SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NHƯ XUÂN II SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CON ĐƯỜNG HÌNH THÀNH ĐỊNH LÍ HÀM SỐ CƠSIN, ĐỊNH LÍ HÀM SỐ SIN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Người thực hiện: Chu Đình Sâm Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực mơn: Tốn THANH HỐ NĂM 2017 MỤC LỤC Nội dung Trang 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp Mở đầu 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo 14 dục, với thân, đồng nghiệp, nhà trường Kết luận, kiến nghị 15 3.1 Kết luận 15 3.2 Kiến nghị 16 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Trong thực tiễn giáo dục việc dạy học định lí tốn phần lớn tác giả nêu chứng minh Việc dạy học chưa phát huy sáng tạo, làm học sinh khơng hứng thú chí sợ học định lí giải tốn Chính ảnh hưởng đến chất lượng giáo dục học sinh Một yêu cầu cấp thiết giáo dục phải thay đổi phương pháp dạy học, khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thói quen cách tư sáng tạo tự học học sinh Bên cạnh nguồn tài liệu để dạy học định lí giải tốn chủ yếu nêu chứng minh, gây khó khăn cho thầy trò Việc tiếp thu kiến thức chưa sâu, chưa thấy gốc định lí hay tốn bắt nguồn từ đâu Như lĩnh hội kiến thức đầy đủ chưa nói sáng tạo nên kiến thức Định lí hàm số cơsin, định lí hàm số sin học chương trình lớp 10, sau học xong việc vận dụng làm tập học sinh hiệu Vì lí với mong muốn học trò khơng tiếp thu lĩnh hội tri thức mà làm cho em hứng thú, tự biết tìm sáng tạo nên tốn tơi chọn đề tài: “ Con đường hình thành định lí hàm số cơsin, định lí hàm số sin toán liên quan” để dạy cho học sinh lớp 11 tiết tự chọn 1.2 Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu kinh nghiệm dạy học định lí hàm số cơsin, định lí hàm số sin tốn liên quan cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng học sinh Qua em biết tiếp thu, củng cố, tổng hợp kiến thức học tự sáng tạo toán Làm cho học sinh biết cách học định lí, giải tốn hiểu dù tốn khó đến đâu bắt nguồn từ toán đơn giản, dễ hiểu 1.3 Đối tượng nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm nghiên cứu phương pháp dạy học định lí hàm số cơsin, định lí hàm số sin, hình thành cách giải xây dựng toán tự chọn toán 11 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp: Nghiên cứu lí luận chung Khảo sát điều tra từ thực tế dạy học Tổng hợp so sánh đúc rút kinh nghiệm Cách thực hiện: Trao đổi chuyên môn tổ, nhóm, tham khảo ý kiến giáo viên mơn Liên hệ thực tế nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua trình giảng dạy Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Thực tế dạy định lí hàm số cơsin, định lí hàm số sin toán liên quan giáo viên hay xem nhẹ định lí phát biểu giải sách giáo khoa Do học sinh nắm bắt thụ động nên làm tập hay chứng minh định lí thường lúng túng khơng hiểu sâu vấn đề mà nâng cao chất lượng mơn toán Do đổi phương pháp dạy học nhằm mục đích cho học sinh có phương pháp tư logic, gây hứng thú, biết tiếp thu chiếm lĩnh tri thức đồng thời sáng tạo nên tốn nâng cao kiến thức Định lí tốn suy từ khẳng định đơn giản mà ta biết Vấn đề làm hiểu đường tạo chúng Học tập tốt định lí giải khai thác toán điều kiện thuật lợi để phát triển lực trí tuệ điều khơng thể thiếu người học toán 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Khi dạy học giáo viên nêu định lí hay tốn trình bày cách giải mà khơng có điều kiện để học sinh tìm tòi, phát định lí tốn, khơng tìm thấy mối liên quan chặt chẽ chúng Học sinh không ý đến nguồn gốc sâu xa vấn đề nên không hiểu sâu không nắm vững kiến thức Có thể gặp tốn tương tự khơng làm khơng nhận biết dạng toán làm Như đứng trước định lí hay tốn việc định hướng tìm lời giải nguồn gốc chúng cần thiết Nhìn chung kết học tập kết kì thi tốn học sinh trường THPT Như Xuân II khiêm tốn Như việc đổi dạy học phương pháp lẫn nội dung kiến thức sách giáo khoa mà kiến thức nâng cao lại trở nên cấp thiết Cụ thể đề tài xuất phát từ kiến thức đơn giản phù hợp với học sinh trung bình, yếu tơi hướng dẫn học sinh hình thành nên định lí hàm số cơsin, định lí hàm số sin xây dựng tốn từ đơn giản đến nâng cao Từ hình thành tư trừu tượng lẫn tư sáng tạo, nâng cao kiến thức, góp phần tăng kết cho học sinh học tập kì thi 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề Cung cấp cho học sinh không kiến thức mà phương pháp suy luận, khả tư logic theo hướng xây dựng, tư sáng tạo Phải từ kiến thức bản, dễ hiểu ban đầu phải dẫn dắt học sinh hình thành kiến thức nâng cao cách tự nhiên, không áp đặt Trong tiết dạy thầy biết dẫn dắt học sinh xây dựng định lí, khai thác mở rộng thành tốn phải biết nhìn định lí, tốn nhiều góc độ Tổ chức để học sinh từ biết hình thành đến rèn luyện cố kĩ xây dựng định lí, tốn Tổ chức kiểm tra để lấy kết việc nắm bắt kiến thức nội dung triển khai kĩ mà học sinh đạt Sự trăn trở suy tư người thầy kết hợp với học trò với câu hỏi đặt trình dạy học định lí tốn hình thành cách nào? Làm nghĩ được? Phần 1: Hình thành định lí hàm số cơsin, định lí hàm số sin toán Xét tam giác ABC , với kí hiệu BC  a, CA  b, AB  c, P  abc , S diện tích, R bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC , đường trung tuyến ma , mb , mc đường phân giác la , lb , lc tương ứng với đỉnh A, B, C       Từ hệ thức vectơ BC  AC  AB suy BC  ( AC  AB)2 khai triển a  b  c  2bc cos A Tương tự b  a  c  2ac cos B c  a  b  2ab cos C Như ta có định lí hàm số cơsin Định lí: Cho ABC ta có a  b  c  2bc cos A (1), b  a  c  2ac cos B (2) c  a  b  2ab cos C (3) Tiếp theo từ (2) (3) suy a  b cos C  c cos B (4) Tương tự b  a cos C  c cos A (5) c  a cos B  b cos A (6) Hệ thức (4),(5),(6) định lí hình chiếu Nhận xét: Có nhiều đường hình thành kiến thức định lí tốn Có thể sáng tạo nhỏ phụ thuộc vào lửa thắp sáng lòng say mê tốn học người thầy trò Lại có từ (1),(2) (3) suy a  b  c  2bc cos A  2ac cos B  2ab cos C Vì a  b  c  ab  bc  ca nên 2bc cos A  2ac cos B  2ab cos C  ab  bc  ca hay ab(2 cos C  1)  ac(2 cos B  1)  cb(2 cos A  1)  Do ta có toán Bài toán 1: Chứng minh ABC ta có ab(2 cos C  1)  ac(2 cos B  1)  cb(2 cos A  1)  Dấu “=” xảy ? Nhận xét: Rõ ràng theo dấu “=” xảy a  b  c hay ABC Cách làm gây hứng thú cho người