I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI A/ PHẦN MỞ ĐẦU Khảo sát hàm số ứng dụng khảo sát hàm số phần quan trọng chương trình lớp 12, đề thi đại học Một ứng dụng khảo sát hàm số biện luận số nghiệm phương trình đồ thò Đây dạng toán hay, có ích cho học sinh, không cho học sinh lớp 12 mà kể cho học sinh lớp 10, 11 Rất nhiều toán muốn biện luận số nghiệm phương trình, bất phương trình theo tham số m, dùng phương pháp đại số em gặp nhiều khó khăn phải xét nhiều trường hợp, dùng đồ thò toán trở nên đơn giản, dễ thấy Đề tài sâu vào việc giúp học sinh có kỹ giải nhanh xác loại toán II/TÍNH CẤP THIẾT KHI CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình lớp 12 , dạy phần biện luận phương trình đồ thò, thấy sách giáo khoa đề cập đến hai dạng thường gặp trường hợp phương trình đề cho phương trình hoành độ giao điểm đường cong (C ) với đường thẳng d mà đường d đường thẳng phương với trục Ox.Trong có nhiều toán đề thi tuyển sinh đại học phương trình đề cho phương trình hoành độ giao điểm đường cong (C ) với đường thẳng d mà đường thẳng d song song với nhau, không phương Ox, đường d quay quanh điểm A cố đònh Ngoài nhiều toán giải ta thường đưa dạng xét dấu tam thức f(x) = ax2 + bx + c miền K , dạng toán học sinh thường gặp phải khó khăn a có chứa tham số có nhiều em giải thiếu trường hợp , kể em đọc lời giải sẵn , có em không hiểu lại phải đưa điều kiện Song có giúp đỡ đồ thò việc giải toán trở nên nhẹ nhàng xảy tình trạng thiếu nghiệm Vì với viết hy vọng giúp em học sinh tháo gỡ khó khăn gặp toán Bài viết nhiều hạn chế, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp chân thành q thầy cô đồng nghiệp để viết tổng quát hơn, hay B/ PHẦN NỘI DUNG VẤN ĐỀ 1: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ Cho phương trình (1) , đππể dùng đồ thò (C ) : y = f(x) biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình (1) ta biến đổi cho vế (1) f(x) vế lại có dạng sau : DẠNG : f(x) = m (1) Ta xem (1) phương trình hoành độ giao điểm (C ) : y = f(x) đường thẳng d : y = m d đường thẳng phương Ox qua điểm có tọa độ ( 0; m ) Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm (C ) d Dựa vào đồ thò (C ) d ta tìm số nghiệm phương trình (1) VÍ DỤ 1:1/ Khảo sát vẽ đồ thò (C ) : y = x3 – 3x2 +1 2/ Dùng đồ thò (C ) biện luận theo m số nghiệm phương trình : a/ x3 – 3x2 +1 = m (1) b/ x6 – 3x4 +1 – m = (2) c/ cos3x – cos2x + – m = (3) x  [0;  ] GIẢI: 1/ + Tập xác đònh : D = R + y/ = 3x2 – 6x = 3x ( x – 2) x   y  y/ =     x   y  3 + y// = 6x – = ( x – ) y// =  x   y  1 BXD : x - y// - (C) + BBT : lồi x - y/ + ĐU + y + 0 CĐ lõm - + + + -3 CT - + ÑÑB: x -1 y -3 -1 -3 y f(x)=x^3-3x^2+1 f(x)=-3 f(x)=1 (C ) f(x)=5 d d x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -2 d -4 -6 -8 2/ a/ x3 – 3x2 +1 = m (1) (1) phương trình hòanh độ giao điểm (C ) : y = x3 – 3x2 +1 đường thẳng d : y = m d đường thẳng phương