TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình “Nơi có ý chí, nơi có đường.” TÍCH PHÂN HÀM ẨN .1 https://luyenthitracnghiem.vn MỤC LỤC DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN 10 DẠNG : TÍCH PHÂN HÀM ẨN - PP ĐỔI BIẾN 12 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1: Ta gặp toán đơn giản loại 12 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: Bài tập thường cho dạng 18 CHÚ Ý 1: Với hàm số có tính chẵn lẻ ta cần nhớ 20 CHÚ Ý 2: Cách đổi biến ngược hàm số đồng biến nghịch biến 22 CHÚ Ý 3: Bài tốn tích phân có dạng sau: 23 CHÚ Ý 4: Một số tốn khơng theo khn mẫu sẵn u cầu học sinh phải có tư duy, có kĩ biến đổi để đưa dạng quen thuộc 26 DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN .31 BÀI TẬP .46 THẦY VIỆT  0905.193.688 https://www.facebook.com/vietgold MỘT SỐ CHÚ Ý ĐẶC SẮC VỚI TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN 20 “Thành cơng nói khơng với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM https://luyenthitracnghiem.vn Ví dụ 1: Cho 2  f  x  dx  10 Kết  2  f  x  dx D 32 C 40 B 36 A 34 Lời giải Chọn A Tacó 2 5 5  2  f  x  dx  2 dx  4 f  x  dx  2x  4 f  x  dx  2     4.10  34 Ví dụ 2: Cho hàm số f  x  liên tục F  x  nguyên hàm f  x  , biết  f  x  dx  F    Tính F   A F    6 C F    12 B F    D F    12 Lời giải Chọn C https://www.facebook.com/vietgold Ta có: I   f  x  dx  F  x   F    F     F    12 0 Nhận xét 1: Trong hai ví dụ ta thấy tích phân cần tính có cận với tích phân giả thiết tốn nên học sinh dễ dàng nhận thấy làm Trong số trường hợp học sinh cần phải dùng tính chất để biến đổi cận tích phân phải dùng đến tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ Ví dụ 3: Cho hàm số f  x  liên tục đoạn [0; 6] thỏa mãn 6  f  x  dx  10  f  x  dx  Tính giá trị biểu thức P   f  x  dx   f  x  dx C P  B P  16 A P  ` D P  10 Lời giải Chọn A Ta có 6 0  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình 6 4  P   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  10   \0 , thỏa mãn f   x   Ví dụ 4: Cho hàm số f  x  xác định f  2   b Tính f  1  f   A f  1  f    a  b , f  1  a x  x5 https://luyenthitracnghiem.vn B f  1  f    a  b C f  1  f    a  b D f  1  f    b  a Lời giải Chọn C Ta có f    x   Do  x    x     f   x  nên f   x  hàm số lẻ x  x5 1 2 2  f   x  dx    f   x  dx   f   x  dx Suy f  1  f  2    f    f 1  f  1  f    f  2   f 1  a  b Nhận xét 2: Trong số trường hợp địi hỏi học sinh phải có kỹ phân tích, tổng hợp, kĩ biến đổi phải có nhìn sâu tốn  f  t  dt  x.cos  x Tính f   https://www.facebook.com/vietgold Ví dụ 5: Cho hàm số f  x  liên tục  0;   thỏa x2 A f    123 B f    C f    D f    Lời giải Chọn D Ta có: F  t    f  t  dt  F '  t   f  t  Đặt G  x   x2  f  t  dt  F  x   F        G '  x    F x2   2x f x (Tính chất đạo hàm hợp: f ' u  x   f '  u u '  x  )   / Mặt khác, từ gt: G  x   x2  f t  dt  x.cos  x  G '  x    x.cos  x  '  x sin  x  cos  x THẦY VIỆT  0905.193.688 “Thành cơng nói khơng với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình    2x f x2  x sin  x  cos  x (1) Tính f    ứng với x  https://luyenthitracnghiem.vn Thay x  vào (1)  f    2 sin 2  cos 2   f      Ví dụ 6: Cho hàm số G  x    t.cos  x  t  dt Tính G '   2 x   A G '    1 2   B G '    2   C G '    2   D G '    2 Lời giải: Chọn B Cách 1: Ta có: F  t    t.cos  x  t  dt  F '  t   t.cos  x  t  x Đặt G  x    t.cos  x  t  dt  F  x  F   / /    G '  x    F  x   F    F '  x   F '     x cos  x  x     x '   G '    2 https://www.facebook.com/vietgold x Cách 2: Ta có G  x    t.cos  x  t  dt Đặt u  t  du  dt , dv  