Ị kiĨm tra sè (Thêi gian: 90 phót) (Sau ¸p dơng s¸ng kiÕn kinh nghiệm vào giảng dạy) Câu 1( điểm): Giải phương trình sau: a) (x+3)4+(x+5)4=2 b) x4 -3x2 -4x -3 = - 15 - 0.50 1.00 c) 2(x2-x+1)2+x3+1=(x+1)2 d) x4 + x3 -17x2 + 6x +2 = C©u (2 điểm) : Tìm m để phương trình sau cã nghiƯm ph©n biƯt: x4 - x2 + 2mx -m2 = Đáp án thang điểm đề số Câu Nội dung Điểm 1.a Đặt t = x+4 Phương trình trở thành: (2đ) (t-1)4+(t+1)4=2 t4+6t2=0 t=0 1.00 Với t=0 x= -4 1.00 Vậy phương trình có nghiệm x=-4 1.b Phương trình x4 -2x2+1 = x2+4x+4 0.50 (2®)   x  1   x    x2 1  x    x   ( x  2) 0.50 2  x2  x    13  x  x  x   (VN ) 1.c Phương trình 2(x2-x+1)2+x3+1-(x+1)2=0 (2đ) Chia hai vế cho (x2-x+1)2 0, ta được: 1.00 0.50 x 1  x 1  2   0 x  x 1  x  x Đặt t = x , phương trình trë thµnh: x  x 1 t  1  t  t2    t  Víi t=-1 th× 0.50 x 1 =-1  x   (VN) x  x 1 0.50 x  x 1 Víi t = th× =2  x  3x     x  x  x 1  0.50 Vậy phương trình cho có nghiệm x=1, x= 1.d Phương trình (x2 +5x +1)( x2 -4x +2) = 1.00 (2®)  5  21  x  5x+1  x    x -4x  2=0   x   1.00 - 16 - (2®) Phương trình x4=x2-2mx+m2 x4=(x-m)2 0.50 x  x  m  (1)  x2  x  m   x  m  x  x  x  m  (2) Phương trình cho có nghiệm phân biệt (1) (2) có 0.25 nghiệm phân biệt chúng nghiệm chung + (1) (2) có nghiệm phân biệt 1  4m  1    m 4 1  4m    0.50 x  x  m  + NÕu (1) vµ (2) cã nghiƯm chung x0 th×:  02  x0  x0  m  0.50 Céng tõng vÕ: x02   x0  Suy m=0 VËy phương trình có nghiệm phân biệt m   ;0    0;  4     0.25 KÕt qu¶ cđa kiểm tra số Loại Giỏi Khá Tỷ lệ (%) 30 Trung b×nh Ỹu- KÐm 40 25 So sánh kết trước sau học chuyên đề: Loại Tỷ lệ (%) Giỏi Khá Trung Yếu- bình Kém 10 20 70 30 40 25 + + - - Trước học chuyên đề Tỷ lệ (%) Sau học chuyên đề Tăng(+), giảm(-) - Sau học chuyên đề học sinh hứng thú gặp toán cần giải phương trình bậc Đối tượng học sinh giỏi say mê, nhiều em tìm tòi nhiều cách giải hay cho toán, số em viết thành báo cáo kinh nghiệm - 17 - học tập Hội nghị báo cáo kinh nghiệm học tập, trường THPT hàm Rồng tổ chức vào tháng 11 hàng năm cho học sinh 3.kết luận Và KIếN NGHị 3.1 Kết luận Thông qua trình giảng dạy học sinh lớp 10A1, 10A2 ôn luyện cho đối tượng học sinh giỏi, áp dụng đề tài kết cho thấy: - Học sinh có khả nhìn nhận xác cách giải phương trình bậc bốn - Học sinh tự tin phân tích để lựa chọn phương pháp giải hay, ngắn gọn cho dạng phương trình bậc bốn - Hình thành tư logic, kỹ giải phương trình bậc bốn Đồng thời t¹o høng thó häc tËp cho häc sinh Cơ thĨ, qua hai bµi kiĨm tra tr­íc vµ sau học: "Các phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10", thống kê kết thấy hiệu rõ rệt sáng kiến kinh nghiệm 3.2 Kiến nghị - Trong trình dạy học phương trình, hệ phương trình bất phương trình nói chung, thấy phương pháp giải phương trình bậc bốn chưa trình bày cách đầy đủ Vì vậy, không học sinh lớp 10 mà học sinh lớp 11, 12 thấy lúng túng gặp loại phương trình Rất mong có thêm nhiều tài liệu viết đề tài để góp phần cho việc dạy học đạt hiệu cao - Việc giảng dạy lớp cần dạng từ mức độ dễ đến khó, kết hợp ôn tập với giao tập nhµ, vµ kiĨm tra häc sinh, tỉ chøc cho häc sinh sáng tạo tìm hiểu phương pháp giải mới, cách giải hay Biết khắc sâu kiến thức bản, tập thường gặp để đưa dạng tổng quát Tuy nhiên đề tài khó nên đưa cuối tiết học học theo buổi học phụ đạo chuyên đề riêng Do thời gian có hạn nên việc nghiên cứu không tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy giáo, cô giáo bạn đọc Xin trân trọng cảm ơn! - 18 - XC NHN CA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 03 tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người thực Ngun BÝch Thủ - 19 - ... bi-1 bn-1=an bn-2 b) VÝ dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: (x2+3x -4 ) 2+3(x2+3x -4 ) =x +4 (1.2) Giải: Phương trình (1.2) (x-1)2(x +4) 2+3(x-1)(x +4 )-( x +4) =0 (x +4) [(x-1)2(x +4) +3(x-1 )-1 ]=0 x   (x +4) x(x2+2x -4 ) =0... điểm): Giải phương trình sau: a) x4 +2x3 +10x -2 5 = b) (x2+3x+2)(x2+7x+12)= 24 c) x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = C©u (4 điểm): Cho phương trình: x4+(2m-1)x3+(m 2-2 m)x 2-( m2-m+1)x-m+1=0 a) Giải phương trình. .. x2+b1x+c1, phương trình trở thành: at2+Bt+C=0 b) Ví dụ: Giải phương trình: x4 -4 x3+3x2+2x-20 =0 (8.1) Giải: Phương trình (8.1) x4 -4 x3+4x 2-( x 2- 2x) -2 0 =0  (x 2- 2x) 2-( x 2- 2x )-2 0=0 Đặt t = x 2- 2x