Môn: Chuyên đề DUNG LƯỢNG CỦA CÁC KÊNH FADING VỚI THƠNG TIN KÊNH BÊN Tóm tắt – Chúng tơi thu giới hạn Shannon kênh fading với thông tin kênh bên đầu thu phát riêng đầu thu Nguồn cấp tối ưu trường hợp trước hàm “water-pouring“ theo thời gian, tương tự hàm water-pouring tần số cho kênh fading chọn tần bất biến theo thời gian Đảo kênh khiến dung lượng giảm mạnh điều kiện fading lớn Từ khóa – Dung lượng, thông tin kênh bên, kênh fading, điều chỉnh công suất I Giới thiệu Nhu cầu ngày tăng giao tiếp không dây khiến việc xác định giới hạn dung lượng kênh fading trở nên quan trọng Trong viết này, thu dung lượng kênh fading người dùng mức fading kênh theo dõi đầu thu đầu phát với đầu thu Cụ thể, chứng tỏ dung lượng kênh fading với thông tin kênh bên đầu thu đầu phát đạt mức tối ưu đầu phát điều chỉnh công suất, tốc độ liệu sơ đồ mã hóa theo thay đổi kênh Năng lượng phân phát tối ưu với thuật toán water-pouring theo thời gian, tương tự thuật toán water-pouring sử dụng để đạt mức giới hạn kênh fading chọn tần số [1], [2] Chúng chứng tỏ với fading độc lập phân bố (independent and identically distributed – i.i.d), với phân bố fading mà quan sát, sử dụng thơng tin kênh bên đầu thu có độ phức tạp thấp dung lượng ước tính đạt mức tương tự điều chỉnh tối ưu theo kênh Tuy nhiên, với fading tương quan, dung lượng bị giảm độ phức tạp mã hóa giải mã tăng lên không thực điều chỉnh đầu phát Chúng xem xét hai kĩ thuật gần tối ưu để thay đổi công suất phát giữ nguyên tốc độ phát kênh đảo ngược kênh đảo ngược cắt ngắn Các kĩ thuật có mã hóa giải mã đơn giản dung lượng giảm mạnh mức fading cao Phân tích dung lượng kĩ thuật bỏ qua ảnh hưởng lỗi ước tính độ trễ khiến cho dung lượng giảm Cân hai kĩ thuật điều chỉnh không điều chỉnh trên, ta có kĩ thuật đạt mức dung lượng cao mức độ phức tạp thấp Giả sử kênh ước lượng đầu thu, kĩ thuật điều chỉnh cần có lối phản hồi đầu thu đầu phát đầu phát phức tạp Kĩ thuật thay đổi tối ưu có tốc độ công suất phát thay đổi, mức độ phức tạp kĩ thuật giải mã tương đương với việc giải mã chuổi kênh nhiễu trắng cộng Gausse (Additive white Gaussian noise - AWGN) song song Đối với kĩ thuật không điều chỉnh, thiết kế mã hóa cần sử dụng thống kê tương quan kênh, mức độ phức tạp giải mã tỉ lệ thuận với mức giảm tương quan kênh Kĩ thuật điều chỉnh tối ưu ln có dung lượng tối đa mức tăng so với truyền liễu kĩ thuật không điều Môn: Chuyên đề chỉnh với thông tin bên đầu thu fading gần i.i.d nhỏ Kĩ thuật điều chỉnh gần tối ưu giảm thiểu độ phức tạp dung lượng bị giảm Kĩ thuật cân tốc độ truyền liệu độ phức tạp nghiên cứu với module hóa điều chỉnh khơng điều chỉnh [3] Trong module hóa điều chỉnh đạt tốc độ liệu trung bình khoảng 7-10 dB dung lượng, tùy thuộc vào tỉ lệ lỗi yêu cầu Trong đó, module hóa khơng điều chỉnh có tốc độ liệu bị giảm nhiều Mã hóa dạng lưới mắt cáo kết hợp với module hóa điều chỉnh để đạt tốc độ cao [4] Ta không xét đến trường hợp đầu thu đầu phát chưa biết mức fading kênh Dung lượng trường hợp thu cho kênh Gilbert-Elliot [5] cho mơ hình kênh Markov tổng quát [6] Nếu ta chưa biết thống kê thay đổi kênh, kênh với fading sâu thường có dung lượng gần không Điều liệu phải giải mã mà khơng có lỗi Điều khó đạt vị trí chỗ sâu fading ngẫu nhiên Cụ thể, dung lượng kênh fading với thay đổi ngẫu nhiên cao dung lượng kênh không biến thiên theo thời gian trường