Ox qua điểm có tọa độ ( 0; m ) Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm (C ) d Dựa vào đồ thò (C ) d ta có : m  3 + Nếu  (C ) d có giao điểm  phương trình (1) có nghiệm m  m  3 + Nếu  (C ) d có giao điểm  phương trình (1) có hai nghiệm m  + Nếu -3 < m < (C ) d có giao điểm  phương trình (1) có ba nghiệm b/ x6 – 3x4 +1 – m = (2)  t  3t   m (2/) với t = x2  (2/) phương trình hòanh độ giao điểm (C ) : y = t3 – 3t2 +1 với t  đường thẳng d : y = m ,d đường thẳng phương Ox qua điểm có tọa độ ( 0; m ) Số nghiệm phương trình (2/) số giao điểm (C ) d với điều kiện hoành độ giao điểm t  Dựa vào đồ thò (C ) d ta có : +Nếu m < -3 (C ) d có giao điểm với hoành độ âm  (2/) vô nghiệm  (2) vô nghiệm + Nếu   m  (C ) d có giao điểm có giao điểm có hoành độ âm giao điểm có hoành độ dương  (2/) có nghiệm  (2) có nghiệm + Nếu m = (C ) d có giao điểm có giao điểm có hoành độ giao điểm có hoành độ dương  (2/) có nghiệm  (2) có nghiệm + Nếu m > (C ) d có giao điểm với hoành độ dương  (2/) có nghiệm  (2) có nghiệm đối c/ cos3x – cos2x + – m = (3)  t  3t   m (3/) với t = cosx x  [0;  ] nên t  [1;1] (3/) phương trình hòanh độ giao điểm (C ) : y = t3 – 3t2 +1 với t  [1;1] đường thẳng d : y = m ,d đường thẳng phương Ox qua điểm có tọa độ ( 0; m ) Số nghiệm phương trình (3/) số giao điểm (C ) d với điều kiện hoành độ giao điểm t  [1;1] Dựa vào đồ thò (C ) d ta có : + Nếu m < -3 (C ) d có giao điểm với hoành độ t < -1  (3/) vô nghiệm  (3) vô nghiệm + Nếu   m  (C ) d có giao điểm có giao điểm có hoành độ t  [1;1] giao điểm có hoành độ t  [1;1]  (3/) có nghiệm  (3) có nghiệm + Nếu  m  (C ) d có giao điểm có giao điểm có hoành độ t  [1;1] giao điểm có hoành độ t  [1;1]  (3/) có nghiệm  (3) có nghiệm +Nếu m = (C ) d có giao điểm có giao điểm có hoành độ giao điểm có hoành độ t  [1;1]  (3/) có nghiệm  (3) có nghiệm + Nếu m > (C ) d có giao điểm với hoành độ t  [1;1]  (3/) vô nghiệm  (3) vô nghiệm Ví dụ : Biện luận theo m số nghiệm phương trình : x3 – mx + m = (1) Giải : (1) x3 – mx + m =  x3 = m ( x – 1)  ( x = nghiệm (1) ) x3 m x 1 Ta xem (1) phương trình hoành độ giao điểm ( C) : y = x3 (d) : y = m x 1 x3 = x2 + x + + x 1 x 1 + Tập xác đònh : D = R \ 1 Khảo sát vẽ (C ) : y = + y/ = 2x + - x (2 x  3) = ( x  1) ( x  1) +(C ) có tiệm cận đứng : x = , tiệm cận cong : y = x2 + x + + Bảng biến thiên X - + y/ 0 + + + + y - CT 27 Đồ thò hàm số đạt cực tiểu điểm ( ; ) , có điểm uốn O (0;0) Dựa vào đồ thò (C ) d ta có : 27 +m< (1) có nghiệm 27 (1) có hai nghiệm 27 +m> (1) có ba nghiệm +m= y f(x)=x^3/(x-1) (C ) 10 f(x)=4 f(x)=27/4 f(x)=x^2+x+1 d (C ) x -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 -2 -4 Ví dụ : Giải biện luận phương trình sau theo tham số m : x  ( x  2)  m  (1) Chú ý : Với ví dụ giải phương pháp đại số em dùng đònh nghóa để phá bỏ dấu giá trò tuyệt đối đưa việc giải biện luận phương trình bậc hai , cách làm phức