TÀI LIỆU ôn THI vào 10 TOÁN

33 73 0
TÀI LIỆU ôn THI vào 10 TOÁN

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Tài liệu ôn thi vào 10 Nội dung Phần I: Các vấn đề Toán Vấn đề 1: Rút gọn biểu thức chứa - Kiến thức cần nhớ - Một số tốn có lời giải - Một số tập tự luyện Vấn đề 2: Phương trình bậc hai ẩn số - Kiến thức cần nhớ - Một số tập có lời giải - Một số tập tự luyện Vấn đề 3: Hàm số đồ thị bậc – Bậc hai - Một số kiến thức cần nhớ - Một số tập có lời giải - Một số tập tự luyện Vấn đề 4: Giải toán cách lập phương trình–Hệ PT - Kiến thức cần nhớ - Một số tập có lời giải - Một số tập tự luyện Vấn đề 5: Hệ phương trình bậc hai ẩn số - Kiến thức cần nhớ - Một số tập có lời giải - Một số tập tự luyện Vấn đề 6: Bất đẳng thức – Giá trị Min – Max biểu thức - Một số tập tiêu biểu có lời giải Vấn đề 7: Hình học phẳng khơng gian - Kiến thức cần nhớ - Một số tập có lời giải Phần II : Một số đề thi tiêu biểu có đáp án biểu điểm Phần III: Một số đề thi tự luyện theo cấu trúc đề thường gặp PHẦN I: CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TOÁN Tài liệu ôn thi vào 10 VẤN ĐỀ I: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI A Kiến thức cần nhớ: A.1 Kiến thức A.1.1 Căn bậc hai a Căn bậc hai số học - Với số dương a, số a gọi bậc hai số học a - Số gọi bậc hai số học �x �0 - Một cách tổng quát: x  a � �2 �x  a b So sánh bậc hai số học - Với hai số a b không âm ta có: a  b � a  b A.1.2 Căn thức bậc hai đẳng thức A2  A a Căn thức bậc hai - Với A biểu thức đại số , người ta gọi A thức bậc hai A, A gọi biểu thức lấy hay biểu thức dấu - A xác định (hay có nghĩa) � A �0 b Hằng đẳng thức A2  A - Với A ta có A2  A - Như vậy: + A2  A A �0 + A2   A A < A.1.3 Liên hệ phép nhân phép khai phương a Định lí: + Với A �0 B �0 ta có: A.B  A B + Đặc biệt với A �0 ta có ( A )2  A2  A b Quy tắc khai phương tích: Muốn khai phương tích thừa số khơng âm, ta khai phương thừa số nhân kết với c Quy tắc nhân bậc hai: Muốn nhân bậc hai số không âm, ta nhân số dấu với khai phương kết A.1.4 Liên hệ phép chia phép khai phương a Định lí: Với A �0 B > ta có: A  B A B b Quy tắc khai phương thương: Muốn khai phương thương a/b, a khơng âm b dương ta khai phương hai số a b lấy kết thứ chí cho kết thứ hai c Quy tắc chia bậc hai: Muốn chia bậc hai số a không âm cho số b dương ta chia số a cho số b khai phương kết A.1.5 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa thức bậc hai a Đưa thừa số dấu - Với hai biểu thức A, B mà B �0, ta có A2 B  A B , tức + Nếu A �0 B �0 A2 B  A B Tài liệu ôn thi vào 10 + Nếu A < B �0 A2 B   A B b Đưa thừa số vào dấu + Nếu A �0 B �0 A B  A2 B + Nếu A < B �0 A B   A2 B c Khử mẫu biểu thức lấy - Với biểu thức A, B mà A.B �0 B � 0, ta có A  B AB B d Trục thức mẫu - Với biểu thức A, B mà B > 0, ta có A A B  B B - Với biểu thức A, B, C mà A �0 A �B , ta có C C ( A �B )  A  B2 A �B - Với biểu thức A, B, C mà A �0, B �0 A �B , ta có C ( A � B) C  A B A� B A.1.6 Căn bậc ba a Khái niệm bậc ba: - Căn bậc ba số a số x cho x3 = a - Với a ( a )3  a3  a b Tính chất - Với a < b a  b - Với a, b ab  a b - Với a b �0 a 3a  b 3b A.2 Kiến thức bổ xung (*) Dành cho học sinh giỏi, học sinh ôn thi chuyên A.2.1 Căn bậc n a Căn bậc n ( �n �N ) số a số mà lũy thừa n a b Căn