học Đến trả lời câu hỏi toán tác giả lấy đâu? Tiếp tục đường xem ta ? Từ a  b  c  2bc cos A a  b cos C  c cos B suy b  c  2bc cos A  b cos C  c cos B  2bc cos B cos C  b sin C  c sin B  2bc sin B sin C Tương tự ta có tốn Bài tốn 2: Trong ABC ta có: a) a sin B  b sin A  2ab sin A sin B (5); 2 2 b) b sin C  c sin B  2bc sin B sin C (6); c) a sin C  c sin A  2ac sin A sin C (7) Nhận xét: Con đường nghĩ toán tạo niềm vui, hứng thú cho người học nêu chứng minh tốn khơng khó Chẳng hạn (5) dấu “=” bất đẳng thức a sin B  b sin A  2ab sin A sin B Cái hay làm cho học trò thấy tốn ln nên dấu “=’ xảy Từ a sin B  b sin A  Tương tự ta có a b  sin A sin B a b c abc Vì S    sin A sin B sin C 4R S  ab sin C  c  R sin C Từ suy định lí hàm số sin Định lí: Trong ABC ta có a b c    R (8) sin A sin B sin C Chú ý từ định lí cơsin suy định lí sin cách khác sau:  b2  c2  a  sin A   cos A      2bc   p  p  a  p  b  p  c  bc Từ   2bc  b  c  a  2bc  b  c  a  4b c 2S bc sin A S (đpcm)   a abc R  Đến đặt câu hỏi từ định lí sin có suy định lí cơsin khơng ? Biến đổi sin B  sin C  sin A   cos B   cos 2C  (1  cos A)   cos( B  C ).cos( B  C )  cos A  cos A(cos( B  C )  cos A)  cos A sin B sin C  sin A  sin B  sin C  2sin B sin C cos A   R sin A    R sin B    R sin C   2.2 R sin B.2 R sin C.cos A 2  a  b  c  2bc cos A Vậy ta có định lí cơsin Tiếp theo biến đổi sin A  sin B  sin C  2sin B sin C cos A Ta sin B  sin C  cos( B  C ).cos( B  C )  Do ta có toán: Bài toán 3: Chứng minh ABC ta có 2 a) sin A  sin B  cos( A  B).cos( A  B)  2 b) sin B  sin C  cos( B  C ).cos( B  C )  2 c) sin C  sin A  cos(C  A).cos(C  A)  Nhận xét: Có thể em chưa quen cách tiếp cận toán, để tìm đường hay cách giải cần giúp đỡ định hướng người thầy thực việc học trò Trong q trình cần bổ sung kiến thức để hướng dẫn vai trò người thầy phát huy Việc dạy phải có gợi mở thầy trò đồng thời học trò với Dần dần cách dạy cách học học trò tự tìm kiến thức gây hứng thú óc sáng tạo học trò 2S b2  c2  a Bây ta thay sin A  cos A  vào bất đẳng thức bc 2bc  sin A  cos A  sin A  cos A  2sin A cos A   sin A  ta được:  2S b2  c  a  2 2 2 2       S  b  c  a   8b c  S  b  c  a  2bc Dấu bc bc   “=” xảy sin A  hay A  450 Như ta có tốn Bài tốn 4: Chứng minh ABC ta có: a) S  b  c  a  2bc b) S  a  c  b  2ac c) S  a  b  c  2ab Tiếp theo thay sin A  sin  A  300    2S bc cos A  b2  c2  a 2bc vào bất đẳng thức sin A  cos A  ta được: 2  3S b  c  a  2      3S  b  c  a  4bc Tương tự ta có tốn  bc 2bc  Bài tốn 5: Chứng minh ABC ta có: a) 3S  b  c  a  4bc b) 3S  a  c  b  4ac c) 3S  a  b  c  4ab Từ toán ta suy tốn Bài tốn 6: Chứng minh ABC ta có: 12 3S  a  b  c  4(ab  bc  ca ) Tiếp theo sử dụng bất đẳng thức a  b  c  ab  bc  ca từ tốn suy tốn 2 Bài toán 7: Chứng minh ABC ta có: 3S  a  b  c Dấu xảy nào? Nhận xét: Việc tìm toán minh chứng cho khẳng định tốn dù khó đến đâu bắt nguồn từ kiến thức toán đơn giản Với cách dạy cách học học sinh người trực tiếp tìm kiến thức Do chứng minh định lí hay giải tốn học sinh biết bắt đầu cách giải Phần 2: Từ định lí hàm số cơsin xây dựng cơng thức tính độ dài đường