BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ VĂN HIỂN MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍNH DƯỚI CHÍNH QUY MÊTRIC TRONG GIẢI TÍCH BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 46 01 02 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC NGHỆ AN - 2019 Cơng trình hồn thành trường Đại học Vinh Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Huy Chiêu PGS TS Đinh Huy Hoàng Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ Hội đồng chấm luận án cấp trường Đại học Vinh vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại: Thư viện Nguyễn Thúc Hào - Trường Đại học Vinh Thư viện Quốc gia Việt Nam MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nhằm bổ sung cơng cụ để khảo sát tốn tối ưu toán liên quan, đầu năm 1960, R T Rockafellar J.-J Moreau đề xuất nghiên cứu khái niệm vi phân cho hàm lồi Giữa thập niên 1970, F H Clarke B S Mordukhovich độc lập đưa khái niệm vi phân cho hàm khơng lồi Đạo hàm đối đạo hàm ánh xạ đa trị xuất vào đầu thập niên 1980 Bên cạnh đó, nhiều khái niệm vi phân suy rộng khác giới thiệu nghiên cứu Năm 1998, R T Rockafellar R J.-B Wets xuất sách chuyên khảo “Variational Analysis” sở tổng hợp, hệ thống hóa bổ sung kết theo hướng nghiên cứu này, đánh dấu đời Giải tích biến phân Đến nay, giải tích biến phân bậc hồn thiện, giải tích biến phân bậc hai nghiên cứu mạnh phát triển nhanh Lĩnh vực thu hút ý nhiều nhà toán học thời gian gần Vi phân suy rộng đóng vai trò trung tâm giải tích biến phân ứng dụng Đối với cấu trúc vi phân suy rộng nào, có hai vấn đề đặt cách tự nhiên: thứ cấu trúc phản ánh tính chất hàm số, ánh xạ hay tập hợp; thứ hai làm để tính tốn ước lượng cấu trúc theo liệu ban đầu toán Thực tế để giải thấu đáo vấn đề người ta cần đến thơng tin tính quy hàm số, ánh xạ hay tập hợp có liên quan Chính vậy, tính chất quy đối tượng nghiên cứu quan trọng giải tích biến phân Tính quy mêtric tính chất quy đáng ý giải tích biến phân bậc Gần đây, có nhiều cơng trình nghiên cứu tính quy mêtric giải tích biến phân bậc hai Tuy vậy, vai trò tính chất giải tích biến phân bậc hai vấn đề thú vị cần khảo sát thêm Với lý thế, lựa chọn đề tài luận án “Một số kết tính quy mêtric giải tích biến phân ứng dụng” Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án thiết lập kết nghiên cứu dựa vào việc khảo sát hai vấn đề nêu trên, góp phần làm rõ vai trò tính quy mêtric giải tích biến phân ứng dụng Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận án tính quy giải tích biến phân, đạo hàm đồ thị gradient, tính ổn định xiên (tilt stability) tính chất tĩnh lặng cô lập (isolated calmness) Phạm vi nghiên cứu - Đối với vấn đề thứ nhất, luận án tập trung nghiên cứu khả đạo hàm đồ thị gradient việc nhận biết tính ổn định xiên cho tốn tối ưu khơng ràng buộc với hàm mục tiêu quy gần kề Đồng thời, luận án quan tâm đến toán quy hoạch phi tuyến ràng buộc bất đẳng thức thỏa mãn điều kiện quy mêtric với hàm mục tiêu hàm ràng buộc khả vi liên tục hai lần - Đối với vấn đề thứ hai, luận án tập trung vào việc tính đạo hàm đồ thị gradient cho lớp ánh xạ nón pháp tuyến với điều kiện quy mêtric sử dụng kết tính tốn để khảo sát tính chất tĩnh lặng cô lập ánh xạ nghiệm cho lớp phương trình suy rộng Phương pháp nghiên cứu Trong luận án này, sử dụng phương pháp tiếp cận biến phân kĩ thuật giải tích hàm, giải tích lồi, giải tích đa trị, giải tích biến phân, lý thuyết tối ưu Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận án góp phần làm phong phú thêm quy tắc tính tốn giải tích biến phân; đồng thời, luận án đề xuất cách tiếp cận nghiên cứu tính ổn định xiên, cải thiện số kết tính ổn định xiên quy hoạch phi tuyến; qua làm rõ vai trò tính quy mêtric giải tích biến phân ứng dụng Luận án tài liệu tham khảo tốt cho quan tâm nghiên cứu lĩnh vực giải tích biến phân, lý thuyết tối ưu ứng dụng Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan số vấn đề liên quan đến luận án Các tính chất quy đóng vai trò quan trọng giải tích biến phân ứng dụng Một mặt, tính chất dùng để thiết lập điều kiện cực trị nghiên cứu vấn đề ổn định cho toán tối ưu toán liên quan Mặt khác, chúng sử dụng để phát triển hệ thống quy tắc tính tốn giải tích biến phân Ngồi ra, tính chất quy dùng để khảo sát hội tụ thuật toán tối ưu số Trong giải tích biến phân, nhà tốn học đề xuất nghiên cứu nhiều khái niệm quy khác cho tập hợp, hàm giá trị thực mở rộng ánh xạ đa trị Một tính chất quy quan trọng nghiên cứu điều kiện tối ưu quy tắc tính tốn cấu trúc vi phân suy rộng tính quy mêtric Năm 1979, A D Ioffe sử dụng tính chất để định nghĩa khái niệm điểm quy thiết lập điều kiện cần tối ưu bậc cho lớp toán tối ưu Thuật ngữ “dưới quy mêtric” đề xuất năm 2004 A L Dontchev R T Rockafellar Tính quy mêtric ánh xạ đa trị tương đương với tính chất tĩnh lặng (calmness) ánh xạ ngược Năm 2008, A D Ioffe J V Outrata thiết lập hệ thống quy tắc tính tốn cho cấu trúc vi phân suy rộng bậc dạng đối ngẫu với điều kiện quy mêtric Gần đây, nhà nghiên cứu thiết lập nhiều quy tắc tính tốn cho cấu trúc vi phân suy rộng bậc hai với giả thiết quy mêtric Đạo hàm đồ thị (graphical derivative) ánh xạ đa trị điểm thuộc đồ thị ánh xạ đa trị có đồ thị nón tiếp tuyến đồ thị ánh xạ đa trị cho điểm xem xét Khái niệm J -P Aubin đề xuất năm 1981 với tên gọi đạo hàm contingent Thuật ngữ đạo hàm đồ thị sử dụng sách chuyên khảo “Variational Analysis” xuất năm 1998 R T Rockafellar R J -B Wets thuật ngữ thông dụng để khái niệm Đạo hàm đồ thị cơng cụ mạnh giải tích biến phân Nó dùng để nghiên cứu tính ổn định hệ ràng buộc, hệ biến phân tổng quát phương trình suy rộng Đạo hàm đồ thị sử dụng để đặc trưng số tính chất tốt ánh xạ đa trị tính quy mêtric, tính chất Aubin, tính chất tĩnh lặng lập tính quy mêtric mạnh Mặc dù chìa khóa để giải nhiều vấn đề quan trọng giải tích biến phân, tính tốn đạo hàm đồ thị nói chung tốn khó Nó nhiều người nghiên cứu thời gian dài nhiều kết thú vị theo hướng thiết lập Xét tập Γ cho công thức Γ := x ∈ Rn | q(x) ∈ Θ , q : Rn → Rm , q(x) = (q1 (x), q2 (x), , qm (x)), ánh xạ khả vi liên tục hai lần Θ ⊂ Rm tập đóng khác rỗng Đặt Mq (x) := q(x) − Θ với x ∈ Rn Nếu Θ = Rm − Γ miền ràng buộc quy hoạch phi tuyến và, trường hợp này, chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian-Fromovitz (MFCQ) x ¯ ∈ Γ ánh xạ Mq quy mêtric quanh (¯ x, 0) Hơn nữa, thêm giả thiết qi : Rn → R, i = 1, 2, , m, hàm lồi, điều kiện Slater Mq quy mêtric Nếu Θ nón lồi đóng Γ miền ràng buộc quy hoạch nón chuẩn hóa ràng buộc Robinson (RCQ) tương đương với tính quy mêtric Mq Điều kiện Slater, MFCQ RCQ chuẩn hóa ràng buộc quan trọng lý thuyết tối ưu ứng dụng Những điều kiện chất tính quy mêtric ánh xạ đa trị Mq Do đó, gọi chung điều kiện chuẩn hóa ràng buộc quy mêtric Năm 2015, với Γ miền ràng buộc quy hoạch phi tuyến, H Gfrerer B S Mordukhovich giới thiệu khái niệm chuẩn hóa ràng buộc quy mêtric (MSCQ), điều kiện Mq quy mêtric Sau đó, khái niệm mở rộng cho Θ tập đóng Trong luận án này, chúng tơi quan tâm vấn đề tính đạo hàm đồ thị DNΓ ánh xạ nón pháp tuyến NΓ : Rn ⇒ Rn , x → NΓ (x), với Θ tập lồi đa diện Kết tính đạo hàm DNΓ thiết lập vào năm 1996 A L Dontchev R T Rockafellar, tác giả mơ tả xác đồ thị DNΓ , với giả thiết Γ tập lồi đa diện, theo liệu đầu vào tốn Kết sau dùng để tính vi phân bậc hai qua giới hạn hàm Γ Dựa vào số quy tắc tính tốn có sẵn giải tích biến phân, năm 2013, R Henrion cộng giới thiệu cơng thức tính đạo hàm DNΓ với giả thiết Mq (x) := q(x) − Θ quy mêtric quanh điểm xem xét Năm 2014, H Gfrerer J V Outrata chứng minh công thức tính đạo hàm đồ thị R Henrion cộng Θ := Rm − điều kiện quy mêtric thay điều kiện yếu tính quy mêtric điểm xem xét tính quy mêtric quanh điểm Một đóng góp quan trọng H Gfrerer J V Outrata việc đề xuất lược đồ chứng minh trực tiếp cơng thức tính đạo hàm đồ thị ánh xạ nón pháp, mở đường giải cách thỏa đáng tốn tính đạo hàm đồ thị ánh xạ nón pháp tuyến Sử dụng lược đồ cho trường hợp Θ := {0Rm1 } × Rm−m với chuẩn hóa ràng buộc − quy mêtric, năm 2015, H Gfrerer B S Mordukhovich chứng tỏ kết tương tự thay điều kiện quy mêtric điều kiện yếu hơn, tính chất điểm cực biên bị chặn (BEPP) thỏa mãn Kết tính tốn đạo hàm đồ thị A L Dontchev R T Rockafellar kết thiết lập sau nói chung độc lập với Tuy nhiên, chất, chúng có giả thiết thỏa mãn chuẩn hóa quy mêtric tính chất thêm vào Điều dẫn tới câu hỏi tự nhiên sau: Liệu hợp kết tính tốn đạo hàm đồ thị ánh xạ nón pháp tuyến cách bỏ tính chất thêm vào khơng? Nói cách khác, cơng thức tính đạo hàm đồ thị ánh xạ nón pháp tuyến đề cập có khơng giả thiết Mq quy mêtric? Trong Chương 2, với giả thiết Mq quy mêtric điểm xem xét Θ tập lồi đa diện, bỏ tính chất thêm vào, chúng tơi chứng minh cơng thức tính đạo hàm đồ thị ánh xạ nón pháp tuyến trả lời cách khẳng định cho câu hỏi nêu Để thiết lập công thức này, sử dụng lược đồ chứng minh H Gfrerer J V Outrata kết hợp với ý tưởng A