Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng môn giải tích 2 : phần cực trị hàm nhiều biến
CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN NỘI DUNG Cực trị tự Cực trị có điều kiện Giá trị lớn nhất, nhỏ tập compact CỰC TRỊ TỰ DO Hàm z = f(x, y) xác định miển mở D chứa P0(x0, y0) P0 điểm cực đại f tồn lân cận V P0 cho: f(x, y) f(x0, y0), (x, y) V Bỏ dấu “ = “ ta gọi P0 điểm cực đại chặt f Thay ta có định nghĩa điểm cực tiểu Lưu ý: dùng định nghĩa để xét cực trị xét dấu biểu thức sau với (x,y) gần (x0,y0) f ( x0 , y ) f ( x , y ) f ( x0 , y ) hay f ( x0 , y ) f ( x0 x , y y ) f ( x0 , y ) x, y gần (nhưng không đồng thời 0) Nếu f giữ nguyên dấu lân cận (x0, y0) f đạt cực trị điểm này, ngược lại f không đạt cực trị Ví dụ 1/ P(0, 0) điểm cực tiểu chặt f(x, y) = x2+y2 f(0,0) = f(x, y) – f(0, 0) = x2 + y2 > 0, (x, y) (0, 0) hay f(x, y) > f(0, 0), (x, y) (0, 0) 2/ P(0, 0) điểm cực tiểu không chặt f(x, y) = x2y2 f(0,0) = f(x, y) – f(0, 0) = x2y2 0, (x, y) hay f(x, y) f(0, 0), (x, y) f(x, 0) = f(0, 0), x f(0, y) = f(0, 0), y Tức là: lân cận V (0, 0) ln ln có đíểm (x, y) để dấu “ = “ xảy 3/ f(x, y) = x2 – y2 không đạt cực trị (0, ) f(x, ) > = f(0, 0),x0; f(0, y) < f(0,0), y0 Trong lân cận (0,0) ln ln có điểm P1, P2 mà f(P1) > f(0,0) f(P2) < f(0,0) Điều kiện cần cực trị: Nếu z = f(x,y) đạt cực trị P0(x0, y0) • Hoặc f’x(P0) = f’y(P0) = • Hoặc đạo hàm riêng P0 khơng tồn Định nghĩa: • f’x(P0) = f’y(P0) = : P0 điểm dừng •P0 điểm tới hạn P0 điểm dừng đạo hàm f P0 không tồn Điều kiện đủ cực trị: Hàm z = f(x, y) có đạo hàm cấp liên tục lân cận điểm dừng P0(x0, y0) f 1.Nếu d2f(x0,y0) xác định dương f đạt cực tiểu chặt P0 2.Nếu d2f(x0,y0) xác định âm f đạt cực đại chặt P0 3.Nếu d2f(x0,y0) khơng xác định dấu f khơng đạt cực trị P0 2/ Tìm cực trị thỏa điều kiện z xy 2 x y (x, y ) z xy x2 y 1 L( x , y ) xy Điểm dừng L n0 hệ: x Lx ( x , y ) y Ly ( x , y ) x y 2 x y 1 2,( x , y ) (2, 1) hay ( x , y ) (2,1) 2,( x , y ) (2,1) hay ( x , y ) (2, 1) x , Lxy 1, Lyy , d ( x , y ) dx ydy Lxx 4 Tại P1(2, -1), = d 2L(P ) dx 2dy 2dxdy d (P1 ) dx dy d 2L(P1 ) 8dy dx 2dy Vậy f đạt cực tiểu có đk P1, f(P1) = Tương tự P (-2, 1) x , Lxy 1, Lyy , d ( x , y ) dx ydy Lxx 4 Tại P3(2, 1), = - d 2L(P ) dx 2dy 2dxdy d (P1 ) dx dy d 2L(P1 ) 8dy dx 2dy Vậy f đạt cực đại có đk P3, f(P3) = Tương tự P4(-2, -1) 3/ Tìm cực trị z f ( x , y ) x y thỏa điều kiện x + y – = x+y–1=0y=1–x z 2x 2x Bài tốn trở thành tìm cực trị z với x (0, 