bậc lẻ (n = 2k + 1)  Mọi số có bậc lẻ  Căn bậc lẻ số dương số dương  Căn bậc lẻ số âm số âm  Căn bậc lẻ số số c Căn bậc chẵn (n = 2k )  Số âm khơng có bậc chẵn Tài liệu ôn thi vào 10  Căn bậc chẵn số số  Số dương có hai bậc chẵn hai số đối kí hiệu d Các phép biến đổi thức  2k  A.B  k 1 A.2 k 1 B với  A, B A.B  k A k B với  A, B mà A.B �0 A2 k 1.B  A.2 k 1 B với  A, B k 1 2k  A2 k  A với  A k 1 2k  A2 k 1  A với  A k 1 2k  A xác định với A A xác định với A �0 k 1 A2 k B  A k B với  A, B mà B �0 A  B k 1 2k A  B  m n  m k 1 k 1 2k A 2k B A với  A, B mà B �0 B với  A, B mà B �0, A.B �0 A  mn A với  A, mà A �0 m An  A n với  A, mà A �0 B MỘT SỐ BÀI TẬP CĨ LỜI GIẢI Bài 1: Tính: 3- a A = 2- +2 b B = + c C = + + + +3 2+ - 2 HƯỚNG DẪN GIẢI: a A = 3- 2= + +2 2( - 3) 4- +4 + +3 2+ - 2 2( + 3) +2 - 2k a  2k a Tài liệu ôn thi vào 10 2( - 3) 2( + 3) + - 1+ +1- 2( - 3)2 + 2( + 3) = 3- 24 = =- - b B = + = = = =3 = c C = + + = + + = + + =3  Bài 2: Cho biểu thức A =  x x    : x  1 x 1   x1 a) Nêu điều kiện xác định rút biểu thức A b) Tim giá trị x để A = c) Tìm giá trị lớn cua biểu thức P = A - x HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Điều kiện  x �1 Với điều kiện đó, ta có: b) Để A = Vậy x  A x  x 1 :   x 1 x 1  x 1  x 1 x x 1  � x  � x  (thỏa mãn điều kiện) x A = c) Ta có P = A - x = � �  x  � x � x x� � x 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho hai số dương ta có: x  Suy ra: P �6 1 5 Đẳng thức xảy x  Vậy giá trị lớn biểu thức P  5 x  Bài 3: 1) Cho biểu thức A  x � x x �2 x 9 x 4 Tính giá trị A x = 36 x 2 x 6 Tài liệu ôn thi vào 10 � x � x  16  � �: x  (với x �0; x �16 ) x  x  � � 2) Rút gọn biểu thức B  � � 3) Với biểu thức A B nói trên, tìm giá trị x nguyên để giá trị biểu thức B(A – 1) số nguyên HƯỚNG DẪN GIẢI: 36  10   36  1) Với x = 36 (Thỏa mãn x >= 0), Ta có : A = 2) Với x �0, x  16 ta có : � x( x  4) 4( x  4) � x  (x  16)( x  2) x2   � = � x  16 �x  16 (x  16)(x  16) x  16 � x  16 B= � � 3) Ta có: B( A  1)  x2 � x � x2 2 �  1�   � � x  16 � x  � x  16 x  x  16 Để B(A 1) nguyên, x nguyên x 16 ước 2, mà Ư(2) =  �1; �2  Ta có bảng giá trị tương ứng: x 16 1 2 x 17 15 18 14 Kết hợp ĐK x �0, x �16 , để B(A 1) nguyên x � 14; 15; 17; 18  Bài 4: Cho biểu thức: x P ( x  y )(1  y )  y x   xy    y) x 1  y  x  x  1  a) Tìm điều kiện x y để P xác định Rút gọn P b) Tìm x,y nguyên thỏa mãn phương trình P = HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Điều kiện để P xác định :; x  ; y  ; y 1 ; x  y  P     x(1   x  x )  y (1    1  x  y  x  y y )  xy x   1  y  y x y  xy  y  xy    y 1  ( x  y )  x x  y y  xy  x   y 1  y x  x  1  y  x  1  y   x    x  1  x  1  y  x 1  y  1  y   y 1  y  x  y  y  y x  1  y  1  y  x   x   x 1 y  x 1  x  xy  y y  Tài liệu ôn thi vào 10 Vậy P = x  xy  y b) ĐKXĐ: x  ; y  ; y 1 ; x  y  P =  x  xy  y =     x1   y   x  11  y  1  y 1 � x  x = 0; 1; 2; ; Ta có: + y �1  x  �1 ۣ Thay x = 0; 1; 2; 3; vào ta cócác cặp giá trị x=4, y=0 x=2, y=2 (thoả mãn) x Bài 5:Cho biểu thức M =  x  x 6 x 1 x3  x 3 2 x a Tìm điều kiện x để M có nghĩa rút gọn M b Tìm x để M = c Tìm x  Z để M  Z HƯỚNG DẪN GIẢI: M= x9 x x 6  x 1 x x 3  2 a.ĐK x 0; x 4; x 9 Rút gọn M = x  9  0,5đ  M= x   x      x  x   x 1 x x Biến đổi ta có kết quả: M = b M 5  x     x x  x    x  3 x 1  x   x   2 x x M  5   x  5 x   x  5 x  15  16 4 x 16  x  4  x 16 Đối chiếu ĐK: x 0; x 4; x 9 Vậy x = 16 M = x 1 x Tài liệu ôn thi vào 10 c M = x 1 x  x  34 x 1  x Do M  z nên x  ước  x  nhận giá trị: -4; -2; -1; 1; 2; Lập bảng giá trị ta được:  x  1;4;16;25;49 x 4  x  1;16;25;49 Bài 6: Cho biểu thức P = ( - )2 ( - ) Với a > a ≠ a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm a để P < HƯỚNG DẪN GIẢI: a) P = ( - )2 ( - ) Với a > a ≠ P( a a1 a1  ) (  ) 2 a a1 a1 a a  ( a  1)2  ( a  1)2 P( ) a ( a  1)( a  1) P( P a  a  a  1 a  a  ) a a (a  1)4 a 1 a  4a a Vậy P = 1 a Víi a > a ≠ a b) Tìm a để P < Với a > a ≠ nên >  P = <  - a <  a > ( TMĐK) Bài 7: Cho biểu thức: Q = - ( + ) : a) Rút gọn Q b) Xác định giá trị Q a = 3b HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Rút gọn: Q= -(1+): Tài liệu ôn thi vào 10 = - = - = = = b) Khi có a = 3b ta có: Q= = = Bài 8: Cho biểu thức  x3  y x  x y  y3  1  A     : y  x  y x y   x x y  xy a ) Rút gọn A; b) Biết xy = 16 Tìm giá trị x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị HƯỚNG DẪN GIẢI: Đkxđ : x > , y >  1  1  A     :  a)   x y  x y x  y    x y x  y    :   xy xy x  y     x  y    :  xy  xy     x y xy b) Ta có    A x y  xy  x  y x   xy x  y  xy  x  y  xy x x  y xy y y  0   x x y x y xy  Vậy A = Bài 9: Cho biểu thức: xy xy  xy 0 x  y 2 16 16 1  xy  y  xy x  y y  x  y x  Do  x3  y x  x y  y3 xy ( xy = 16 ) � �x  y � x  y  � xy  16 �   Tài liệu ôn thi vào 10    x     x  P   x  x   x 2  x  x  x a) Tìm điều kiện để P có nghĩa b) Rút gọn biểu thức P c) Tính giá trị P với x 3  2 HƯỚNG DẪN GIẢI:  x 0   x  0 a Biểu thức P có nghĩa :    x 0   x   0 x 0  x 1  x 1       x 2  x 2  x 3   x 3 b) Đkxđ : x 1; x  2; x 3  P       x x  x x 1 x  x x     x   x  x    2 x  x  3       x     x x 1 x 1  x 2  x  x    x  x 2  x  x   x  3 x    x  x     x   x    x    x 2 x            x  x   x  3 x      x    x 2 x x  x 1 x    x  x 1 x 1   x1     x     1 x   c) Thay x 3  2   vào biểu thức P  P 2    21  21 2  2 21 21  2 2 x x 2 1 21 Bài 10: Cho biểu thức: x 8x x 1  ):(  ) P =( 2 x 4 x x2 x x x x  , ta có: 21  1   x   Tài liệu ôn thi vào 10 *) x12  x 22  (x1  x )  2x1x  (m)  2(m  3)  m  2m  *) x13  x 32  (x1  x )3  3x1x (x1  x )  (m)3  3(m  3)(m)  m  3m  9m c/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm x1; x �  �0 Khi x12  x 22  m  2m  Do x12  x 22  � m  2m   � m  2m  15   '(m)  (1)  1.(15)   15  16  0;  (m)  => phương trình có hai nghiệm : m1  1 1  5; m   3 1 +) Với m  �   7  => loại +) Với m  3 �    => thỏa mãn Vậy với m = - phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : x12  x 22  d/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm x1; x �  �0 Thử lại : �x1  x   m �x1 x  m  Khi theo định lý Vi-et, ta có : � (a) (b) Hệ thức : 2x1 + 3x2 = (c) Từ (a) (c) ta có hệ phương trình : 3x  3x  3m x  3m  �x1  x  m � �x  3m  � �� � �1 � �1 � 2x1  3x  � 2x1  3x  x   m  x1 x  2m  � � � �x1  3m  vào (b) ta có phương trình : �x  2m  Thay � (3m  5)(2m  5)  m  � 6m  15m  10m  25  m  � 6m  26m  28  � 3m  13m  14   ( m)  132  4.3.14   13   2 2.3 => phương trình có hai nghiệm phân biệt : 13  m2   2.3 Thử lại : +) Với m  2 �   => thỏa mãn 7 25 +) Với m  �    => thỏa mãn Vậy với m  2; m   phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = e/ Phương trình (1) có nghiệm x1  3 � (3)2  m.