Tiết: 13 → 17 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP I MỤC TIÊU Kiến thức: - Nắm dạng, phương pháp giải phương trình bậc hàm số lượng giác - Nắm dạng, phương pháp giải phương trình bậc hai hàm số lượng giác - Nắm dạng, phương pháp giải phương trình bậc sinx cosx Kỹ năng: - Rèn luyện kĩ vận dụng phương pháp giải phương trình lượng giác đơn giản vào việc giải phương trình lượng giác phức tạp - Rèn luyện kĩ vận dụng phương pháp giải phương trình lượng giác đơn giản vào việc giải phương trình lượng giác phức tạp - Rèn luyện kĩ vận dụng phương pháp giải phương trình lượng giác đơn giản vào việc giải phương trình lượng giác phức tạp Thái độ: - Cẩn thận, xác khoa học, ý tập trung Năng lực hướng tới - Năng lực tự học; giải vấn đề, tính tốn II CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH Giáo viên - Giáo án, SGK, đồ dùng dạy học Học sinh - SGK, đồ dùng học tập III PHƯƠNG TIỆN, PHƯƠNG PHÁP, KỸ THUẬT DẠY HỌC Thuyết trình, nêu giải vấn đề Hoạt động nhóm IV TIẾN TRÌNH DẠY HỌC Tiết 1: Giới thiệu, nội dung 2.1, luyện tập Tiết 2: Nội dung 2.2, luyện tập Tiết 3: Nội dung 2.3, luyện tập Tiết 4: Luyện tập 4,5 Tiết 5: Luyện tập 6, vận dụng tìm tòi mở rộng Giới thiệu Quan sát phương trình đây, cho biết thuộc dạng phương trình nào? a)2 x − = b) − x + x − = c)2sin x + = d ) tan x − 3tan x + = Gợi ý: a) Phương trình bậc ẩn x b) Phương trình bậc hai ẩn x c) Phương trình bậc hàm số lượng giác d) Phương trình bậc hai hàm số lượng giác Ở cấp 2, em biết cách giải phương trình dạng a b Những tiết tìm phương pháp giải phương trình dạng c, d số phương trình lượng giác thường gặp khác 2 Nội dung học 2.1 Phương trình bậc hàm số lượng giác 2.1.1 Hoạt động khởi tạo: Dựa vào cách giải phương trình 2x-1=0; giải phương trình 2sinx -1 = ? Gợi ý: π  x = + kπ  2sin x − = ⇔ sinx = ⇔  ;k ∈¢ π x = + kπ  2.1.2 Hình thành kiến thức: a) Định nghĩa: (SGK)Phương trình có dạng : at + b = 0; a≠0 ( t hàm số lượng giác) b) Cách giải : (SGK) at + b = ⇔ t = −b a Ví dụ: Các phương trình sau, phương trình phương trình bậc hàm số lượng giác? a) 4sinx + = b) tanx + = c) tan2x + = d) x + = 2) Giải phương trình sau : a )3cosx + = b) cot x + = Gợi ý: Phương trình a, b a )3cosx + = ⇔ cos x = − ( PTVN ) b) cot x + = ⇔ cot x = −3 ⇔ x = arctan(−3) + kπ ; k ∈ ¢ 2.2 Phương trình bậc hai hàm số lượng giác 2.2.1 Hoạt động khởi tạo: Dựa vào cách giải phương trình x + 2x − = ; nêu cách giải phương trình tan x + t anx −5 = ? Gợi ý: Đặt t=tanx để đưa phương trình sau phương trình đầu 2.2.2 Hình thành kiến thức: a) Định nghĩa: (SGK) Phương trình có dạng : at + bt + c = ; a≠0 ( t hàm số lượng giác) b) Cách giải : (SGK) B1 : Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ t đặt điều kiện t (nếu có) B2 : Giải phương trình bậc hai theo t kiểm tra lại điều kiện để chọn nghiệm t B3 : Giải phương trình lượng giác theo nghiệm t nhận Ví dụ: Các phương trình sau, phương trình phương trình bậc hàm số lượng giác? b)2sin x − sin x − = c)3cot x − cot x + = a) 4sinx + = d) x + = 2) Giải phương trình tan x + t anx −5 = Gợi ý: Phương trình b, c t = Đặt t = t anx phương trình trở thành t + 2t − = ⇔  t=−  π Với t = ta có t anx = ⇔ x = + kπ ; k ∈ ¢ 5 Với t = ta có t anx = − ⇔ x = arctan(− ) + kπ ; k ∈ ¢ 3 2.3 Phương trình bậc sinx cosx 2.3.1 Hoạt động khởi tạo: Nhắc lại công thức cộng sin(a + b) ? Áp dụng vào chứng minh công thức asinx + bcosx = a2 + b2 sin( x + α ) với cosα = sinα = b a a2 + b2 (1) a + b2 Gợi ý: sin(a + b) = sinacosb + sinbcosa 2 asinx + bcosx  =   a + b ( với cosα = a a2 + b2 a a +b sinα = 2 b a2 + b2 sinx + b a +b 2 cosx  ) = a + b sin( x + α ); 2.3.2 Hình thành kiến thức: a) Định nghĩa: (SGK) Phương trình có dạng : asinx + bcosx = c(2) b) Cách giải : (SGK) Nếu a = 0, b ≠ b = 0, a ≠ phương trình (2) đưa phương trình lượng giác Nếu a ≠ 0, b ≠ ta áp dụng cơng thức (1) Ví dụ: Giải phương trình sin x + 3cos x = Gợi ý: Áp dụng cơng thức (1) ta có sin x + 3cos x = 1+ ( 3) sin( x + α ) = sin( x + α ) π π  , cos α = Từ ta lấy α = ta có sin x + 3cos x =2 sin x + ÷ 3  π  x = − + k2π  π π π   ( k∈ ¢ ) Khi : sin x + 3cos x = ⇔ sin x + ÷ = ⇔ sin x + ÷ = sin ⇔  3 3    x = π + k2π  với sin α = Luyện tập: Bài 1: Giải phương trình sau: π a )2sin( x + ) − = c) cot(x+200 ) − = b) t an2x + = d ) cot x − cot x = Gợi ý: π  π π  x + = + kπ x = − + kπ   π π a )2sin( x + ) − = ⇔ sin( x + ) = ⇔  ⇔ ;k ∈ ¢ π π π 2 x + =  + 2kπ x = + kπ   π π π b) t an2x + = ⇔ tan 2x = − ⇔ 2x = − + kπ ⇔ x = − + k ;k ∈ ¢ 12 0 0 c) cot(x+20 ) − = ⇔ cot(x+20 ) = ⇔ x + 20 =45 +k180 ⇔ x=250 +k1800 ;k ∈ ¢ π  x = + kπ  cot x = cot x =   ⇔ ⇔ ; k ∈ ¢ d ) cot x − cot x = ⇔ cot x(cotx −1) = ⇔  cot x − = cot x=1  x = π + kπ  x x Bài 2: Giải phương trình cos + 2cos − (1 + 2) = 2 Gợi ý: t = x 2 Đặt t = cos ( −1 ≤ t ≤ 1) ta có: t + 2t − (1 + 2) = ⇔  t = + (loai) x x = 2kπ ⇔ x = 4kπ Bài 3: Giải phương trình cos x − sin x = Với t = ta có cos = ⇔ Gợi ý: π π π  − x = + k2π x = − + k2π   12 2⇔ ⇔ ; k∈ ¢  cos x − sin x = ⇔ cos x − sin x = 2  π − x = 3π + k2π  x = − 7π + k2π   12 Bài 4: Giải phương trình: a s in3x − = ; b sin x − sin x = ; c cos x − 3cos x + = Gợi ý: a π π   x = + kπ 3x = + 2kπ   12 s in3x − = ⇔ s in3x = ⇔ ⇔ ; k ∈ ¢¢  x = π + kπ 3x = 3π + 2kπ  4   x = kπ sin x = ⇔ ( k∈ ¢ ) b sin x − sin x = ⇔ sin x( sin x − 1) = ⇔   x = π + k2π sin x =   2 x  x cos =  x = k4π   = k2π x 2 x ⇔ ⇔ ( k∈ ¢ ) c cos − 3cos + = ⇔   x = ± 2π + k4π x x π 2 cos =  = ± + k2π    2 Bài 5: Giải phương trình: a tan 3x − = b cos x − sin x = ; c 3sin x − cos 3x = Gợi ý: a x = π π +k 18 π π π  − x = + k2π x = − + k2π   12 ⇔ ⇔  b cos x − sin x = ⇔ cos x − sin x = 2  π − x = 3π + k2π  x = − 7π + k2π   12 α π 2π b x = + + k (với cosα = ,sinα = ) 5 Bài 6: Giải phương trình a 2sin x + cos x − = ; b 2sin x + sin x cos x − 3cos x = Gợi ý: a ) 2sin x + cos x − = ⇔ 2sin x + 2cos x = ⇔ π  π π  x + = + k2π x = − + k2π   π  12 sin x + cos x = ⇔ sin x + ÷ = ⇔  ⇔ ; k ∈ ¢ 4 π π π 2   x+ = x= + k2π + k2π   12 1 b) Ta thấy cosx = khơng thỗ mãn phương trình (vì VT = , VP = 0) Chia hai vế phương trình cho cos2x, ta 2tan2 x + tan x − = π   tan x =  x = + kπ  ( k∈ ¢ )  x = arctan −  + kπ  2÷    π  3 Vậy nghiệm phương trình x = + kπ ; x = arctan − ÷+ kπ ;( k ∈ ¢ )  2 ⇔ ⇔  tan x = −  Vận dụng, tìm tòi mở rộng: Bài 1: Giải phương trình 3sin 3x − cos9 x = + 4sin 3 x Gợi ý: 3sin 3x − cos9 x = + 4sin 3 x ⇔ (3sin x − 4sin x) − cos9 x = π 2π  x = + k  π π 18 ⇔ ⇔ sin(9 x − ) = sin  ⇔ sin x − cos9 x =  x = 7π + k 2π  54 Bài 2: Giải phương trình tan x − sin x − cos x + 2(2cos x − Gợi ý: Điều kiện: cos x ≠ ⇔ x ≠ (1) ⇔ ) = (1) cos x π + kπ sin x − sin x − cos x + 4cos x − =0 cos x cos x ⇔ sin x − 2sin x cos x − cos x cos x + 2(2cos x − 1) = ⇔ sin x(1 − 2cos x) − cos x cos x + 2cos x = ⇔ − sin x cos x − cos x cos x + 2cos x = cos x =  π π ⇔ cos x(sin x + cos x − 2) = ⇔  ⇔ x = + k ; k ∈ ¢ sin x + cos x = 2(vn) Bài 3: Giải phương trình 8sin x = (1) + cos x sin x Gợi ý: Điều kiện: sin x ≠ ⇔ x ≠ k π (1) ⇔ 8sin x cos x = sin x + cos x ⇔ 4(1 − cos x)cos x = sin x + cos x ⇔ −4cos x cos x = sin x − 3cos x ⇔ −2(cos3 x + cos x) = sin x − 3cos x π  x = + kπ  π ; k ∈ ¢ ⇔ cos3x = cos x − sin x ⇔ cos3 x = cos( x + ) ⇔  π π 2 x = − + k  12 V Tiết 1: HƯỚNG DẪN HS TỰ HỌC - HS nhà xem lại kiến thức học - Chuẩn bị trước nội dung sau: Cách giải phương trình bậc hai ẩn x? Phương trình bậc hai hàm số lượng giác Tiết 2: - HS nhà xem lại kiến thức, tập làm - Chuẩn bị trước nội dung sau: Cơng thức cộng? Phương trình bậc sinx cosx Tiết 3: - HS nhà xem lại kiến thức, tập làm - Chuẩn bị trước nội dung sau: Bài tập SGK Máy tính bỏ túi Tiết 4: - HS nhà xem lại kiến thức, tập làm - Chuẩn bị trước nội dung sau: Máy tính bỏ túi Bài tập SGK Tiết 5: - HS nhà xem lại kiến thức, tập làm - Chuẩn bị trước nội dung sau: Xem lại kiến thức tồn chương, tiết sau ơn tập chương