D Ioffe J V Outrata Nhờ công thức tính đạo hàm đồ thị ánh xạ nón pháp tuyến, chúng tơi thu cơng thức tính đạo hàm đồ thị ánh xạ nghiệm đặc trưng tính chất tĩnh lặng lập ánh xạ nghiệm cho lớp phương trình suy rộng Kết hợp nhiều kết liên quan theo hướng nghiên cứu Ổn định xiên (tilt stability) tính chất cực tiểu địa phương đảm bảo điểm dịch chuyển kiểu Lipschitz hàm mục tiêu toán tối ưu chịu nhiễu tuyến tính nhỏ Khái niệm ổn định xiên R A Poliquin R T Rockafellar giới thiệu cho toán tối ưu không ràng buộc với hàm mục tiêu hàm giá trị thực mở rộng Tính ổn định xiên tương đương với điều kiện tăng trưởng bậc hai tính quy mêtric mạnh ánh xạ vi phân Đặc trưng tính ổn định xiên cách dùng vi phân suy rộng bậc hai R A Poliquin R T Rockafellar thiết lập vào năm 1998 Khi đó, tác giả chứng minh tốn tối ưu khơng ràng buộc mà hàm mục tiêu quy gần kề liên tục vi phân, điểm dừng cực tiểu địa phương ổn định xiên vi phân qua giới hạn bậc hai hàm mục tiêu xác định dương điểm xem xét Hơn nữa, sử dụng kết với công thức A L Dontchev R T Rockafellar tính vi phân qua giới hạn bậc hai hàm tập lồi đa diện, R A Poliquin R T Rockafellar thu đặc trưng bậc hai cho tính ổn định xiên tốn quy hoạch phi tuyến với ràng buộc tuyến tính Năm 2012, nhờ thiết lập cơng thức tính vi phân bậc hai mới, B S Mordukhovich R T Rockafellar thu đặc trưng bậc hai cực tiểu địa phương ổn định xiên cho số lớp toán tối ưu có ràng buộc Đặc biệt, tác giả cho thấy điểm dừng quy hoạch phi tuyến thỏa mãn chuẩn hóa ràng buộc độc lập tuyến tính (LICQ) cực tiểu địa phương ổn định xiên điều kiện đủ bậc hai mạnh (SSOSC) Cũng năm 2012, với quy hoạch phi tuyến thỏa mãn MFCQ CRCQ, B S Mordukhovich J V Outrata chứng minh SSOSC điều kiện đủ để điểm dừng cực tiểu địa phương ổn định xiên Năm 2015, B S Mordukhovich T T A Nghia cho thấy SSOSC điều kiện cần cho tính ổn định xiên sau giới thiệu điều kiện đủ bậc hai (USOSC) để đặc trưng tính ổn định xiên MFCQ CRCQ Gần đây, H Gfrerer B S Mordukhovich thu số điều kiện đủ bậc hai cho cực tiểu ổn định xiên toán quy hoạch phi tuyến thỏa mãn MSCQ BEPP Hơn nữa, thêm điều kiện không suy thối 2-chính quy vào họ thu đặc trưng bậc hai cho cực tiểu địa phương ổn định xiên Thay sử dụng vi phân bậc hai, sử dụng đạo hàm đồ thị ánh xạ gradient để đặc trưng tính ổn định xiên Đây cách tiếp cận nghiên cứu ổn định xiên chưa sử dụng tác giả khác Lợi cách tiếp cận có sẵn cơng thức tính đạo hàm đồ thị gradient nhiều trường hợp với giả thiết nhẹ Hơn nữa, số kết tính ổn định xiên thiết lập dựa tính tốn đạo hàm đồ thị gradient bước trung gian Các quan sát dẫn đến câu hỏi tự nhiên sau: Liệu sử dụng đạo hàm đồ thị gradient để đặc trưng tính ổn định xiên cực tiểu địa phương tốn tối ưu khơng ràng buộc với hàm mục tiêu quy gần kề liên tục vi phân khơng? Nếu có đặc trưng giúp cải thiện kết thiết lập tính ổn định xiên cho tốn quy hoạch phi tuyến khơng? Giả thiết quy gần kề có bỏ khơng? Chương luận án trả lời câu hỏi cách đầy đủ, cụ thể: Chúng thiết lập đặc trưng tính ổn định xiên cực tiểu địa phương tốn tối ưu khơng ràng buộc thông qua đạo hàm đồ thị gradient; áp dụng kết vào quy hoạch phi tuyến thỏa mãn MSCQ, thu điều kiện cần, đủ cho cực tiểu địa phương ổn định xiên 7.2 Cấu trúc luận án Nội dung luận án trình bày chương Chương dành để trình bày kiến thức chuẩn bị, làm sở cho việc giới thiệu kết luận án hai chương sau Chương tập trung nghiên cứu cơng thức tính đạo hàm đồ thị ánh xạ nón pháp tuyến cho trường hợp Θ tập lồi đa diện với Mq quy mêtric áp dụng công thức Mục 2.1 dành để thiết lập cơng thức tính tốn đạo hàm đồ thị ánh xạ nón pháp tuyến Mục 2.2 cung cấp kết tính đạo hàm đồ thị đặc trưng tính tĩnh lặng lập ánh xạ nghiệm cho lớp phương trình suy rộng chứa tham số Chương dành để trình bày kết tính ổn định xiên cực tiểu địa phương toán tối ưu Mục 3.1 nghiên cứu đặc trưng tính ổn định xiên tốn tối ưu khơng ràng buộc thơng qua đạo hàm đồ thị gradient Dựa vào kết thu mục 3.1, mục 2.1 số kết tác giả khác, mục 3.2 thiết lập điều kiện cần, đủ để điểm dừng toán quy hoạch phi tuyến thỏa mãn MSCQ cực tiểu địa phương ổn định xiên CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong luận án này, khơng giải thích thêm, khơng gian sử dụng khơng gian Ơclit Rn với tích vô hướng ·, · chuẩn Ơclit · thông thường 1.1 Một số khái niệm tính chất bổ trợ Mục nhắc số khái niệm giải tích biến phân sử dụng chương tiếp theo, định nghĩa chủ yếu trích từ chuyên khảo Variational