Đang tải... (xem toàn văn)
Tổng hợp kiến thức môn Toán - lớp 12
BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC TOÁN 12 CÔNG THỨC LŨY THỪA Cho số dương a, b m, n a0 Ta coù: a.a a với n an * n thừa số (a ) a m n mn (a n ) m a a a m n m n an an am a mn n a a b (ab) n n a a bn b n n n m an a a a2 n m a a3 CÔNG THỨC LOGARIT Cho số a, b 0, a Ta coù: log a b a b lg b log b log10 b ln b log e b log a log a a log a a b log a b n log a b log am b n log a (bc) log a b log a c b log a log a b log a c c log a b.logb c log a c a loga b b log c log a a b c b log a b logb a log am b log a b m b n log a c logb c log a b n log a b m HÀM SỐ LŨY THỪA – MŨ – LOGARIT HÀM LŨY THỪA Dạng: y x yu với u đa ax y a u với a a Nếu ĐK u Nếu ĐK u ÑK u ax y a x ln a y au y a x ln a u Đặc biệt: Nếu a y x y x 1 1 (e x ) ex (eu ) eu u Sự biến thiên: y Đạo hàm: y u y u y treân u ax hàm đồng biến Nếu a hàm nghòch biến Dạng: y log a x y log a u Đặc biệt: a a Đạo hàm: Tập xác đònh: Dạng: y HÀM SỐ LOGARIT Tập xác đònh: D thức đại số Nếu HÀM SỐ MŨ 10 y e với y log x a a ln x ; lg x Điều kiện xác đònh: u Đạo hàm: y log a x y x ln a u y log a u y u ln a (ln x) x Đặc biệt: u (ln u) u Sự biến thiên: y log a x Nếu a (0; : hàm đồng biến ) Nếu a hàm nghòch biến (0; 1: ) ĐỒ THỊ HÀM MŨ VÀ HÀM LOGARIT ĐỒ THỊ HÀM SỐ MŨ Ta thấy: a x Ta thaáy: cx c a 1; bx 1; dx ĐỒ THỊ HÀM SỐ LOGARIT b d 1 So sánh a với b: Đứng cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng a x trước nên a b So sánh c với d: Đứng cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng c x trước nên c d Vaäy b a d c Ta thaáy: log a x a 1; logb x Ta thaáy: log c x c 1; log d x d b 1 So sánh a với b: Đứng cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng log b x trước: b a So sánh c với d: Đứng cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng log d x trước: d c Vậy a b c d PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Phương trình mũ Dạng baûn: a f ( x) a g ( x ) f ( x) g ( x) Dạng logarit hóa: Phương trình Logarit Dạng bản: log a f ( x) log ag( x) f ( x) g ( x) Dạng mũ hóa: log a f ( x) b f ( x) a a f ( x ) b f ( x) log a b b (không cần điều kiện) a f ( x ) b g ( x ) f ( x) g ( x).log a b BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Bất Phương trình mũ Bất Phương trình Logarit Dạng bản: a 1 Dạng baûn: a f ( x ) a g ( x ) f ( x) g ( x) a 1 log a f ( x) log a g ( x) f ( x) g ( x) 0 a 1 a f ( x ) a g ( x ) f ( x) g ( x) 0 a 1 log a f ( x) log a g ( x) f ( x) g ( x) CÔNG THỨC ĐẠO HÀM k Với k số e e e e u x x u u ( x ) x 1 (u ) u 1 u a a ln a a a ln a u x x u u u 2uu u u u x x x sin x cos x sin u u cos u x2 cos x sin x cos u u sin u 1 cot x sin x u cot u u cot u sin u tan x tan x cos x u tan u u tan u cos u cot x COÂNG THỨC NGUYÊN HÀM k f ( x)dx k f ( x)dx 1) kdx kx C f ( x)dx F ( x) C F ( x) f ( x) f ( x) g ( x)dx x 1 x dx C 1 f ( x)dx g ( x)dx 2dx x C kdx kx C (3)dx 3x C x4 x dx C x2 2) C x C xdx x dx 3/ (ax b) 1 MR (1 x)11 (1 x)11 10 (ax b) dx C C C (1 x) dx a 1 2 11 22 1 1 MR 3) dx ln x C dx ln ax b C dx ln 3x C x ax b a 3x 3 1 1 1 1 1 MR dx C dx C C 4) dx C 2 x x (ax b) a ax b (2 x 3) 2x 4x x3 1 x 10 dx ln x 10 x C x x2 x MR 5) e x dx e x C eax b dx eax b C a ax C 6) a dx ln a abx c MR bx c a dx C b ln a x 7) 32 x 5 32 x 5 32 x 5 dx C C ln 2ln cos xdx sin x C sin(ax b) C a 3sin x 2cos x dx 3cos x 2sin x C dx dx 9x dx C ln x 1 6x x dx dx C 3 3ln x x sin x dx cos x C 2 2 cos x dx sin x C sin x C 1 3 3 a 1; b 2x x 1 x a 4; b dx 1 tan x dx tan x C cos x 1 MR dx tan ax b C cos ax b a 9) sin xdx cos x C MR cos(ax b)dx 5x dx C ln MR sin(ax b)dx cos(ax b) C a 8) x5 1 x5 dx x dx ln x C x x e x dx e x C e x C 1 x ex1 2 ex dx e2 x1 2ex dx 12 e2 x1 2e x C sin xdx 1 1 cos x dx x sin x C 2 (hạ bậc) 2cos x dx dx tan x x C 2 cos x cos x 1 dx tan 3x C cos 3x MR 1 tan ax b dx tan ax b C a 1 tan x dx tan x C 2 a 2; b x sin x 1 x2 dx x dx cot x C sin x sin x 1 dx cot x C sin x 1 MR 2 1 cot ax b dx a cot ax b C 1 cot 3x dx cot 3x C sin x cos x dx dx dx tan x cot x C 2 2 sin x cos x sin x cos x cos x sin x sin x dx 1 cot x dx cot x C 1 MR dx cot ax b C sin ax b a 10) DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH Hình phẳng giới hạn đường y f ( x) , Hình phẳng giới hạn đường y f ( x) , truïc Ox , x a, x b có diện tích: y g ( x) , x a, x b có diện tích: b b S f ( x) dx S f ( x) g ( x) dx a a y f ( x) Khi xoay hình phẳng quanh Ox , x a, x b ta khối trụ tròn tích y f ( x) Khi xoay hình phẳng y g ( x) quanh Ox , x a, x b ta khối trụ tròn tích b V f ( x)dx b V f ( x) g ( x) dx a a Xét hình khối giới hạn hai mặt phẳng x a, x b Khi cắt khối ta thiết diện có diện tích S ( x) (là hàm liên tục [a;b]) Thể tích khối a; b laø: V b a S ( x)dx CÔNG THỨC CHUYỂN ĐỘNG Xét hàm quảng đường S (t ), hàm vận tốc v(t ) hàm gia tốc a(t ) Ba hàm biến thiên theo t S (t ) v(t )dt v(t ) S (t ) v(t ) a(t )dt a(t ) v(t ) CÔNG THỨC LƯNG GIÁC Hệ thức bản: sin 2 cos2 tan cos tan sin cos cot cos sin sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos cot sin tan cot tan( k ) tan cot( k ) cot Cung liên kết: Đối: Bù: Phụ: Khác pi: ; Khaùc Pi : ; 2 sin cos 2 sin( ) sin sin( ) sin cos( ) cos cos( ) cos tan( ) tan tan( ) tan cot( ) cot cot( ) cot cot tan 2 Sin Buø Phụ Chéo Cos Đối sin( ) sin cos sin 2 tan cot 2 sin cos 2 cos sin 2 tan cot 2 cos( ) cos tan( ) tan cot tan 2 cot( ) cot Khaùc pi Tang, Cotang Khác pi chia Sin bạn cos Công thức cộng: sin(a b) sin a.cos b sin b.cos a sin(a b) sin a.cos b sin b.cos a tan(a b) cos(a b) cos a.cos b sin a.sin b cos(a b) cos a.cos b sin a.sin b tan a tan b tan a.tan b tan(a b) tan a tan b tan a.tan b Công thức nhân đôi, nhân ba: cos 2 cos sin sin 2 2sin cos tan 2 2cos 2sin 2 cos3 4cos3 3cos sin 3 3sin 4sin3 tan 3 tan tan 3tan tan 3tan Công thức hạ baäc cos 2 sin cos cos 2 tan cos 2 cos 2 Công thức biến đổi tổng thành tích: ab a b cos 2 ab a b sin a sin b 2sin cos 2 sin(a b) tan a tan b cos a.cos b sin cos 2.sin 2.cos 4 4 cos a cos b 2cos ab a b sin 2 ab a b sin a sin b 2cos sin 2 sin(a b) tan a tan b cos a.cos b cos a cos b 2sin sin cos sin cos 4 4 Công thức biến đổi tích thành tổng: cos a.cos b cos(a b) cos(a b) Cos.Cos Cos cộng cộng Cos trừ sin a.sin b cos(a b) cos(a b) Sin.Sin Cos trừ trừ Cos cộng sin a.cos b sin(a b) sin(a b) Sin.Cos Sin cộng cộng Sin trừ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC u v k 2 u v k 2 sin u sin v (k ) cos u cos v k u v k 2 u v k 2 sin u u Đặc biệt: k 2 sin u 1 u sin u u k cos u u k 2 k k 2 cos u 1 u k 2 Đặc biệt: cos u u tan u tan v u v k k k k k cot u cot v u v k TỔ HP – XÁC SUẤT QUY TẮC CỘNG QUY TẮC NHÂN Nếu phép đếm chia nhiều trường hợp, ta cộng kết lại HOÁN VỊ Sắp xếp (đổi chỗ) n phần tử khác nhau, ta có số cách xếp Pn n ! với n CHỈNH HP Chọn k phần tử từ n phần tử (không xếp thứ tự), ta có TỔ HP Chọn k phần tử từ n phần tử (có xếp thứ tự), ta số số cách chọn Cnk Cách tính: Cnk Cách tính: n! 1.2 n 1 n với Quy ước sốc: 0! Công thức: P( X ) XÁC SUẤT Nếu phép đếm chia làm nhiều giai đoạn bắt buộc, ta nhân kết giai đoạn n, k k n cách chọn Ank n! n k !k ! Cách tính: Ank với n( X ) n ( ) n, k k n n! n k ! Tính chất: P( X ) Trong đó: n( X ) : số phần tử P() 0; P() tập biến cố X ; n() : số phần tử không gian mẫu P( X ) xác suất P( X ) P( X ) với X biến cố đối X để biến cố X xảy với X KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTƠN Khai triển dạng liệt kê: Trong công thức bên, ta có n , n a b n Cn0 a n Cn1a n1b Cn2 a n2b2 Cnn1abn1 Cnnbn Đặc biệt: 1 x Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn1 x n1 Cnn x n (*) n Hệ 1: Cn0 Cn1 Cn2 Cnn1 Cnn 2n (tức thay x vào (*)) Hệ 2: Với n chẵn, cần thay x 1 vào (*), ta có: Cn0 Cn1 Cn2 Cnn1 Cnn Cn0 Cn2 Cn4 Cnn Cn1 Cn3 Cnn1 Khai triển tổng quát: Trong công thức bên, ta có n , n Khai trieån: n a b Cnk a nk bk Số hạng tổng quát: Tk 1 Cnk a nk bk n k 0 Phân biệt hệ số số hạng: Cnk ( 1)k a n kbk x HEÄ SỐ SỐ HẠNG Nhớ số hạng không chứa x ứng với CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN Đònh nghóa: Đònh nghóa: Dãy số un gọi cấp số cộng Dãy số un gọi cấp số nhân un1 un d với n * un 1 un q với n Cấp số cộng có số hạng đầu u1 , * Cấp số nhân có số hạng đầu u1 , công bội q công sai d Số hạng tổng quát: un u1 (n 1)d với n Số hạng tổng quát: * un u1.q n 1 với n Tính chất số hạng: uk 1 uk 1 2uk với k k * Tính chất số hạng: uk 1.uk 1 uk2 với k Tổng n số hạng đầu tiên: k Tổng n số hạng đầu tiên: (u un )n Sn u1 u2 un Sn u1 u2 un u1 (1 q n ) với q 1 q KHẢO SÁT HÀM SỐ & BÀI TOÁN LIÊN QUAN HÀM BẬC BA XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU Bước 1: Tìm tập xác đònh D Bước 2: Tính y f ( x) ; cho y Tìm nghiệm x1 , x2 Bước 3: Lập