Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số 2 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC NINH TRƯỜNG THPT QUẾ VÕ SỐ 2 Lượng giác Quế võ, tháng 1 năm 2009 1 Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số 2 Biến đổi lượng giác là một nội dung cơ bản và quan trọng trong quá trình học tập lượng giác. Thành thạo các phép biến đổi lượng giác là một hành trang rất tốt tạo cho các bạn sự tự tin và linh hoạt khi học tập về các phần khác của chương trình lượng giác, nếu các bạn thấy được tinh thần và phương pháp của lượng giác được vận dụng như thế nào trong các bài toán thì các bạn sẽ thấy được toàn bộ nét đặc trưng và vẻ đẹp của lượng giác. Để giúp các bạn có một bộ tài liệu tương đối đầy đủ để học về lượng giác,chúng tôi đã tập hợp các tài liệu để biên soạn chuyên đề này.Chúng tôi đã tham khảo và biên tập một hệ thống các bài tập khá đa dạng và phong phú.Các bài tập được biên soạn theo 2 hướng Một số bài tập chúng tôi cung cấp luôn lời giải. Tất nhiên các lời giải đưa ra không phải bao giờ cũng là cách giải duy nhất và hay nhất. Đối với các bài này thì các bạn cần suy nghĩ theo các hướng mở sau: • Giải thích được các phép biến đổi và lập luận trong lời giải • Tìm một lời giải khác nếu có thể • Lí giải xem tại sao lại giải như vậy • Tìm cách vận dụng bài toán • Nêu các bài tập tương tự. Một số bài tập chúng tôi không cung cấp lời giải.Những bài tập này thuộc dạng cơ bản, dễ hoặc tương tự, đề nghị các bạn suy nghĩ và tự giải quyết. Chú ý: Đối với các bài toán có phần hướng dẫn đi kèm,các hướng dẫn đó có tính chất giúp các bạn phát hiện ra vấn đề chứ không phải là cách trình bày. 2 Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số 2 A. TÓM TẮTGIÁO KHOA I. Đơn vị đo góc và cung: 1. Độ: beïtgoùc 0 1 Goùc 180 1 = 2. Radian: (rad) rad 0 180 π = 3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng: Độ 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 360 0 Radian 0 6 π 4 π 3 π 2 π 3 2 π 4 3 π 6 5 π π π 2 II. Góc lượng giác & cung lượng giác: 1. Định nghĩa: 2. Đường tròn lượng giác: Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt: π π π π π ππ π π π k CA k C k A +→ → +→ +→ +→ → 2 DB, k , 2 2 - D 2k 2 2 B 2k 3 x y (tia gốc) Z)(k 2),( ∈+= πα kOyOx + t (tia ngọn) O α . y x o 180 O + − x y O C A B D x y B α M α (điểm gốc) + t O A (điểm ngọn) πα 2kAB += Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số 2 III. Định nghĩa hàm số lượng giác: 1. Đường tròn lượng giác: • A: điểm gốc • x ' Ox : trục côsin ( trục hoành ) • y ' Oy : trục sin ( trục tung ) • t ' At : trục tang • u ' Bu : trục cotang 2. Định nghĩa các hàm số lượng giác: a. Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM= α . Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x ' Ox và y ' Oy T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t ' At và u ' Bu Ta định nghĩa: cos sin tg cot OP OQ AT g BU α α α α = = = = b. Các tính chất : • Với mọi α ta có : 1 sin 1 hay sin 1 α α − ≤ ≤ ≤ 1 cos 1 hay cos 1 α α − ≤ ≤ ≤ • tg xaùc ñònh 2 k π α α π ∀ ≠ + • cotg xaùc ñònh k α α π ∀ ≠ c. Tính tuần hoàn 4 y t 'u 't t x u 'y 'x O t 1 − Q B T α M α A P U Trục cosin Trục tang Trục sin Trục cotang + − + − x y O C A B D 1 1 1 = R 1 − 1 − 'x 'u u t 't 'y Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số 2 sin( 2 ) sin cos( 2 ) cos ( ) cot ( ) cot k k tg k tg g k g α π α α π α α π α α π α + = + = + = + = )( Zk ∈ IV. Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt: Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt - 3 -1 - 3 /3 (Ñieåm goác) t t' y y' x x' u u' - 3 -1 - 3 /3 1 1 -1 -1 - π /2 π 5 π /6 3 π /4 2 π /3 - π /6 - π /4 - π /3 -1/2 - 2 /2 - 3 /2 -1/2- 2 /2- 3 /2 3 /2 2 /2 1/2 3 /2 2 /2 1/2 A π /3 π /4 π /6 3 /3 3 B π /2 3 /3 1 3 O Góc Hslg 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 360 0 0 6 π 4 π 3 π 2 π 3 2 π 4 3 π 6 5 π π π 2 sin α 0 2 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 0 0 cos α 1 2 3 2 2 2 1 0 2 1 − 2 2 − 2 3 − -1 1 5 + − Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số 2 tg α 0 3 3 1 3 kxđ 3− -1 3 3 − 0 0 cotg α kxđ 3 1 3 3 0 3 3 − -1 3− kxđ kxđ V. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt: Đó là các cung : 1. Cung đối nhau : vaø - α α (tổng bằng 0) (Vd: 6 & 6 ππ − ,…) 2. Cung bù nhau : vaø - α π α ( tổng bằng π ) (Vd: 6 5 & 6 ππ ,…) 3. Cung phụ nhau : vaø 2 π α α − ( tổng bằng 2 π ) (Vd: 3 & 6 ππ ,…) 4. Cung hơn kém 2 π : vaø 2 π α α + (Vd: 3 2 & 6 ππ ,…) 5. Cung hơn kém π : vaø α π α + (Vd: 6 7 & 6 ππ ,…) 1. Cung đối nhau: 2. Cung bù nhau : cos( ) cos sin( ) sin ( ) cot ( ) cot tg tg g g α α α α α α α α − = − = − − = − − = − cos( ) cos sin( ) sin ( ) cot ( ) cot tg tg g g π α α π α α π α α π α α − = − − = − = − − = − 3. Cung phụ nhau : 4. Cung hơn kém 2 π cos( ) sin 2 sin( ) cos 2 ( ) 2 cot ( ) t 2 tg cotg g g π α α π α α π α α π α α − = − = − = − = cos( ) sin 2 sin( ) cos 2 ( ) 2 cot ( ) t 2 tg cotg g g π α α π α α π α α π α α + = − + = + = − + = − 6 Đối cos Bù sin Phụ chéo Hơn kém 2 π sin bằng cos cos bằng trừ sin Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số 2 5. Cung hơn kém π : cos( ) cos sin( ) sin ( ) cot ( ) cot tg tg g g π α α π α α π α α π α α + = − + = − + = + = VI. Công thức lượng giác: 1. Các hệ thức cơ bản: 2 2 cos sin 1 sin tg = cos cos cotg = sin α α α α α α α α + = 2 2 2 2 1 1 tg = cos 1 1 cotg = sin tg . cotg = 1 α α α α α α + + 2. Công thức cộng : cos( ) cos .cos sin .sin cos( ) cos .cos sin .sin sin( ) sin .cos sin .cos sin( ) sin .cos sin .cos tg +tg tg( + ) = 1 . tg tg tg( ) = 1 . tg tg tg tg α β α β α β α β α β α β α β α β β α α β α β β α α β α β α β α β α β α β + = − − = + + = + − = − − − − + 3. Công thức nhân đôi: 7 Hơn kém π tang , cotang Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số 2 α α α α α α α α α α α α α = − = − = − = − = = − 2 2 2 2 4 4 2 cos2 cos sin 2 cos 1 1 2sin cos sin sin 2 2sin .cos 2 2 1 tg tg tg 4 Công thức nhân ba: 3 3 cos3 4cos 3cos sin 3 3sin 4sin α α α α α α = − = − 5. Công thức hạ bậc: α α α α α α α 2cos1 2cos1 ; 2 2cos1 sin; 2 2cos1 cos 222 + − = − = + = tg 6.Công thức tính sin ,cos ,tg α α α theo 2 t tg α = 22 2 2 1 2 ; 1 1 cos; 1 2 sin t t tg t t t t + = + − = + = ααα 7. Công thức biến đổi tích thành tổng : [ ] [ ] [ ] 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 α β α β α β α β α β α β α β α β α β = + + − = − − + = + + − 8. Công thức biến đổi tổng thành tích : 8 4 cos33cos cos 3 αα α + = 4 3sinsin3 sin 3 αα α − = Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số 2 cos cos 2 cos .cos 2 2 cos cos 2sin .sin 2 2 sin sin 2 sin .cos 2 2 sin sin 2 cos .sin 2 2 sin( ) cos cos sin( ) cos cos tg tg tg tg α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β + − + = + − − = − + − + = + − − = + + = − − = 9. Các công thức thường dùng khác: cos sin 2 cos( ) 2 sin( ) 4 4 cos sin 2 cos( ) 2 sin( ) 4 4 π π α α α α π π α α α α + = − = + − = + = − − 8 4cos35 sincos 4 4cos3 sincos 66 44 α αα α αα + =+ + =+ B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Phần 1 Đẳng thức lượng giác không điều kiện 1: Đẳng thức với biến Trong phần này ta xét các đẳng thức lượng giác mà các biến không bị ràng buộc bởi điều kiện nào.Khi chứng minh các đẳng thức không có điều kiện kèm theo này,chúng ta thường vận dụng các công thức lượng giác, các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản.Tuy nhiên do số luợng các công thức lượng giác khá nhiều nên các bạn có thể gặp khó khăn trong việc lựa chọn công thức nào cho hợp lí.Vì vậy một yêu cầu đặc biệt quan trong là khi thực hiện các phép biến đổi là các bạn cần phảp có một định hướng rõ ràng để tránh việc lúng túng khi lựa chon công thức Các bài toán chứng minh đẳng thức Khi gặp các bài toán dạng này chúng ta có thuận lợi là kết quả đã có trong đề bài.Từ đó dẫn đến các hướng để giải quyết: • Hướng 1: Biến đổi vế trái sao cho bằng vế phải.Thông thường ta dựa vào chính vế phải,từ về trái ta tìm cách phân tích,tách.ghép,biến đổi . làm xuất hiện các biểu thức trong vế phải Bài 1: 9 Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số 2 Chứng minh rằng sin x sin y x y cotg( ) cosx cos y 2 − + = − − Hướng dẫn: Bởi vì x y cos x y 2 cotg x y 2 sin 2 +    ÷ +     =  ÷ +      ÷   .Nên ta biến đổi vế trái sao cho tử thức và mẫu thức xuất hiện cos x y 2 +    ÷   ,sin x y 2 +    ÷   . Khi đó ta có: x y x y 2cos sin sin x sin y x y 2 2 cotg x y x y cosx cos y 2 2sin sin 2 2 + − − + = = − + − − − • Hướng 2:Biến đổi vế phải sao cho bằng vế trái.Ta xuất phát từ VP tìm cách làm xuất hiện các biểu thức trong vế trái.Các bạn có thể lấy ngay ví dụ một để thực hiện theo hướng này hoặc theo dõi ví dụ sau: Bài 2: Chứng minh rằng: cos x sin x cos2x cos x sin x 1 sin 2x + = − − Hướng dẫn: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 cosx sin x cosx sin x cos2x cos x sin x cosx sin x 1 sin 2x cosx sin x cos x sin x 2sinxcosx cosx sin x + − − + = = = − − + − − Nhận xét: Cũng có thể nhân cả tử và mẫu của VT với ( ) cosx sin x− để làm theo hướng thứ nhất.Nhưng thông thường thì việc tách ra bao giờ cũng dễ hơn việc thêm vào. • Hướng thứ 3: biến đổi cả vế trái và vế phải cùng bằng một biểu thức trung gian. Bài 3: Chứng minh rằng: n n n n n tg cos tg cos (n Z ) 1 cotg .cos 1 cotg .cos α α α α α α α α +   + + = ∈  ÷ + +   Ta có ( ) n n n tg cos tg cos tg 1 1 cotg .cos 1 .cos tg α α α α α α α α α    ÷   + + = =  ÷  ÷ +    ÷ +  ÷   (1) 10 [...]... 2 2 Chng minh biu thc khụng ph thuc vo bin: (x k ) 2 Dng bi tp ny cng khụng bit trc kt qu cui cựng nhng ta hon ton cú th kim tra c kt qu ú nh th no thụng qua mt suy lun n gin l:Vỡ biu thc khụng ph thuc vo bin nờn vi mi giỏ tr ca bin biu thc khụng thay i,do ú ta ch cn thay mt giỏ tr bt kỡ ca bin s kim tra c kt qu ca biu thc: Bi 1: Chng minh rng cỏc bi thc sau khụng ph thuc vo bin x: 2 2 a A = cos2... f (x) = + ữsin 2 2x + (m + 1) 2 4 m 1 1 f(x) khụng ph thuc vo x khi v ch khi + ữ = 0 m = 2 2 4 Cỏc bi tp cũn li lm tng t Bi 2 Tỡm m sao cho cỏc biu thc sau khụng ph thuc vo x f (x) = cos x + cos(x + 2m) + cos(x + 4m) + cos(x + 6m) a x b f (x) = m(2m sin x 1) 4(m 2 1)sinx.sin 2 + 2(m + 1)cos 2 x 2sin x 2 Bi 3 Tỡm m biu thc sau khụng ph thuc vo x a f (x) = m(sin 8 x + cos8 x) + (2m 1)(cos 4... xcos4 x + 2sin 2 xcos 2x + 1 d D = 3(sin8 x cos8x) 4(sin 6 x cos6x) + 6sin 4 x Tỡm iu kin ca tham s biu thc khụng ph thuc vo bin Bin i f(x, m) v dng f(x, m) = A(m).B(x) + C(m) v lp lun A(m)=0 Bi 1 Tỡm m sao cho: f(x) = sin 6 x + cos 6 x + m(sin 4 x + cos 4 x) + (m +1)sin 2 2x khụng ph thuc vo x Hng dn: S dng kt qu cõu a v b ca bi 1.5 ta cú: 3 1 f(x) = 1- sin 2 2x + m 1- sin 2 2x ữ+ (m +1)sin 2 2x... Nguyờn tc chung chng minh mt tng khụng ph thuc vo bin l ta bin i v cựng mt hm s lng giỏc( cỏc giỏ tr ú gin c ht).Trong phộp bin i trờn ta ó tỡm cỏch ghộp cỏc biu thc ri s dng cụng thc bin i tng thnh tớch a tt c cỏc hm s lng giỏc v mt hm s cos2x.Cỏc bn cng cú th tỏch ghộp theo mt cỏch khỏc,min l a tt c v cựng mt hm s lng giỏc l c Bi 2: Chng minh biu thc sau khụng ph thuc x: a) A = 2cos 4 x sin 4 x + sin... + t anx 1 c otx 1 1 +1 2 2 tanx + 1 = + t anx = + 1 t anx 1 1 t anx 1 cotx 1 t anx 2 (1 t anx) 1 t anx = = = 1 1 t anx t anx-1 Trng THPT Qu Vừ s 2 Bi 3: Chng minh rng cỏc bi thc sau khụng ph thuc vo bin x: a A = cos2 (x a) + cos 2x 2cosa cos xcos(a x) b B = cos2 (x a) + sin 2 (x b) 2cos(x a)sin(x b)sin(a b) Bi 4: Chng minh giỏ tr ca cỏc biu thc sau l mt hng s: x 3x cotg 2 cotg 2... 8 x + cos8 x) + (2m 1)(cos 4 x sin 4 x) + cos2x + 4 b f (x) = cos2x m sin 2 x + 3cos 2 x + 1 c f (x) = sin x + sin(x + m) + sin(x + 2m) + sin(x + 3m) + sin(x + 4m) Bi 4 Tỡm m biu thc sau khụng ph thuc vo x a f (x) = m(sin 8 x cos8 x) 4(2sin 6 x cos 6 x) n sin 4 x 1 b f (x) = m(sin 6 x + cos 6 x) n(sin 4 x + cos 4 x) + sin 2 2x 2 Dng kt qu c ch ra trong bi: Phn ny khỏ n gin, ngh cỏc bn t gii... tg10.tg190.tg210.tg390.tg410.tg590.tg610.tg790.tg810 = Bi 11 Tớnh tng: A = tg 2 3 5 + tg 2 + tg 2 12 12 12 ( 5 + 1)(4 10 + 2 5 ) 4 C H thc Viet v ng dng tớnh giỏ tr ca mt biu thc Chỳng ta ó quỏ quen thuc vi nh lớ Viet cng nh ng dng ca nú trong cỏc bi toỏn v phng trỡnh bc 2,hay cỏc bi v biu thc nghim i xng.Trong phn ny cỏc bn s tip tc thy c v p v tớnh ng dng rng rói ca nú trong cỏc bi tớnh giỏ tr ca... tớch hu hn thng cú tớnh quy lut iu quan trng nht l ta phi tỡm ra quy lut y.Trong cỏc bi di õy,cú mt s cõu c coi nh gi ý lm cỏc cõu tip theo.Mt s bi toỏn bi cho di dng chng minh,nú tr thnh mt mnh ph thuc s t nhiờn,s rt thun li trong vic s dng phng phỏp quy np 1 x = cot g cot gx Bi 1 a Chng minh: s inx 2 1 1 1 + + (2 n 1 k ) b Rỳt gn: S = n 1 sin sin 2 sin 2 3 + 3sin 3 2 + + 3n 1 sin 3 n Bi... m inf '(t ) = f '( Nhn xột: Cỏch ny phc tp, rm r hn cỏch 1 vỡ ó khụng s dng c lng cos 2 A cos A khi A khụng tự ( do ú i ti hm bc 4 i vi t = sin Cỏch 4: (ng dng tớch vụ hng ca cỏc vộc t) T imuOrbt kỡ thuc ABC v cỏc vộc t u ur u r n v e1 , e2 , e3 theo th t vuụng gúc vi cnh BC, AC, AB v hng ra ngoi ABC , u r ur u u r e1 = e2 = e3 = 1 u r ur u u r Ta cú 0 (2e1 + 2 e2 + 2 e3 ) 2 u2 r ur2 u u2 r u ur... x) 2x 1 32 Cỏc bi toỏn bin i lng giỏc Trng THPT Qu Vừ s 2 sin a + sin b + sin c = tgb cosa + cosb + cos c Bi 14 Chng minh rng nu ta cú msin(a +b) = cos(a b) vi a b k 1 1 + v m 1 thỡ A = khụng ph thuc a,b 1 m sin 2a 1 m sin 2b Bi 15 1 k (k 1) a Cho cos( + ) = k cos( ) Chng minh rng: tg tg = 1+ k 1 k (k 1) b Cho cos( + 2 ) = k cos( ) Chng minh rng: tg( + ).tg = 1+ k a sin(x ) A cos(x