Đề cương ôn tập Toán 11 – Nâng cao – HK II – 08/09 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 11, NÂNG CAO, KÌ 2 - NĂM 08 – 09 A. MÔN: ĐẠI SỐ – GIẢI TÍCH CHƯƠNG III. DÃY SỐ- CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN Lý thuyết Bài tập 1. Cấp số cộng - Đònh nghóa. - Số hạng tổng quát. - Tính chất. - Công thức tính tổng Bài 1: Chứng tỏ rằng dãy số với số hạng tổng quát a n = 2n - 5 là một cấp số cộng. Cho biết số hạng đầu, tìm công sai d. Tính S 20 . Bài 2: Xác đònh số hạng đầu và công sai của mỗi cấp số cộng sau: a.    =+ =++ 13 3 63 431 UU UUU b.    =+ −=+ 26 18 2 5 2 3 86 UU UU c/ 7 15 2 2 4 12 60 1170 u u u u + =    + =   Bài 3: Sáu số lập thành một cấp số cộng, tổng của chúng bằng 12, tổng các bình phương của chúng bằng 64. Tìm sáu số đó . Bài 4: Năm số lập thành cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 5 và tích của chúng bằng 45, tìm 5 số đó. Bài 5: Bốn số lập thành cấp số cộng. Tổng của chúng bằng 20, tổng các nghòch đảo của chúng bằng 25/24. tìm 4 số đó. 2. Cấp số nhân - Đònh nghóa. - Số hạng tổng quát. - Tính chất. - Công thức tính tổng. Bài 1: Tổng n số đầu tiên của dãy số là S n = 3 n -1. Tìm U n , chứng tỏ dãy số đã cho là cấp số nhân. Tìm U 1 và công bội q. Bài 2: Tìm cấp số nhân có 5 số hạng biết U 3 =3 và U 5 =27. Bài 3: Người ta thiết kế một toà tháp 11 tầng. Diện tích mỗi tầng bằng một nửa diện tích tầng ngay bên dưới, biết diện tích đế tháp là 12288m 2 . Tính diện tích tầng trên cùng. Bài 4: Tìm số hạng đầu và công bội của các cấp số nhân biết: a/    = = 384 192 7 6 u u b/    =− =− 144 72 35 21 uu uu Bài 5: Cho CSN có U 1 =2 và U 3 =18. Tính tổng 10 số hạng đầu của CSN. Bài 6: Biết 3 số x, y, z lập thành CSN, và 3 số x, 2y, 3z lập thành CSC .Tìm CSN đó. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN Lý thuyết Bài tập 1 Lý thuyết về giới hạn của dãy số - Các giới hạn đặc biệt - Phương pháp tính giới hạn của dãy số. Bài 1: Tên của một bạn học sinh được mã hoá bởi số 1530. Biết rằng mỗi chữ số trong số này là giá trò của một trong các biểu thức : A, H, N, O với: N= lim 2 13 + − n n ; H= lim 73 2 + − n n ; A= lim n nn 41 4.53 − − ; O = lim( 1 22 +−−+ nnnn ) Cho biết tên của học sinh, bằng cách thay các chữ số trên bởi các ký hiệu tương ứng. Bài 2: Tính giới hạn: a/ lim(1 + 2 1 + 4 1 +…+ n 2 1 ) b/ lim( 1 1 2 + n + 1 2 2 + n +…+ 1 1 2 + − n n ) c/ lim 1 3 5 . (2 1) 2 4 6 . 2 n n + + + + − + + + + d/ lim 1 1 1 . 1.4 4.7 (3 2)(3 1)n n   + + +   − +   e/ lim 2 2 2 2 1 2 3 1 . . 1.3 3.5 5.7 (2 1)(2 1) n n n n     + + + +    ÷ − +     2. Giới hạn của hàm số - Dạng tính được. Bài 1: Tính các giới hạn sau: a) 2 2 2 2 6 lim 3 2 x x x x x →− + − − − − b) 1 2 3 lim 4 x x x → − + c) 0 1 1 lim x x x → + − d) 2 2 3 2 7 3 lim 4 3 x x x x x → − + − + Trang 1 Đề cương ôn tập Toán 11 – Nâng cao – HK II – 08/09 Lý thuyết Bài tập - Dạng vơ định : - Giới hạn một bên e) 43 13 lim 2 4 −− −− → xx x x f) 2 lim 4 1 n n n →+∞ − − g) 6 6 2 15 lim 2 5 x x x x x →−∞ − + + i) 2 2 2 3 lim 1 4 n n n n →+∞ − + − h) )515(lim 2 xx x −+ +∞→ k) 2 3 lim 3 x x x x x →−∞ + − + Bài 2: Tính các giới hạn sau: a) 3 2 7 lim 3 x x x − →− − + b) 2 3 1 lim 2 x x x − →− − + c) ( ) 2 2 3 lim 2 x x x → − − d) ( ) 2 3 2 lim 3 x x x →− − + Bài 3:Tính các giới hạn sau: a/ 1 lim −→ x 6 10 3 2 + ++ x xx ; b/ 2 22 lim 2 3 2 − − → x x x ; c/ 422 6 lim 23 2 2 −+− +− → xxx xx x d/ 43 13 lim 2 4 −− −− → xx x x e * / x xx x 3 0 812 lim −−+ → f/ 26 6 52 15 lim xx xx x + +− ∞→ g/ 52 1113 lim 24 + −+ −∞→ x xx x h/ )515(lim 2 xx x −+ +∞→ i/ 2 2 lim 4 1 3 x x x x → − + + − k/ 3 0 1 1 lim 3 x x x → − − l/ 3 2 1 1 lim 3 2 x x x →− + + − Bài 4: Cho 1 sin lim 0 = → x x x . Tính: a/ 2 0 7cos1 lim x x x − → b/ 2 0 cos2 1 lim sin 3 x x x → − c/ x xx x 2cos1 3coscos lim 0 − − → d/ 2 )1(lim 1 x tgx x π − → e/ 2 lim tan 2 x x x π π →   −  ÷   f/ 3 0 tan sin lim x x x x → − h/ 3 sin 3 lim 1 2cos x x x π → − 3 Hàm số liên tục: - xét tính liên tục của hàm số. - dựa vào tính liên tục của hàm số chưng minh sự có nghiệm của phương trình Bài 5: a/ Cho h/số f(x)= .  + − ≠     =   x 1 1 , nếu x 2 x 1 , nếu x 2 2 b) Cho hàm số g(x)=      = ≠ − − 2 x nếu 2x nếu , , 5 2 8 3 x x Xét tính liên tục của hàm số tại x=0. Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số. Trong g(x) trên phải thay số 5 bởi số nào để hàm số liên tục tại x=2. c/ Cho hàm số f(x)= 2 4 2 4 , x x ≠ −  −  +   − =  , nếu x 2 nếu x 2 d) Cho hàm số 0 1- x ,  <    ≥  2 x , nếu x nếu x 0 Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số Xét tính liên tục của hàm số tại x =0 Bài 6: Chứng minh rằng: a/ Phương trình sinx-x+1= 0 có ngiệm. Trang 2 Đề cương ôn tập Toán 11 – Nâng cao – HK II – 08/09 Lý thuyết Bài tập b/ Phương trình 4 3 x - sin x π + 3 2 = 0 có nghiệm trên đoạn [ ] 2;2 − . c/ Phương trình x 3 + 1000x 2 + 0,1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm d/ Phương trình 3x 3 + 2x – 2 = 0 có ít nhất một nghiệm. e/ Phương trình 4x 4 + 2x 2 – x – 3 =0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng (-1;1) f/ Phương trình 2x 3 – 6x +1 = 0 có 3 nghiệm trên khoảng (-2 ; 2) CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM Lý thuyết Bài tập 1. Tính đạo hàm bằng đònh nghóa Bài 1: Tìm đạo hàm của các hs sau bằng đ/nghóa. a) y = f(x)= x 3 − 2x +1 tại x 0 = 1. b) y = f(x)= x 2 − 2x tại x 0 = − 2. c) y = f(x)= 3x + tại x 0 = 6. d/ y =f(x) 2 3 x x + = − tại x 0 = 4 e/ 4 1y x= + tai x 0 = 2 f/ y= x 2 – 2x + 3 tại x 0 = 2 2. Tính đạo hàm bằng công thức: - Công thức tính đ/hàm - Các quy tắc tính đạo hàm - Đạo hàm của hàm số lượng giác - Đạo hàm cấp cao Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 2 2 3 5 x x y x − − = + b) y= 4 2 3 7x x − + c) y= cos 3 x.sin 3 x d/ sin cos sin cos x x y x x + = − e/ y = 3 12 x f/ 1 tan 2 x y + = g/ y =x.cotx h/ sin sin x x y x x = + l/ 2 sin 1y x= + m/ y =sin(sinx) n/ 1 2 tany x= + o/ 3 2 cot 1y x= + q/ 5 3 5 7y x   = +  ÷   r/ 3 2 1 1 x y x + = − t/ 2 3 2 (1 )(1 ) x y x x + = − + Bài 3: Cho hàm số f(x) = x 3 – 2x 2 + mx – 3. Tìm m để a/ f’(x) ≥ o với mọi x. b/ f’(x) < 0 (0;2)x∀ ∈ c/ f’(x) > 0 với mọi x > 0 Bài 4: Cho y= x 3 -3x 2 + 2. tìm x để: a/ y’ > 0 b/ y’< 3 *Chứng minh đẳng thức chứa đạo hàm Bài 5: CMR mỗi hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức đã cho tương ứng a) Với hs y= 2 1 x− , ta có (1 − x 2 )y” − xy’+y=0 b/ 2 2y x x= − , ta có y 3 .y” + 1 =0 c/ 3 4 x y x − = + ta có: 2y’ 2 = (y-1)y” Bài 6: Chứng minh rằng f’(x) = 0 x R∀ ∈ a/ f(x) = 3(sin 4 x + cos 4 x)-2(sin 6 x + cos 6 x) b/ f(x) = sin 6 x + 2sin 4 x.cos 2 x+ 3sin 2 .cos 4 x + sin 4 x c/ 3 ( ) cos .cos cos cos 3 4 6 4 f x x x x x π π π π         = − + + + +  ÷  ÷  ÷  ÷         Bài 7: Giải phương trình f’(x) = 0, biết rằng a/ 3 60 64 ( ) 3 5f x x x x = + + + b/ sin 3 cos3 ( ) cos 3 sin 3 3 x x f x x x   = + − +  ÷   Bài 8: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau a/ y = 1 x b/ y = 1 1x + c/ y = sinx d/ y = cosx 3.Phương trình tiếp tuyến. -Tiếp tuyến của đồ thò tại điểm M thuộc (C). Bài 1: Cho hàm số f(x) = x 3 – 3x 2 + 2, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số: a/ Biết hoành độ tiếp điểm là x 0 = 0. b/ Biết tung độ tiếp điểm là y 0 = 0 c/ Biết tiếp tuyến đi qua A(0;3) Bài 2: Cho hàm số y = -x 3 + 3x 2 – 4x + 2 viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số. Trang 3 Đề cương ôn tập Toán 11 – Nâng cao – HK II – 08/09 Lý thuyết Bài tập - Biết tiếp tuyến có hệ số góc k, - Biết tiếp tuyến qua 1 điểm. a/ Tại điểm x 0 = 2 b/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 1 3 4 x + c/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng x + y + 3 = 0. d) Biết tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất. B. HÌNH HỌC CHƯƠNG III. VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC . Lý thuyết Bài tập 1. Véctơ trong không gian: (nắm pp cm 3 điểm thẳng hàng, 3 véctơ đồng phẳng, đthẳng // đthẳng, đthẳng// mp). 2. Quan hệ vuông góc Dạng 1: Tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b, tính góc giữa đt và mp, góc giữa hai mp. Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng a và b vng góc nhau Dạng 3: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng: Dạng 4: Chứng minh hai mặt phẳng vng góc nhau: Dạng 5: Khoảng cách -Khoảng cách từ một điểm đến một đt, khoảng cách từ một điểm đến một mp. -Khoảng cách từ một đt đến một mp song song, khoảng cách giữa hai mp song song. - Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau. Bài 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi I là trung điểm AB và O là tâm của hình bình hành A’B’C’D’; M. N là hai điểm thay đổi trên AD’ và BB’ sao cho AM kAD', BN kBB'= = uuuur uuuur uuur uuuur (0 < k < 1). Chứng minh rằng: a) MN // (ABCD) khi k thay đổi. b) Các điểm M, N, I, O đồng phẳng và IO cắt MN tại trung điểm của đoạn thẳng MN. Bài 2 : Cho hình chóp S.ABCB