bảng biến thiên (Nên chọn giá trò x đại diện cho khoảng thay vào y để tìm dấu y khoảng đó) Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận đồng biến, nghòch biến hàm số ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ Hàm số có điểm cực trò y( x0 ) ( x0 ; y0 ) y ( x0 ) y0 Neáu f ( x0 ) hàm số f ( x) đạt cực đại x Nếu f ( x0 ) f ( x0 ) x0 hàm số f ( x) đạt cực tiểu x Đạo hàm y 3ax 2bx c x0 y ax b (ad bc 0) cx d Hàm số đồng biến tập xác đònh y 0, x a Đạo hàm y ad bc (cx d )2 Hàm số đồng biến khoảng xác đònh Hàm số nghòch biến tập xác đònh y 0, x a ad bc Haøm số nghòch biến khoảng xác đònh ad bc CỰC TRỊ HÀM BẬC BA CỰC TRỊ HÀM BẬC BỐN y ax bx cx d (a 0) y ax4 bx2 c (a 0) Đạo haøm y 3ax 2bx c Hàm số có hai cực trò (giả thiết hàm số liên tục x0 ) f ( x0 ) y ax3 bx2 cx d (a 0) HÀM NHẤT BIẾN a (*) y f ( x) TÌM MAX-MIN TRÊN ĐOẠN Tìm Max-Min f ( x) đoạn a; b Điều kiện cực trò Ba cực trò Một cực trò Để tìm điều kiện cho hàm số cực trò: Bước 1: làm theo công thức (*) Bước 2: phủ đònh kết Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trò: y Đạo hàm y 4ax 2bx f ( x) f ( x) 18a ab ab 2 a b a b2 Coù cực trò Cho A, B, C ba điểm cực trò, ta có: cos BAC SABC b3 8a b3 8a b5 32a TÌM MAX-MIN TREN KHOẢNG Tìm Max-Min f ( x) khoảng (a; b) Bước 1: Tính y Bước 1: Tính y f ( x) Tìm nghiệm xi (a;b) cho f ( x) Tìm nghiệm xi x (nếu có) Bước 3: So sanh tất giá trò bước để kết luận giá trò lớn nhất, nhỏ Nếu hàm f ( x) đồng biến [a; b] a f (a) f ( x) f (a) f ( x) f (b) x [a;b] x [a;b] TIỆM CẬN ĐỨNG x x0 TIỆM CẬN NGANG (x hữu hạn, y vô hạn), y ta có tiệm cận đứng x x0 Lưu ý: điều kiện x0 thay x hạn bên trái) x ax cx x0 nghiệm b với (c d 0, ad x y bc (x vô hạn, y hữu hạn), y0 ta có tiệm cận ngang y Bước 2: CALC CALC mẫu số mà nghiệm tử số x x0 TCĐ đồ thò Đồ thò hàm số y Đònh nghóa: y0 Cách tìm TCN: Đơn giản dùng CASIO Bước 1: Nhập hàm số vào máy x0 (giới x0 (giới hạn bên phải) Cách tìm TCĐ: Nếu x b Bước 3: Lập bảng biến thiên suy giá trò lớn nhất, nhỏ khoảng Nếu hàm f ( x) nghòch biến [a; b] max f ( x) Đònh nghóa: x x f (b) x [a;b] baèng (; ) ta tính thêm lim y ) max f ( x) x [a;b] x (a;b) cho f ( x) Bước 2: Cần tính lim y, lim y (Nếu thay (a; b) Bước 2: Tính giá trò f (a), f (b) f ( xi ), ĐẶC BIỆT f ( x) NEXT X 10 ^ 10 10 ^ 10 NEXT NEXT X NEXT Bước 3: Nếu kết thu hữu hạn (tức y0 ) ta kết luận TCN: y y0 0) có TCĐ: x d , TCN: y c a c Nên nhớ, đồ thò có nhiều tiệm cận đứng, có tối đa tiệm cận ngang TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM HOẶC SỐ GIAO ĐIỂM HAI ĐỒ THỊ f (x ) vaø (C ) : y g(x ) Xét hai đồ thò (C1 ) : y Bước : Lập phương trình hoành độ giao điểm cuûa (C1 ) & (C2 ) : f ( x) g( x) (*) Bước : Giải phương trình (*) để tìm nghiệm x1 , x2 , (nếu có), suy y1 , y2 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN DẠNG Viết phương trình tiếp tuyến đồ thò (C ) : y f ( x) DẠNG Viết phương trình tiếp tuyến đồ thò (C ) : y f ( x) biết tiếp DẠNG Viết phương trình tiếp tuyến đồ thò (C ) : y f ( x) biết tiếp điểm M ( x0 ; y0 ) (C ) tuyến có hệ số góc k tuyến qua A( xA ; y A ) Bước 1: Tính đạo hàm y , từ Bước 1: Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp Bước 1: Tiếp tuyến có dạng : y y ( x0 )( x x0 ) y0 (*) với có hệ số góc k y ( x0 ) Bước : Viết phương trình tiếp tuyến đồ thò dạng y k( x x0 ) y0 điểm tính đạo hàm y Bước 2: Cho y ( x0 ) k , từ tìm tiếp điểm ( x0 ; y0 ) Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến : y0 f ( x0 ) Bước 2: Thay tọa độ điểm A vào (*) để tìm x0 Bước 3: Thay x0 tìm vào y k( x (*) để viết phương trình tiếp tuyến y0 x0 ) SỐ PHỨC VÀ CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN Số phức có dạng: z a a, b bi với i2 Thành phần (i: đơn vò ảo) Ký hiệu tập số phức: Hình học Phần thực: a Nếu a z bi gọi số ảo Phần ảo: b Nếu b z a số thực Khi a b z vừa số ảo vừa số thực Số phức liên hợp – Số phức nghòch đảo Cho z a bi Khi đó: Số phức liên hợp z a bi Số phức nghòch đảo 1 z z a bi a b i 2 a b a b2 Minh họa Điểm M (a;b) biểu diễn cho z hệ trục Oxy Mô-đun: z OM b2 a2 Căn bậc hai Căn bậc hai a Căn bậc hai a Phương trình bậc hai Phương trình z2 a là w x x y xy b yi với có hai nghiệm phức z Phương trình z a a a i a Căn bậc hai số phức z a bi hai số phức dạng a hai nghiệm phức z có i a Phương trình az bz c 0 có hai nghiệm với phức là: z1,2 b i 2a KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG I MỘT SỐ HÌNH PHẲNG CƠ BẢN: Tam giác vuoâng: A AC ▪ AC2 CH.BC ▪ B C H AC (đối/huyền) ▪ cos B BC ▪ sin B AH A BC2 AB2 AB (keà/huyeàn) BC AC2 ▪ tan B ▪ Đường cao: AH a a K ▪ AG G H ▪ AB2 BH.BC ▪ AH BH.CH AB.AC AH AB AC AC (đối/kề) AB ▪ cot B AB (kề/đối) AC Giả sử tam giác ABC có cạnh a; trọng tâm G; đường cao (trùng với trung tuyến) gồm AH , BK Tam giác đều: B Pitago ▪ AB2 C a Tam giác thường: AH BK a (caïnh) a ; GH (cạnh)2 ABC Giả sử tam giác ABC có a ▪ Diện tích: S a AH a a2 BC, b AC, c a AB ; đường cao , hb , hc ứng với cạnh a, b, c Ký hiệu R, r bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp ∆ a sin A ▪ Đònh lí Cô-sin: a2 b c 2R sin B sin C b2 c2 2bc.cos A ; ▪ Đònh lí Sin: b2 ▪ Diện tích: S S ABC ABC a2 c2 2ac.cos B; c2 a2 b2 2ab.cosC 1 1 1 a hb b hc c ; S ABC ab.sin C ac.sin B bc.sin A ; 2 2 2 abc a b c (nửa chu vi) pr ; S ABC p( p a)( p b)( p b) với p 4R Công thức Hê Rông Cho hình vuông ABCD có cạnh a; hai điểm M, N Hình vuông: trung điểm CD, AD; I tâm hình vuông ▪ Đường chéo: IA IB AC BD AC BD IC (caïnh) ABN a2 ; chu vi: p 4a ADM , ta chứng minh được: AM Cho hình chữ nhật ABCD tâm I có AB Hình chữ nhật: a nên I tâm đường tròn qua ID bốn đỉnh hình vuông ▪ Diện tích: SABCD (cạnh)2 ▪ Vì a 2 BN a, AD b ▪ Đường chéo: AC BD a2 b2 IA IB IC ID a b2 nên I tâm đường tròn qua bốn điểm A, B, C, D ▪ Diện tích: SABCD a.b ; chu vi: p 2(a b) Cho hình thoi ABCD