hợp điều kiện fading xấu Chi tiết dung lượng kênh biến đổi theo thời gian điều kiện đề cập [7] [8] Phần lại viết trình bày sau Phần mơ tả mơ hình hệ thống Phần III đề cập đến dung lượng kênh fading điều kiện thông tin bên khác Phần IV tính tốn số học dung lượng fading Rayleigh, logarithm chuẩn Nakagami Kết luận cuối tổng hợp phần cuối II Mơ hình hệ thống Hình Mơ hình hệ thống Xét kênh thời gian rời rạc với mức tăng biến thiên theo thời gian với AWGN Giả sử mức tăng công suất độc lập với đầu vào kênh có giá trị mong muốn hợp Gọi cơng suất truyền tín hiệu trung bình, mật độ nhiễu băng thơng tín hiệu nhận Mức tín hiệu/nhiễu (Signal-to-noise ratio - SNR) nhận giá trị mong muốn trung bình Mơ hình hệ thống để gửi tin đầu vào từ đầu phát đến đầu thu minh họa Hình Bản tin mã hóa từ mã x gửi qua kênh biến thiên thời gian Môn: Chuyên đề thời điểm Mức tăng kênh biến thiên trình truyền tải từ mã Giả sử thời gian truyền liệu để đầu thu biết thời điểm Ta cần xem xét trường hợp đầu thu đầu phát biết thời điểm , liệu truyền qua đường truyền khơng lỗi khơng có độ trễ phản hồi Điều cho phép phát thay đổi theo mức tăng kênh thời điểm , tạo nên mơ hình hợp lý cho kênh biến thiên chậm với ước lượng kênh truyền phản hồi đầu phát Hình Mã hóa giải mã ghép kênh III Phân tích dung lượng A Thơng tin bên đầu thu đầu phát Giả sử đầu thu đầu phát biết mức tăng thời điểm Dung lượng của kênh biến thiên theo thời gian với thông tin kênh bên trạng thái kênh đầu thu đầu phát đề cập đến lần đầu Wolfowitz cho mơ hình sau Gọi trình ngẫu nhiên dừng ergodic biểu diễn trạng thái kênh Gọi C δ dung lượng kênh cụ thể , xác suất phần thời gian kênh trạng thái s Dung lượng kênh biến thiên thời gian cho [9, định lý 4.6.1] Xét dung lượng kênh fading Hình Cụ thể, giả sử kênh fading AWGN với mức tăng dừng ergodic g[i] Một kênh biến thiên thời gian AWGN với SNR trung bình có dung lượng Gọi biểu thị phân bố xác suất SNR nhận Từ (1), ta có dung lượng kênh fading với thơng tin bên đầu thu đầu phát Từ bất đẳng thức Jensen, suy (2) nhỏ dung lượng kênh AWGN với cơng suất trung bình tương tự Giả sử ta cho công suất phát biến thiên với , ta có Với điều kiện thêm này, ta áp dụng trực tiếp (2) để tính dung lượng Tuy nhiên, ta muốn dung lượng với điều kiện cơng suất trung bình trung bình dung lượng tính từ (2) với cơng suất phân bố tối ưu theo thời gian Từ đây, ta có định nghĩa cho dung lượng kênh fading, từ ta chứng minh định lý mã hóa kênh ngược lại Mơn: Chun đề Định nghĩa: Cho điều kiện cơng suất trung bình (3), dung lượng kênh biến thiên thời gian xác định Định lý mã hóa kênh cho biết ta đạt dung lượng này, ngược lại ta chứng minh đạt mã với tốc độ cao với xác suất lỗi nhỏ tùy ý Hai định lý nêu phần phụ lục Định lý mã: Tồn sơ đồ mã hóa với cơng suất trung bình S đạt tốc độ với xác suất lỗi nhỏ tùy ý Ngược lại: Bất kì sơ đồ mã hóa với có xác suất lỗi lớn khơng Có thể dễ dàng chứng minh hàm cơng suất để tối đa hóa (4) với giá trị cắt Nếu giá trị cắt này, khơng có liệu truyền khoảng thời gian thứ Vì biến thiên theo thời gian, quy tắc điều chỉnh công suất tối đa (5) công thức water-pouring theo thời gian [1] phụ thuộc vào thống kê fading thông qua giá trị cắt Thay (5) vào (3), ta thấy phải thỏa mãn Thay (5) vào (4) ta công thức tính dung lượng có nghiệm đóng Mã hóa giải mã kênh đạt dung lượng mô tả phần phụ lục Tuy nhiên