(3)  m   � 2m  12  � m  Khi : x1  x   m � x  m  x1 � x  6  (3) � x  3 m1  Vậy với m = phương trình có nghiệm x1 = x2 = - f/ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu � ac  � 1.(m  3)  � m   � m  3 Tài liệu ôn thi vào 10 Vậy với m < - phương trình có hai nghiệm trái dấu g/ Giả sử phương trình có hai nghiệm x1; x2 Khi theo định lí Vi-et, ta có : m   x1  x �x1  x  m � �� �  x1  x  x1x  � m  x1x  �x1x  m  � Vậy hệ thức liên hệ x1; x2 không phụ thuộc vào m là: x1.x2 + (x1 + x2 ) – = Bài 3: Cho phương trình (m-1)x2 + 2x - = (1) (tham số m) a) Tìm m để (1) có nghiệm b) Tìm m để (1) có nghiệm nhất? tìm nghiệm đó? c) Tìm m để (1) có nghiệm 2? tìm nghiệm lại(nếu có)? HƯỚNG DẪN GIẢI: a) + Nếu m-1 =  m = (1) có dạng 2x - =  x = (là nghiệm) + Nếu m ≠ Khi (1) phương trình bậc hai có: ’=12- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) có nghiệm  ’ = 3m-2   m  phương trình có nghiệm 3 b) + Nếu m-1 =  m = (1) có dạng 2x - =  x = (là nghiệm) + Kết hợp hai trường hợp ta có: Với m  + Nếu m ≠ Khi (1) phương trình bậc hai có: ’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) có nghiệm  ’ = 3m-2 =  m = Khi x =  (thoả mãn m ≠ 1) 1  3 m 1 +Vậy với m = phương trình có nghiệm x = với m = 2 phương trình có nghiệm x = 3 c) Do phương trình có nghiệm x1 = nên ta có: (m-1)22 + 2.2 - =  4m – =  m = Khi (1) phương trình bậc hai (do m -1 = -1=  ≠ 0) 4 3 3  12  x 6 Theo đinh lí Viet ta có: x1.x2 = m   Tài liệu ôn thi vào 10 nghiệm lại x2 = Vậy m = Bài 4: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x - - m = a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1, x2 với m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm d) Tìm m cho nghiệm số x1, x2 phương trình thoả mãn x12+x22  10 e) Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc vào m f) Hãy biểu thị x1 qua x2 HƯỚNG DẪN GIẢI:  15  a) Ta có:  = (m-1) – (– – m ) =  m    2  ’ 2 15 1  Do  m   0 với m;    > với m 2   Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Hay phương trình ln có hai nghiệm (đpcm) b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  a.c <  – – m <  m > -3 Vậy m > -3 c) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm Khi theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) P = x1.x2 = - (m+3) Khi phương trình có hai nghiệm âm  S < P >  2( m  1)      (m  3)  m 1  m3  m   Vậy m < -3 d) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) P = x1.x2 = - (m+3) Khi A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10 Theo A  10  4m2 – 6m   2m(2m-3)    m 0   m  0      m 0    2m  0   m 0   m  3  m        m    m     m   Tài liệu ôn thi vào 10 Vậy m  m  e) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm  x1  x 2(m  1)  x  x  2m     x1 x  (m  3)  x1 x  2m  Theo định lí Viet ta có:   x1 + x2+2x1x2 = - Vậy x1+x2+2x1x2+ = hệ thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc m 8 x f) Từ ý e) ta có: x1 + x2+2x1x2 = -  x1(1+2x2) = - ( +x2)  x1   x 8 x Vậy x1   x ( x2  ) 2 Bài 5: Cho phương trình: x2 + 2x + m-1= ( m tham số) a) Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 = 1 c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn y1  x1  x ; y  x  x với