MỤC LỤC Thứ tự Nội dung Trang Mục lục 10 11 12 13 14 15 16 Phần A: Mở đầu I Lí chọn đề tài II Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu III Phạm vi đối tượng nghiên cứu IV Phương pháp nghiên cứu Phần B: NỘI DUNG I Cơ sở lý luận II Thực trạng vấn đề III Giải pháp tổ chức thực Phương pháp giải Ví dụ minh họa Bài tập tương tự IV Kết đạt Phần C: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Tài liệu tham khảo 1 2 2 3 4 15 16 17 18 PHẦN A: MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Đảng ta quan niệm “Hiền tài nguyên khí quốc gia’’ đặc biệt coi trọng việc bồi dưỡng nhân tài cho đất nước Bộ giáo dục đào tạo có trọng đặc biệt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi cấp Đó tiếp tục xây dựng phát triển trường chun tồn diện hơn, khuyến khích tơn vinh học sinh xuất sắc đạt thành tích cao kỳ thi học sinh giỏi nước quốc tế Vận dụng cách dạy học phân hóa công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Các trường chun xây dựng phân phối chương trình riêng phù hợp với khă học sinh… Trong trình giảng dạy bồi dưỡng mơn tốn cho học sinh giỏi, mục tiêu người dạy giúp việc học tập kiến thức lý thuyết, hiểu vận dụng vào tập cao ứng dụng vào khoa học sống Bài tập toán học chương trình phổ thơng đa dạng có phần khó, đặc biệt tốn đề thi học sinh giỏi tỉnh, quốc gia hàng năm khó đa dạng phần Như biết đề thi học sinh giỏi đề thi đại học thường có tốn PT – BPT – HPT – HBPT chứa tham số, thường câu hỏi khó đề thi Thông thường học sinh gặp câu hỏi thường lúng túng định hướng lời giải Về vấn đề này, có nhiều tài liệu, sáng kiến kinh nghiệm (SKKN) Tuy nhiên tài liệu viết chuyên sâu, dạng tốn điển hình chưa có Chính tơi tiến hành nghiên cứu đề tài “Hướng dẫn học sinh giỏi giải số dạng tốn điển hình PT – BPT – HPT chứa tham số’’, với hy vọng để giúp em học sinh có tài liệu tham khảo hữu ích, giúp em có định hướng xác giải toán PT – BPT – HPT – HBPT chứa tham số MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Giúp học sinh nhận dạng PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số - Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải tốn Qua học sinh nâng cao khả tư duy, sáng tạo - Nâng cao khả tự học, tự bồi dưỡng khả giải toán kỳ thi tuyển sinh vào Đại học ôn luyện HSG mơn Tốn ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Các dạng toán giải PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số chương trình tốn phổ thơng, đặc biệt kỳ thi tuyển sinh vào Đại học, kỳ thi chọn HSG cấp tỉnh - Phân loại dạng toán thường gặp phương pháp giải dạng PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Để thực mục đích nhiệm vụ đề tài, trình nghiên cứu tơi sử dụng phương pháp sau: - Nghiên cứu loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài - Phương pháp quan sát (công việc dạy- học giáo viên HS) - Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chun mơn,…) - Phương pháp đàm thoại vấn (lấy ý kiến giáo viên HS thông qua trao đổi trực tiếp) - Phương pháp thực nghiệm PHẦN B: NỘI DUNG SKKN I CƠ SỞ LÍ LUẬN: Lí luận chung: Chương trình giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện lớp học, bồi dưỡng học sinh phương pháp tự học, khả hợp tác, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú trách nhiệm học tập cho học sinh Quá trình dạy học với nhiệm vụ hình thành tri thức, rèn luyện kỹ hoạt động nhận thức, hình thành thái độ tích cực xây dựng trình hoạt động thống thầy trò, trò trò, tính tự giác, tích cực tổ chức, tự điều khiển hoạt động học nhằm thực tốt nhiệm vụ đề Kiến thức vận dụng: a) Định nghĩa đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm, cơng thức tính đạo hàm hàm số thường gặp, cơng thức tính đạo hàm hàm hợp b) Để giải PT, HPT, BPT, HBPT có chứa tham số phương pháp đạo hàm ta cần nắm cần nắm vững mệnh đề sau: Cho hàm số y  f ( x) liên tục tập D 1: Số nghiệm phương trình f(x)=g(x) số giao điểm hai đồ thị hàm số y=f(x) y=g(x) 2: Phương trình f ( x)  m có nghiệm x  D  f  x   m  m ax f  x  xD 3: BPT f ( x)  m có nghiệm x  D  f  x   m xD xD 4: BPT f ( x)  m nghiệm với x  D  m ax f  x   m xD 5: BPT f ( x)  m có nghiệm x  D  m ax f  x   m xD 6: BPT f ( x)  m , nghiệm với x  D  f  x   m xD 7: Cho hàm số y  f ( x) đơn điệu tập D Khi f  u   f  v   u  v (với u , v  D ) II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ: - Qua thực tiễn học tập giảng dạy, thân nhận thấy PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số thường đa dạng khó Nên học sinh thường khơng mạnh dạn, tự tin để tìm lời giải cho toán Đặc biệt tài liệu chuyên sâu dạng tốn ít, khơng rõ dạng tốn thường gặp, hướng đề thi III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN Trong thực tiễn giảng dạy cho học sinh, tác giả giúp học sinh nhận dạng toán phương pháp giải dạng toán theo hệ thống tập xếp theo trình tự logic Phương pháp giải Dạng tốn thường gặp tìm giá trị tham số m để PT, BPT có nghiệm (hoặc có nghiệm thỏa mãn điều kiện đó) Với dạng tốn ta thực theo bước sau: Bước 1: Biến đổi PT, BPT dạng f  x   g  m  (hoặc f  x   g  m  , f  x   g  m  Hay gọi lập m) Bước 2: Tìm tập xác định D hàm số f  x  Bước 3: Tính f '  x  Bước 4: Lập bảng biến thiên hàm số f  x  Bước 5: Xác định f  x  m ax f  x  xD xD Từ vận dụng mệnh đề nêu phần kiến thức bên rút kết luận cho toán Lưu ý: Trường hợp PT, BPT chứa biểu thức phức tạp, ta xem xét đặt ẩn phụ để đơn giản chúng Nếu ta làm sau:  Đặt t    x  (  (x) biểu thức PT, BPT)  Từ điều kiện ràng buộc ẩn số x  D , tìm điều kiện ẩn số t , ví dụ t  K (chú ý phải tìm điều kiện chặt t)  Đưa PT, BPT ẩn số x PT, BPT ẩn số t ta f  t   h  m  (hoặc f  t   h  m  , f  t   h  m  )  Lập bảng biến thiên hàm số f  t  tập K  Từ bảng biến thiên rút kết luận toán Các dạng tốn điển hình Dạng 1: Tìm tham số để phương trình có nghiệm Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:  x    x   x  x  m Lời giải: Đặt t   x    x    x  x  24  25   x  1   t  Phương trình trở thành: t  t  24  m ; t   0;5 Xét hàm số f  t   t  t  24 đoạn 0;5 Ta có bảng biến thiên sau: t 97 f t  24 Từ suy phương trình có nghiệm  m  Vậy  m  97 97 Nhận xét: Với tốn việc đặt ẩn phụ thích hợp, nhiên em nhớ phải tìm điều kiện xác ẩn phụ Ví dụ : Tìm tham số m để phương trình m    x   x    x   x   x có nghiệm Lời giải: ĐK 1  x  Đặt t   x   x  1  x  1   t  ( lập bảng biến thiên) Khi phương trình đưa dạng m  t  t  0t  t2   t  t  Lập bảng biến thiên hàm số f  t   ta tìm   f  t   t2 Vậy để PT có nghiệm   m  Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: x    m  1 x   x  Lời giải: Điều kiện: x  Phương trình cho  3 x   x   m  1 x 1 x 1 Đặt t  x      0,1 Khi (1) trở thành 3t  2t  m    x 1 x 1 Xét hàm số f  t   3t  2t nửa đoạn  0;1 Ta có f '  t   6t  2; f '  t    t  Ta có bảng biến thiên: t f’(t) f(t) + - -1 Do phương trình cho có nghiệm thực (thõa mãn x  ) phương trình (2) có nghiệm t   0;1  1  m   Vậy  m  Nhận xét: Với ví dụ 2,3 khác với ví dụ chỗ em phải lập ẩn phương trình có dạng quen thuộc f  x   g  m  Điểm chung ba ví dụ dùng công cụ đạo hàm để khảo sát hàm số Dạng 2: Tìm tham số để phương trình có số nghiệm cho trước Ví dụ 4: (HSG Thanh Hóa 2012) Tìm số thực a để phương trình: x   a3x cos( x) , có nghiệm thực Lời giải: x   a3x cos( x)  3x  32 x  a.cos( x) (2) Nhận xét: Nếu x nghiệm (2)  x0 nghiệm (2), suy điều kiện cần để (2) có nghiệm x0   x0  x0  Với x0  , từ (2) suy a  6 Với a  6, phương trình (2) trở thành 3x  32 x  6cos( x) (3) 3x  32 x   x  Ta có VT (3)  6, VP (3)  Vậy (3)    6cos(  x )   Vậy a  6 Nhận xét: Với cô lập ẩn giải ba ví dụ khó việc khảo sát hàm lượng giác học sinh khơng học phức tạp Ví dụ 5: Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: 2x  2x   x   x  m  Lời giải: Điều kiện  x  Đặt f  x   x  x   x   x ; x   0;6 Ta có: f   x       2x 6  x3  Đặt u  x    2x       , x   0;6     x 6 x   ;v  x   , x   0,  x  x 6  x u  x  , v  x   0, x   0,   f ( x)  0, x   0,        f ( x)  0, x   2,   u  v     f (2)  u  x  , v  x   0, x   2,    (Nghĩa là: u    v     f '    u  x  , v  x  dương x   0;  âm x   2;6  ) Do ta có bảng biến thiên: x f’(x) + - 63 f(x)  24 12  Từ bảng biến thiên suy giá trị cần tìm là:  24  m    Vậy    m  Ví dụ 6: (Khối D 2007) Tìm m để PT sau có hai nghiệm thực phân biệt: x  mx   x  1 Lời giải: Phương trình cho tương đương với:   x     x 2    x  mx    x  12  3x  x   m     x 3x  x  1   Xét hàm số f  x    x  x    ;0    0;   , ta có x x   f '  x     nên ta có bảng biến thiên x Vậy, phương trình (1) có hai nghiệm thực phân biệt phương trình (2) có hai   nghiệm phân biệt khoảng   ;0    0;   Từ bảng biến thiên, ta có   Phương trình (1) có hai nghiệm thực phân biệt m  Nhận xét: Đối với toán Hệ PT chứa tham số bước đầu ta phải vận dụng phương pháp để giải Hệ PT (như phương pháp: Biến đổi tương đương; Thế; Đặt ẩn phụ; dùng hàm số; đánh giá…) Rồi sau quy tốn PT có chứa tham số Ta xét ví dụ sau: Dạng 3: Tìm tham số để hệ có nghiệm Ví dụ 7: 2 x   y   x  xy  m Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:   x  x  y   2m Lời giải:   x  x   x  y   m Hệ phương trình cho tương đương với   x  x    x  y    2m Đặt u  x  x, u   ; v  x  y Hệ phương trình cho trở thành u   2m  1 u  m  1  uv  m   u  v   2m  v   2m  u Hệ cho có nghiệm (1) có nghiệm thoả mãn u   u  u Với u   , ta có: 1  m  2u  1  u  u  m  2u  u  u Xét hàm số f  u   , với u   ; ta có: 2u  2u  2u  1  f 'u    ; f 'u    u  2  2u  1 Bảng biến thiên Suy giá trị cần tìm là: m  2  x2   y  m Ví dụ 8: Tìm m để hệ  có nghiệm 2 y   x  x    m  Lời giải: Nhận thấy hệ có nghiệm  x0 ; y0  hệ có nghiệm   x0 ;  y0  ;   x0 ; y0  ;  x0 ;  y0  Vì nghiệm hệ x  y  từ suy m  ( điều kiện cần) Điều kiện đủ: m  hệ có dạng  x2   y   dễ thấy hệ có nghiệm x  y   2  y   x  x  Vậy m  Nhận xét: Đối với toán chứa tham số mà u cầu phương trình, hệ có nghiệm phương pháp giải thường sử dụng điều kiện cần đủ ví dụ 4,9 trình bày Đối với toán Bất PT chứa tham số phương pháp tương tự toán PT chứa tham số Tuy nhiên ta cần bám sát vận dụng mệnh đề: 3,4,5,6 phần kiến thức vận dụng Ta xét thêm số dạng tốn sau: Dạng 4: Tìm tham số để bất phương trình có nghiệm 2 Ví dụ 9: Tìm m để bất phương trình sin x  3cos x  m3sin x có nghiệm Lời giải: sin x cos x 3 sin x  m.3 2   3 Xét hàm số f  x     3 2 sin x  x    3 sin x  3cos x sin x m sin x  3cos x sin x , ( x  R) sin x 1 2 cos x  sin x  cos x   3cos x sin x  Do f  x   x  R Dấu xảy x  k (k  Z ) Kết luận :BPT có nghiệm m  Nhận xét: Với BPT hướng giải giống PT khác phần kết luận Ví dụ 10: (HSG Thanh Hóa 2010) Tìm giá trị tham số m để bất phương trình x  46  x   x  x  m nghiệm với x   4;6 Lời giải: Đặt t   x    x    x  x  24  25   x  1   t  Bất phương trình trở thành: t  t  24  m ; t   0;5 Xét hàm số f  t   t  t  24 đoạn 0;5 Ta có bảng biến thiên sau: t f’(t) + f(t) - 97 24 Từ suy bất phương trình nghiệm với x   4;6  m  f (t )  0;  Vậy giá trị cần tìm m là: m  Ví dụ 11: Tìm m để bất phương trình  2m  1 x  x    x   x   (1) có nghiệm x  0;1   10 Lời giải: Đặt t  x  x  ; t '  2x  2 x2  2x    x 1 ta có bảng biến thiên x t' t  1  2 Từ  t  Với  t  , ta biến đổi t  x2  x   t  x2  x   t    x   x  t2  Bất phương trình (1) trở thành  2m  1 t  1  t    2m  1  t 1 (2) t2  Xét hàm số f  t   , 1  t   t 1 t  2t  f 't    0, t  1;2 Suy hàm số f  t  đồng biến 1;2  t  1 Bảng biến thiên t f  t '  f t  Từ bảng biến thiên, bất phương trình (1) có nghiệm x  0;1   bất phương trình (2) có nghiệm t  1;2 Điều xảy 2m   max f  t   f    t1;2 Vậy m   11 Nhận xét: - Để học sinh hiểu vận dụng tốt mệnh đề: 3,4,5,6 Ngoài việc chứng minh lập luận ta cần minh họa đồ thị để học sinh hiểu rõ chất mệnh đề thực chất dựa vào tương giao hai đồ thị - Cũng giống ví dụ PT chứa tham số Trong phần BPT chứa tham số hướng giải chủ đạo tìm cách đặt ẩn phụ để đơn giản hóa tốn, sau dùng đạo hàm Tuy nhiên số trường hợp cần linh hoạt cách giải Đối với toán Hệ bất PT chứa tham số thơng thường hệ có Bất PT khơng chứa tham số giải Rồi sau quy toán Bất PT chứa tham số Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 