ý tưởng tạo hệ thời gian phân kỳ với đầu vào ghép kênh đầu tách kênh ta thấy Hình Cụ thể, ta lượng tử hóa phạm vi giá trị fading thành tập hữu hạn Cho độ dài khối n, ta thiết kế cặp mã hóa giải mã cho với từ khóa cơng suất trung bình để đạt tốc độ , dung lượng kênh AWGN biến thiên theo thới gian với SNR nhận Các cặp mã hóa/giải mã tương ứng với tập cổng vào liên kết với Khi , cặp cổng tương ứng kết nối thông qua kênh Các từ mã liên kết với nhờ ghép kênh với để truyền liệu tách kênh đầu Nhờ ta giảm kênh biến thiên theo thời gian thành tập kênh bất biến theo thời gian song song cách hiệu quả, kênh thứ hoạt động Tốc độ trung bình kênh tổng tốc độ liên kết với kênh tính Điều vẽ cách chứng minh cho định lý mã hóa Chi tiết viết phần phụ lục với định lý ngược lại tốc độ tối đa sơ đồ mã hóa B Thơng tin bên đầu thu Ở [10], người ta chứng minh biến thiên kênh thỏa mãn điều kiện tương thích dung lượng kênh với thông tin bên riêng đầu thu tính cơng thức dung lượng trung bình (2) Điều kiện tương thích thỏa mãn chuỗi kênh i.i.d phân bố đầu vào để tối đa hóa thơng tin chung trạng thái kênh Trong trường hợp này, với công suất phát không đổi, thông tin bên đầu phát không làm tăng thêm dung lượng Ta chứng minh Nếu giải mã ta biết theo kích thước, kênh fading với mức tăng công suất tương đương kênh AWGN với lượng nhiễu Nếu công suất phát cố định Mơn: Chun đề i.i.d phân bố đầu vào thời điểm đạt dung lượng tối đa phân bố Gausse i.i.d với công suất trung binh Do vậy, không điều chỉnh công suất, kênh fading AWGN thỏa mãn điều kiện tương thích [10] Dung lượng kênh với fading i.i.d thơng tin bên riêng đầu thu Công thức giống với (2), dung lượng với thông tin bên đầu thu đầu phát khơng có điều chỉnh cơng suất Thiết kế mã trường hợp chọn ngẫu nhiên từ nguồn Gausse i.i.d với biến thiên với cơng suất tín hiệu Bộ giải mã hợp lí cực đại theo dõi vector đầu kênh chọn từ mã để giảm tối thiểu khoảng cách Euclid Do với fading i.i.d công suất phát không đổi, thông tin bên đầu phát không tăng thêm dung lượng cặp mã hóa/giải mã dựa thơng tin bên riêng đầu thu đơn giản kĩ thuật điều chỉnh ghép kênh Hình Tuy nhiên, hầu hết kênh vật lý có fading tương quan Nếu fading khơng phải i.i.d (8) ngưỡng dung lượng kênh Thêm vào đó, khơng có thơng tin bên đầu phát, thiết kế mã phải kết hợp thống kê tương quan kênh Độ phức tạp giải mã hợp lí cực đại tỉ lệ thuận với thời gian giảm tương quan Hình Dung lượng điều kiện fading logarit chuẩn () Môn: Chuyên đề C Đảo kênh Xét lược đồ điều chỉnh gần tối ưu đầu phát phát sử dụng thơng tin kênh bên để giữ mức lượng nhận không đổi, tức đảo kênh fading Khi mã hóa giải mã, kênh kênh AWGN bất biến theo thời gian Điều chỉnh cơng suất cho đảo kênh , với SNR khơng đổi nhận nhờ có điều kiện cơng suất phát (3) Hằng số thỏa mãn , nên Dung lượng kênh fading với đảo kênh dung lượng kênh AWGN với SNR : Đảo kênh phổ biến hệ trải phổ với bất cân giao thoa gần-xa [11] việc thực đơn giản mã hóa giải mã thiết kế cho kênh AWGN, độc lập với thống kê fading Tuy nhiên, môi trường fading lớn, dung lượng bị giảm mạnh Ví dụ, fading Rayleigh vơ hạn, dung lượng đảo kênh khơng Ta xét quy tắc đảo cắt để bù lại cho fading mức cắt định Vì kênh sử dụng , điều kiện công suất (3) cho , Để giải mã quy tắc này, thu phải biết Dung lượng tối đa trường hợp đạt tối đa hóa tất Mơn: Chun đề Hình Dung lượng fading