Một số kinh nghiệm giải toán bất đẳng thức A PHẦN MỞ ĐẦU Bất đẳng thức dạng tốn hay khó học sinh trình học tập kỳ thi, trước hết kỳ thi đại học mà hầu hết học sinh THPT phải vượt qua Ngoài bất đẳng thức dạng thường gặp kỳ thi học sinh giỏi toán cấp: Tỉnh, Quốc gia, Olympic khu vực Olympic quốc tế Để giúp em có thêm số kinh nghiệm trình học tập nhằm nắm vững phương pháp chứng minh bất đẳng thức đồng thời sử dụng linh hoạt việc giải toán bất đẳng thức, định viết đề tài nhằm chia đồng nghiệp, học sinh độc giả số phương pháp, kinh nghiệm giải toán bất đẳng thức Đề tài gồm phần bản: Phần I: Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Phần II: Bất đẳng thức lượng giác tam giác Do khuôn khổ đề tài, phần xin miễn nhắc lại kiến thức bất đẳng thức kiến thức trình bày chi tiết sách giáo khoa trung học phổ thông, mà tập trung vào phương pháp biến đổi đồng thời nêu số ví dụ minh Một số kinh nghiệm giải toán bất ®¼ng thøc B NỘI DUNG Phần I: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1) Dùng phép biến đổi thích hợp 2) Tam thức bậc 3) Phương pháp đạo hàm, cực trị hàm số 4) Quy nạp 5) Lượng giác hóa 6) Phương pháp hình học 7) Các BĐT thông dụng 8) Một số phương pháp khác I Sử dụng phép biến đổi Ví dụ 1: CM với a,b,c số dương 1 a b c   2 ab bc ca Giải: Vì a,b,c số dương nên ta có a a  ab abc b b  bc abc Cộng vế theo vế ta  c c  ca abc a b c   ab bc ca Mặt khác ta có a ac  ab abc b ab  bc abc Cộng vế theo vế ta c bc  ca abc a b c   2 ab bc ca Ví dụ 2: CM x  R ta ln có x8  x5  x  x  Giải: x8  x5  x  x  x x 3x 1  x8  2x    x   4 3 2  1  x       x  R  x    x  2  3 3  Một số kinh nghiệm giải toán bất đẳng thøc Do x  x  x  x  (đpcm) Ví dụ 3: CMR 1    1 n N 1.2 2.3 n(n  1) Giải: Ta có k (k  1)  k  k 1 (k  N * ) Cho k=1, 2, .n cộng đẳng thức theo vế ta có 1 1 1 1            1 1 1.2 2.3 n(n  1) 2 n n 1 n 1 Vậy ta có đpcm II Phương pháp Tam thức bậc Ví dụ 1: CMR 13  59 5x  13  59   11 11 3x  x  Giải: TXĐ: x  R Gọi P  5x  3x  x  (3P  5) x  Px  P   (*) Để (*) có nghiệm x '   P  (4 P  2)(3P  5)   11P  26 P  10   13  59 13  59 P 11 11 13  59 5x  13  59   Vậy 11 11 3x  x  Dấu đt bên trái xảy x 13(13  59 ) 121 Dấu đt bên phải xảy Một số kinh nghiệm giải toán bất đẳng thøc x 13(13  59 ) 121 III Phương pháp hàm số, dùng đạo hàm Ví dụ : CMR x  sin x  x Giải : Xét hàm số f ( x)  x  sin x f '( x)   cos x   f (x) đồng biến Mặt khác f(0)=0 Vậy f(x)>0 với x>0 hay với x>0 sin x  x Ví dụ 2: CMR 0