cos  x  t  dx chọn v   sin  x  t  x x 0  G  x   t.sin  x  t    sin  x  t  dt   sin  x  t  dt  cos  x  t   cos  cos x   cos x x x     G '  x   sin x  G '    sin  2 Ví dụ 7: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm thỏa  f    f     1; Tính   f  x  y   f  x   f  y   3xy  x  y   1, x,y  A B  C  f  x  1dx D Lời giải Chọn C THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình Lấy đạo hàm theo hàm số y f   x  y   f   y   3x2  6xy , x  Cho y   f   x   f     3x2  f   x    3x2 Vậy f  x    f   x dx  x3  x  C mà f     C  suy f  x   x3  x   f  x  1dx   f  x dx    1 1 DẠNG SAU: f '( x)  g( x), f '( x)  f ( x) n  x4 x2  1 x  x  dx     x       4   1   g( x) (Trong g( x) hàm số biết, n số dương) Ví dụ 8: Cho hàm số f  x  xác định \1 thỏa mãn f   x   f    2018 Tính S  f    f  1 A S  B S  ln C S  ln 4035 Lời giải , f    2017 , x 1 D S  https://luyenthitracnghiem.vn 0 Chọn A  f  x  dx   x  dx  ln  x    C  f  x   ln  x    2017  Theo giả thiết f    2017 , f    2018 nên   f  x   ln  x    2018 Do S  f    f  1  ln  2018  ln  2017  Cách 1: Ta có x  x  0  dx  ln x  |01  ln (1)  f (0)  f ( 1)   f '( x)dx   x 1  1 1 Ta có:  3  f (3)  f (2)  f '( x)dx  dx  ln x  |3  ln (2) 2 2 x    Lấy (1)+(2), ta f (3)  f (2)  f (0)  f ( 1)   S  Ví dụ 9: Cho hàm số f ( x) xác định 2 1 \   thỏa mãn f   x   , f    f    3x  3 3 Giá trị biểu thức f  1  f   A  5ln B 2  5ln C  5ln D  5ln Lời giải Chọn A THẦY VIỆT  0905.193.688 https://www.facebook.com/vietgold Cách 2: “Thành cơng nói khơng với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình   1 ln 3x   C1 x   ;  3 3    f  x   dx=  Cách 1: Từ f   x   3x  3x  ln 3x   C x   ;   3     https://luyenthitracnghiem.vn   1  f 0  ln 3x   x   ;  3 0  C1  C      f  x   Ta có:       C  C    f      3 ln 3x   x   ;       3  Khi đó: f  1  f    ln   ln    ln 32   5ln   f 0   Cách 2: Ta có   f  3    f  1  f  x  1   f   x  dx  1 3 3  3x  dx  ln 3x  1 1  ln 3 2 f    f  x    f   x  dx   dx  ln 3x   ln 3 3 2 3x  1  1 2 2 Lấy     1 , ta được: f    f  1  f    f    ln 32  f  1  f     5ln 3 Ví dụ 10: Cho hàm số f  x  xác định 1 \   thỏa mãn f   x   f    Giá trị 2x  2 https://www.facebook.com/vietgold biểu thức f  1  f   A  ln15 B  ln15 C  ln15 D ln15 Lời giải Chọn C d  x  1 Ta có f  x    f   x  dx   dx    ln 2x   c 2x  2x  f     c   f  x   ln 2x    f  1  ln   f  1  f     ln15   f    ln  Ví dụ 11: Cho hàm số f ( x) xác định 1 \   thỏa mãn f ( x)  , f (0)  f (1)  2x  2 Giá trị biểu thức f (1)  f (3) A  ln B  ln15 C  ln15 D ln15 Lời giải THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình Chọn C 1  Cách 1: • Trên khoảng  ;   : f ( x)   dx  ln(2 x  1)  C1 2x  2  Lại có f (1)   C1   1 • Trên khoảng  ;  : f ( x)   dx  ln(1  x)  C2 2 2x   https://luyenthitracnghiem.vn Lại có f (0)   C2   ln(2 x  1)  x    Vậy f ( x)   ln(1  x)  x    Suy f (1)  f (3)   ln15 Cách 2: 0  2dx  ln x  |01  ln (1)  f (0)  f ( 1)   f '( x)dx   2x   1 1 Ta có:  3  f (3)  f (1)  f '( x)dx  2dx  ln x  |3  ln (2) 1 1 2x    Lấy (2)-(1), ta f (3)  f (1)  f (0)  f ( 1)  ln15  f ( 1)  f (3)   ln15 Ví dụ 12: Cho hàm số f ( x) xác định 1 \   thỏa mãn f   x   , f    3x  3 2 f    Giá trị biểu thức f  1  f   3 B 2  5ln C  5ln https://www.facebook.com/vietgold A  5ln D  5ln Lời giải Chọn A   1 ln 3x   C1 x   ;  3 3    f  x   dx=  Cách 1: Từ f   x   3x  3x    ln 3x   C x  ;  3       1  f 0  ln 3x   x   ;  3 0  C1  C      f  x   Ta có:       C  C    f    ln 3x   x  ;   3 3        Khi đó: f  1  f    ln   ln    ln 32   5ln THẦY VIỆT  0905.193.688 “Thành cơng nói khơng với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình https://luyenthitracnghiem.vn   f 0   Cách 2: Ta có   f  3    f  1  f  x  1   f   x  dx  1 3 3 0 dx  ln x   ln 1 3x  1 3 2 f    f  x    f   x  dx   dx  ln 3x   ln 3 3 2 3x   1 2 2 Lấy     1 , ta được: f    f  1  f    f    ln 32  f  1  f     5ln 3 Ví dụ 13: Cho hàm số f  x  xác định \2; 2 thỏa mãn f   x   f    f    Tính giá trị biểu thức P  f  4   f  1  f   A P   ln 25 B P   ln C P   ln Lời giải ; f  3   ; x 4 D P   ln Chọn B Từ f   x   4dx 4dx   f  x   x 4 x 4  x   x    ln    ln   ln  x2  C1 x   ; 2  x2 x2  C2 x   2;  x2 x2  C3 x   2;   x2 https://www.facebook.com/vietgold   f  3   ln  C1  C1   ln    Ta có  f     0  C2   C2    C   ln   f    ln  C3    ln    f  x   ln   ln  x2 -ln5 x2 x   ; 2  x2 1 x2 x   2;  x2   ln x   2;   x2 Khi P  f  4   f  1  f    ln  ln  ln   ln   ln   ln Nhận xét 3: Những tập kiểu học sinh cần ý, làm theo cách số nguyên hàm khoảng khác Nếu làm theo cách hai việc chọn cận lấy tích phân có làm học sinh khó khăn, chắn cần hướng dẫn tỷ mỉ người thầy học THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình Ví dụ 13: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục đoạn   1;1 , thỏa mãn f  x   0, x  f '  x   f  x   Biết f  1  , tính f  1 A f  1  e 2 C f  1  e B f  1  e D f  1  Lời giải Chọn C f '  x f '  x  f  x   ln f  1 f  1  4  f  x f  1 f  1  2   1 1 f '  x df  x  dx   2dx    4  ln f  x  f  x f x   1 1 1  4  e 4  f  1  f  1 e  e Ví dụ 15: Cho hàm số f  x   thỏa mãn điều kiện f   x    2x   f  x  a f     Biết tổng f 1  f    f     f  2017   f  2018   với b a a  , b   phân số tối giản Mệnh đề sau đúng? b  A  a  1 b B a  b C a  b  1010 https://luyenthitracnghiem.vn Biến đổi: D b  a  3029 Lời giải Ta có f   x    2x   f  x    f  x f f  x f  x dx    x   dx    x https://www.facebook.com/vietgold Chọn D  2x   x  3x  C f  x Vì f      C  Vậy f  x     x  1 x    1  x x1 Do f  1  f    f     f  2017   f  2018   1 1009   2020 2020 Vậy a  1009 ; b  2020 Do b  a  3029 THẦY VIỆT  0905.193.688 “Thành cơng nói khơng với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình Ví dụ 16: Cho hàm số y  f  x   xác định, có đạo hàm đoạn 0;1 thỏa mãn: x g  x    2018  f  t  dt , g  x   f  x  Tính https://luyenthitracnghiem.vn A 1011 B 1009  g  x dx C 2019 D 505 Lời giải Chọn A x Ta có g  x    2018  f  t  dt  g  x   2018 f  x   2018 g  x  g  x   g  x 2  t  2018   g  x  g  x t dx  2018  dx   g  x  t t  2018 x  g  t    2018t (do g    )  g  t   1009t  1  https://www.facebook.com/vietgold  1009  1011 g  t dt   t t   0 Ví dụ 17: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 đồng thời thỏa mãn f     f   x    f   x   x   Tính T  f 1  f   A T   9ln B T  C T   ln D T   9ln Lời giải Chọn C   Ta có f   x    f   x   x    f   x      f   x   x    Lấy nguyên hàm hai vế   Do f     nên C  f   x    f   x   x   f   x   1 x dx   dx   C f  x  x  f '  x   x  9 suy f   x   x   f  x  x x1 x1  x2     x  dx   ln x     ln  Vậy T  f  1  f      0 x1   0 THẦY VIỆT  0905.193.688 ... Tích phân phần với hàm ẩn thường áp dụng cho tốn mà giả thiết kết luận có tích phân sau b  u( x) f ''( x).dx a 31 b  u ''( x) f ( x).dx a THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn –. .. nguyên hàm khoảng khác Nếu làm theo cách hai việc chọn cận lấy tích phân có làm học sinh khó khăn, chắn cần hướng dẫn tỷ mỉ người thầy học THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng...    Khi đó: I   y 3 y  dy  CHÚ Ý 3: Bài tốn tích phân có dạng sau: 23 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình b Bài tốn: Cho f  x  f  a  b  x   k , I