1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Bài tốn tính khoảng cách tốn quan trọng chương trình Hình học khơng gian, tính khoảng cách thường xuyên xuất đề thi Đại học trước thi THPT Quốc gia môn Tốn Việc xác định khoảng cách cần tìm sau tính khoảng cách ln tốn khó học sinh muốn giải toán học sinh phải có kiến thức tổng hợp hình học Khó khăn vướng mắc học sinh bước xác định khoảng cách, học sinh khoảng cách cần tìm đoạn thẳng khơng thể giải tốn Làm để em có nguyện vọng thi Đại học giải trọn vẹn tốn tính khoảng cách? Đó câu hỏi tơi ln trăn trở, nghiên cứu để tìm hướng giải tơi thành công hướng dẫn em so sánh khoảng cách từ điểm cần tìm với khoảng cách điểm khác dễ nhận biết, dễ xác định dễ tính tốn Thực nhiệm vụ cơng tác chuyên môn năm học 2015 - 2016 nghiên cứu, tổng hợp sáng kiến từ thực tiễn giảng dạy thành sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “Hướng dẫn học sinh giải tốn tính khoảng cách phương pháp so sánh” với mong muốn kinh nghiệm phổ biến tới đồng nghiệp để nâng cao chất lượng giảng, phổ biến tới học sinh giúp em giải toán quan trọng đề thi THPT Quốc gia mơn Tốn 1.2 Mục đích nghiên cứu Chương trình Hình học khơng gian đề thi thường kiểm tra, đánh giá tốn kết hợp tính thể tích khối đa diện tốn tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng, khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, khoảng cách hai đường thẳng chéo Để giải toán thiết phải thực qua bước cụ thể sau: + Xác định khoảng cách: khoảng cách cần tìm đoạn thẳng + Tính khoảng cách: vận dụng kiến thức hình học phẳng để tính khoảng cách vừa xác định Vấn đề khó học sinh thực bước 1, học sinh khơng biết đâu,vẽ nào, xác định hình chiếu để khoảng cách cần tìm Mục đích sáng kiến kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải tất tốn tính khoảng cách cách quy khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng sau tìm cách so sánh khoảng cách cần tìm với khoảng cách từ điểm khác mà việc xác định hình chiếu, xác định khoảng cách thực cách dễ dàng với kiến thức sách giáo khoa 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Đề tài nghiên cứu, tổng kết dạng tốn tính khoảng cách thường gặp q trình học Chương trình Hình học khơng gian bậc THPT - Mức độ toán tương ứng mức độ vận dụng thấp vận dụng cao nội dung chương trình thi THPT Quốc gia Bộ Giáo dục Đào tạo ban hành - Đề tài áp dụng thực nghiệm đối chứng lớp 12 Ban KHTN Trường THPT Triệu Sơn năm học 2014 – 2015 năm học 2015 – 2016 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Xây dựng hệ thống khái niệm khoảng cách Hình học khơng gian - Xây dựng sở lí thuyết để xác định khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng, khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, khoảng cách hai mặt phẳng song song, khoảng cách hai đường thẳng chéo - Tổng hợp tất tốn tính khoảng cách để quy tốn là: khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng cuối khoảng cách từ điểm tới đường thẳng - Trên sở xây dựng hệ thống lí thuyết giáo viên hướng dẫn học sinh phương pháp so sánh khoảng cách cần tìm với khoảng cách từ điểm khác mà việc xác định hình chiếu, xác định khoảng cách thực cách dễ dàng NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm - Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng Cho điểm O đường thẳng a Trong O mặt phẳng (O,a) gọi H hình chiếu O a Khi khoảng cách hai điểm O H a H gọi khoảng cách từ điểm O tới P đường thẳng a, kí hiệu d(O,a) - Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng O Cho điểm O mặt phẳng (P) Gọi H hình chiếu O mặt phẳng (P) Khi khoảng cách M hai điểm O H gọi khoảng H cách từ điểm O đến mặt phẳng (P) P kí hiệu d(O,(P)) - Cách xác định khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (P) + Chọn mặt phẳng (Q) qua A vng góc với mặt phẳng (P) cho (Q) cắt (P) theo giao tuyến a + Gọi H hình chiếu A giao tuyến a, H hình chiếu A (P) + Kết luận: khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (P) độ dài đoạn thẳng AH + Lưu ý: Ta thường chọn (Q) qua đường thẳng b mà theo giả thiết ta biết b vng góc với (P) - Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Cho đường thẳng a song song O a với mặt phẳng (P) khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (P) khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng (P) Kí hiệu d(a,(P)) H + Nhận xét: khoảng cách P đường thẳng mặt phẳng song song quy khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng - Khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng M Ta kí hiệu khoảng cách hai mặt phẳng (P), (Q) song song P d((P),(Q)) Khi ta có d((P),(Q))=d(M, (Q)) với M  ( P) M d((P),(Q)) = d(M’, (P)) với M '  (Q) ’ P’ + Nhận xét: khoảng cách hai mặt phẳng song song quy khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng - Khoảng cách hai đường thẳng chéo + Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách O a hai đường phẳng mặt phẳng song song với chứa đường thẳng lại b + Khoảng cách hai đường H thẳng chéo khoảng cách P hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng + Trong trường hợp hai đường A thẳng chéo vng góc với a ta tìm khoảng cách theo định nghĩa cách dựng đoạn thẳng P vuông góc chung hai đường thẳng b Như sở lí thuyết cho thấy tất tốn tính B P’ khoảng cách quy tốn là: tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng cuối khoảng cách từ điểm tới đường thẳng 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm Bài tốn tính khoảng cách thường kết hợp với tốn tính thể tích khối đa diện đề thi Thông thường học sinh dễ dàng tính thể tích khối đa diện ý đề mức độ thơng hiểu ý thứ hai tính khoảng cách học sinh gặp khó khăn sau: - Khơng xác định khoảng cách cần tìm khơng thể xác định hình chiếu điểm mặt phẳng - Khơng biết cách quy tốn dạng tìm khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng - Không biết cách so sánh khoảng cách từ điểm cần tìm với khoảng cách điểm khác mà việc xác định khoảng cách dễ dàng Với khó khăn học sinh khơng thể thực trọn vẹn tốn hình học khơng gian có đề thi học sinh phải lựa chọn gải toán phương pháp tọa độ, lời giải dài, tiềm ẩn nhiều sai sót q trình tính tốn, xác định tọa độ điểm trình bày lời giải Cụ thể, năm học 2014-2015, chưa áp dung sáng kiến vào giảng dạy Tôi kiểm tra học sinh lớp 12B1 (lớp Ban KHTN)Trường THPT Triệu Sơn thực tốn hình học khơng gian kết hợp tốn tính thể tích khối đa diện tính khoảng cách