Rayleigh IV Kết Hình 3-5 cho thấy đồ thị (4), (8), (9) (12) hàm SNR trung bình nhận với fading logarit chuẩn tắc (độ lệch chuẩn ), fading Rayleigh fading Nakagami (với tham số Nakagami ) Dung lượng AWGN cho cơng suất trung bình biểu thị để so sánh Có thể quan sát thấy vài điểm đáng ý sau Đầu tiên, với phạm vi giá trị SNR này, dung lượng kênh AWGN lớn nên fading làm giảm dung lượng kênh Trường hợp không luôn xảy với SNR nhỏ Mức nghiêm trọng fading biểu thị tham số Nakagami , fading Rayleigh kênh AWGN khơng có fading Do đó, so sánh Hình 5, ta thấy mức fading giảm xuống ( tăng từ đến 2), hiệu dung lượng quy tắc điều chỉnh khác giảm Dung lượng tương ứng tiến gần đến dung lượng kênh AWGN Khác biệt đường dung lượng (4) (8) không đáng kể trường hợp Cần nhớ (2) (8) nhau, nghĩa tốc độ truyền liệu điều chỉnh theo kênh, công suất điều chỉnh, mức dung lượng tăng lên không đáng kể Điều với fading i.i.d., điều chỉnh đầu phát tăng dung lượng không đáng kể so với sử dụng thông tin kênh bên Ta thấy điều kiện fading lớn (fading Rayleigh fadin logarit chuẩn tắc), tốc độ đảo kênh cắt bị Môn: Chuyên đề giảm từ 1-5 dB dung lượng đảo kênh không cắt bị giảm mạnh Tuy nhiên, điều kiện fading thấp (fading Nakagami với ) khác biệt dung lượng tất kĩ thuật nằm khoảng dB so với kĩ thuật khác nằm khoảng dB dung lượng kênh AWGN Sự khác biệt giảm fading giảm dần () Hình Dung lượng fading Nakagami Ta xem kết cân dung lượng độ phức tạp Quy tắc điều chỉnh với thông tin bên đầu phát yêu cầu đầu phát phức tạp (và thường yêu cầu lối phản hồi đầu thu đầu phát để thu thập thông tin bên) Tuy nhiên, giải mã đầu thu đơn giản Quy tắc không điều chỉnh có lược đồ truyền liệu đơn giản, thiết kế mã lại phải sử dụng thống kê tương quan kênh (thường không biết), độ phức tạp giải mã tỉ lệ thuận với thời gian giảm tương quan kênh Quy tắc đảo kênh đảo kênh cắt sử dụng mã thiết kế cho kênh AWGN nên phức tạp dung lượng lại bị giảm mạnh điều kiện fading lớn so với kĩ thuật khác Nói chung, phân tích giới hạn Shannon khơng cách thiết kế kỹ thuật điều chỉnh hay không điều chỉnh cho hệ thống thật Tốc độ đạt cho điều chế biên cầu phương mã hóa dạng lưới mắt cáo (Quadrature amplitude modulation - QAM) điều chỉnh nghiên cứu [4] Trong mã dạng mắt cáo bốn trạng thái đơn Môn: Chuyên đề giản kết hợp với sáu QAM kết hợp đạt tố độ khoảng dB dung lượng (4) Hình Với mã phức tạp kết hợp khác đạt đến gần mức giới hạn dung lượng Shannon khoảng vài dB V Kết luận Chúng ta xác định dung lượng kênh fading AWGN với điều kiện cơng suất trung bình điều kiện thơng tin kênh bên khác Khi thông tin bên trạng thái kênh biết đầu phát đầu thu, lược đồ truyền liệu điều chỉnh tối ưu sử dụng công thức water-pouring theo thời gian để điều chỉnh công suất lược đồ mã hóa ghép kênh biến thiên tốc độ Trong kênh có fading tương quan, lược đồ truyền liệu điều chỉnh vừa có dung lượng thấp phức tạp so với truyền liệu không điều chỉnh với thông tin bên đầu thu Tuy nhiên, dung lượng tăng lên mức độ phức tạp fading i.i.d so với kĩ thuật truyền liệu không điều chỉnh không đáng kể Kĩ thuật đảo kênh có mã hóa giải mã đơn giản có dung lượng thấp điều kiện fading lớn Dung lượng tất kĩ thuật tiến gần đến mức dung lượng kênh AWGN mức fading giảm dần Phụ lục Ta chứng minh dung lượng kênh biến thiên theo thời gian Phần II tính cơng thức (4) Trước hết ta chứng minh định