tạp , ta nhìn toán dạng giải lại đơn giản Giải : Ta coù : x  ( x  2)  m  (1)  m   x  ( x  2) Ta xem (1) phương trình hoành độ giao điểm (C ) : y =  x  ( x  2) vaø d : y = m Vẽ đồ thò ( C ) : y =  x  ( x  2) xét x2 + x – = - m x  ta coù x1  x2     4m ,    4m (m  ) Tương tự xét x2 + x – = m x  ta coù x3  Dựa vào đồ thò (C ) d ta có : a/ m > (1) có nghiệm x = x1    4m    4m , x4  (m  ) 2  x  2 b/ m = (1) có nghiệm  x   x  x4 c/   m  (1) có nghiệm  x  x1  x  x  x  d/ m = - (1) có nghiệm   x  x4 e/ m < - (1) có nghiệm x = x4 y f(x)=-x^2-x+2 f(x)=x^2+x-2 f(x)=2 f(x)=-5 f(x)=-1 (C ) d x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -2 d -4 -6 -8 Ví dụ 4: Tìm tham số a để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt :  x  10 x   x  x  a (1) Giải : Ta coù :  x  10 x   x  x  a (1)  x  10 x   x  x  a Ta xem (1) phương trình hoành độ giao điểm (C ) : y = x  10 x   x  x vaø d : y = a   x  x  2 Dựng đồ thò (C ) :y = x  10 x   x  x =    x  15 x  x  x    x  Dựa vào đồ thò (C ) d ta có (1) có bốn nghiệm < a < 43 y f(x)=x^2-5x+8 f(x)=x^2-5x+8 f(x)=-3x^2+15x-8 f(x)=5 12 f(x)=4 f(x)=43/4 (C ) 10 d x -3 -2 -1 Ví dụ 5: Tìm a để phương trình sau có nghiệm : x  3x   5a  x  x Giải : Ta coù : x  x   5a  x  x (1)  x  x   x  x  5a Ta xem (1) phương trình hoành độ giao điểm (C ) : y = x  x   x  x vaø d : y = 5a   4 x  x   x     Dựng đồ thò (C ) :y = x  x   x  x =  x   11x    x  2  d: y = 5a đường thẳng phương với Ox , qua điểm (0;5a) Dựa vào đồ thò (C ) d ta có (1) có nghiệm : 5a = - 57 57 a 16 80 (1) y f(x)=4x^2+5x-2 f(x)=4x^2+5x-2 f(x)=11x+2 f(x)=24 f(x)=10 25 (C ) 20 15 d 10 x -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 DAÏNG : f(x) = g(m) (1) g(m) biểu thức theo m Đặt g(m) = m/ , lưu ý điều kiện m/.Ta xem (1) phương trình hoành độ giao điểm (C ) : y = f(x) đường thẳng d : y = m/ d đường thẳng phương Ox qua điểm có tọa độ ( 0; m/ ) Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm (C ) d Dựa vào đồ thò (C ) d ta tìm số nghiệm phương trình (1) Ví dụ : Cho đồ thò (C) : y = x3 - 3x2 + Dùng (C ) biện luận theo m số nghiệm phương trình :x3 - 3x2 – m2 – 2m – = (1) Giải : y f(x)=x^3-3x^2+1 f(x)=2 f(x)=5 (C ) d d x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -2 -4 -6 -8 (1)  x3 – 3x2 +1 = m2 + 2m +3 = ( m + 1)2 + Ñaët m/ = ( m + 1)2 +  , m  R Ta xem (1) phương trình hoành độ giao điểm (C ) :y = x3 – 3x2 +1 vaø d : y = m/ Dựa vào đồ thò (C ) d ta có m/  , m  R (C ) d có giao điểm nên pt (1) có nghiệm Ví dụ : Cho đồ thò (C) : y = x3 - 3x2 + Duøng (C ) biện luận theo m số nghiệm (2) m phương trình : x3 - 3x2+1 = m + Giải : y f(x)=x^3-3x^2+1 f(x)=2 (C ) f(x)=-2 f(x)=-4 d x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -2 d -4 -6 -8 Đặt m/ = m + m /  , điều kiện : m /    / m m  2 Ta xem (2) phương trình hòanh độ giao điểm (C ) :y = x3 – 3x2 +1 d : y = m/ Dựa vào đồ thò (C ) d ta có : +m/   m  d cắt (C ) điểm nên pt (2) có nghiệm m  3 3  /  m  3m    m + -  m  2   2 m  m  3 d cắt (C ) ba điểm nên pt (2) có ba nghiệm d  3 m  + m/ = -3   d (C ) có hai giao điểm nên pt (2) có hai nghiệm  3 m     m0  m  /   + m < -3   d caét (C ) điểm nên pt (2) có  3 m  3m   m   nghiệm DẠNG : f(x) = f(m) (1) f(m) biểu thức theo m Đặt f(m) = m/ , dựa vào bảng biến thiên f(x) ta suy bảng biến thiên f(m) Ta xem (1) phương trình hoành giao điểm (C ) : y = f(x) đường thẳng d : y = m/ d đường thẳng phương Ox qua điểm có tọa độ ( 0; m/ ) Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm (C ) d Dựa vào đồ thò (C ) d ta tìm số nghiệm phương trình (1) Ví dụ 8: : Cho đồ thò (C) : y = x3 - 3x2 + Dùng (C ) biện luận theo m số nghiệm phương trình :x3 - 3x2 – m3 + 3m2 = (1) Giải : x3 - 3x2 – m3 + 3m2 = (1)  x3 – 3x2 +1 = m3 – 3m2 +1 Đặt m/ = m3 – 3m2 +1 , dựa vào bảng biến thiên f(x) = x3 – 3x2 +1 , ta có bảng biến thiên f(m) : + BBT : m - -1 + CÑ + f(m) -3 -3 CT - Ta xem (1) phương trình hoành độ giao điểm (C ) : y = f(x) = x3 – 3x2 +1 đường thẳng d : y = m/ d đường thẳng phương Ox qua điểm có tọa độ ( 0; m/ ) Dựa vào đồ thò (C ) d ta coù : m /  3 m  1 a/  /  d cắt (C ) điểm nên pt (1) có nghiệm m  m  +(C ) có tiệm cận đứng x = tiệm cận xiên y = x + BBT x - y/ CÑ + y - - + + + + CT - - + ÑÑB: x y 4 y f(x)=(x^2-2x+1)/(x-2) f(x)=x (C ) x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -2 -4 -6 -8 x  2x   m( x  1)  x2 x  2x  (1)là phương trình hoành độ giao điểm (C ): y = vaø d : y = m ( x – 1) + x2 Khi m thay đổi đường thẳng d quay quanh điểm cố đònh A( 1,1) Cho d tiếp xúc với (C )  hệ phương trình sau có nghiệm : 1   x   m ( x  )  x   m( x  2)  m  (a )   x2 x2   1 1  1   m  m (b) 2  ( x  2)  ( x  2) b/ b/ x + = mx – m + (1) x2  Thế (b) vào (a) ta có : 1 x+ = (1 )(x-2) + m + x2 ( x  2) 2 m 1   m 1   (c ) x2 x2 Theá (c ) vào (b) với điều kiện m < , ta coù : m   m 1 1   m  3  d : y  3 x    m  m  2m       m  3 Dựa vào đồ thò (C ) d ta có : y + f(x)=(x^2-2x+1)/(x-2) f(x)=x m 1 f(x)=-3x+4 f(x)=-x+2 f(x)=3x-2 (C ) x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -2 -4 d -6 d d -8 (C ) - m  3 m  3 a/ Neáu  (C ) d có hai giao điểm  (1) có hai nghiệm m  b/ Nếu m= -3 (C ) d có giao điểm  (1) có nghiệm c/ Nếu   m  (C ) d giao điểm  (1) vô nghiệm Chú ý: * * / Khi viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C ) qua điểm A cho trước ax  bx  c trường hợp (C ) : y = , nhiều học sinh lúng túng giải hệ điều kiện tiếp xúc , a1 x  b1 dùng phương pháp hàm số đa thức có nhiều em không tìm kết tìm giải khó khăn , đề nghò mẹo nhỏ để giải vấn đề Ở ví dụ 12 ví dụ 13 để giải hệ điều kiện tiếp xúc trường hợp (C ) hàm số hữu tỉ , ta làm sau :“ ta biến đổi cho vế trái phương trình (a) xuất mẫu ( x – 2), sau (b) vào (a) vào vò trí m trước (x – 2) thu gọn để phương trình (c) Cuối (c) vào (b) với lưu ý điều kiện m ta phương trình theo m giải phương