mức độ thi Đại học kết thống kê sau Số HS Điểm 9- 10 SL TL(%) Điểm -8 SL TL(%) Điểm 5- SL TL(%) Điểm SL TL(%) 50 12 24 30 52 10 Chủ yếu học sinh đạt mức độ – điểm học sinh thực nửa tốn tính thể tích khối đa diện Xuất phát từ thực tế đó, tơi tiến hành đổi phương pháp hướng dẫn học sinh giải tốn hình học khơng gian lớp 12C2 (lớp Ban KHTN) Trường THPT Triệu Sơn năm học 2015 – 2016 với nội dung định hướng phương pháp giải sau: 2.3 Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải tốn tính khoảng cách phương pháp so sánh 2.3.1 Bài toán sở so sánh khoảng cách Giả sử đường thẳng a cắt mặt phẳng B (P) điểm I A Gọi A, B hai điểm cho trước đường thẳng a, H, K hình chiếu A, B mặt phẳng (P) K I P) d  A,  P   AH IA Khi ta có   d  B,  P   BK IB Áp dụng nội dung giáo viên hướng dẫn học sinh so sánh khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (P) với khoảng cách từ B tới mặt phẳng (P) B điểm cho trước, khoảng cách từ B đến mặt phẳng (P) thực dễ dàng 2.3.2 Những lưu ý chọn điểm để so sánh khoảng cách - Điểm B chọn điểm cho trước toán - Dễ dàng dựng mặt phẳng (Q) qua điểm B vng góc với mặt phẳng (P) - Hình chiếu B mặt phẳng (P) xác định hình chiếu B giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) IA - Tỉ số dễ dàng tính IB 2.3.3 Những lưu ý giáo viên thực đề tài - Giáo viên phải củng cố cho học sinh phương pháp xác định khoảng cách ; cách dựng hình chiếu điểm mặt phẳng - Hệ thống toán đưa phải phù hợp với đối tượng học sinh, thực từ dễ đến khó - Giáo viên hướng dẫn học sinh hệ thống câu hỏi, không áp đặt cho học sinh - Sau làm giáo viên cần cho học sinh thảo luận, trao đổi để học sinh tự rút kinh nghiệm cho thân - Ngoài phương pháp so sánh giáo viên nên hướng dẫn học sinh thực phương pháp khác để tính khoảng cách như: phương pháp thể tích, phương pháp tọa độ 2.3.4 Hướng dẫn học sinh giải toán tính khoảng cách phương pháp so sánh Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, mặt bên SAD tam giác vuông S, hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc cạnh AD cho HA=3HD Gọi M trung điểm AB Biết SA  3a đường thẳng SC tạo với đáy góc 30o Tính theo a khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC) Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm lời giải cách yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi sau: CH1: Dựng mặt phẳng qua điểm H vng góc với mặt phẳng (SBC)? CH2: Tìm hình chiếu điểm H mặt phẳng (SBC)? CH3: Xác định khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SBC)? Tính khoảng cách vừa xác định được? CH4: Ta so sánh khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng (SBC) với khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SBC) không? Giải: S H’ C D K H a A M B Vì M trung điểm AB AH // (SBC) nên 1 d ( M ,( SBC ))  d ( A,( SBC ))  d ( H ,( SBC )) 2 Kẻ HK  BC K, HH   SK H’ Vì BC  ( SHK ) nên BC  HH   HH   ( SBC )  d ( H ;( SBC ))  HH ' 1 Do d ( M ,( SBC ))  d ( H ,( SBC ))  HH ' 2   ( SC ,( ABCD))  30 Vì SH  ( ABCD) nên SCH  SH  HA.HD  a  HC  SH cot 30  3a  CD  HC  HD  2a  HK  CD  2a Trong tam giác vng SAD có: SA2  AH AD  12a  AD  AD  4a ; HA  3a ; HD  a Trong tam giác vng SHK có: 1 11 6a 66      HH   a HH 2 HK HS 