có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết SA = SA và SB = SD. a) Chứng minh ( ) SO ABCD⊥ b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BA, BC. Chứng minh ( ) IJ SBD⊥ Bài 3: Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là hai tam giác đều, gọi I là trung điểm BC. a) Chứng minh ( ) BC ADI⊥ b) Vẽ đường cao AH cảu tam giác ADI. Chứng minh ( ) AH BCD⊥ Bài 4: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm AD. a) C/m AD vuông góc với mp (SOI) , DB vuông góc với mp(SAC) b) Tính tang của góc giữa SA và mặt đáy (ABCD) c) Tính tang của góc giữa (SAD) và mặt đáy (ABCD) Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB=BC=AD=CA=DB = a 2 và CD = 2a. a) CM: AB vuông góc với CD. b) Gọi H là hình chiếu của I lên mp(ABC) , C/m H là trưc tâm của tam giác ABC. Bài 6. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với BC, AD = a & khoảng cách từ D đến BC bằng a. Gọi H à trung điểm của BC và I là trung điểm của AH. a) Chứng minh BC ⊥ (ADH) & DH = a. b) Chứng minh DI ⊥ (ABC). c) Dựng và tính đoạn vuông góc chung của AD & BC. Bài 7 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết AB = a, AD = SA vuông góc (ABCD) và SA bằng 3a . a) CMR : CB vuông góc với mp (SAB) , CD vuông góc với mp(SAD) b) Tính góc giữa SB và mặt đáy (ABCD) c) Tính góc giữa (SCD) và mặt đáy (ABCD) d) Xác đònh và tính độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đt AB và SC. Bài 8. Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tính khoảng cách từ tâm mặt đáy ABCD đến các mặt bên của hình chóp. Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD). Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại E, K, H. a) Chứng minh AE ⊥ SB và AH ⊥ SD. b) Chứng minh rằng EH // BD. Từ đó nêu cách xác đònh thiết diện. Trang 4 Đề cương ôn tập Toán 11 – Nâng cao – HK II – 08/09 c) Tính diện tích thiết diện khi SA = a 2 . Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a, AD = 2a. Cạnh SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). a) Chứng minh rằng các tam giác SBC và SDC là các tam giác vuông. b) Kẻ AJ vuông góc SB, AH vuông góc với SC. Chứng minh rằng(JAH) ⊥ (SDC) c) Xác đònh và tính góc giữa hai mặt phẳng (SDC) và (ABCD); (SDC) và (SAD) d) Xác đònh và tính độ dài đường vuông góc chung của AD và SB; AD và SC. e) Gọi M là một điểm nằm trên cạnh AB với AM= x (0 < x < a) và (P) là mặt phẳng qua M vuông góc với AB. Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (P). Thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện theo a và x. Ghi chú: Học sinh tự thực hành bài tập trắc nghiệm của mỗi nội dung trong sách giáo khoa, sách bài tập. Trang 5 . Đề cương ôn tập Toán 11 – Nâng cao – HK II – 08/09 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 11, NÂNG CAO, KÌ 2 - NĂM 08 – 09 A. MÔN: ĐẠI SỐ – GIẢI TÍCH. 2 7 3 lim 4 3 x x x x x → − + − + Trang 1 Đề cương ôn tập Toán 11 – Nâng cao – HK II – 08/09 Lý thuyết Bài tập - Dạng vơ định : - Giới hạn một bên e)