lý mã hóa, sau chứng minh phần ngược lại Định lý mã hóa: Gọi hàm (4) Với tồn chuỗi khối mã với cơng suất trung bình S, tốc độ , xác suất lỗi Chứng minh: Với cố định , gọi tập hữu hạn giá trị SNR, giá trị cắt liên kết với quy tắc điều chỉnh cơng suất tối ưu cho cơng suất trung bình S (gọi (5) Phần III-A) SNR nhận kênh fading nhận giá trị khoảng giá trị rời rạc tập khoảng với độ rộng bước Ta nói kênh fading trạng thái , Ta định nghĩa quy tắc điều chỉnh lượng liên kết với trạng thái sau Trong khoảng thời gian cho trước , gọi số lần truyền liệu khoảng thời gian kênh trạng thái Với biến thiên dừng ergodic kênh Xét kênh AWGN bất biến theo thời gian với SNR công suất phát Với cho trước, gọi với n đủ lớn Từ cơng thức Shannon [12], với ta tạo chuỗi mã Môn: Chuyên đề với cơng suất trung bình xác suất lỗi Chỉ số tin truyền qua kênh Hình sau Trước hết ta ánh xạ với số cách chia bit xác định số tin thành tập gồm bit Sau ta sử dụng phương pháp ghép kênh mô tả Phần III-A để truyền từ mã kênh trạng thái Trong đoạn ta sử dụng kênh thứ lần Nhờ ta đạt tốc độ truyền liệu Cơng suất phát trung bình mã ghép kênh Từ (14) (15), dễ dàng thấy Vậy nên, với cố định, ta tìm n đủ lớn để Hơn nữa, quy tắc điều chỉnh công suất thỏa mãn điều kiện công suất với n gần đủ lớn Trong a có từ (14) Ta có b với c có từ (3) Vì SNR kênh trình truyền liệu mã lớn , xác suất lỗi lược đồ mã hóa ghép kênh bị chặn nghĩa với kênh j liên quan Do ta cần chứng minh với không đổi tồn m M cho Dễ dàng chứng minh Trong giới hạn hữu hạn suy từ phải lớn không để thỏa mãn (6) Vậy nên với không đổi tồn cho Hơn nữa, với M không đổi, từ định luật hội tụ đơn điệu [13] ta có Do dùng từ (23) kết hợp (23) với (24) ta thấy với cho trước tồn số m đủ lớn để Như ta chứng minh định lý Định lý đảo: Bất kì chuỗi mã với cơng suất trung bình S xác suất lỗi phải có Chứng minh: Xét chuỗi gồm mã với công suất trung bình Giả sử mã thiết kế biết trước thơng tin kênh bên tac biết thời điểm Giả sử số tin phân bố Ta có Trong a có từ định luật xử lý liệu [14] giả sử thông tin kênh bên b có từ bất đẳng thức Fano Gọi số lần kênh có mức fading khoảng thời gian Gọi cơng suất trung bình liên kết với mức fading Ta có 10 Mơn: Chun đề Cơng suất phát trung bình tất từ mã với mức fading Ta định nghĩa Từ ta có Trong a kênh không nhớ điều kiện , b có từ bất đẳng thức Jensen c có thông tin chung tối đa kênh AWGN với băng thông B SNR Kết hợp (26) (28) ta có Từ giả thiết, từ mã thỏa mãn điều kiện cơng suất trung bình nên với ta có Do ta có Hơn nữa, nhận giá trị không gian thu gọn nên ta có chuỗi hội tụ Vì thỏa mãn điều kiện cơng suất trung bình nên Chia (29) cho n, ta có Từ giới hạn vế phải (31) với chuỗi ta có với định nghĩa (30), thỏa mãn điều kiện cơng suất trung bình 11 ... thái kênh Gọi C δ dung lượng kênh cụ thể , xác suất phần thời gian kênh trạng thái s Dung lượng kênh biến thiên thời gian cho [9, định lý 4.6.1] Xét dung lượng kênh fading Hình Cụ thể, giả sử kênh. .. chỗ sâu fading ngẫu nhiên Cụ thể, dung lượng kênh fading với thay đổi ngẫu nhiên cao dung lượng kênh không biến thiên theo thời gian trường hợp điều kiện fading xấu Chi tiết dung lượng kênh biến... biết mức fading kênh Dung lượng trường hợp thu cho kênh Gilbert-Elliot [5] cho mơ hình kênh Markov tổng qt [6] Nếu ta chưa biết thống kê thay đổi kênh, kênh với fading sâu thường có dung lượng gần