có tâm I , cạnh a Hình thoi: ▪ Đường chéo: AC ▪ Diện tích: SABCD BD; AC AI AC.BD ; SABCD 2 AB.sin ABI 2S ABC 2S 2a.sin ABI ACD 2S ABD Đặc biệt: Nếu hình thoi có góc B D 600 ( A C 1200 ) ACD ta chia hình thoi làm hai tam giác đều: ABC AC a S ABC S ACD a2 ; SABCD 2S a2 ABC II THỂ TÍCH KHỐI CHÓP: Hình chóp: 7.1 Hình chóp tam giác S h ▪ Tất cạnh bên ▪ Đáy tam giác cạnh a ▪ SH ( ABC) với H trọng tâm ∆ ABC D ▪ A H Sñ SH Sđ a2 h Thể tích V a2 h C B V h.Sđ Góc cạnh bên mặt Góc mặt bên mặt đáy: 7.2 Tứ diện đều: ▪ Đây hình chóp tam giác đều, đặc biệt cạnh bên cạnh đáy Thể tích: V a3 12 đáy: SA,( ABC) SAH (SAB),( ABC) SCH SC,( ABC) (SBC),( ABC) ▪ Góc cạnh bên mặt 7.4 Hình chóp có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy a2 SO h h SA Sđ S Thể tích SBO SA.S V ABC SBA SC,( ABC) SCA ABC ▪ Đường cao h SH đường cao ∆SAB ▪ Góc cạnh bên mặt đáy: SAH SC,( ABC) SCH SMO SNO Đáy tứ giác đặc biệt Đáy tam giaùc SA,( ABC) h.a2 V (SBC),( ABCD) ▪ Góc cạnh bên mặt đáy: SB,( ABC) Thể tích (SAB),( ABCD) Đáy tam giác ▪ 7.5 Hình chóp có mặt bên (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Sđ Góc mặt bên mặt đáy: SAO SB,( ABCD) SNH ▪ Tất cạnh bên ▪ Đáy hình vuông cạnh a ▪ SO ( ABCD) với O tâm hình vuông ABCD 7.3 Hình chóp tứ giác đều: đáy: SA,( ABCD) SMH ▪ h Sđ SA SABCD Thể tích SA.SABCD V ▪ Góc cạnh bên mặt đáy: SB,( ABCD) SBA SC,( ABCD) SCA Đáy tứ giác đặc biệt ▪ Đường cao h SH đường cao ∆SAB ▪ Góc cạnh bên mặt đáy: SA,( ABCD) SAH SC,( ABCD) SCH III THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: Hình lăng trụ thường: Hai đáy hai hình giống nằm hai mặt phẳng song song Các cạnh bên song song Các mặt bên hình bình hành Thể tích: V Đáy tam giác Đáy tứ giác h.Sđ V Hình lăng trụ đứng: Các cạnh bên vuông góc với hai mặt đáy nên cạnh bên đường cao lăng trụ Lăng trụ tam giác đều: Là lăng trụ đứng có hai đáy hai tam giác AH.S ABC h Thể tích: V AA h.Sđ với BB CC AH.SABCD AH.SA B C D Đáy tứ giác Thể tích: V h AA h.Sđ với BB CC DD 3.1 Hình hộp chữ nhật: Là lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật 3.2 Hình lập phương: Là hình hộp chữ nhật có tất cạnh V V abc với a,b, c ba kích thước khác hình hộp chữ nhật h.Sđ V ABC Đáy tam giác Thể tích: V Hình hộp: Là lăng trụ có tất mặt hình bình hành AH.S a3 với a cạnh hình lập phương MẶT TRỤ – MẶT NÓN – MẶT CẦU MẶT NÓN Các yếu tố mặt nón: Đường cao: h S l h l SO ( SO gọi trục hình nón) Bán kính đáy: l r OA OB OM Một số công thức: Chu vi đáy: p Diện tích đáy: Sđ Thể tích: V Đường sinh: A r O B M Hình thành: Quay vuông l SA SB r h.S đ r2 h r (liên tưởng khối chóp) SM Góc đỉnh: ASB Diện tích xung quanh: Sxq rl SOM quanh trục SO , ta mặt nón hình bên với: h SO r OM Thiết diện qua trục: SAB cân S Góc đường sinh mặt đáy: SAO MẶT TRỤ SBO Diện tích toàn phần: Stp Đường cao: h OO Đường sinh: l AD OA BC h OB OC O D Thiết diện qua trục: Là hình chữ nhật ABCD Một số