trình ta tìm giá trò m từ ta viết phương trình tiếp tuyến d”   * / Ở ví dụ 12 có hai phương trình tiếp tuyến nên từ điểm cố đònh A(1;1) ta vẽ tiếp tuyến đường thẳng song song với hai đường tiệm cận , từ ta chia trường hợp để biện luận * / Ở ví dụ 13 không lưu ý điều kiện m em dễ sai lầm nhận hết hai giá trò , ta tìm tiếp tuyến d mà , phần biện luận đơn giản Ví dụ 14: a/ Vẽ đồ thò (C ) : y =  x b/ Duøng (C ) biện luận theo m số nghiệm phương trình :  x - mx + 4m – = (*) Giải : y  x  y  9  x2     y   x y  Do (C ) nửa đường tròn tâm O , bán kính R = phía trục hoành a/ Ta có : b/  x - mx + 4m – = (*)   x = m(x-4) + Ta xem (*) phương trình hoành độ giao điểm (C ) : y =  x vaø d: y = m(x-4) + d đường thẳng quay quanh điểm cố đònh A( ; 3) m thay đổi Dựa vào đồ thò (C ) d ta có : + m < (*) vô nghiệm + m = (*) có nghiệm x = + < m  (*) có hai nghiệm + < m < (*) có nghiệm + m > (*) vô nghiệm y f(x)=[9-(x^2)]^(1/2) f(x)=3 f(x)=-2x+11 f(x)=(2/7)x+(13/7) f(x)=2x-5 f(x)=4x-13 x -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 Vấn đề 2: : Giải biện luận hệ phương trình đồ thị Sử dụng dạng biện luận phương trình , ta biện luận hệ phương trình x  y 1 Ví dụ 15 : Cho hệ phương trình :  2 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm  x  y  m Giải :  x  y  (1)    x  y  m (2)  + Nếu m < phương trình (2) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm + Nếu m = phương trình (2) có nghiệm (0;0) nên hệ vô nghiệm + Nếu m > (1) biểu diễn cạnh hình vuông ABCD với A( -1;0) , B(0;1) , C(1;0) , D( 0;-1) (2) biểu diễn đường tròn tâm O , bán kính R = m  Khoảng cách từ O đến đỉnh hình vuông  Khoảng cách từ O đến cạnh hình vuông 2 Hệ phương trình có nghiệm  đường tròn tâm O có bán kính R = cạnh hình vuông ABCD  y 2.5 m có điểm chung với  m 1  m 1 2 f(x)=[1-(x^2)]^(1/2) y f(x)=-[1-(x^2)]^(1/2) f(x)=[(1/2)-(x^2)]^(1/2) f(x)=-[(1/2)-(x^2)]^(1/2) f(x)=x+1 f(x)=x-1 f(x)=1-x f(x)=-1-x 1.5 B 0.5 A -2.5 -2 -1.5 C O -1 -0.5 0.5 1.5 x 2.5 x -0.5 -1 -1.5 D -2 -2.5 Ví dụ 16: Tìm giá trò a để hệ phương trình sau có hai nghiệm :  x  y  2(1  a )  ( x  y )  Giải : * Nếu + a  hệ vô nghiệm  Nếu a > -1 (1)  x  y  2(1  a ) phương trình đường tròn tâm O , bán kính R= 2(1  a ) x  y  (2)  ( x  y )    biểu diễn hai đường thaúng  x  y  2 d1 : x + y = vaø d2 : x + y = - d( O , (d1)) = = d( O , (d2)) Hệ phương trình có hai nghiệm  đường tròn tâm O bán kính R= d2  2(1  a ) =  a=0 2(1  a ) tiếp xúc với d1 y f(x)=2-x f(x)=-2-x f(x)=[2-(x^2)]^(1/2) 2.5 f(x)=-[2-(x^2)]^(1/2) d1 1.5 d2 0.5 O -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 x 0.5 1.5 2.5 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 x  ay  a  Ví dụ 17: Cho hệ phương trình  2 x  y  x  (*) Tìm tất giá trò a để hệ có nghiệm phân biệt Giải : Hệ cho viết lại : (1) x  a ( y  1)   (*)   2 (2) ( x  )  y  Ta nhận thấy (1) phương trình đường thẳng, qua điểm cố đònh (0;1) (2) phương