Tiết: 32 − 33 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ I MỤC TIÊU Kiến thức: - Biết được: định nghĩa xác suất biến cố - Biết tính chất P ( ∅ ) = 0; P ( Ω ) = 1;0 ≤ P ( A) ≤ - Biết công thức cộng xác suất công thức nhân xác suất Kỹ năng: - Tính xác suất biến cố toán cụ thể - Vận dụng công thức cộng công thức nhân xác suất Thái độ: - Cẩn thận, xác - Thấy tốn học có ứng dụng thực tiễn Năng lực hướng tới - Năng lực tự học; giải vấn đề, tính tốn II CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH Giáo viên - Giáo án, SGK, đồ dùng dạy học Học sinh - SGK, đồ dùng học tập III PHƯƠNG TIỆN, PHƯƠNG PHÁP, KỸ THUẬT DẠY HỌC Thuyết trình, nêu giải vấn đề Hoạt động nhóm IV TIẾN TRÌNH DẠY HỌC Tiết 1: Giới thiệu, Nội dung, luyện tập 1, Tiết 2: Luyện tập 3, 4,5,6,7, vận dụng tìm tòi mở rộng Giới thiệu Nếu gieo đồng tiền khả xuất mặt sấp phần trăm? Để tìm hiểu vấn đề này, nghiên cứu nội dung hôm Nội dung 2.1 Định nghĩa cổ điển xác suất Định nghĩa : (SGK) Kí hiệu P(A) P(A) = n( A) n( Ω ) * Chú ý: n(A) số phần tử số kết thuận lợi cho biến cố A, n( Ω ) số kết xảy phép thử Ví dụ: Ω = {SS, SN, NS, NN} A = {SS} , n(A) = 1, n( Ω ) = ⇒ P ( A) = n( A) = n(Ω) B = {sn, ns}, n(B) = ⇒ P ( A) = n( A) = = n(Ω) 2.2 Tính chất xác suất Định lí: a P ( ∅ ) = 0; P ( Ω ) = 1; b ≤ P ( A) ≤ c P ( A ∪ B) = P ( A) + P ( B) ( ) * Hệ quả: P A = 1− P ( A) Ví dụ: Một hộp chứa 20 cầu đánh số từ đến 20 Lấy ngẫu nhiên Tính xác suất biến cố sau: a) A: “Nhận cầu ghi số chẵn” b) B: “Nhận cầu chia hết cho 3” c) A ∩ B d) C: “Nhận cầu ghi số chia hết cho 6” Giải : Ω = {1,2,3,4,5, ,19,20} ⇒ n( Ω ) = 20 a) A = {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20} ⇒ n(A) = 10 n ( A) 10 = n ( Ω ) 20 b) B = {3,6,9,12,15,18} ⇒ n(B) = ⇒ P ( B) = 10 ⇒ P ( A) = = c) A ∩ B = {6,12,18} ⇒ P ( A ∩ B ) = d) C = A ∩ B ⇒ P ( C ) = 20 20 2.3 Các biến cố độc lập, công thức nhân xác suất VD7: (sgk) Ω ={N1,N2,N3,N4,N5,N6,S1,S2,S3,S4,S5,S6} +A={S1,S2,S3,S4,S5,S6} + B={S6, N6} + C={N1,N3,N5,S1,S3,S5} + A ∩ B = {S6} + A ∩ C = {S1,S3,S5} ⇒ n ( A ) = 6, n ( B ) = 2, n ( C ) = 6, n ( A ∩ B ) = 1, n ( A ∩ C ) = 1 ⇒ P ( A) = , P ( B ) = , P ( C ) = , 1 P( A ∩ B) = = P( A).P( B ); P ( A ∩ C ) = = P ( A).P (C ) 12 *A B hai biến cố độc lập P(A.B) = P(A).P(B) Luyện tập: Bài Gieo ngẫu nhiên súc sắc cân đối đồng chất hai lần a) Hãy mô tả không gian mẫu b) Xác định biến cố sau: A: “Tổng số chấm xuất hai lần gieo không bé 10”; B: “Mặt % chấm xuất lần” c) Tính P(A), P(B) Lời giải: Phép thử T xét “Gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần” a) Ω = {(i, j) | i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6} Số phần tử khơng gian mẫu n(Ω) = 36 Do tính đối xứng súc sắc tính độc lập lần gieo suy kết có phép thử T đồng khả b) A = {(6, 4), (4, 6), (5, 5), (6, 5), (5, 6), (6, 6)}, B = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 6)} c) P(A) = 6/36= 1/36; P(B) =11/36 Bài Có bốn bìa đánh số từ đến Rút ngẫu nhiên ba a) Hãy mô tả không gian mẫu b) Xác định biến cố sau: A: “Tổng số ba bìa 8”; B: “Các số ba bìa ba số tự nhiên liên tiếp” c) Tính P(A), P(B) Lời giải: Phép thử T xét là: “Từ bốn bìa cho, rút ngẫu nhiên ba tâm” a) Đồng số i với bìa đánh số i, i =¯1,6, ta có: kết có phép thử T tổ hợp chập số 1, 2, 3, Do khơng gian mẫu là: Ω = {(1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4)} Số phần tử khơng gian mẫu n(Ω) = C34 = Vì lấy ngẫu nhiên, nên kết cso thể có phép thử T đồng khả b) A = {(1, 3, 4)}; B = {(1, 2, 3), (2, 3, 4)} c) P(A) =1/4; P(B) =2/4 =1/2 Bài Một người chọn ngẫu nhiên hai giày từ bốn đơi giày cỡ khác Tính xác suất để hai chọn tạo thành đôi Lời giải: Phép thử T xét là: “Lấy ngẫu nhiên giày từ đơi giày có cỡ khác nhau” Mỗi kết tổ hợp chập giày Do số kết có thể có phép thử T n(Ω) = C28 = 8!/(2!6!)= 28 Vì lấy ngẫu nhiên, nên kết có phép thử T đồng khả Gọi A biến cố: “Lấy hai giày tạo thành đôi” Mỗi kết có thuận lợi cho A đôi giày đôi giày cho Do số kết có thuận lợi cho A n(A) = Suy P(A) = 4/28= 1/7 Bài Gieo súc sắc cân đối đồng chất Giả sử súc sắc xuất mặt b chấm Xét phương trình x2 + bx + = Tính xác suất cho: a) Phương trình có nghiệm b) Phương trình vơ nghiệm c) Phương trình có nghiệm ngun Giải: Khơng gian mẫu Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Số kết có (hữu hạn); kết đồng khả Ta có bảng: b ∆ = b2 – -7 -4 17 28 2 a) Phương trình x + bx + = có nghiệm ∆ = b – ≥ (*) Vì A biến cố: “Xuất mặt b chấm cho phương trình x2 + bx + = có nghiệm” A = {3, 4, 5, 6}, n(A) = P(A) = 4/6= 2/3 b) Biến cố B: “Xuất mặt b chấm cho phương trình x2 + bx + = vô nghiệm” biến cố A, theo qui tắc cộng xác suất ta có P(B) = – P(A) = 1/3 c) Nếu C biến cố: “Xuất mặt b chấm cho phương trình x2 + bx + = có nghiệm ngun” C = {3}, P(C) = 1/6 Bài Từ cỗ tứ lơ khơ 52 con, rút ngẫu nhiên lúc bốn Tính xác suất cho: a) Cả bốn át; b) Được át; c) Được hai át hai K Lời giải: Phép thử T xét là: “Từ cỗ tú lơ khơ 52 bài, rút ngẫu nhiên bài” Mỗi kết có tổ hợp chập 52 Do số kết có phép thử T n(Ω) = C452 =52! / (4!48!) = 270725 Vì rút ngẫu nhiên nên kết có đồng khả a) Gọi biến cố A: “Rút bốn át” Ta có, số kết có thuận lợi cho A n(A) = Suy P(A) = 1/270725 ≈ 0,0000037 b) Gọi biến cố B: “Rút át” Ta có ¯B= “Rút khơng át” Mỗi kết thuận lợi cho ¯B tổ hợp chập 48 át Suy số kết có thuận lợi cho ¯B C448 = 48! / (4!44!)= 194580 Suy P(¯B) = 194580/270725≈ 0,7187 Qua ta có P(B) = – P(¯B) = 1- 0,7187 ≈ 0,2813 c) Gọi C biến cố: “Rút hai át hai K” Mỗi kết có thuận lợi cho C tổ hợp gồm át K Vận dụng quy tắc nhân tính số kết có thuận lợi cho C n(C) = C24 C24 = = 36 Suy P(C) =36/270725≈ 0,000133 Bài Hai bạn nam hai bạn nữ xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp thành hai dãy đối diện Tính xác suất cho: a) Nam, nữ ngồi đối diện nhau; b) Nữ ngồi đối diện Lời giải: a) Có cách xếp nam, nữ (Khơng phân biệt hai nam với nhau, hai nữ với nhau) Có cách xếp nam nữ ngồi đối diện với Xác suất để nam, nữ ngồi đối diện là: P(A) = 4/6 = 2/3 b) Xã suất để nữ ngồi đối diện (hai nam đối diện nhau) là: P(B) = – P(A) = 1-2/3 = 1/3 Bài Có hai hộp chứa cầu Hộp thứ chứa trằng, đen Hộp thứ hai chứa trằng, đen Từ hộp lấy ngẫu nhiên Kí hiệu: A biến cố: “Quả lấy từ hộp thứ trằng”; B biến cố: “Quả lấy từ hộp thứ hai trắng” a) Xét xem A B có độc lập khơng b) Tính xác suất cho hai cầu lấy màu c) Tính xác suất cho hai cầu lấy khác màu Đáp án: Phép thử T xét là: “Từ hộp lấy ngẫu nhiên cầu” Mỗi kết có phép thư T gồm hai thành phần là: cầu hộp thứ cầu hộp thứ Có 10 cách để lấy cầu hộp thứ có 10 cách để lấy cầu hộp thứ Từ đó, vận dụng quy tắc nhân ta tìm số cách để lập kết có hai phép thử T 10 10 = 100 Suy số kết có phép thử T n(Ω) = 100 Vì lấy ngầu nhiên nên kết có phép thử T đồng khả Xét biến cố A: “Quả cầu lấy từ hộp thứ có màu trắng” Mỗi kết có thuận lợi cho A gồm thành phần là: cầu trắng hợp thứ cầu (nào đó) hộp thứ Vận dụng quy tắc nhân ta tìm số kết có thuận lợi cho A là: n(A) = 10 = 60 Suy P(A) = 60/100 = 0,6 Xét biến cố B: “Quả cầu lấy từ hộp thứ hai có màu trắng” Tương tự ta tìm số kết thuận lợi cho B là: n(B) = 10 = 40 Từ suy P(B) = 40/100 = 0,4 a) Ta có A B biến cố: “Lấy cầu trắng hộp thứ cầu trắng hộp thứ hai” Vận dụng quy tắc nhân ta tìm số kết có thuận lợi cho A B là: =24 Suy ra: P(A B) = 24/100= 0,24 = 0,6 0,4 = P(A) P(B) Như vậy, ta có P(A B) = P(A) P(B) Suy A B hai biến cố độc lập với b) Gọi C biến cố: “Lấy hai cầu màu” Ta có C = A B + ¯A.¯B Trong ¯A = “Quả cầu lấy từ hộp thứ có màu đen” P( ¯A) = 0,4 ¯B: “Quả cầu lấy từ hộp thứ hai có màu đen” P( ¯B) = 0,6 Và ta có A B ¯A ¯B hai biến cố xung khắc với A B độc lập với nhau, nên ¯A ¯B độc lập với Qua suy ra; P(C) = P(A B + ¯A ¯B) = P(A B) + P( ¯A ¯B) = P(A) P(B) + P( ¯A) P( ¯B) = 0,6 0,4 + 0,4 0,6 = 0,48 c) Gọi D biến cố: “Lấy hai cầu khác màu” Ta có D = ¯C ⇒ P(D) = – P(C) = – 0,48 = 0,52 Vận dụng, tìm tòi mở rộng: 3.1 Định nghĩa thống kê xác suất a) Định nghĩa tần suất: Tần suất xuất biến cố n phép thử tỷ số số phép thử biến cố xuất tổng số phép thử thực Nêu ký hiệu phép thử n, số lần xuất biến cố A k, tần suất xuất biến cố A Cùng với khái niệm xác suất, khái niệm tần suất khái niệm lý thuyết xác suất Thí dụ 1: Khi khảo sát ngẫu nhiên 40 sinh viên người ta phát sinh viên giỏi Nếu gọi A biến cố “xuất sinh viên giỏi” tần suất xuất sinh viên giỏi số 40 SV khảo sát là: Thí dụ 2: Để nghiên cứu khả xuất mặt sấp tung đồng xu, người ta tiến hành tung đồng xu nhiều lần thu kết cho bảng đây: Người tiến hành thử Số lần tung (n) Số lần mặt sấp (k) Tần suất f(A) Thùy Nhiên Nhất Tâm 5268 14400 2671 7021 0,50702 Thiên Hương 20045 10033 0,50052 0,50146 Từ kết lần thử ta thấy số phép thử tăng lên, tần suất xuất mặt sấp tiến dần đến 0,5 xác suất xuất mặt sấp tung đồng xu Vậy tần suất tiến dần đến xác suất số phép thử tăng dần đến vô hạn.(Vấn đề tìm hiểu kỹ học luật số lớn) Từ ta có định nghĩa thống kê xác suất : b) Định nghĩa xác suất Khi số phép thử tăng lên vô hạn, tần suất xuất biến cố tiến dần đến số xác định gọi xác suất biến cố Hay nói cách khác, xác suất giới hạn tần suất số phép thử tăng lên vơ hạn: Định nghĩa thống kê xác suất có ưu điểm lớn khơng đòi hỏi điều kiện áp dụng định nghĩa cổ điển Nó hồn tồn dựa quan sát thực tế để làm sở kết luận xác suất xảy biến cố Tuy nhiên thực tế tiến hành vô hạn phép thử, số phép thử đủ lớn ta xem xác suất xấp xỉ tần suất: 3.2 Định nghĩa xác suất theo hình học: Khi số phép thử n(Ω) vô hạn, ta áp dụng định nghĩa cổ điển để tính xác suất Trong nhiều trường hợp, ta sử dụng định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học sau: a Định nghĩa: Giả sử điểm rơi ngẫu nhiên vào miền D, A mền D Khi xác suất để điểm rơi ngẫu nhiên vào miền A xác định cơng thức: Trong sd(A), sd(D) số đo miền A, D (có thể độ dài, diện tích hay thể tích tùy thuộc vào miền xét đường thẳng, mặt phẳng hay khơng gian chiều theo tốn cụ thể) Ta xem xét định nghĩa thơng qua ví dụ điển hình – “Bài tốn gặp gỡ” Hai người bạn hẹn gặp địa điểm định trước khoảng thời gian từ 19 đến 20 Hai người đến chổ hẹn độc lập với qui ước người đến trước đợi người đến sau 10 phút, khơng gặp Tính xác suất để hai người gặp nhau? Giải: Gọi A biến cố hai người gặp Gọi x số phút thời điểm người thứ đến điểm hẹn: ≤ x ≤ 60 Gọi y số phút lúc người thứ hai đến điểm hẹn: ≤ y ≤ 60 Nếu ta biểu diễn số phút x theo trục hoành số phút y theo trục tung Như số phút lúc đến hai người biểu diễn điểm có tọa độ (x, y) nằm hình vng có cạnh 60 (ta lấy phút làmđơn vị) Đó miền D D = {(x,y): ≤x ≤ 60; ≤ y ≤ 60} Để hai người gặp số phút lúc đến x, y người phải thỏa mãn điều kiện: hay Như điểm (x, y) thích hợp cho việc gặp điểm nằm phần A có gạch chéo nằm hai đường thẳng y = x – 10 y = x + 10 (như hình vẽ) Theo cơng thức xác suất hình học: Từ định nghĩa xác suất hình học, ta thấy biến cố có xác suất xảy Chẳng hạn, xác suất để viên đạn rơi trúng điểm M miền D khơng (vì diện tích S(A) diện tích điểm M, 0), biến cố xảy V HƯỚNG DẪN HS TỰ HỌC Tiết 1: - HS nhà xem lại lý thuyết ví dụ - Xem lại tập để chuẩn bị tiết sau làm tập Tiết 2: - HS nhà xem lại lý thuyết tập - Chuẩn bị MTBT cho tiết sau thực hành MTBT