12: x  7x   Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm   x   m  1 x  m   Lời giải:  x  x   (1) Hệ bất phương trình   x   m  1 x  m   (2) 1   x  Hệ cho có nghiệm tồn x0  1;6 thỏa mãn (2) x2  2x   m (do x  1;6  x   0)    x  x    x  1 m   x  1 x2  2x  ; x  1;6 Hệ cho có nghiệm  x0  1;6 : f ( x0 )  m 2x 1 1  17 2x2  2x   x  x  4 ; f '  x    x2  x    x  f ' x   2  x  1  x  1 Xét f ( x)  1  17 Ta có: 2 27  1  17  3  17 f (1)  , f (6)  , f    13  2  Vì x  1;6 nên nhận x  Vì f liên tục có đạo hàm [1;6] nên max f ( x)  Do x0  1;6 : f ( x0 )  m  max f ( x)  m  x1;6 27 x=6 13 27  m 13 Ví dụ 13: Tìm giá trị thực tham số m để hệ bất phương trình sau có nghiệm thực  x  mx    x 4  3.2 x  x  (1) x 1  (2) 12 Lời giải: điều kiện: x  Bất phương trình (2)  (2x )  3.2 x 2x  4.22 x   x  x x  4.2 x   x  4.2 x   x  x      x  x     x    x  Đối chiếu ĐK  x  (*) Do đó: Hệ bất phương trình có nghiệm  x3  3mx   có nghiệm x   0; 4 Với x  (1) khơng thỏa mãn x Với  x  : (1) có nghiệm thỏa mãn x   0; 4  m  x   g  x  có nghiệm x   0; 4  m  g ( x)  0;4 Xét g ( x)  x  2 với x   0; 4 Có g ' ( x)  x  =0  x=1 Bảng biến thiên : x x x g’(x) - + + g(x) 33 g ( x)  g (1)  Từ bảng biến thiên suy ra: 0;4   Vậy m  giá trị cần tìm Ví dụ 14: (HSG Thanh Hóa 2016) Tìm 𝑚 để hệ bất phương trình { |𝑥 ‒ 6| ≥ |𝑥2 ‒ 5𝑥 + 9| (𝑥2 ‒ 𝑥 + 4)(𝑥4 + 16) ≤ 𝑚𝑥3có nghiệm Giải: Bất phương trình thứ hệ có tập nghiệm [1;3] Với x  1;3 , bất phương trình thứ hai tương đương với :  x  x   x  16   16   m    m   x   1 x   x x  x     x  16 Xét hàm số f ( x)   x   1  x   , đặt t  x  𝑥 ∈ [1;3] suy ta 𝑡 ∈ [4;5] x x  x   Hàm số f ( x) trở thành hàm g  t   t  t  8t  Dễ tìm GTNN hàm g  t   t  t  8t   4;5 24 Do hệ có nghiệm m  24 13 Bài tập tương tự 1.Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực 4x  mx 1  2x 1   x  2mx  2.Tìm m để BPT  x  1 x   x  3 x    2m   Có nghiệm thỏa mãn: x  x   Tìm m để phương trình sau có nghiệm nhất: log m 11  log ( x  mx  10  4)log m (x  mx  12)  Tìm m để nghiệm BPT sau chứa đoạn 1;2 m x  3x   x  3x  0 Biện luận theo m số nghiệm hệ phương trình sau: 2 x  ( y  2) x  xy  m   x  x  y   2m Tìm a để phương trình sau có nghiệm: a  a  sin x  sin x Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x x  x  12  m  x   x   x  3x   Tìm m để hệ sau có nghiệm:  2  x  x x  m  15m  2 3 x  x y  x  xy  2m Tìm m để hệ sau có nghiệm:  (x, y  )  x  x  y   m 14 KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC: Sau rèn luyện hệ thống kiến thức trên, hầu hết em học sinh giỏi khối 12 lớp dạy tỏ mạnh dạn, tự tin linh hoạt nhiều việc giải toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số Mặt khác nhiều học sinh tỏ hứng thú với dạng tốn Bởi phương pháp khơng nhanh gọn, hiệu mà có tính tổng hợp cao, dùng đạo hàm để tìm cực trị, dùng đạo hàm tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số, khảo sát lập bảng biến thiên hàm số, toán quen thuộc ứng dụng đạo hàm phân môn Giải tích 12 Kết thống kê: Năm Số HS dự