trình 1 đường tròn có tâm I( ;0) bán kính R = Do số 2 giao điểm đường thẳng đường tròn số nghiệm Vậy để hệ phương trình có nghiệm phân biệt : d(I ;d) =  m.0  m 1 m <  g(x) đồ thò (C ) : y = f(x) nằm phía đồ thò (C/ ) : y = g(x) Ví dụ 20 : a/ Khảo sát vẽ đồ thò (C ) : y = 3x – x3 b/ Vẽ đồ thò hàm số : y = x c/ Dùng đồ thò để giải bất phương trình : 3x – x3 > x Giải a/ + D = R  x  1  y  2 + y / = – 3x2 , y / =    x  y  + y// = -6x , y// =  x= nên gốc tọa độ điểm uốn BXD : x - y// (C) + lõm 0 - + ĐU lồi + BBT : x - y/ + y - -1 -2 CT + CÑ + - - + ÑÑB: x y -2 -1 -2 0 2 -2 y f(x)=3x-(x^3) f(x)=2x f(x)=-2x f(x)=2 f(x)=-2 (C/ ) x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -2 -4 -6 (C ) -8 c/ Dùng đồ thò để giải bất phương trình : 3x – x3 > x Đồ thò (C ) : y = 3x – x3 cắt đường thẳng y = 2x gốc tọa độ A(1;2), (C ) cắt đường thẳng y = - 2x gốc tọa độ B(- ; ).Do tập nghiệm bất phương trình : 3x – x3 > x laø S = ( -  ; - )  (0;1) Ví dụ 21: x  y  12  a Cho hệ bất phưong trình  x  12  y  a Tìm a để hệ có nghiệm Giải Nghiệm bất phương trình (1) điểm nằm đường tròn tâm O2(0;-1) bán kính R2 = a (như hình vẽ) Nghiệm bất phương trình (2) điểm nằm đường tròn tâm O1(-1;0) bán kính R1 = a Vậy hệ có nghiệm : R1 + R2 = O1O2 1 (*) 2 Hay : a = 0  12    02  a  Ví dụ 22: Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm  x  y  xy  m   *  x  y   Giải Heä cho viết thành  xy  m   x  y  x  y  2 xy  m  1  x  y 2   x  y  ( x  1)  ( y  1)  m  2 xy  m   x  y  x  xy  y    x  y   x  y   1  2 Xét hệ toạ độ trực chuẩn oxy Nhận xét : điểm M(x;y) thỏa mãn (1) điểm nằm đường tròn tâm I(1;1) bán kính R = m  (như hình vẽ) , điểm M(x;y) thỏa mãn (2) miền gạch chéo đường thẳng x +y =1 Vậy hệ có nghiệm R = OH , 2 Maø OH = ( áp dụng đktx) : m   2  m   laø ycbt MỘT SỐ BÀI TẬP CHO HỌC SINH Baøi : a/ Khảo sát vẽ đồ thò (C ) hàm soá : y = 2x + x 1 b/ Dùng (C ) biện luận theo m số nghiệm phương trình :2x x  - m x  + = c/ Biện luận theo m số nghiệm phương trình :2cosx cos x  - m cos x  + = với  2 x 3 Bài : a/ Khảo sát vẽ đồ thò (C ) : y = -x3 + 3x2 – b/ Viết phương trình tiếp tuyến (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - 9x + k c/ Tùy theo tham số k , biện luận số giao điểm (C ) d Bài : Tìm giá trò m cho phương trình : x + x   mx  có hai nghiệm Bài : Cho phương trình : sin2x + sin2 3x – m cos2 2x = (*) a/ Giải phương trình (*) m = ? b/ Tìm m để phương trình (*) có nghiệm Bài : a/ Khảo sát vẽ đồ thò (C ) : y = x4 – 4x3 + b/ Duøng (C ) biện luận theo m số nghiệm phương trình : x4 – 4x3 + 8x – m + = Bài : Tìm k để phương trình sau có nghiệm phân biệt : ( x – 1)2 = x  k Bài : Cho hệ phưong trình ax  y  5a    (*) x  y  y  a) Tìm tất giá trò a để hệ có nghiệm phân biệt b) Gọi A(x1 ; y1) , B(x2 ; y2 ) laø nghiệm hệ Tìm a để độ AB đạt giá trò lớn  x2  y  Bài : Cho hệ phương trình:  Xác đònh giá trò a để: x  y  a  a) Hệ phương trình vô nghiệm b) Hệ phương trình có nghiệm c) Hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt  x  y  mx  my  m   Bài : Cho hệ phương trình :  Giả sử  x1 , y1  ;  x2 , y2  nghiệm x  y   2 hệ Đặt A   x1  x2    y1  y2  Tìm m để a) A đạt giá trò lớn b) A đạt giá trò nhỏ Baứi 10 : Tìm a để hệ sau có nghiÖm nhÊt 2  x  y  y   a  x  y  x  a)  b)  2  x  y  a   x  y  x   a 2 ( x  2)  y  m c)  2  x  ( y  2)  m  x  y  x  Bài 11 : T×m m ®Ĩ hƯ sau cã hai nghiƯm   x  my  m  2  x  y   a Baøi 12 : Tìm a để hệ sau có nghiệm: a)  x  y  a log x2  y ( x  y )  b)   x  y  a ( x  1)  ( y  1)  Bài 13 : Cho hƯ  T×m m ®Ĩ hƯ nghiƯm ®óng víi mäi x   ; 2  x  y  m  Bài 14 : Cho c¸c sè thùc a, b, c, d, x, y thỏa mãn điều kiện: a2 + b2 - 4a - 6b + 12 = 0, c2 + d2 + 6c - 2d + = 0, x - y = Hãy tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc F = ( x  a )  ( y  b)  ( x  c )  ( y  d ) (2m  1) x  2my  5m   Baøi 15 : Cho hệ phương trình:  Tìm m để hệ có hai nghieäm 2 x  y  6x  y  2 ( x1 ; y1 ) ; ( x2 ; y2 ) cho E   x1  x2    y1  y2  đạt giá trò lớn Bài 16 : Giải biện luận hệ phương trình x  y  a)  2 x  y  a x  y  b)  2 ( x  1)  ( y  1)  a C/ PHẦN KẾT LUẬN Các toán biện luận phương trình, hệ phương trình, bất phương trình đồ thò toán phong phú, đa dạng, đòi hỏi người giải phải biết cách nhìn, nhiều toán có lời giải lời giải nhờ việc khai thác đắn đặc điểm dạng toán Nhìn lượng chất tập sách giáo khoa ít, không đủ dạng, không đủ cho em học sinh rèn luyện Trong viết nêu vài ví dụ để gợi ý phương pháp giải em cần tìm thêm tập sách tham khảo, sách luyện thi đại học để rèn luyện kỹ giải Toán dạng Hy vọng viết cầu nối giúp em nhìn vấn đề cách hệ thống hơn, khái quát hơn, làm hành trang cho em kỳ thi Kết thực : Trong trình giảng dạy cho học sinh trường THPT áp dụng sáng kiến từ lớp 10 lớp 12 Khi dạy cho học sinh vấn đề này, thấy em thích thú, gặp đề tương tự em vận dụng cách giải cách linh hoạt, có đề em lại giải nhiều cách khác Mặt khác trình theo dõi đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng thấy nhiều đề thi liên quan đến sáng kiến có nhiều học sinh giảng dạy áp dụng sáng kiến thi đạt kết cao Kiến nghò : Nhiệm vụ hàng đầu người giáo viên dạy Toán cho học sinh yêu thích môn Toán, chăm nghe giảng dạy đạt kết cao kỳ thi Hiện có nhiều học sinh cảm thấy môn Toán trừu tượng, khó hiểu, liên quan đến đời sống thực Do trực tiếp giảng dạy môn Toán cố gắng tìm phương pháp hay để em tiếp cận vấn đề Toán học dễ dàng Sáng kiến phần nhỏ suy nghó tôi, hy vọng q thầy cô tìm kiếm nhiều phương pháp hay, trực quan, dễ hiểu để học sinh ngày giỏi hơn, thi đậu nhiều Rất mong nhận ý kiến đóng góp q thầy cô để viết hoàn hảo TÀI LIỆU THAM KHẢO 1/ Sách Giải Tích 12 trường chuyên Lê Hồng Phong 2/ Sách giải toán Khảo sát hàm số Nguyễn Trọng Khâm – Nguyễn Cam 3/ Chuyên đề khảo sát hàm số Ngô Tấn Lực 4/ Các phương pháp kỹ thuật đặc biệt giải toán THPT Nguyễn văn Q 5/ 15 phương pháp chuyên đề Tam thức bậc hai ứng dụng đặc sắc NHẬN XÉT _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Kính thưa q thầy cô ban giám khảo anh chò em đồng nghiệp Khảo sát hàm số ứng dụng khảo sát hàm số phần quan trọng chương trình lớp 12, đề thi đại học Một ứng dụng khảo sát hàm số biện luận số nghiệm phương trình đồ thò Đây dạng toán hay, có ích cho học sinh, không cho học sinh lớp 12 mà kể cho học sinh lớp 10, 11 Rất nhiều toán muốn biện luận số nghiệm phương trình, bất phương trình theo tham số m, dùng phương pháp đại số em gặp nhiều khó khăn phải xét nhiều trường hợp, dùng đồ thò toán trở nên đơn giản, dễ thấy Đó lý chọn đề taiø Nội dung đề tài gồm ba phần : Phần : Dùng đồ thò (C ) : y = f(x) để biện luận số nghiệm phương trình (1) cho tưởng phần ta biến đổi cho vế phương trình (1) phương trình đồ thò (C ) vế lại rơi daïng sau : daïng : f(x) = m , dạng : f(x) = g(m) g(m) biểu thức theo m , dạng : f(x) = f(m) Ở ba dạng pt (1) pthđgđ đồ thò (C ) vối đường thẳng d , d cuùng phương Ox Ba dạng ta thường gặp đề thi tốt nghiệp đại học ( Ví dụ đề đại học khối A năm 2002 cho dạng ) Dạng : f(x) = ax + b đường d : y = ax +b có a không đổi nên b thay đổi đường d song song với , dạng : f(x) = ax + b đường d : y = ax +b có hệ số góc thay đổi qua điểm A cố đònh Cả hai dạng 4,5 để biện luận số nghiệm pt ta tìm điều kiện cho d tiếp xúc với (C ) , sau dựa vào tiếp tuyến ta chia trường hợp để biện luận Cả hai dạng 4,5 không nằm SGK ứng dụng chúng biện luận hệ pt , hệ bất pt nhiều Phần : ứng dụng đồ thò hệ pt đại số Đối với hệ pt đại số ta xác đònh miền nghiệm pt hệ , miền nghiệm chúng miền mặt phẳng giới hạn số đối tượng hình học quen thuộc đường thẳng ,đường tròn , elip, hypebol , Parabol việc xét vò trí tương đối đối tượng xuất hệ ta tìm lời giải cho toán ( đưa ví dụ hệ pt) Phần ứng dụng đồ thò giải bất pt , hệ bất pt Đối với bất pt f(x) > g(x) bất pt có nghiệm khoảng mà khoảng đồ thò (C ) : y = f(x) nằm đồ thò (C/ ) : y = g(x) Ví dụ …… Ý ù tưởng giải hệ bất pt giống pt bất pt Khi ứng dụng đề tài biện luận hệ pt hệ bất pt thấy em học sinh hứng thú , đề tài sâu vào việc giúp học sinh có kỹ giải nhanh xác loại toán biện luận số nghiệm pt , hệ pt , bất pt ... x - y// (C) + lõm 0 - + ĐU lồi + BBT : x - y/ + y - -1 -2 CT + CÑ + - - + ÑÑB: x y -2 -1 -2 0 2 -2 y f(x)=3x-(x^3) f(x)=2x f(x) =-2 x f(x)=2 f(x) =-2 (C/ ) x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -2 -4 ... : x - y// - (C) + BBT : lồi x - y/ + ĐU + y + 0 CĐ lõm - + + + -3 CT - + ÑÑB: x -1 y -3 -1 -3 y f(x)=x^ 3-3 x^2+1 f(x) =-3 f(x)=1 (C ) f(x)=5 d d x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -2 d -4 -6 -8 ... = BXD : x - y// (C) + loõm 0 + - ĐU lồi + BBT : x - y/ + y -1 - CÑ + CT + - - + ÑÑB: x y -2 -1 0 y f(x)=-x^3+3x+2 f(x)=4 f(x) =-3 d (C ) -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 x -2 -1 d -2 -4 -6 -8 b/ Đặt