phân giác trong, đường trung tuyến tam giác toán Liệu từ định lí hàm số cơsin có xây dựng cơng thức tính độ dài đường phân giác tam giác không? A c b la B C A Xét ABC đặt độ dài phân giác góc A la  AE Theo tính chất đường phân giác       EB AB c    b.EB  c.EC  b EA  AB  c EA  AC EC AC b     2 2 2 có :      b  c  AE  b AB  c AC   b  c  2bc  AE  b AB  c AC  2bc AB AC.cos A  la  ta 2bc cos bc A A  cos A cos  Mặt khác sử dụng định lí hàm số cơsin biến đổi ( 2 00  A A  900  cos  2 ) b2  c2  a 1  cos A 2bc 2bc 2bc 2  Ta có : la  bc bc  bcp  p  a  bc Tương tự ta có cơng thức tính độ dài đường phân giác tam giác Bài tốn 8: Chứng minh ABC ta có: a) la  b) lb  c) lc  2bc cos bc 2ac cos ac 2ab cos ab A  B  C  bcp  p  a  bc acp  p  b  ac abp  p  c  ab Nhận xét: Tìm lời giải tốn chưa thể xem xong công việc mà cần phải khai thác thêm kiến thức, tốn có phát triển khả tư sáng tạo việc dạy học toán Tiếp theo tốn 8 Vì b  c  bc  la  bc cos A nên lại có toán Bài toán 9: Chứng minh ABC ta có: A a) la  bc cos (9) B b) lb  ac cos (10) C c) lc  ab cos (11) Khi ta lại đưa toán A B C Bài toán 10: Chứng minh ABC ta có: la lblc  abc cos cos cos Từ cos A  b c a 2bc 2  cos A  cos A   2 1 b2  c2  a 2bc  p( p  a) bc kết hợp với (9) ta la  p( p  a) Từ ta lại có toán Bài toán 11: Chứng minh ABC ta có: a) la  p( p  a) (12) b) lb  p( p  b) (13) c) lc  p( p  c) (14) Từ toán 11 suy toán Bài toán 12: Chứng minh ABC ta có: la lblc  pS Ta lại có:  la  lb  lc    p ( p  a )  p ( p  b)  p ( p  c )   p2  la  lb  lc  p Từ ta có tốn Bài tốn 13: Chứng minh ABC ta có: la  lb  lc  p abc abc 2   p   a  b  c  a  b2  c2 p    Lại nên 2 4     Từ ta có toán 2 Bài toán 14: Chứng minh ABC ta có: l a  lb  l c  a  b  c Nhận xét: Việc khai thác kết tìm thêm toán phụ thuộc vào hướng giải tốn ban đầu Chính tốn kiến thức giúp học trò củng cố nhiều kiến thức học, tìm mối liên hệ kiến thức cũ Đó sáng tạo dạy học toán Tiếp theo, sử dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: l a  lb  l c  33 l a lb l c Khi ta có tốn Bài tốn 15: Chứng minh ABC ta có: l a lb lc  a2  b2  c2 Nhận xét: Các toán đặc biệt toán 15 phát biểu toán chứng minh tương đối khó Nhưng dạy học theo cách xây dựng tìm tòi nguồn gốc trở nên dễ hiểu giúp tăng phấn khởi, hứng thú cho học sinh Các toán liên quan đến độ dài đường phân giác tam giác Như phải hết ? Nhiều tư không cho phép ta dừng lại Đôi lúc việc kết thúc vấn đề lại gợi ý mở đầu cho vấn đề mà tìm kết thú vị bất ngờ Xét ABC , trung tuyến AD  ma , A ta thấy cos D1   cos D2 , áp dụng định lí hàm số cơsin ta ma  BD  AB m  DC  AC  a 2ma BD 2ma DC  ma  ma B D C b2  c2 a  Khi ta có cơng thức độ dài đường trung tuyến tam giác Bài toán 16: Chứng minh ABC ta có: a) ma  b2  c2 a  b) mb  a  c2 b2  10 c) mc  a  b2 c2  Từ ta có tốn 2 2 2 Bài toán 17: Chứng minh ABC ta có: ma  mb  mc  (a  b  c ) 2 Thầy: Do a  b  c  ab  bc  ca nên suy toán sau 2 Bài toán 18: Chứng minh ABC ta có: ma  mb  mc  (ab  bc  ca) 2 2 Từ toán 17 bất đẳng thức a  b  c   3a  b  c  suy toán 2 2 Bài toán 19: Chứng minh ABC ta có: a  b  c   4ma  mb  mc  1 2 2 2 2 Tiếp theo viết