x1; x2 nghiệm phương trình HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Ta có ’ = 12 – (m-1) = – m Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo  ' 0    P 1   m 0    m  1  m 2  m 2   m 2 Vậy m = b) Ta có ’ = 12 – (m-1) = – m Phương trình có nghiệm     – m   m  (*) Khi theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – (2) Theo bài: 3x1+2x2 = (3)  x1  x   x  x   Từ (1) (3) ta có:   x1  x    x  x    x1 5   x  x   2   x1 5   x  Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1  m = - 34 (thoả mãn (*)) Vậy m = -34 giá trị cần tìm d) Với m  phương trình cho có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – (2) 1 x x  2m Khi đó: y1  y  x1  x  x  x  x1  x  x x   m  1  m (m≠1) 2 Tài liệu ôn thi vào 10 y1 y ( x1  1 1 m2 )( x  )  x1 x   m   2  (m≠1) x2 x1 x1 x m m 2m m2  y1; y2 nghiệm phương trình: y y + = (m≠1) 1 m m Phương trình ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = C MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1Cho phương trình (m - 1)x2 - 2mx + m + = (1) Tìm tất số ngun m để phương trình (1) có nghiệm nguyên HDẫn : * m = : -2x + =  x 1 * m 1 : m - + (-2m) +m +1 =  x1 1 ; x   m  1;2  m    1;0;2;3 m 1 1  m m Bài 2: Cho phương trình x2 + (2m - 5)x - 3n = Xác định m n để phương trình có nghiệm -2 HDẫn :  6m  3n 6  m 2     4m  3n 14  n 2 Bài 3: Tìm m, n để phương trình bậc hai sau có nghiệm : mx2 + (mn + 1)x + n = HDẫn :   m 0  m        0 n  m      mn  1  n 0 4 Bài 4: Cho hai phương trình : x2 - 3x + 2m + = (1) x2 + x - 2m - 10 = (2) CMR : Với m, phương trình có nghiệm Tài liệu ơn thi vào 10 HDẫn :     26 >  có biệt số khơng âm Bài 5: Cho hai phương trình : x2 + (m - 2)x + m =0 (1) 4x2 - 4(m - 3)x + 2m2 - 11m + 13 = (2) CMR với m, phương trình có nghiệm HDẫn :  (m  1)(m  4) ;  16(1  m)(m  4)    16(m  1) (m  4) 0  có biệt số khơng âm Bài 6: Tìm giá trị m để hai phương trình sau có nghiệm chung x2 + 2x + m = x2 + mx + = HDẫn : (m -2)x = m - nghiệm) : + m =2 : hai phương trình có dạng : x2 + 2x +2 = ( vô + m 2 : x = ; m = -3 Bài 7: Tìm giá trị m để hai phương trình sau có nghiệm chung x2 + (m - 2)x + = 2x2 + mx + (m + 2) = : + m = : hai phương trình có dạng : x2 + 2x +3 = HDẫn : (m - 4)x = m - ( vô nghiệm) + m 4 : x = ; m = -2 Bài : Gọi x1 x nghiệm phương trình : 3x2 - (3k - 2)x - (3k + 1) = (1) Tìm giá trị k để nghiệm phương trình (1) thoả mãn : x1  x 6 HDẫn : *  (3k  4) 0  k   k 0 32 *  k  15  (t/m) Bài : Cho phương trình : x2 - (2m + 1)x + m2 + = Xác định m để hai x1 , x ta có hệ thức : x1 x  5( x1  x2 )  0 nghiệm HDẫn : *   m  0  m   m 2 *  m  loại m = Bài 10: Cho phương trình x  2 m  2 x  m  0 Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tìm giá trị m để x1 1  x   x 1  x1  m Tài liệu ôn thi vào 10 HDẫn : 3  * ' =  m     2   m 0 * x1 1  x   x 1  x1  m  x1  x  x1 x m  m m  2 0    m  Bài 11: Cho phương trình x  2 m  3 x  2m  0 (1) Gọi hai nghiệm phương trình (1) x1, x2 tìm m để HDẫn : 1  m x1  x  *  =  m  4 0 1  33 * x   x   m  m  m  0  m  2 Bài 11: Cho phương trình x - ( 2m + 1)x + m + m = Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn: - 2

Ngày đăng: 01/08/2019, 14:02

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • B = =

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan