Đề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm học 2018 – 2019 sở GD và ĐT Hà Nội

6 196 0
Đề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm học 2018 – 2019 sở GD và ĐT Hà Nội

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12, THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC 2018-2019 Câu 1: (4 điểm) Cho hàm số y = −x có đồ thị ( C ) đường thẳng d có phương trình y = x + m , 2x +1 m tham số Tìm m để d cắt ( C ) hai điểm phân biệt A B cho tổng hệ số góc tiếp tuyến với ( C ) A B lớn Lời giải  1 −1 Tập xác định D = ℝ \ −  Ta có đạo hàm y′ =  2 ( x + 1) Phương trình hồnh độ giao điểm −x = x + m ⇔ g ( x ) = x + ( m + 1) x + m = 2x + ∆′ = m + 2m + − 2m = m + > 0, ∀m  nên đường thẳng d cắt đồ thị ( C ) hai Ta có    g − = − ≠ 0, ∀ m      2 điểm phân biệt A , B với giá trị thực m S = − ( m + 1)  Gọi x1 , x2 hoành độ điểm A B  m P =     1   = − 4S − 8P + 4S + = − 4m + ≤ −2 Suy K = − + 2  2x +  ( 4P + 2S + 1)  ( ) ( x2 + 1)  ( ) Vậy tổng hệ số góc lớn tiếp tuyến với ( C ) A B −2 đạt m = Câu 2: (5 điểm) a) Giải phương trình cos x = 1− x Lời giải Xét hàm số f ( x) = cos x + x −1 với x ∈ ℝ Ta có f '( x) = − sin x + x ; f ''( x) = − cos x + Vì f ''( x) > ∀x ∈ ℝ ⇒ f '( x) đồng biến ℝ Mà f '(0) = suy phương trình f '( x) = có nghiệm x = Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy f ( x) = ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x =  x + y + xy − x − y + = b) Giải hệ phương trình   x − y + = x y +  Lời giải Ta có: x + y + xy − x − y + = ⇔ x + ( y − 3) x + ( y − 3) + y + y − = ⇒ y + y − ≤ ⇔ ≤ y ≤ (1) Lại có: x − y + = x y + ⇔ x − x y + + y + + (1− y ) = ( ) ⇔ x − y + + (1− y ) = ⇒ (1− y ) ≤ ⇔ y ≥ (2) Từ (1) (2) ⇒ y = Thay y = vào hệ x =  x = Vậy hệ có nghiệm   y = Câu 3: a2 (3 điểm) Cho dãy số ( an ) xác định a1 = , an +1 = n ; n = 1, 2, an − an + a) Chứng minh dãy số ( an ) dãy số giảm b) Với số nguyên dương n, đặt bn = a1 + a2 + + an Tính lim bn n →+∞ Lời giải −a ( a − 1) an2 a) Xét hiệu an +1 − an = − an = 2n n an − an + an − an + 2 Từ cách xác định dãy số ta có an > 0∀n an2 − an + > ⇒ an +1 − an < 0∀n ∈ N * Vậy ( an ) dãy số giảm b) Ta có an +1 = ⇒ an+1 − = ⇒ an = an2 − an + + an − a −1 = 1+ n an − an + an − an + an − an2 − an + 1 ⇒ = = an + an − an + an +1 − an − an − 1 an +1 − an − − Suy bn = a1 + a2 + + an = 1 = + (1) an +1 − a1 − an +1 − − Lại có: Dãy số ( an ) dãy số giảm, bị chặn nên có giới hạn, giả sử lim an = a ⇒ lim an +1 = a ⇒ a = n →+∞ n →+∞ a2 ⇒ a = hay lim an = (2) n →+∞ a2 − a + Từ (1) (2) ta có lim bn = n →+∞ Câu 4: (6 điểm) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I , đường cao AH Gọi E hình chiếu B AI , HE cắt AC P Gọi M trung điểm BC Biết H ( 6; −4 ) ; P (11;1) M (10; −4 ) Lời giải A A P I I E P M B H C M H B E F F Hình Hình H không trùng M nên tam giác ABC không cân Vẽ đường kính AF đường tròn ( I ) C Ta có AHB = AEB = 90° nên bốn điểm A, E , H , B thuộc đường tròn Từ ta có ABH = HEF = AFC (với hình 1) ABH = AEH = AFC (với hình 2) nên HP //CF , lại có AC ⊥ CF suy HP ⊥ AC Ta có HP ( 5;5 ) Do đường thẳng AC qua P (11; 1) có vtpt n (1;1) có phương trình x + y –12 = Đường thẳng BC qua H ( 6; −4 ) M (10; −4 ) có phương trình y = −4 C giao điểm AC BC , tọa độ điểm C nghiệm hệ phương trình  x + y –12 =  x = 16 ⇔   y = −4  y = −4 Vậy C (16; −4 ) M (10; −4 ) trung điểm BC nên B ( 4; −4 ) Đường thẳng AH vng góc với BC qua H ( 6; −4 ) có phương trình x =  x + y –12 = x = A giao điểm AH AC nên tọa độ nghiệm hệ  ⇔ x = y = Vậy A ( 6;6 ) ; B ( 4; −4 ) ; C (16; −4 ) 2) a) Theo quy tắc hình hộp ta có: AC ' AB AD AA ' AC ' = AB + AD + AA ' ⇒ AQ = AM + AN + AP AQ AM AN AP Mà M, N, P, Q đồng phẳng nên 1 AC ' AB AD AA ' = + + = + + ⇒ ( Vì AC’ AQ AM AN AP AQ AM AN AP đường chéo hình lập phương ABCDA’B’C’D’ nên AB = AD = AA ' = b) Dễ dàng chứng minh kết quen thuộc tứ diện vuông là: 1 1   + +

Ngày đăng: 29/07/2019, 21:48

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • [toanmath.com] - Đề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm học 2018 – 2019 sở GD và ĐT Hà Nội

  • LG - HSGHaNoi2018

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan