1.ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Bối cảnh: Năm học 2013-2014 năm học tiếp tục thực vận động “ Học tập làm theo gương đạo đức Hồ Chí Minh”, vận động “ Hai khơng”; “ Mỗi thầy, cô giáo gương đạo đức, tự học sáng tạo” ; với chủ đề " Năm học đổi quản lý nâng cao chất lượng giáo dục " với phong trào xây dựng " Trường học thân thiện, học sinh tích cực " Nghị TW khóa VIII khẳng định " Đổi mạnh mẽ phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối dạy học truyền thụ chiều, rèn luyện nếp tư cho người học, bước áp dụng phương pháp tiên tiến, ứng dụng cộng nghệ thơng tin vào q trình dạy học " Do q trình dạy học đòi hỏi thầy giáo phải tích cực học tập; khơng ngừng nâng cao lực chuyên môn; đổi phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh; bồi dưỡng khả tự học, sáng tạo; khả vận dụng kiến thức vào thực tế; đem lại say mê, hứng thú học tập cho em 1.2 Lý chọn đề tài: Các vấn đề liên quan tới dãy số phần quan trọng Đại số Giải tích toán học Song khái niệm dãy số học sinh làm quen chương trình tốn lớp 11 phần mở đầu Giải tích tốn học Các dạng tốn liên quan tới nội dung thường khó với em Qua thực tế giảng dạy chương trình chuyên toán lớp 11 năm qua, việc nghiên cứu nội dung thi học sinh giỏi cấp, tơi nhận thấy dạng tốn dãy số tốn tìm số hạng tổng qt Lý thuyết đại số toán dãy số đề cập hầu hết giáo trình giải tích tốn học.Các phương pháp tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi gần toán đề cập tới Tuy nhiên với nhiều phương pháp khác tốn thực khơng phải dễ với học sinh Xuất phát từ lí chọn đề tài: “Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số xây dựng toán dãy số ” Qua nội dung ví dụ đề tài nhằm giúp em học sinh lớp 11 có thêm kiến thức, phần đáp ứng việc học chuyên đề lớp 11 chun tốn việc ơn thi học sinh giỏi cấp 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu đề tài học sinh khối 11 qua năm giảng dạy từ trước đến lớp 11A1, 11A2 Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu đề tài “Chương III: Dãy số Cấp số cộng cấp số nhân” sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 ban nâng cao 1.4 Mục đích nghiên cứu: Do phần nội dung kiến thức nên nhiều học sinh chưa quen với tính tư trừu tượng nó, nên tơi nghiên cứu nội dung nhằm tìm phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh nhằm tháo gỡ vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy học nói chung mơn Đại số Giải tích 11 nói riêng 1.5 Điểm kết nghiên cứu: Điểm kết nghiên cứu tính thực tiễn tính hệ thống, khơng áp đặt dập khn máy móc mà học sinh dễ dàng áp dụng vào việc giải tốn lạ, tốn khó GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.1 Cơ sở lý luận: a) Phương pháp quy nạp toán học b) Dãy số tăng, dãy số giảm dãy số bị chặn * Dãy số  un  gọi dãy số tăng un  un1 , * Dãy số  un  gọi dãy số giảm un  un1 , n  * n  * Vậy: Nếu un1  un  0, n   suy  un  dãy số tăng * Nếu un1  un  0, n   suy  un  dãy số giảm * * Nếu tồn số M cho un  M , * Nếu tồn số m cho un  m , n  *  un  bị chặn n  *  un  bị chặn * Nếu dãy số  un  bị chặn bị chặng gọi dãy só bị chặn c) Cấp số cộng * * Dãy số  un  cấp số cộng  un1  un  d với n   , d số không đổi gọi công sai cấp số cộng * Nếu dãy số  un  cấp số cộng un  u1   n  1 d * Nếu dãy số  un  cấp số cộng tổng Sn  u1  u2   un  d) Cấp số nhân n  u1  un  * Dãy số  un  cấp số nhân  un1  un q với n   , q số * không đổi gọi công bội cấp số nhân n 1 * Nếu dãy số  un  cấp số nhân un  u1.q * Nếu dãy số  un  cấp số nhân vơi q  1, q  tổng  qn Sn  u1  u2   un  u1 1 q e) Một số đinh lí giới hạn n - Nếu q  lim q  - Nếu q  lim q   n - Nếu dãy số an  bn  cn , n   lim an  lim cn  L lim bn  L * - Nếu dãy số  un  tăng bị chặn  un  có giới hạn Nếu dãy số  un  giảm bị chặn  un  có giới hạn 2.2 Nội dung nghiên cứu đề tài A Phương trình sai phân tuyến tính cấp Phương trình sai phân tuyến tính cấp phương trình sai phân dạng : u1 , a.un  b.un  f n , n  N * a,b, số ,a # vµ f n lµ biĨu thøc cđa n cho trước Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1   , a.un 1  b un  (1.1) ®ã a, b,  cho tr­íc n  N * Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a. b để tìm Khi un  q n (q lµ h»ng sè ) , q xác định biết u1 Bài toán 1: Xác định số hạng tổng quát cấp số nhân, biết số hạng công bội Bài giải Ta có un 1  un , u1  (1.2) Phương trình đặc trưng có nghiệm Vậy un  c.2n Tõ u1  suy c  ®ã un  2n 1 Do Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1   , a un 1  bun  f n , n  N * (2 1) ®ã f n đa thức theo n Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a. b ta tìm Ta có un un0 un* Trong un0 nghiệm phương trình (1.1) un* nghiệm riêng tuỳ ý phương trình không (2.1) Vậy un0 q. n q số xác định sau Ta xác định un* sau : 1) Nếu #1 un* đa thức bậc với f n 2) NÕu  1 th× un*  n.g n với g n đa thức bậc với f n Thay un* vào phương trình, đồng hệ số ta tính hệ số un* Bài toán 2: Tìm un thoả mãn điều kiện u1 2; un 1  un  2n, n  N * (2.2) Bài giải Phương trình đặc trưng  cã nghiÖm   Ta cã un  un0  un* ®ã un0  c.1n  c, un*  n  an  b  Thay un* vào phương trình (2.2) ta n  1  a  n  1  b   n  an  b   2n (2.3) thay n=1và n=2 vào (2.3) ta hệ phương tr×nh sau 3a  b  a    5a  b  b  1 Do ®ã un  n  n  1 Ta cã un  un0  un*  c  n n Vì u1 nên  c  11  1  c  VËy un   n  n  1 , hay un  n  n  Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1  , a.un 1  bun  v. n , n  N * (3.1) ®ã f n đa thức theo n Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a. b ta tìm ®­ỵc  Ta cã un  un0  un* Trong ®ã un0  c. n , c lµ h»ng sè chưa xác định , un* xác định sau : 1) NÕu  #  th× un*  A. n 2) NÕu    th× un*  A.n. n Thay un* vào phương trình (3.1) đồng hệ số ta tính hệ số un* BiÕt u1 , tõ hÖ thøc un  un0 un* , tính c Bài toán 3: Tìm un thoả mãn điều kiện u1 1; un 1  3.un  2n , n  N * (3.2) Bài giải Phương trình đặc trưng  cã nghiÖm   Ta cã un  un0  un* ®ã un0  c.3n , un* a.2n Thay un* a.2n vào phương trình (3.2) , ta thu a.2n 3a.2n 2n  2a  3a   a  1 Suy un  2n Do ®ã un  c.3n 2n u1 nên c=1 Vậy un 3n 2n Dạng Tìm un thoả m·n ®iỊu kiƯn u1   , a.un 1  bun  f1n  f n , n  N * (4.1) Trong f1n đa thức theo n f n v. n Phương pháp gi¶i Ta cã un  un0  u1*n  u2*n Trong un0 nghiệm tổng quát phương trình thuÇn nhÊt aun 1  bun  , un* nghiệm riêng phương trình không * nhÊt a.un 1  b.un  f1n , u2n lµ nghiệm riêng phương trình không a.un b.un f n Bài toán 4: Tìm un thoả mãn điều kiện u1 1; un 1  2un  n  3.2n , n N * (4.2) Bài giải Phương trình ®Ỉc tr­ng    cã nghiƯm   Ta cã un  un0  u1*n  u2*n ®ã un0  c.2n , un*  a.n  b.n  c , u2*n  An.2n Thay un* vào phương trình un 2.un n , ta a n b  n  1  c  2an  2bn  2c  n 2 Cho n=1 , n=2 ta thu hệ phương trình 2a  c  a  1    b  2 a  b  c  2a  2b  c  9 c  3   * VËy u1*n  n  2n thay u2n vào phương trình un 2.un 3.2n Ta A n 2n 1  An.2n  3.2n  A  n  1  An   A  VËy u2*n  n.2n  3n.2n 1 Do ®ã un  c.2n   n  2n  3  3n.2n 1 Ta cã u1  nªn  2c    c  VËy un  3n.2n 1  n  2n  B Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai phương trình sai phân dạng u1 , u2 , a.un 1  bun  c.un 1  f n , n  N * ®ã a,b,c,  , số , a # f n lµ biĨu thøc cđa n cho tr­íc (NX: Phương trình đặc trưng phương trình sai phân tuyến tính cấp hai có hai nghiệm kể nghiệm phức, song nội dung đề tài dừng lại tr­êng sè thùc , tøc lµ chØ xÐt nghiƯm thực ) Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1   , u2   , a un 1  bun  c.un 1  0, n  N * (5.1) Phương pháp giải Giải phương trình đặc tr­ng a.  b.  c  t×m Khi 1) Nếu , hai nghiệm thực khác un A.1n B.2n , A B xác định biÕt u1 , u2 2) NÕu 1 , 2 hai nghiệm kép un   A  Bn   n , A B xác định biết u1 , u2 Bài toán 5: Tìm un thoả mãn ®iỊu kiƯn sau u0  1, u1  16, un 8.un 16.un (5.1) Bài giải Phương trình đặc trưng 16  cã nghiÖm kÐp   Ta cã un   A  B.n  4n (5.2) Cho n=0 , n=1 thay vào (5.2) ta thu hệ phương trình u0 A A  u1  1  B   16  B  VËy un  1  3n 4n Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1   , u2   , a.un 1  b.un  c.un 1  f n , n  2, (6.1) ®ã a # 0, f n đa thức theo n cho trước Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a. b. c để tìm Khi ta cã un  un0  un* , ®ã un0 nghiệm tổng quát phương trình a.un 1  b.un  c.un 1  vµ un* nghiệm tuỳ ý phương trình a.un  b.un  c.un 1  f n Theo d¹ng ta tìm un0 , hệ số A, B chưa xác định , un* xác định sau : 1) Nếu #1 un* đa thức bậc với f n 2) Nếu nghiệm đơn un* n.g n , g n đa thức bậc với f n 3) NÕu   lµ nghiƯm kÐp un* n.2 g n , g n ®a thøc cïng bËc víi f n , Thay un* vào phương trình , đồng hệ số, tính hệ số un* Biết u1 , u2 tõ hÖ thøc un  un0  un* tính A, B Bài toán 6: Tìm un thoả m·n ®iỊu kiƯn u1  1; u2  0, un 1  2un  un 1  n  1, n (6.2) Bài giải Phương trình đặc trưng   2   cã nghiÖm kÐp   Ta cã un  un0  un* ®ã un0   A  B.n  1n  A  Bn, un*  n  a.n b Thay un* vào phương trình (6,2) , ta n a  n  1  b   2n  a.n  b    n  1  a  n  1  b   n  Cho n=1 , n=2 ta thu hệ phương trình a  2a  b    a  b      9  3a  b    2a  b    a  b   b   n 1 un*  n    6 2 VËy Do ®ã n 1 un  un0  un*  A  Bn  n    6 2 Mặt kh¸c 1  A   A  B       11  A  B       B   3 2 VËy un   11 n 1 n  n2 Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1 , u2   , a un 1  bun  c.un 1  d  n , n  Ph­¬ng pháp giải (7.1) Giải phương trình đặc trưng a. b. c để tìm Khi ®ã ta cã un  un0  un* , un0 xác định dạng hệ số A B chưa xác định, un* xác định sau 1) Nếu # th× un*  k  n 2) NÕu   nghiệm đơn un* k n n 3) Nếu nghiệm kép un* k n.2 n Thay un* vào phương trình , dùng phương pháp đồng thức hệ số tính hệ số k Biết u1 , u2 tõ hÖ thøc un  un0  un* tÝnh A,B Bài toán 7: Tìm un thoả mãn điều kiÖn u1  0; u2  0, un 1  2un  un 1  3.2n , n  Bài giải Phương trình đặc trưng   cã nghiÖm kÐp   Ta cã un  un0  u1*n ®ã un0   A  B.n  1n  A  Bn, un* k 2n Thay un* vào phương trình , ta k 2n 2k 2n k 2n 1  3.2n  k  VËy un*  6.2n  3.2n 1 Do ®ã un  un0  un*  A  bn  3.2n 1 (1) Thay u1  1, u2  vào phương trình (1) ta thu A  B  12 A     0  A  B  24  B  13 VËy un   13n  3.2n Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1   , u2   , a un 1  bun  c.un 1  f n  g n , n  (8.1) ®ã a # , f n đa thức theo n g n v. n Phương pháp giải Ta có un  un0  u1*n  u2*n ®ã un0 nghiệm tổng quát phương trình a un 1  bun  c.un 1  , u1n* nghiệm riêng tùy ý phương trình * không a un bun c.un f n u2n nghiệm riêng tùy ý phương trình không a un bun c.un g n Bài toán 8: ( Đề thi OLYPIC 30 -4 Toán 11 Lần thứ VIII- 2002 ) Tìm un thoả mãn điều kiện u1  0; u2  0, un 1  2un  3un 1  n  2n , n  (8.2) Bài giải Phương trình đặc trưng  2   cã nghiÖm 1  1, 2  Ta cã un  un0  u1*n  u2*n ®ã un0  A  1  B.3n , u1*n  a  bn, u2*n  k 2n n Thay u1n* vào phương trình un 2un 3un n , ta a  n  1  b   an  b    a  n  1  b   n   4a  1 n   a  b   VËy ab Do ®ã un*  1  n  1 * Thay u2n vµo phương trình un 2un 3un 2n , ta k 2n 2.k 2n  3.k 2n 1  2n  k   Do ®ã u2*n   2n   2n 1 3 VËy un  un0  u1*n  u2*n  A  1  B.3n  n 1  n  1  2n1 (8.3) Ta thay u1  1, u2  vào (8.3) ta hệ phương trình 10 61    A  3B     A   48    A  9B     B  25   48 VËy un   61 25 1 n  1  3n   n  1  2n 48 48 C Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba phương trình sai phân dạng u1  , u2   , u3   , a.un   bun 1  c.un  d un 1  f n , n  (a.1) a,b,c, d, , , số , a # f n biểu thức n cho trước (NX: Phương trình đặc trưng phương trình sai phân tuyến tính cấp ba có ba nghiệm kể nghiệm phức, song nội dung đề tài dừng lại trường sè thùc , tøc lµ chØ xÐt nghiƯm thùc ) Phương pháp giải Nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính cấp ba có dạng un un0 un* , un0 nghiệm tổng quát phương trình tuyến tính nhất, un* nghiệm riêng phương trình tuyến tính không Xét phương trình đặc trưng a b c d (a.2) 1) Xác định công thức nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyÕn tÝnh cÊp ba thuÇn nhÊt a) NÕu (a.2) cã ba nghiƯm thùc 1 , 2 , 3 ph©n biƯt th× un0  a1 1n  a2 2n  a3 3n b) NÕu (a.2) cã mét nghiÖm thùc béi nghiệm đơn (1 # ) th× un0  (a1  a2 n)1n  a3 3n c) NÕu (a.2) cã mét nghiÖm thùc béi (1  2  3 ) th× un0  (a1  a2 n  a3 n )1n 11 2) X¸c định nghiệm riêng un* phương trình (a.1) Xét f n đa thức n ta có a) Nếu #1 un* đa thức bậc với f n b) Nếu (nghiệm đơn ) un* n.g n , g n ®a thøc cïng bËc víi f n c) NÕu   (béi ) th× un*  n g n g n đa thức bậc với f n d) NÕu   (béi 3) th× un* n3 g n g n đa thức cïng bËc víi f n  XÐt f n  v. n ta cã a) NÕu  #  th× un*  k n. n b) NÕu    (nghiệm đơn ) un* k n c) NÕu    (nghiƯm béi s ) th× un* k n s n Bài toán 9: Tìm d·y sè (un ) biÕt r»ng u1  0, u2  1, u3  3, un  7un 1  11.un 2  5.un 3 , n  (9.1) Bài giải Xét phương trình đặc trưng 7  11   cã nghiÖm thùc 1  2  1, 3  VËy un  c1  c2 n  c3 5n Cho n=1, n=2, n=3 giải hệ phương trình tạo thành, ta c1 , c2  , c3  16 16 VËy un     n  1 5n 16 16 D Bài tập áp dụng Bài toán 10: Cho dãy số (an ) xác định theo công thức sau a1 0; a2  1, an 1  2an  an 1  1, n  (10.1) Chøng minh sè A  4.an an số phương Bài giải Ta có 12 an 2an an 1  (10.2) Trong (9.2) ta thay n n-1, ta an 2an an 2  (10.3) Trõ c¸c vÕ cđa (10.1) cho (10.2) ta thu an 3an 3an an (10.4) Phương trình đặc tr­ng cđa (10.4) lµ   3  3   cã nghiÖm   nghiệm bội bậc ba Vậy nghiệm tổng quát phương trình (10.4) an (c1 c2 n  c3 n )1n Cho n=0, n=1, n=2 ta ®­ỵc 0  c1 c1     1  c2  c2  c3 3  c  2c  4c c2  c3  2 Ta thu an n n từ ta có A  4an an     n 3n Điều chứng tỏ A số phương Bài toán 11: Cho dãy số ( xn ) xác định theo c«ng thøc sau x1  7; x2  50, xn 1  xn  xn 1  1975  n   (11.1) Chøng minh r»ng x1996 1997 Bài giải Xét dãy số ( yn ) víi y1  7, y2  50 vµ yn 1  yn  yn 1  22  n   (11.2) DÔ thÊy yn  xn mod1997 Do cần chứng minh y1996 mod1997 Đặt zn yn  11 suy z1  39, z2  211 NhËn xÐt r»ng zn 1  yn 1  11  16 yn  20 yn 1  99  zn  20 yn 1  55 Ta l¹i cã 13 (11.3) zn 1  yn 1  11 suy 20 yn 1  zn 1  55 (11.4) ThÕ (11.4) vµo (11.3) ta zn zn zn 1 Suy zn 1  zn  zn (11.5) Phương trình đặc trưng (11.5) lµ   4   cã nghiƯm 1  1, 2  NghiƯm tỉng quát (11.1) zn 5n  n Ta cã      z1    5  39    z2    25  211  25 Do ta nhận 25 n zn   1  5n 3 (11.6) Tõ (11.6) ta suy z1996   25.51996 Ta cÇn chøng minh z1996  11 mod1997  Do 51996   1997  1996 5   Nªn 51996  1 3.1997 Tõ ®ã , ta cã 51996  3n.1997  , 25 3n.1997 1 z1996    25.n.1997  11 3 VËy z1996  11 mod 1997  14 E Bµi tập tương tự Bài 1: Xác định công thức dãy số ( xn ) thoả mãn điều kiện sau 1) x1  11, xn 1  10.xn   9n , n  N 2) x0  2, x1  8, xn   8.xn 1  xn 3) x0  1, x1  3, xn   xn 1  xn  n  2n  4) x0  0, x1  1, xn 1  xn  xn 1  n  6n  5) x1  1, x2  2, xn   xn 1  xn  Bài 2: Cho dãy số (an ) thoả mãn điều kiÖn an  an 1  2.an 2  a1  a2   n  3 n N Chứng minh an số lẻ Bài 3: Cho dãy số (bn ) xác định bn 2.bn 1  bn 2  b1  1, b2  n N  n  3 n 5 Chøng minh r»ng bn    , n  N Bài 4: Cho dãy số (un ) thoả m·n ®iỊu kiƯn un   2.un 1  un  n N  u  1, u    n  2 Chøng minh un số phương Bài 5: (Tuyển tập đề thi Olympic 30 Toán 11 Lần thứ VIII 2002 NXB giáo dục ) Cho d·y sè (un ) tho¶ m·n nh­ sau un  Z  ,  N  u0  1, u1  u  10.u  u n  N , n  n 1 n2  n Chøng minh : k  N , k  1) uk2  uk21  10uk uk 1  8 2) 5.uk  uk 1  va 3.uk2  1 15 (  kÝ hiƯu chia hÕt ) Bµi 6: Cho dãy số (un ) thoả mãn điều kiện un   2un 1  2un  un 1 , n  N * Chøng minh r»ng tån số nguyên M cho số M 4.an 1an số phương Bài 7: ( Báo Toán Học Tuổi Trẻ số 356) Cho dãy số (ai ) ( i=1,2,3,4)được xác định a1  1, a2  1, an  an 1  2an 2 , n  3, 4, TÝnh giá trị biểu thức 2 A 2.a2006  a2006 a2007  a2007 Bµi 8: Cho d·y sè nguyên dương (un ) thoả mãn điều kiện u0 20, u1  100, un   4.un 1  5.un  20, n  N * T×m sè nguyên dương h bé có tính chất an h  an  1998 , n  N F Xây dựng toán dãy số truy hồi Nhận xét : Nội dung đề tài giúp bạn đọc tìm công thức tổng quát lớp d·y sè cã tÝnh chÊt truy håi mét c¸ch chÝnh xác nhất, giúp Thầy cô kiểm tra kết toán theo cách giải khác Bên cạnh ta tiến hành xây dựng thêm toán dãy số Dưới số ví dụ xây dựng thêm toán dãy sè cã tÝnh quy luËt ” chØ mang tÝnh chÊt tham khảo Tác giả mong muốn bạn đọc tìm hiểu phát triển rộng toán khác dãy số Ví dụ 1: Xuất phát từ phương trình    1        8   16 (12.1) phương trình (12.1) coi phương trình đặc trưng dãy số có quy luật Chẳng hạn dãy số (un ) xác định theo c«ng thøc sau un   8.un 1  9.un  cã thÓ cho u0  2, u1 Ta phát biểu thành toán sau Bài toán 1: Cho dãy số ( xn ) xác định sau xn  8.xn 1  9.xn    x0 2, x1 n N Xác định công thức xn Bài toán 2: Cho dãy số ( xn ) xác định sau xn  8.xn 1  9.xn    x0 2, x1 n N Tính giá trị cđa biĨu thøc A  x2006  5.x2007  Ví dụ 2: Xuất phát từ phương trình  1     2 (12.2) phương trình (12.2) coi phương trình đặc trưng dãy số có quy luật Chẳng hạn dãy số (un ) xác định theo công thức sau un  2.un 1  un  cã thÓ cho u0  1, u1  ®ã vËn dơng thuật toán xác định công thức tổng quát cña d·y sè xn   n  1 Ta phát biểu thành toán sau Bài toán 1: Xác định công thức dãy số ( xn ) thoả mãn điều kiện sau xn   xn 1  xn  n N  x  1, x  Bài toán 2: Cho dãy số ( xn ) xác định sau xn  xn 1  xn  n N  x  1, x   Chứng minh xn số phương 17 Bài toán 3: Cho dãy số ( xn ) xác ®Þnh nh­ sau  xn   xn 1  xn  n N  x  1, x Xác định số tù nhiªn n cho xn 1  xn  22685 2.3 Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Để thực đề tài tìm đọc nhiều tài liệu viết vấn đề này, nghiên cứu lời giải cho dạng toán, lựa chọn tập phù hợp với nội dung để làm bật nội dung cần phân tích 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Trong trình thực đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm số tập người giáo viên nắm bắt tình hình tiếp thu học Nhưng để có kết luận tồn diện nên học kì II năm học 2013 – 2014 học sinh học song phần liên quan đến nội dung viết cho lớp 11A1, 11A2 làm kiểm tra 45 phút với đề tương tự phần khảo sát thực tiễn thay đổi mặt số liệu để thuận tiện cho việc đối chiếu so sánh kết thu Trong lớp 11A1 lớp thực nghiệm trình triển khai đề tài lớp 11A2 lớp đối chứng không tham gia việc triển khai đề tài Sau chấm kiểm tra thu kết với mức điểm tính phần trăm sau: Lớp thực nghiệm 11A1(42 học sinh) Lớp đối chứng 11A2 (48 học sinh) Điểm Lớp 1 – 2,5 3 – 4,5 – 6,5 – 8,59 9– 10 Lớp 11A1 0% 2% 18% 20% 60% Lớp 11A2 4% 28% 52% 14% 2% Căn vào kết kiểm tra Đối chiếu so sánh kết làm lớp thực nghiệm lớp lại khơng tham gia thực nghiệm ta thấy: Với nội dung 18 trình bày viết giúp em học sinh lớp 11 có nhìn bao quát cách giải toán dãy số thuộc chương trình trung học phổ thơng khơng chun giúp em tự tin đứng trước tốn dãy số đồng thời góp phần làm cho học sinh thấy hứng thú với mơn Tốn thường có phép tuyệt đẹp suy luận rất logic 19 KẾT LUẬN 3.1 Những học kinh nghiệm: Như nêu trên, muốn cho học sinh học tốt môn học người giáo viên phải có số kỹ sau: * Kỹ nêu vấn đề hướng dẫn học sinh giải vấn đề * Kỹ giúp học sinh biết tư duy, suy luận logíc * Kỹ trình bày lời giải 3.2 Ý nghĩa sáng kiến kinh nghiệm: Ý nghĩa sáng kiến kinh nghiệm nhằm tạo động lực thúc đẩy học sinh tích cực học tập góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy thân nói riêng kết giáo dục nhà trường nói chung 3.3 Khả ứng dụng, triển khai: Khả ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm nối bậc phương pháp giảng dạy phương pháp đặt vấn đề phận tích hướng dẫn học sinh giải vấn đề 3.4 Những kiến nghị, đề xuất: Nhằm giúp cho học sinh học tốt với mơn học, thân có kiến nghị với phòng thiết bị, Ban giám hiệu, Sở giáo dục có kế hoạch mua bổ sung số tài liệu tham khảo thư ờng xuyên tổ chức buổi thảo luận chuyên đ ề toán học nhằm giúp cho việc giảng dạy giáo viên thuận lợi Tiên Lữ, ngày 25 tháng 03 năm 2014 Ngi Vit o Hu Trang 20 Tài liệu tham khảo 1) Lê Đình Thịnh- Lê Đình Định , Phương pháp sai phân Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Néi 2004 2) Tun tËp ®Ị thi OLYMPIC 30 – Môn Toán Lần thứ V, Nhà xuất Giáo Dơc 3) Tun tËp ®Ị thi OLYMPIC 30 – Môn Toán Lần thứ VII-2002 , Nhà xuất Giáo Dục 4) Tạp trí Toán Học Tuổi Trẻ Số 356 , Nhà xuất Giáo Dục 5) Trần Chí Hiếu Nguyễn Danh Phan Tuyển chọn toán PTTH Đại số giải tích 11, Nhà xuất Giáo Dục 6) Nguyễn Văn Mậu , Một số toán chọn lọc dãy số , Nhà xuất Gi¸o Dơc - 2003 21 ... Dãy số tăng, dãy số giảm dãy số bị chặn * Dãy số  un  gọi dãy số tăng un  un1 , * Dãy số  un  gọi dãy số giảm un  un1 , n  * n  * Vậy: Nếu un1  un  0, n   suy  un  dãy số. .. số nhân n  u1  un  * Dãy số  un  cấp số nhân  un1  un q với n   , q số * không đổi gọi công bội cấp số nhân n 1 * Nếu dãy số  un  cấp số nhân un  u1.q * Nếu dãy số  un  cấp số. .. cộng * * Dãy số  un  cấp số cộng  un1  un  d với n   , d số khơng đổi gọi công sai cấp số cộng * Nếu dãy số  un  cấp số cộng un  u1   n  1 d * Nếu dãy số  un  cấp số cộng tổng