thi HSG tỉnh Giải câu tham số 2012 2013 2014 2015 2016 15 Phần C: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Tác giả cho rằng, việc khai thác tốt kiến thức đạo hàm để giải toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số yêu cầu quan trọng kiến thức lẫn kĩ học sinh ôn thi đại học học sinh đội tuyển HSG cấp Khi dạy chủ đề giáo viên cần ý việc hình thành cho học sinh tư thuật tốn cần làm cho học sinh có ý thức phân tích nhận dạng tốn, thói quen đặt nhu cầu giải toán theo nhiều hướng khác cuối phải biết tổng hợp lại đánh giá, nhận xét sâu sắc Từ rút kết luận súc tích Cái hay cách giải việc sử dụng đạo hàm phải vận dụng linh hoạt mệnh đề (phần kiến thức vận dụng) Đồng thời với phương pháp (cũng nằm xu chung việc đề thi đại học học sinh giỏi tăng cường ứng dụng đạo hàm, hàm số vào giải tốn) học sinh hồn tồn rủ bỏ phương pháp đại số kinh điển trước Đặc biệt ứng dụng định lý đảo dấu tam thức bậc hai xương sống hệ thống phương pháp giải tốn tham số, lỗi thời! Do khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm có hạn trình độ thân hạn chế Nên phần nội dung đề tài (khoảng 16 trang giấy A4, với 14 ví dụ tập tương tự) chưa thể khai thác hết tất khía cạnh việc ứng dụng đạo hàm để giải PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số Tuy nhiên tác giả tin vừa đủ để truyền tải đến học sinh tinh thần chuyên đề nhỏ (khoảng 15 tiết học) Ngoài triển khai áp dụng giáo viên xếp lại ví dụ theo trình tự logic khác bổ sung thêm ví dụ nhận xét để giảng đạt hiệu cao Chính tác giả mong nhận chia sẻ góp ý bạn đồng nghiệp Kiến nghị nhà trường cần chọn lọc, triển khai ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm đạt giải cấp tỉnh để nâng cao hiệu dạy học nói chung mơn Tốn nói riêng 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO Võ Đại Mau, Các phương pháp giải đặc biệt PT-BPT NXB trẻ Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ Đề thi đáp án thi tuyển sinh vào Đại học mơn Tốn khối A, B, D từ năm 2002 đến năm 2016 Bộ Giáo dục Đào tạo Đề thi đáp án thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa mơn Tốn từ năm 2002 đến năm 2016 đưa lên diễn đàn Toán học 17 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Triệu Sơn, ngày 25 tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Nguyễn Trọng Nhật 18 ... tài liệu tham khảo hữu ích, giúp em có định hướng xác giải toán PT – BPT – HPT – HBPT chứa tham số MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Giúp học sinh nhận dạng PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số - Bồi dưỡng... chuyên sâu, dạng tốn điển hình chưa có Chính tơi tiến hành nghiên cứu đề tài Hướng dẫn học sinh giỏi giải số dạng tốn điển hình PT – BPT – HPT chứa tham số ’, với hy vọng để giúp em học sinh có... để giải toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số yêu cầu quan trọng kiến thức lẫn kĩ học sinh ôn thi đại học học sinh đội tuyển HSG cấp Khi dạy chủ đề giáo viên cần ý ngồi việc hình thành cho học sinh