Analysis and Applications B S Mordukhovich Variational Analysis R T Rockafellar R J -B Wets 1.1.1 Định nghĩa Ánh xạ F biến x ∈ Rn thành tập F (x) ⊂ Rm gọi ánh xạ đa trị từ Rn vào Rm kí hiệu F : Rn ⇒ Rm Nếu với x ∈ Rn tập F (x) có phần tử ta nói F ánh xạ đơn trị từ Rn vào Rm Khi người ta sử dụng kí hiệu thơng thường F : Rn → Rm Miền hữu hiệu, ảnh đồ thị ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm định nghĩa tương ứng domF := x ∈ Rn | F (x) = ∅ , rgeF := y ∈ Rm | ∃x ∈ Rn cho y ∈ F (x) , gphF := (x, y) ∈ Rn × Rm | y ∈ F (x) Ánh xạ ngược F −1 : Rm ⇒ Rn định nghĩa F −1 (y) = x ∈ Rn | y ∈ F (x) , với y ∈ Rm 1.1.2 Định nghĩa Cho Ω tập khác rỗng Rn (i) Nón tiếp tuyến (Bouligand-Severi)/contingent Ω x¯ ∈ Ω kí hiệu TΩ (¯ x) định nghĩa TΩ (¯ x) := v ∈ Rn | tồn tk ↓ 0, vk → v với x¯ + tk vk ∈ Ω với k ∈ N (ii) Nón pháp tuyến quy (Fréchet) Ω x¯ ∈ Ω kí hiệu NΩ (¯ x) 10 cho NΩ (¯ x) := v ∈ Rn | lim sup Ω x→¯ x v, x − x¯ ≤0 , x − x¯ Ω x → x ¯ theo nghĩa x → x¯ với x ∈ Ω (iii) Nón pháp tuyến qua giới hạn/cơ sở (Mordukhovich) Ω x¯ ∈ Ω kí hiệu NΩ (¯ x) định nghĩa NΩ (¯ x) = v ∈ Rn | tồn xk → x¯ vk ∈ NΩ (xk ) với vk → v Nếu x ¯ ∈ Ω ta quy ước NΩ (¯ x) = NΩ (¯ x) := ∅ 1.1.4 Định nghĩa Cho F : Rn ⇒ Rm ánh xạ đa trị với domF = ∅ (i) Với x¯ ∈ domF, đạo hàm đồ thị F x¯ y¯ ∈ F (¯ x) ánh xạ đa trị n m DF (¯ x|¯ y ) : R ⇒ R định nghĩa DF (¯ x|¯ y )(v) := w ∈ Rm | (v, w) ∈ TgphF (¯ x, y¯) với v ∈ Rn , nghĩa là, gphDF (¯ x|¯ y ) := TgphF (¯ x, y¯) (ii) Đối đạo hàm quy F điểm (¯ x, y¯) ∈ gphF ánh xạ đa trị m n D F (¯ x, y¯) : R ⇒ R định nghĩa ∗ D∗ F (¯ x, y¯)(y ∗ ) := x∗ ∈ Rn | (x∗ , −y ∗ ) ∈ NgphF (¯ x, y¯) với y ∗ ∈ Rm Trong trường hợp F (¯ x) = {¯ y }, ta viết DF (¯ x) D∗ F (¯ x) thay cho DF (¯ x|¯ y ) D∗ F (¯ x, y¯), tương ứng Chú ý rằng, F : Rn → Rm ánh xạ đơn trị khả vi x ¯, DF (¯ x) = ∇F (¯ x) ∗ ∗ D F (¯ x) = ∇F (¯ x) 1.1.6 Định nghĩa Giả sử ϕ : Rn → R := R∪{±∞}, x ¯ ∈ Rn với y¯ := ϕ(¯ x) hữu hạn (i) Dưới vi phân quy ϕ x¯ định nghĩa ∂ϕ(¯ x) := x∗ ∈ Rn | (x∗ , −1) ∈ Nepiϕ (¯ x, y¯) , epiϕ := (x, α) ∈ Rn × R | α ≥ ϕ(x) đồ thị ϕ (ii) Dưới vi phân qua giới hạn ϕ x¯ định nghĩa ∂ϕ(¯ x) := x∗ ∈ Rn | (x∗ , −1) ∈ Nepiϕ (¯ x, y¯) Nếu |ϕ(¯ x)| = ∞ người ta quy ước ∂ϕ(¯ x) = ∂ϕ(¯ x) := ∅ Chú ý ∂ϕ(¯ x) ⊂ ∂ϕ(¯ x) ϕ hàm lồi ∂ϕ(¯ x) ∂ϕ(¯ x) trùng với vi phân theo nghĩa giải tích lồi: ∂ϕ(¯ x) = ∂ϕ(¯ x) = x∗ ∈ Rn | x∗ , x − x¯ ≤ ϕ(x) − ϕ(¯ x) với x ∈ Rn 12 q(x) := q1 (x), , qm (x)) với qi : Rn → R ánh xạ khả vi liên tục hai lần, với i = 1, , m (i) Chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian-Fromovitz (MFCQ) x ¯ ∈ Γ n tồn véctơ d ∈ R cho ∇qi (¯ x), d < với i ∈ I(¯ x), I(¯ x) := i ∈ {1, , m} | qi (¯ x) = tập số hoạt x¯ ∈ Γ (ii) Chuẩn hóa ràng buộc hạng (CRCQ) x ¯ ∈ Γ tồn lân cận U x¯ cho hệ gradient {∇qi (x)| i ∈ J} có hạng U với tập số J ⊂ I(¯ x) (iii) Chuẩn hóa ràng buộc độc lập tuyến tính (LICQ) thỏa mãn x ¯ ∈ Γ hệ {∇qi (¯ x), i ∈ I(¯ x)} độc lập tuyến tính (iv) Miền ràng buộc Γ gọi có tính chất điểm cực biên bị chặn (BEPP) x ¯ ∈ Γ tồn số thực κ > r > cho E(x, x∗ ) ⊂ κ x∗ B với x ∈ Γ ∩ Br (¯ x) x∗ ∈ Rn , E(x, x∗ ) kí hiệu tập tất điểm cực biên Λ(x, x∗ ), với Λ(x, x∗ ) tập nhân tử định nghĩa T ∗ Λ(x, x∗ ) := λ ∈ Rm / I(x) + | ∇q(x) λ = x , λi = với i ∈ 13 CHƯƠNG ĐẠO HÀM CỦA ÁNH XẠ NÓN PHÁP TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN DƯỚI CHÍNH QUY MÊTRIC Chương trình bày cơng thức tính đạo hàm đồ thị ánh xạ nón pháp tuyến với điều kiện quy mêtric với ứng dụng 2.1 Tính tốn đạo hàm ánh xạ nón pháp tuyến Trong mục ta giả sử Γ := {x | q(x) ∈ Θ}, q : Rn → Rm ánh xạ khả vi hai lần Θ tập lồi đa diện Rm − ∗ Với x ¯ ∈ Γ x¯ ∈ NΓ (¯ x), đặt Λ := {λ ∈ NΘ (¯ y ) | ∇q(¯ x)T λ = x¯∗ }, y¯ := q(¯ x) Kí hiệu Iq (¯ x) := {i = 1, 2, , | bi , y¯ = αi } tập số hoạt Γ x ¯ K := TΓ (¯ x) ∩ {¯ x∗ }⊥ nón tới hạn Γ x ¯ Để đến kết mục này, trước hết ta cần kết sau, bổ đề cung cấp cơng thức hữu ích để tính nón pháp tuyến qua giới hạn nón tới hạn theo kiện ban đầu 2.1.1 Bổ đề Giả sử MSCQ x ¯ y¯ := q(¯ x) Khi đó, với v ∈ K λ ∈ Λ, ta có NK (v) = ∇q(¯ x)T µ | µT ∇q(¯ x)v = 0, µ ∈ TNΘ (¯y) (λ) , (2.1) NΘ (¯ y ) = pos{bi | i ∈ Iq (¯ x) TNΘ (¯y) (λ) = pos{bi | i ∈ Iq (¯ x) − R+ λ Vì vậy, với v ∈ K, ta có     ⊥ T ∗ NK (v) = ti bi ∇q(¯ x) − t0 x¯ | t0 , ti ∈ R+ , i ∈ Iq (¯ x) ∩ v (2.2)   i∈Iq (¯ x) 14 Bây giờ, trình bày kết mục này, kết đưa cơng thức tính đạo hàm đồ thị ánh xạ nón pháp tuyến NΓ trường hợp Θ lồi đa diện với điều kiện đặt yếu (MSCQ) 2.1.10 Định lý Giả sử MSCQ thỏa mãn x ¯ ∈ Γ, x¯∗ ∈ NΓ (¯ x) Khi đó, ta có TgphNΓ (¯ x, x¯∗ ) = (v, v ∗ ) ∈ Rn × Rn | ∃λ ∈ Λ(v) : v ∗ ∈ ∇2 λT q (¯ x)v + NK (v) (2.3) Vì thế, đạo hàm đồ thị ánh xạ nón pháp tuyến NΓ (x) cho DNΓ (¯ x|¯ x∗ )(v) = ∇2 λT q (¯ x)v | λ ∈ Λ(v) + NK (v), (2.4) Λ(v) tập nghiệm tối ưu tốn quy hoạch tuyến tính LP(v) nón NK (v) cho (2.2) Với Γ tập điểm chấp nhận toán quy hoạch phi tuyến, xảy trường hợp giả thiết Định lý 2.1.10 thỏa mãn, BEPP khơng thỏa mãn Ví dụ sau cho thấy điều 2.1.12 Ví dụ Giả sử q : R2 ⇒ R2 cho q(x) := (−x1 , x1 − x21 x22 ), Θ := {(0, 0)}, Γ := x ∈ R2 | q(x) ∈ Θ = {0} × R x¯ := (0, 0) Khi đó, giả thiết Định lí 2.1.10 thỏa mãn, BEPP khơng thỏa mãn x ¯ Kết cung cấp cơng thức tính đối đạo hàm quy ánh xạ nón pháp, hệ trực tiếp Định lý 2.1.10 2.1.13 Hệ Dưới giả thiết Định lý 2.1.10, ta có D∗ NΓ (¯ x, x¯∗ )(u∗ ) = u | u, v − u∗ , ∇2 λT q (¯ x)v ≤ 0, với v ∈ K, λ ∈ Λ(v), −u∗ ∈ TK (v) 2.2 Áp dụng vào lý thuyết phương trình suy rộng Xét phương trình suy rộng có tham số sau: ∈ F (x, y) + NΓ (x), (2.5) F : Rn × Rs → Rn ánh xạ khả vi liên tục, x biến, y tham số Γ := {x ∈ Rn | q(x) ∈ Θ}, Θ tập lồi đa diện khác rỗng Rm , q : Rn → Rm ánh xạ khả vi liên tục hai lần Kí hiệu S ánh xạ nghiệm phương trình (2.5), cho S(y) := x ∈ Rn | ∈ F (x, y) + NΓ (x) 15 2.2.2 Định lý Cho (¯ y , x¯) ∈ gphS Mq quy mêtric (¯ x, 0) Khi đó, ta có DS(¯ y |¯ x)(z) ⊂ v | − ∇y F (¯ x, y¯)z ∈ ∇x F (¯ x, y¯)v + ∇2 λT q (¯ x)v : λ ∈ Λ(v) + NK (v) , (2.6) s với z ∈ R Bao hàm thức (2.6) xảy dấu giả thiết thêm ∇y F (¯ x, y¯) ∗ ⊥ ∗ x) ∩ {¯ x } với x¯ := −F (¯ x, y¯) Λ(v) tập nghiệm tối toàn ánh, K := TΓ (¯ ưu LP(v) Nếu q ánh xạ affine {∇2 λT q (¯ x)v | λ ∈ Λ(v)} = {0} Mq tự động quy mêtric Do vậy, trường hợp này, công thức (2.6) trở nên đơn giản nhiều Hệ sau cho thấy điều 2.2.3 Hệ Xét phương trình suy rộng (2.5) với q : Rn → Rm ánh xạ affine Với (¯ y , x¯) ∈ gphS x¯∗ := −F (¯ x, y¯), ta có DS(¯ y |¯ x)(z) ⊂ v | − ∇y F (¯ x, y¯)z ∈ ∇x F (¯ x, y¯)v + NK (v) , (2.7) với z ∈ Rs Bao hàm thức (2.7) xảy dấu ∇y F (¯ x, y¯) toàn ánh 2.2.6 Hệ Xét (2.5) với Θ := {0Rm1 } × Rm−m (¯ y , x¯) ∈ gphS Giả sử CRCQ − thỏa mãn x ¯ Khi đó, ta có DS(¯ y |¯ x)(z) ⊂ v | − ∇y F (¯ x, y¯)z ∈ ∇x F (¯ x, y¯)v + ∇2 λT q (¯ x)v + NK (v) , (2.8) với z ∈ Rs λ ∈ Λ Bao hàm thức (2.8) xảy dấu ∇y F (¯ x, y¯) toàn ánh Tiếp theo, ta xét tính tĩnh lặng lập S Tính chất giới thiệu A L Dontchev, tính chất quan trọng giải tích biến phân 2.2.7 Định nghĩa Ánh xạ đa trị F : Rs ⇒ Rn gọi có tính chất tĩnh lặng lập (isolated calmness) (¯ y , x¯) ∈ gphF tồn κ, r > cho F (y) ∩ Br (¯ x) ⊂ {¯ x} + κ y − y¯ BRn với y ∈ Br (¯ y ) Định lý sau cho ta đặc trưng tính tĩnh lặng lập ánh xạ nghiệm 2.2.9 Định lý Cho (¯ y , x¯) ∈ gphS Mq quy mêtric (¯ x, 0) Giả sử ∈ ∇x L(¯ x, y¯, λ)v + NK (v) ⇒ v = 0, (2.9) λ ∈ Λ(v), v ∈ Rn L : Rn × Rs × Rm → Rn cho L(x, y, λ) := F (x, y) + ∇q(x)T λ 16 Khi đó, S có tính chất tĩnh lặng lập (¯ y , x¯) Ngược lại, S có tính chất tĩnh lặng cô lập (¯ y , x¯) ∇y F (¯ x, y¯) tồn ánh (2.9) 2.2.10 Hệ Xét phương trình suy rộng (2.5) với Γ := Θ, n = m q := In ánh xạ đồng Rn Giả sử (¯ y , x¯) ∈ gphS x¯∗ := −F (¯ x, y¯) Khi đó, (∇x F (¯ x, y¯) + NK )−1 (0) = {0} (2.10) S có tính chất tĩnh lặng cô lập (¯ y , x¯) Ngoài ra, rank∇y F (¯ x, y¯) = n tính chất (2.10) điều kiện cần đủ để S có tính chất tĩnh lặng lập (¯ y , x¯) Tiếp theo ta xét phương trình suy rộng có tham số w ∈ F (x, y) + NΓ (x), (2.11) F : Rn × Rs → Rn ánh xạ khả vi liên tục, x biến p := (y, w) tham số, Γ := {x ∈ Rn | q(x) ∈ Θ} với Θ ⊂ Rm tập lồi đa diện khác rỗng q : Rn → Rm ánh xạ khả vi liên tục hai lần Gọi S : Rs × Rn ⇒ Rn ánh xạ nghiệm (2.11), nghĩa là, S(p) := x ∈ Rn | w ∈ F (x, y) + NΓ (x) , (2.12) với p := (y, w) ∈ Rs × Rn Kết sau cho ta đặc trưng tính tĩnh lặng lập ánh xạ S(p) 2.2.11 Định lý Giả sử (¯ p, x¯) ∈ gphS Mq quy mêtric (¯ x, 0) Khi đó, khẳng định sau tương đương (i) Nếu ∈ ∇x L(¯ x, p¯, λ)v + NK (v), λ ∈ Λ(v), v ∈ Rn v = 0, L : Rn × Rs × Rn × Rm → Rn định nghĩa L(x, p, λ) := F (x, y) − w + ∇q(x)T λ với p := (y, w) (ii) Ánh xạ nghiệm S(p) có tính chất tĩnh lặng cô lập (¯ p, x¯) Cuối cùng, xét tốn tối ưu có tham số: g(x, y) − w, x | x ∈ Γ , (2.13) g : Rn × Rs → R ánh xạ khả vi liên tục hai lần tập điểm chấp nhận Γ := {x ∈ Rn | q(x) ∈ Θ}, Θ tập lồi đa diện khác rỗng Rm , q : Rn → Rm ánh xạ khả vi liên tục hai lần, x biến, y ∈ Rs w ∈ Rn tham số Chú ý rằng, ánh xạ đa trị XKKT : Rs × Rn ⇒ Rn định nghĩa XKKT (p) := x ∈ Rn | ∈ ∇x g(x, y) − w + NΓ (x) , p := (y, w) ∈ Rs × Rn , gọi ánh xạ điểm dừng (2.13) Như biết, ánh xạ điểm dừng XKKT (p) trường hợp đặc biệt ánh xạ đa trị S(p) cho (2.12) Vì vậy, nhờ Định lý 2.2.11, thu đặc trưng tính tĩnh lặng lập ánh xạ điểm dừng Bài toán (2.13) sau 17 2.2.12 Hệ quả.Giả sử (¯ p, x¯) ∈ gphXKKT Mq quy mêtric (¯ x, 0) Khi đó, khẳng định sau tương đương (i) Nếu ∈ ∇x L(¯ x, p¯, λ)v + NK (v), λ ∈ Λ(v), v ∈ Rn v = 0, L : Rn × Rs × Rn × Rm → Rn định nghĩa L(x, p, λ) := ∇x g(x, y) − w + ∇q(x)T λ với p := (y, w) (ii) Ánh xạ XKKT (p) có tính chất tĩnh lặng lập (¯ p, x¯) 18 CHƯƠNG ỔN ĐỊNH XIÊN THÔNG QUA ĐẠO HÀM CỦA ÁNH XẠ DƯỚI VI PHÂN CHO MỘT LỚP BÀI TỐN TỐI ƯU VỚI GIẢ THIẾT CHÍNH QUY GẦN KỀ Trong chương này, thiết lập đặc trưng bậc hai thông qua đạo hàm đồ thị gradient cực tiểu địa phương ổn định xiên cho tốn tối ưu khơng ràng buộc với hàm mục tiêu quy gần kề liên tục vi phân Sau đó, áp dụng đặc trưng thiết lập vào quy hoạch phi tuyến thỏa mãn MSCQ, thu đặc trưng bậc hai tính ổn định xiên thơng qua điều kiện đủ bậc hai nới lỏng tiếp chúng tơi thu điều kiện đủ bậc hai điểm xét để điểm dừng toán cực tiểu địa phương ổn định xiên Cuối cùng, áp dụng cho tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc bất đẳng thức tồn phương chúng tơi thu đặc trưng đơn giản tính ổn định xiên 3.1 Đặc trưng bậc hai tính ổn định xiên cho lớp tốn tối ưu khơng ràng buộc Trước hết, nhắc lại định nghĩa cực tiểu địa phương ổn định xiên, khái niệm R A Poliquin R T Rockafellar giới thiệu năm 1998 3.1.1 Định nghĩa.Xét ánh xạ f : Rn → R Điểm x ¯ ∈ dom f gọi cực tiểu địa phương ổn định xiên f với môđun κ > tồn γ > cho ánh xạ Mγ : v → argmin f (x) − v, x x ∈ Bγ (¯ x) đơn trị liên tục Lipschitz với hệ số κ lân cận ∈ Rn thỏa mãn Mγ (0) = x¯ Trong trường hợp này, ta kí hiệu tilt (f, x¯) := inf κ| x¯ cực tiểu ổn định xiên f với môđun κ > Định lý cung cấp đặc trưng đạo hàm đồ thị gradient tính ổn định xiên, cơng cụ việc khảo sát tính ổn định độ xiên toán quy hoạch phi tuyến phần sau 3.1.3 Định lý Cho f : Rn → R hàm nửa liên tục dưới, thường, cho x¯ ∈ dom f ∈ ∂f (¯ x) Giả sử f hàm quy gần kề liên tục vi phân x ¯ v¯ = Khi đó, khẳng định sau tương đương (i) x ¯ cực tiểu địa phương ổn định xiên f với môđun κ > 19 (ii) Tồn số η > cho với w ∈ Rn ta có z, w ≥ w 2, κ (3.1) z ∈ D∂f (u, v)(w) với (u, v) ∈ gph ∂f ∩ Bη (¯ x, 0) Hơn nữa, ta có tilt (f, x¯) = inf sup η>0 w z ∈ D∂f (u|v)(w), (u, v) ∈ gph ∂f ∩ Bη (¯ x, 0) , (3.2) z, w với qui ước 0/0 = Hai ví dụ sau cho thấy giả thiết quy gần kề cần thiết mặt chất kĩ thuật chứng minh để đảm bảo (i) ⇒ (ii) (ii) ⇒ (i) Định lý 3.1.3 3.1.4 Ví dụ Cho f : R → R hàm định nghĩa  1   1 ≤ |x| ≤ ,   ,  + |x| − n+1 n n n(n + 1) n n ∈ N∗ , f (x) :=   x = 0,    |x| > Khi x ¯ = cực tiểu địa phương ổn định xiên f liên tục vi phân khơng quy gần kề x ¯ = v¯ = ∈ ∂f (0), khẳng định (ii) Định lý 3.1.3 khơng 3.1.5 Ví dụ Cho f : R2 → R hàm cho f (x) := x21 + x22 + δΩ (x1 , x2 ), Ω := {(x1 , x2 ) ∈ R2 | x1 x2 = 0} x = (x1 , x2 ) Khi f khơng quy gần kề x ¯ = v¯ = ∈ ∂f (0) x¯ không cực tiểu địa phương ổn định xiên, khẳng định (ii) Định lý 3.1.3 3.2 Ổn định xiên quy hoạch phi tuyến với giả thiết quy mêtric Xét toán quy hoạch phi tuyến: g(x) | qi (x) ≤ 0, i = 1, 2, , m , (3.3) g : Rn → R qi : Rn → R hàm khả vi liên tục hai lần với i = 1, 2, , m Đặt q(x) := q1 (x), q2 (x), , qm (x) , với x ∈ Rn Γ := {x ∈ Rn | q(x) ∈ Rm − } Dựa vào Định nghĩa 3.1.1, người ta định nghĩa cực tiểu địa phương ổn định xiên Bài toán (3.3) sau 20 3.2.1 Định nghĩa Điểm x ¯ ∈ Γ gọi cực tiểu địa phương ổn định xiên Bài tốn (3.3) với mơđun κ > tồn γ > để ánh xạ nghiệm ˜ γ (v) := argmin g(x) − v, x | q(x) ∈ Rm M x) − , x ∈ Bγ (¯ ˜ γ (0) = x¯ đơn trị liên tục Lipschitz với số κ lân cận ∈ Rn với M Vì vậy, x ¯ cực tiểu địa phương ổn định xiên Bài tốn (3.3) cực tiểu địa phương ổn định xiên hàm f := g + δΓ Kí hiệu tilt(g, q, x¯) := tilt(f, x¯) Với x ∈ Γ, x∗ ∈ NΓ (x), kí hiệu I(x) := i ∈ {1, , m} | qi (x) = , T ∗ Λ(x, x∗ ) := λ ∈ Rm / I(x) , + | ∇q(x) λ = x , λi = với i ∈ K(x, x∗ ) := TΓ (x) ∩ {x∗ }⊥ ; I + (λ) := {i = 1, , m | λi > 0} với λ ∈ Rm + Tiếp theo, đưa điều kiện đủ bậc hai mới, mở rộng điều kiện đủ bậc hai (USOSC) giới thiệu năm 2015 B S Mordukhovich T T A Nghia 3.2.2 Định nghĩa Ta nói điều kiện đủ bậc hai nới lỏng (RUSOSC) x¯ ∈ Γ với môđun > tồn η > cho ∇2xx L(x, λ)w, w ≥ w 2, (3.4) với (x, v) ∈ gphΨ ∩ Bη (¯ x, 0), Ψ : Rn ⇒ Rn , Ψ(x) := ∇g(x) + NΓ (x) λ ∈ Λ x, v − ∇g(x); w với w ∈ Rn thỏa mãn ∇qi (x), w = với i ∈ I + (λ), ∇qi (x), w ≥ với i ∈ I(x)\I + (λ) (3.5) Bây giờ, đến kết mục này, đặc trưng tính ổn định xiên tốn quy hoạch phi tuyến theo RUSOSC phiên sửa đổi 3.2.5 Định lý Cho điểm dừng x ¯ ∈ Γ số thực κ, γ > 0, giả sử MSCQ x ¯ γ > subreg Mq (¯ x|0) Khi đó, khẳng định sau tương đương (i) x¯ cực tiểu địa phương ổn định xiên (3.3) với môđun κ (ii) RUSOSC thỏa mãn x¯ với môđun := κ−1 (iii) Tồn η > cho ∇2xx L(x, λ)w, w ≥ w 2, κ ∀(x, v) ∈ gphΨ∩ Bη (¯ x, 0) λ ∈ Λ x, v −∇g(x); w ∩γ v −∇g(x) BRm với w ∈ Rn thỏa mãn ∇qi (x), w = với i ∈ I + (λ), ∇qi (x), w ≥ với i ∈ I(x)\I + (λ), Ψ : Rn ⇒ Rn , Ψ(x) := ∇g(x) + NΓ (x) 21 3.2.6 Hệ Giả sử x ¯ điểm dừng (3.3) CRCQ x¯ Khi đó, khẳng định sau tương đương (i) x ¯ cực tiểu địa phương ổn định xiên (3.3) với môđun κ > (ii) Tồn η > cho ∇2xx L(x, λ)w, w ≥ w κ với (x, v) ∈ gphΨ ∩ Bη (¯ x, 0), λ ∈ Λ x, v − ∇g(x) , ∇qi (x), w = với + i ∈ I (λ) ∇qi (x), w ≥ với i ∈ I(x)\I + (λ) Tiếp theo, đưa điều kiện đủ bậc hai điểm xét tính ổn định xiên với điều kiện MSCQ 3.2.9 Định lý Cho điểm dừng x ¯ ∈ Γ số thực κ, γ > 0, giả sử MSCQ x¯ với γ > subreg Mq (¯ x|0) điều kiện bậc hai sau ∇2xx L(¯ x, λ)w, w > w κ (3.6) với w = thỏa mãn ∇qi (¯ x), w = 0, i ∈ I + (λ) λ ∈ ∆(¯ x), γ ∇g(¯ x) BRm ∆(¯ x) := Λ x¯, −∇g(¯ x); v 0=v∈K x ¯,−∇g(¯ x) Khi đó, x ¯ cực tiểu địa phương ổn định xiên (3.3) với mơđun κ Hơn nữa, ta có ước lượng: tilt(g, q, x¯) ≤ sup < ∞, w x, λ)w, w ∇2xx L(¯ λ ∈ ∆(¯ x), ∇qi (¯ x), w = 0, i ∈ I + (λ) (3.7) với qui ước 0/0 := (3.7) Định lý cung cấp điều kiện đủ bậc hai khác cho cực tiểu ổn định xiên mà khơng có xuất κ (3.6) 3.2.11 Định lý Cho điểm dừng x ¯ ∈ Γ số thực γ > 0, giả sử MSCQ x¯, số dương γ > subreg Mq (¯ x|0) điều kiện bậc hai sau w, ∇2xx L(¯ x, λ)w > với w = 0, ∇qi (¯ x), w = 0, i ∈ I + (λ), Λ x¯, −∇g(¯ x); v γ ∇g(¯ x) BRm λ ∈ ∆(¯ x) := (3.8) 0=v∈K x ¯,−∇g(¯ x) Khi đó, x ¯ cực tiểu địa phương ổn định xiên (3.3) 3.2.12 Định nghĩa Ta nói điều kiện đủ bậc hai mạnh (SSOSC) x ¯ ∈ Γ với λ ∈ Λ x ¯, −∇g(¯ x) , ta có w, ∇2xx L(¯ x, λ)w > (3.9) với w = thỏa mãn ∇qi (¯ x), w = 0, i ∈ I + (λ) Năm 2015, với giả thiết điều kiện MFCQ CRCQ đúng, B S Mordukhovich J V Outrata chứng minh tính ổn định xiên thỏa mãn SSOSC Hệ 22 sau, thu kết tương tự với điều kiện MSCQ 3.1.13 Hệ Giả sử MSCQ điểm dừng x ¯ Bài tốn (3.3) Khi đó, x¯ cực tiểu địa phương ổn định xiên (3.3) SSOSC 3.2.15 Định nghĩa Ánh xạ g : Rm → Rs khả vi hai lần gọi 2-chính quy điểm x ¯ ∈ Rm theo hướng v ∈ Rm với p ∈ Rs hệ ∇g(¯ x)u + [∇2 g(¯ x)v, w] = p, ∇g(¯ x)w = có nghiệm (u, w) ∈ Rm × Rm , [∇2 g(¯ x)v, w] hiểu s-vectơ cột với thành phần ∇ gi (¯ x)v, w , i = 1, , s Với x ¯ ∈ Γ v ∈ TΓlin (¯ x), kí hiệu I(¯ x, v) := i ∈ I(¯ x) Ξ(¯ x, v) := z ∈ Rn C(¯ x, v) := C ∇qi (¯ x), v = , ∇qi (¯ x), z + v, ∇2 qi (¯ x)v ≤ với i ∈ I(¯ x) , C = i ∈ I(¯ x, v) | ∇qi (¯ x), z + v, ∇2 qi (¯ x)v = với z ∈ Ξ(¯ x, v) , x) := u ∈ Rn | ∇qi (¯ x), u ≤ với i ∈ I(¯ x) nón tiếp tuyến tuyến TΓlin (¯ tính hóa Γ x ¯ 3.2.16 Định nghĩa Giả sử x ¯ ∈ Γ vectơ v ∈ K(¯ x, −∇g(¯ x)) Điểm x¯ gọi khơng suy thối theo hướng v tập Λ x ¯, −∇g(¯ x); v đơn trị Kết sau cung cấp điều kiện cần bậc hai cho tính ổn định xiên, cho thấy điều kiện khơng suy thối 2-chính quy, điều kiện đủ bậc hai điểm xét Định lý 3.2.9 “không xa” so với điều kiện cần 3.2.20 Định lý Cho số thực κ, γ > x ¯ cực tiểu địa phương ổn định xiên (3.3) với môđun κ Giả sử MSCQ x ¯ với γ > subreg Mq (¯ x|0) với v ∈ K x ¯, −∇g(¯ x) \{0} điều kiện sau thỏa mãn (a) x¯ khơng suy thối theo hướng v; (b) Với λ ∈ Λ x¯, −∇g(¯ x); v ∩ γ ∇g(¯ x) BRm tồn phần tử cực đại C ∈ C(¯ x, v) với I + (λ) ⊂ C cho ánh xạ (qi )i∈C 2-chính quy x¯ theo hướng v Khi đó, ta có w κ + I (λ), λ w, ∇2xx L(¯ x, λ)w ≥ với ∇qi (¯ x), w = 0, ∈ i (3.10) ∈ ∆(¯ x), Λ x¯, −∇g(¯ x); v ∩ γ ∇g(¯ x) BRm ∆(¯ x) := 0=v∈K x ¯,−∇g(¯ x) Hơn nữa, ta có tilt(g, q, x¯) = sup w w, ∇2xx L(¯ x, λ)w λ ∈ ∆(¯ x), ∇qi (¯ x), w = 0, i ∈ I + (λ) (3.11) 23 với qui ước 0/0 := (3.11) Kết hợp Định lý 3.2.9, Định lý 3.2.11 Định lý 3.2.20, ta đến kết đặc trưng bậc hai cho tính ổn định xiên Bài tốn (3.3) sau 3.2.21 Hệ Cho x ¯ điểm dừng Bài toán (3.3), MSCQ thỏa mãn x¯ γ > subreg Mq (¯ x|0) Giả sử với = v ∈ K x¯, −∇g(¯ x) điều kiện (a) (b) cho Định lý 3.2.20 thỏa mãn Khi đó, khẳng định sau (i) Với κ > 0, x¯ cực tiểu địa phương ổn định xiên (3.3) với mơđun κ > κ điều kiện bậc hai (3.10) thỏa mãn; (ii) x¯ cực tiểu địa phương ổn định xiên (3.3) điều kiện xác định dương (3.8) thỏa mãn Cuối cùng, xét tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc bất đẳng thức toàn phương sau: g(x) | q(x) ≤ , x∈Rn (3.12) g(x) := 21 xT Ax + aT x, q(x) = q0 (x) := 21 xT B0 x + bT0 x + β0 , với A, B0 ∈ S n , a, b0 ∈ Rn β0 ∈ R Sử dụng kết có trường hợp tổng quát, đồng thời dựa vào tính đặc thù tốn ta thu đặc trưng tính ổn định xiên Bài tốn (3.12) với điều kiện MSCQ sau 3.2.23 Định lý Giả sử x ¯ điểm dừng Bài toán (3.12) với q(¯ x) = Khi đó, khẳng định sau (i) Nếu ∇q(¯ x) = ∇g(¯ x) = x¯ cực tiểu địa phương ổn định xiên (3.12) A xác định dương (ii) Nếu ∇q(¯ x) = ∇g(¯ x) = x¯ cực tiểu địa phương ổn định xiên (3.12) w, B0 x¯ + b0 A + A¯ x + a B0 w > 0, với w ∈ Rn \{0} với B0 x ¯ + b0 , w = (iii) Nếu ∇q(¯ x) = MSCQ x¯ x¯ cực tiểu địa phương ổn định xiên (3.12) A xác định dương, −B0 nửa xác định dương 24 KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận chung Luận án dành để nghiên cứu tính quy mêtric với ứng dụng Kết luận án bao gồm: - Thiết lập cơng thức tính đạo hàm đồ thị cho lớp ánh xạ nón pháp tuyến với điều kiện chuẩn hóa quy mêtric Đồng thời, sử dụng công thức này, thu công thức tính đạo hàm đồ thị ánh xạ nghiệm đặc trưng tính ổn định tĩnh lặng lập cho lớp phương trình suy rộng Kết hợp nhiều kết quan trọng theo hướng nghiên cứu - Thiết lập đặc trưng cực tiểu địa phương ổn định xiên cho lớp tốn tối ưu khơng ràng buộc với hàm mục tiêu quy gần kề liên tục vi phân thơng qua tính xác định dương đạo hàm đồ thị gradient hàm mục tiêu Thay sử dụng vi phân bậc hai, sử dụng đạo hàm gradient để nghiên cứu tính ổn định xiên Đây cách tiếp cận mới, chưa sử dụng tác giả trước Hơn nữa, chúng tơi chứng minh giả thiết quy gần kề thiết yếu cho điều kiện cần điều kiện đủ - Thu số điều kiện cần, điều kiện đủ để điểm dừng toán quy hoạch phi tuyến với giả thiết quy mêtric cực tiểu địa phương ổn định xiên Đặc biệt, chứng minh điểm dừng quy hoạch phi tuyến cực tiểu địa phương ổn định xiên điều kiện đủ bậc hai mạnh chuẩn hóa quy mêtric thỏa mãn Thêm vào đó, với quy hoạch tồn phương có ràng buộc bất đẳng thức tồn phương thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa quy mêtric, cách khai thác tính đặc thù tốn, chúng tơi đưa đặc trưng đơn giản, tường minh cho cực tiểu địa phương ổn định xiên 25 Kiến nghị hướng nghiên cứu Chúng thấy đề tài luận án tiếp tục phát triển theo hướng sau: - Sử dụng cách tiếp cận ổn định xiên qua đạo hàm đồ thị, khảo sát tính ổn định xiên cho tốn quy hoạch nón khơng đa diện Gần đây, Benko cộng thu số kết theo cách tiếp cận cho quy hoạch nón bậc hai Đối với lớp quy hoạch nón khác, vấn đề cần nghiên cứu thêm - Khảo sát xem nghiên cứu tính ổn định đầy đủ theo nghĩa Levy-PoliquinRockafellar cách sử dụng đạo hàm đồ thị gradient khơng? Hiện nay, chưa có kết thiết lập theo hướng nghiên cứu này, có số đặc trưng ổn định đầy đủ thông qua vi phân bậc hai 26 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA NGHIÊN CỨU SINH CĨ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN N H Chieu and L V Hien (2017), Computation of graphical derivative for a class of normal cone mappings under a very weak condition, SIAM J Optim., 27, 190–204 N H Chieu, L V Hien and T T A Nghia (2018), Characterization of tilt stability via subgradient graphical derivative with applications to nonlinear programming, SIAM J Optim., 28, 2246–2273 N H Chieu, L V Hien and N T Q Trang (2018), Tilt stability for quadratic programs with one or two quadratic inequality constraints, submitted Các kết nội dung luận án báo cáo tại: - Seminar Bộ môn Giải tích, Viện Sư phạm Tự nhiên, Trường Đại học Vinh; - Hội thảo Tối ưu Tính tốn Khoa học lần thứ 15 (Ba Vì, 20-22/04/2017) lần thứ 16 (Ba Vì, 19-21/04/2018); ... mêtric tính chất quy đáng ý giải tích biến phân bậc Gần đây, có nhiều cơng trình nghiên cứu tính quy mêtric giải tích biến phân bậc hai Tuy vậy, vai trò tính chất giải tích biến phân bậc hai vấn... tính quy mêtric giải tích biến phân ứng dụng Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận án tính quy giải tích biến phân, đạo hàm đồ thị gradient, tính ổn định xiên (tilt stability) tính chất... Một số kết tính quy mêtric giải tích biến phân ứng dụng 4 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án thiết lập kết nghiên cứu dựa vào việc khảo sát hai vấn đề nêu trên, góp phần làm rõ vai trò tính