ma  b  c   b  c  a     b  c  2bc cos A  A 1 A A  ma  bc cos  b  c   4bc cos   bc cos  4 2 Do ta có tốn Bài tốn 20: Chứng minh ABC ta có : A a) ma  bc cos B b) mb  ac cos C c) mc  ab cos Từ lại tốn Bài tốn 21: Chứng minh ABC ta có : ma  mb  mc  bc cos A B C  ac cos  ab cos 2 2 2 Từ bất đẳng thức ma  mb  mc   3ma  mb  mc  ta lại toán Bài toán 22: Chứng minh ABC ta có :  2 m a  mb  m c  A B C    bc cos  ca cos  ab cos  2 2  11 Tiếp ma  theo viết 1 2b 2c  a    b  c   a    b  c  a  b  c  a   p  p  a    4 4  ma  p  p  a Do ta có tốn Bài tốn 23: Chứng minh ABC ta có : a) ma  p  p  a  b) mb  p  p  b  c) mc  p  p  c  Từ ta có tốn Bài tốn ma  mb  mc  24: p  Chứng minh p a  p b  p c ABC ta có:  2 2 Sử dụng bất đẳng thức ma  mb  mc   3ma  mb  mc  ta lại toán sau Bài toán 25: Chứng minh ABC ta có:  ma  mb  mc   p Tiếp   p a  p b  p c theo p a  p b  p c  sử 3   dụng bất đẳng thức  p  a  p  b    p  b  p  c    p  c  p  a   ta toán sau: Bài toán 26: Chứng minh ABC ta có: ma  mb  mc  p   p  a  p  b    p  b  p  c    p  c  p  a   Nhận xét: Khi dạy toán, học toán thường khai thác, phát triển định lí, hay tốn để có tốn ( khơng với người khác ) Cách học gây hứng thú, tạo niềm đam mê thông minh sáng tạo cho học trò Do giúp cho việc học tốn đơn giản thú vị Phần 3: Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin đánh giá kết 12 Bài kiểm tra 90 phút Câu 1: Chứng minh ABC ta có:  b  c  a a c  b a  b  c  ma  mb  mc       cos A cos B cos C  Câu 2: Chứng minh ABC ta có: tan A   p  b  p  c  với p  p  a p abc Câu 3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Chứng minh cos A  a  d  b2  c2 với 2(ad  bc) AB  a, BC  b, CD  c, DA  d Từ tìm cơng thức tương tự câu Hướng dẫn giải: a  b2  c2 Câu 1: Học sinh biết sử dụng định lí hàm số côsin thay ab  cos C , tương tự với bc , ca vào toán 18 ma  mb  mc  (ab  bc  ca ) Câu 2: Sử dụng định lí hàm số cơsin cơng thức sau biến đổi ta điều cần chứng minh A sin A   cos A tan  cos A  cos A 2 Câu 3: C b B c a A d D Áp dụng định lí cơsin cho hai tam giác ABD BCD , ta có BD  a  d  2ad cos A BD  b  c  2bc cos C Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên cos A   cos C  cos A  a  d  b2  c2 thay vào công thức 2(ad  bc) 13 A A   cos A tan  cos A  cos A sin ( p  a )( p  d ) Ta kết tương tự câu là: tan A  ( p  b)( p  c) p với abcd 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Thông qua kiểm tra hệ thống cách dạy học định lí, tập học sinh rút điều quan trọng việc học định lí tập phải biết xây dựng định lí, tìm mối liên hệ tốn xem bắt nguồn từ đâu Từ tạo cho e niềm đam mê, hứng thú học tập đồng thời biết cách tự học, sáng tạo, tìm tòi, xây dựng nên tốn Đó mục đích tơi viết sáng kiến kinh nghiệm Kết thực tế dạy nội dung sáng kiến tổ chức kiểm tra Lớp 11B1 11B2 lớp thực nghiệm lớp 11B3 lớp đối chứng Bảng kết kiểm tra lớp 11B1, 11B2, 11B3 11B1 39 Giỏi SL % 18 46,2 11B2 37 10,8 18 48,6 12 32,5 8,1 11B3 33 0 6,1 16 48,4 15 45,5 Lớp Sĩ số Khá SL % 20 51,3 TB Yếu SL % 2,5 0 SL % Nhận xét: Bài kiểm tra lớp 11B1 11B2 có số lượng học sinh giỏi cao hẳn học sinh trung bình yếu thấp lớp 11B3 Ở lớp 11B2 lớp 11B3 có trình độ tương đương nhau, lớp 11B1 có trình độ cao đơi chút Tôi định dạy cho lớp 11B1 để thử nghiệm ôn thi đại học học sinh giỏi Từ rút kinh nghiệm dạy toán dễ với học sinh giỏi nên khai thác, mở rộng kết tốn khó với học sinh trung 14 bình, yếu nên tìm cách đưa liên hệ với toán hay kiến thức đơn giản biết Với cách dạy học sáng kiến học sinh say mê hơn, tích cực hoạt động hơn, khả tự học nâng cao, kiến thức phần lớn em tự tìm nên nắm vững kiến thức hơn, sâu sắc Kĩ vận dụng kiến thức biết để xây dựng nên định lí tốn từ đơn giản đến nâng cao Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Từ kiến thức đơn giản, dễ hiểu sách giáo khoa xây dựng định lí hàm số cơsin, định lí hàm số sin sau đưa toán Trong số toán có quen thuộc người khác nghĩ từ lâu tổ chức kì thi nước quốc tế ( chẳng hạn toán số xuất nhiều kì thi, đặc biệt kì thi Olympic tốn quốc tế ) Việc biết cách hình thành định lí hay tốn cách lơgic với vẻ tự nhiên giúp cho việc học toán hiệu Từ chỗ ban đầu học sinh lúng túng tiếp cận định lí hay tốn em tự tin hiểu sâu, nắm định lí làm tốt tập mở rộng thêm tập Việc nghĩ định lí hay tốn khơng phải người thơng minh xuất chúng nghĩ được, mà việc khơng dễ dàng có quy luật hồn tồn rèn luyện cho học trò Khơng có kiến thức hồn tồn mà khơng liên quan tới cũ Bởi kiến thức phải bắt nguồn từ kiến thức cũ, kế thừa kiến thức cũ mở rộng kiến thức cũ Khi biết tìm đường hình thành khái niệm, định lí hay tốn nhìn chúng nhiều góc độ khác tìm hướng giải ngắn gọn, độc đáo sáng tạo 3.2 Kiến nghị 15 Khi dạy học định lí, giải tốn tránh áp đặt làm sáng tạo học trò, không gây hứng thú Đặc biệt thân người thầy phải biết tự học, tự nghiên cứu sáng tạo đồng thời trao đổi chuyên môn nghiệp vụ với đồng nghiệp Đề tài nên dạy tiết tự chọn, tổ chức chuyên đề nhân rộng Do nhà trường cần tạo thời gian sở vật chất để thầy tổ nhóm trao đổi chuyên môn, nghiệp vụ qua chuyên đề Từ đưa cách dạy học phù hợp với học sinh Qua báo cáo kinh nghiệm mong đồng nghiệp cho thêm ý kiến góp ý để thấy đầy đủ ưu điểm khuyết điểm cách dạy nội dung Tôi mong sáng kiến kinh nghiệm đồng nghiệp nghiên cứu áp dụng vào thực tiễn dạy học ( không thiết phải dạy hết tất nội dung phụ thuộc thời gian, đối tượng mục đích người học ) Sáng kiến kinh nghiệm chắn không tránh thiếu sót, mong phê bình, đóng góp ý kiến, phản hồi thầy cô giáo đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 10 tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Chu Đình Sâm 16 ... S  ab sin C  c  R sin C Từ suy định lí hàm số sin Định lí: Trong ABC ta có a b c    R (8) sin A sin B sin C Chú ý từ định lí c sin suy định lí sin cách khác sau:  b2  c2  a  sin A... “ Con đường hình thành định lí hàm số c sin, định lí hàm số sin tốn liên quan” để dạy cho học sinh lớp 11 tiết tự chọn 1.2 Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu kinh nghiệm dạy học định lí hàm. .. với học trò với câu hỏi đặt trình dạy học định lí tốn hình thành cách nào? Làm nghĩ được? Phần 1: Hình thành định lí hàm số c sin, định lí hàm số sin toán Xét tam giác ABC , với kí hiệu BC  a,