1) z( x ) 2x 2x 2x z’ đổi dấu từ + sang – qua x = 1/2 , nên z đạt cđại x = 1/2 fcd / Vậy f đạt cđại có điều kiện (x,y) = (1/2, 1/2) GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT Định lý: f liên tục tập compact D f đạt min, max D Nhắc lại: tập compact tập đóng (lấy tất biên) bị chận (có thể bao hình tròn) Cách tìm gtln, gtnn 1.Tìm điểm dừng f miền mở D (phần bỏ biên) 2.Tìm điểm đặc biệt biên D a.Điểm dừng hàm Lagrange (tổng quát) b.Nếu biên đoạn thẳng, chuyển f hàm biến, tìm điểm có khả đạt min, max hàm biến 3.So sánh giá trị f điểm min, max VÍ DỤ 1/ Trên tam giác OAB, với O(0, 0), A(0, 1) B(1, 0), tìm điểm M(x, y) có tổng bình phương khoảng cách đến đỉnh lớn nhất, bé OM x y , A x+y = 2 AM x ( y 1) , 2 BM ( x 1) y O B Đặt z = OM2 + AM2 + BM2 z f ( x , y ) x 3y x y 2 Bài tốn trở thành: tìm gtln, gtnn z D: x 0, y 0, x+y 1 Điểm dừng z = f(x, y) miền mở D nghiệm hệ fx x 1 (x, y ) , fy y 3 x 0, y 0, x y Xét biên D z x 3y x y 2 OA: x = 0, y 1, z = 3y2 – 2y + z’(y) = 6y – = y = 1/3 điểm đặc biệt: (0,0), (0,1), (0,1/3) A OB: y = 0, x 1, z = 3x2 – 2x + x+y = O B z’(x) = 6x – = x = 1/3 điểm đặc biệt: (0,0), (1,0), (1/3,0) z f ( x , y ) x 3y x y 2 AB: y = – x, 0 x 1, z = 6x2 – 6x + z’(x) = 12x – = x = 1/2 điểm đặc biệt: (1/2,1/2), (0,1), (1,0) Tính f điểm f 1 3,1 3 3, f (0,0) 2, f (0,1) 3, f (1,0) f (0,1 3) 3, f (1 3,0) 3, f (1 2,1 2) Vậy fmin = f(1/3,1/3) = 4/3, fmax = f(1,0)= f(0,1) = 2/ Tìm gtln, gtnn z = f(x, y) = x2 + y2–3x+ 4y hình tròn D: x2 + y2 Điểm dừng z = f(x, y) miền mở D nghiệm hệ fx x ( x , y ) (3 2, 2) 2 f y y x y 2 (loại) x y Trên biên D: x2 + y2 = 1, xét hàm Lagrange L( x , y ) x y 3x y ( x y 1) Điểm đặc biệt biên điểm dừng L( x , y ) x y 3x y ( x y 1) Lx ( x , y ) x 2 x Ly ( x , y ) y 2 y 2 x y 3 3 ( x , y ) , hay ( x , y ) , 5 5 (Không cần .) 2 3 19 29 f , , f , 5 5 z = f(x, y) = x2 + y2 – 3x + 4y ... đạt cực trị (0, -3, 1)( hay f khơng có cực trị) CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN CỰC TRỊ CĨ ĐIỀU KIỆN Xét tốn: Bài 1: Tìm cực trị z 1 x y z 1 x2 y 2 Cực đại đạt (0,0), z=1 Bài 2: Tìm cực trị. .. định dương f đạt cực tiểu chặt P0 2.Nếu d2f(x0,y0) xác định âm f đạt cực đại chặt P0 3.Nếu d2f(x0,y0) khơng xác định dấu f không đạt cực trị P0 Các bước để tìm cực trị hàm biến 1 .Giải hệ pt: fx...NỘI DUNG Cực trị tự Cực trị có điều kiện Giá trị lớn nhất, nhỏ tập compact CỰC TRỊ TỰ DO Hàm z = f(x, y) xác định miển mở D chứa P0(x0, y0) P0 điểm cực đại f tồn lân cận V P0