24a 11 11 66 a Từ suy d ( M ,( SBC ))  11 Đặt vấn đề mở , cho học sinh thảo luận sau thực lời giải: Các em suy nghĩ rút kết luận xem vào giả thiết để có ý tưởng so sánh khoảng cách từ điểm điểm M tới mặt phẳng (SBC) với khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SBC)? Sau học sinh nêu ý kiến (thông thường học sinh thảo luận đưa nhiều ý kiến), giáo viên kết luận tính đúng, sai ý tưởng học sinh trình bày Kết luận giáo viên: Trước hết em phải nhận thấy việc xác định khoảng cách tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SBC) dễ dàng thực hiện, sau nghĩ đến ý tưởng so sánh khoảng cách từ M với khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SBC)? Các toán sau giáo viên thực hướng dẫn học sinh tìm lời giải tương tự tốn Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân C, cạnh a 14 huyền 3a G trọng tâm tam giác ABC, SG  ( ABC ), SB  Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a Giải: S A G H M B I C Vì ∆ABC vng cân C AB = 3a  AC  BC  3a Gọi M trung điểm AC  MC   BG  3a 3a  MB  MC  BC  2 2 a BM   SG  SB  BG  a a Kẻ GI  AC ( I  AC )  AC  ( SGI ) GI  BC  Kẻ GH  SI ( H  SI )  GH  ( SAC )  d (G ,( SAC ))  GH 1 a    GH  GH GS GI  d ( B,( SAC ))  3d (G,( SAC ))  a Trong tam giác vng SGI, có Vậy d ( B,( SAC ))  a Bài 3: Cho tứ diện ABCD có mặt phẳng (ABC) vng góc với mặt phẳng (BCD), tam giác BCD vuông D Biết AB  a 15, BC  3a 3, AC  a 6, góc hai mặt phẳng (ACD) (BCD) 60o Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD) theo a Giải: A B D H’ K H C   90 , kẻ AH  BC H H thuộc Vì AB  AC  BC nên BAC đoạn BC Theo giả thiết ( ABC )  ( BCD) nên AH  ( BCD) AKH  60 Kẻ HK  CD K  đường xiên AK  CD từ giả thiết   CD  ( AKH )  ACB  45 Sử dụng định lí cơsin cho ABC  cos  ACB   AHC vuông cân H  AH  HC  a HK  AH cot 60  a Kẻ HH '  AK H’, CD  ( AHK ) nên CD  HH '  HH '  ( ACD)  d ( H ;( ACD))  HH  1 a    HH '  2 HH  HK HA BC 3a 3a   nên d ( B,( ACD))  3d ( H ,( ACD)) = 3HH’  Do HC a Trong tam giác vuông AHK, ta có: 3a Bài Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng cân B với AB = 2a Hình chiếu vuong góc B xuống mặt đáy (A’B’C’) trung điểm H cạnh A’B’ Tính theo a khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (A’BC) biết góc đường thẳng BC’ mặt phẳng (A’B’C’) 45o Giải: A C Vậy d ( B,( ACD))  B K A’ C’ H B’  H  45 Do BH  ( ABC ) nên góc BC’ mp(A’B’C’) góc BC tam giác BC’H vng cân H Ta có HC   HB2  BC 2  a  BH  HC   a Vì BC // B’C’  B’C’ // (A’BC)  d(C’;(A’BC) = d(B’;(A’BC)) Mà H trung điểm A’B’ nên d(C’ ;(A’BC)) = d(B’ ;(A’BC)) = 2d(H ;(A’BC)) Kẻ HK vng góc với A’B K Ta dễ thấy BC vng góc với mặt phẳng (ABA’B’) nên BC vng góc HK, HK vng góc với mặt phẳng (A’BC)  d ( H ;( A ' BC ))  HK 1 Xét tam giác vuông A’HB có    2 2 HK HA ' HB 5a a 30  HK  a 30 Vậy d(C’ ;(A’BC)) = 2HK = Bài Cho hình chóp A.BCD có AB  a 3; BC  a Gọi M trung điểm CD Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng BM, AD Giải: A N B D K O J I M C Gọi O tâm tam giác BCD cạnh a Do A.BCD chóp nên a AO   BCD   AO đường cao hình chóp OB  2a  AO  AB  BO  Gọi N, I, J trung điểm AC, CO, OM Ta có AD / / MN  AD / /( BMN )  d ( BM ; AD)  d ( AD;( BMN ))  d ( D;( BMN ))  d (C ;( BMN ))  2d ( I ;( BMN )) BM  IJ    BM  ( IJN )  ( BMN )  ( IJN ) theo giao tuyến NJ BM  NI  Trong mp(IJN) kẻ IK  NJ  IK  ( BMN )  d ( I ;( BMN ))  IK Lại có: 10 a a Ta có: IJ  CD  IN  AO  4 1 35  2 2 Trong tam giác vuông IJN có: IK IJ IN 2a a 70 a 70  IK   d ( I ;( BMN ))  35 35 2a 70 Vậy d ( BM ; AD)  2d ( I ;( BMN ))  35 Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, tam giác SAB vuông cân đỉnh S nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng SB AC theo a Giải: S I K A B H D C Gọi H trung điểm AB Kẻ HK  BD K, HI  SK I Dựng hình bình hành ABDC Ta có: AC // (SBD)  d ( AC ; SB )  d ( AC ;( SBD))  d ( A;( SBD))  2d ( H ;( SBD)) Do BD  ( SHK )  BD  HI Mà HI  ( SBD) nên d ( H ;( SBD))  HI   60o  HK  HB.sin 60o  a Xét tam giác vng BHK có HBK 1 a 21 Xét tam giác vuông SHK có    HI  2 HI HS HK 21  d ( AC , SB)  HI  a 11 21 a Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân, AD đáy lớn, AD = 2a, AB = BC = CD = a Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn thẳng AC cho HC = 2HA Góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) 60o Tính khoảng cách hai đường thẳng SA CD theo a Giải: S Vậy d ( AC , SB)  K D A H x B C Theo ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AD nên AC  CD Do SH  ( ABCD) nên SH  CD từ ta có CD  ( SAC )   SCH   60o Do góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) SCH Ta có: AC  AD  CD  a  HC  2a AC  3  SH  HC.tan 60o  2a Kẻ tia Ax // CD, gọi (P) mặt phẳng chứa SA Ax Khi AC // (P) CA=3HA nên d (CD, SA)  d (CD,( P))  d (C ,( P))  3d ( H ,( P)) Ta có: AC  CD nên HA  Ax mà SH  Ax  Ax  ( SAH ) Từ H kẻ HK  SA ( K  SA) , Ax  HK  HK  ( P)  HK  d ( H ;( P)) a ; Lại có AH  AC  3 Trong tam giác vng AHS, có: 1 13 2a 13     HK  HK AH SH 4a 13 12 6a 13 13 Bài Cho hình chóp S.ABC có ABC tam giác cạnh 3a, hình chiếu S lên (ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho AB = 3AH Góc tạo SA mặt phẳng (ABC) 60o Tính theo a khoảng cách SA BC Vậy d ( SA; CD)  3HK  Giải S K D A I H C B Kẻ AD // BC, AB = 3AH nên d ( SA; BC )  d ( BC ;( SAD))  d ( B;( SAD))  3d ( H ;( SAD)) Kẻ HI  AD, HK  SI , AD  SH nên AD  ( SHI )  AD  HK  d ( H ;( SAD))  HK a   60o Vì SH  ( ABC ) nên góc tạo SA (ABC) là: SAH Ta có: HI  AH sin 60o   SH  AH tan 60o  a 1    HK HI HS 3a a 15 a 15  HK   d ( H ;( SAD))  5 3a 15 Vậy d ( SA; BC )  3d ( H ;( SAD))  Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a,  ABC  60 Cạnh bên SD  a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng Trong tam giác vng SHI, ta có: (ABCD) điểm H thuộc đoạn BD cho HD  3HB Gọi M trung điểm cạnh SD Tính thể tích khối chóp S.ABCD tính khoảng cách hai đường thẳng CM SB 13 Giải: S M D A B H O C Từ giả thiết có tam giác ABC đều, cạnh a a  BD  a Gọi O  AC  BD  BO  27 a 5a a 2 2   SH  Có: SH  SD  HD  2a  16 16 Ta lại có: a2  S ABCD  AB.BC.sin ABC  a sin 60  1 a a a 15 VS ABCD  SH S ABCD   3 24 5a 3a a 2 2   SB  Ta có: SB  SH  HB  16 16  BD  AC Do   AC  ( SBD)  AC  OM  AC  SH 1 a a2 SMAC  OM AC  SB AC  a  4 Vì SB / / OM  SB / /( MAC ) nên: d ( SB, CM )  d ( SB,( MAC ))  d ( S ,( MAC ))  d ( D,( MAC )) VM ACD  d ( M ,( ABCD)).SACD 1 1 a 15  d ( S ,( ABCD)) S ABCD  VS ABCD  2 96 Mặt khác VM ACD  d ( D,( MAC )).SMAC nên: 14 a 15 3V a 30 d ( D,( MAC ))  M ACD  232  SMAC a a 30 Vậy d ( SB, CM )  Bài 10 Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD hình chữ nhật có AB  a, AD  a Biết góc đường thẳng A’C mặt phẳng (ABCD) 60o Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng B’C C’D Giải: A’ B’ C’ D’ A H D M C B Do ABCD.A’B’C’D’ lưng trụ đứng nên AA '  ( ABCD) A ' CA  60o Suy A’C (ABCD)  Có AC  AB  BC  2a  A ' A  AC.tan 60o  2a Do C’D // AB’ nên C’D // (AB’C) Suy d (C ' D; B ' C )  d (C ' D;( AB ' C ))  d ( B;( AB ' C )) Do BC’ giao với mp(AB’C) trung điểm BC’ (vì BCC’B’ hình chữ nhật) Kẻ BM  AC  AC  ( BB ' M )  ( AB ' C )  ( BB ' M ) theo giao tuyến B’M Kẻ BH  B ' M  BH  ( AB ' C ) hay d ( B;( AB ' C ))  BH Xét tam giác vuông B’BM vlà tam giác vng ABC có 1 1 1 17 2a 51        BH  2 2 2 BH B'B BM B'B BC AB 12a 17 2a 51 Vậy d (C ' D; B ' C )  17 15 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Khi thực theo nội dung sáng kiến kinh nghiệm, học sinh đặt vào tình có vấn đề dạy học qua phát huy tính chủ động, sáng tạo, nâng cao lực tư học sinh Khi thực đề tài lớp, em học sinh hào hứng trao đổi, thảo luận để tìm lời giải, trao đổi học hỏi kinh nghiệm bạn để nhận biết cách so sánh toán Kết kiểm tra lớp 12C2 Trường THPT Triệu Sơn năm học 2015 – 2016 cho thấy hầu hết em học sinh giải trọn vẹn tốn hình học không gian mức độ thi THPT Quốc gia, điều thể qua Bảng thống kê kết sau: Số HS 40 Điểm 9- 10 Điểm -8 Điểm 5- Điểm SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) 21 52.5 17 42.5 0 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Thực đề tài có thành cơng thể kết học tập em học sinh lớp 12C2 Trường THPT Triệu Sơn thân tơi nhận thấy người thầy có phương pháp đắn khoa học, đặt học sinh vào tình có vấn đề dạy học, tạo mơi trường cho học sinh trao đổi, thảo luận phát huy tính chủ động, sáng tạo, nâng cao lực tư cho học sinh đáp ứng yêu cầu đổi giáo dục đào tạo Đảng Nhà nước Giáo viên dạy toán trường THPT coi sáng kiến kinh nghiệm tài liệu tham khảo để áp dụng giảng dạy cho học sinh nhằm nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn góp phần nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện nhà trường 3.2 Kiến nghị Giáo viên dạy toán cần thêm thời lượng rèn luyện kĩ giải tốn, khắc phục lỗi trình bày lời giải cho học sinh, làm phong phú thêm tài liệu cách sưu tầm thêm tập tương tự hệ thống đề thi Đại học năm khai thác đề thi thử THPT Quốc gia toàn quốc XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 27 tháng năm 2016 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lê Thị Ngọc Hà 16 ... thân - Ngoài phương pháp so sánh giáo viên nên hướng dẫn học sinh thực phương pháp khác để tính khoảng cách như: phương pháp thể tích, phương pháp tọa độ 2.3.4 Hướng dẫn học sinh giải tốn tính khoảng. .. Sơn năm học 2015 – 2016 với nội dung định hướng phương pháp giải sau: 2.3 Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải toán tính khoảng cách phương pháp so sánh 2.3.1 Bài toán sở so sánh khoảng cách Giả... phẳng song song quy khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng - Khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng M Ta kí hiệu khoảng cách