công thức: IA IB Sxq Stp Là đường tròn tâm I , bán R3 Sxq 2Sđ r.h r2 Mặt cầu nội tiếp đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt đa diện kính R Thể tích khối cầu: V r.h Mặt cầu ngoại tiếp đa diện mặt cầu qua tất đỉnh đa diện Thiết diện qua tâm mặt cầu: R2 h r2 Mặt cầu ngoại tiếp đa diện Mặt cầu nội tiếp đa diện 2R Diện tích mặt cầu: S h.Sđ Diện tích toàn phần: IM Đường kính AB Hình thành: Quay đường tròn tâm I , bán kính AB quanh trục AB , ta có R mặt cầu hình vẽ r2 Diện tích xung quanh: Tâm I , bán kính R r Diện tích đáy: S đ V hai điểm O, O MẶT CẦU r2 Thể tích khối trụ: Trục (∆) đường thẳng qua Hình thành: Quay hình chữ nhật ABCD quanh đường trung bình OO , ta có mặt trụ hình bên rl Một số công thức: Chu vi đáy: p Bán kính đáy: r Sđ SMO Các yếu tố mặt trụ: Ta có: l Sxq CÁCH TÌM BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP THƯỜNG GẶP Hình chóp có đỉnh nhìn cạnh góc vuông Xét hình chóp có SA ( ABC) Xét hình chóp có SA ( ABCD) ABCD hình chữ Hình chóp Xét hình chóp tam giác có cạnh bên b đường cao Xét hình chóp tứ giác có cạnh bên b chiều cao SO h ABC Ta có nhật hình vuông 900 Ta có: SAC SAC SBC 90 nên mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm I trung điểm SC , bán kính R SC SBC SDC 900 Suy maët cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm I trung điểm SC , Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SH h Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b2 2h R b2 2h R SC bán kính R Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy Khi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có bán h kính R Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy rđ Nếu đáy tam giác cạnh a Xét hình chóp có (đáy) SA SA h ; bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy rđ a Nếu đáy hình vuông rđ a Nếu đáy hình chữ nhật cạnh a, b cạnh a rđ a2 rđ b2 Xét hình chóp có mặt bên (SAB) (đáy), bán kính ngoại tiếp đáy rđ , bán kính ngoại tiếp SAB rb , d AB (SAB) (đáy) Khi bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp R rđ rb2 d2 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Hệ trục tọa độ Oxyz: Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi vuông góc Trục Ox : trục hoành, có vectơ đơn vò i Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vò j Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vò k (1;0;0) (0;1;0) (0;0;1) Điểm O(0;0;0) gốc tọa độ Tọa độ vectơ: Vectơ u Cho a a ka a a.b b (a1 b1 ; a2 b2 ; a3 (a1 ; a2 ; a3 ), b b3 ) b b1 a2 b2 a3 b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 yj zk a a12 a22 a22 ( x; y; z) u (b1 ;b2 ;b3 ) Ta có: a phương b (ka1 ; ka2 ; ka3 ) a1 xi a1 kb1 a2 kb2 a3 kb3 a1 b1 a2 a kb (k a2 a3 b2 b3 a R) , (b1 , b2 , b3 a12 a22 0) a32 a b a.b a1b1 a2b2 Tọa độ điểm: M ( x; y; z) AB ( xB xA ; yB a3b3 zA ) AB xA xB yA ; yB zA ; zB a a1b1 a2b2 a a b 2 a3b3 b22 b32 ( xB x A )2 ( yB yA )2 ( zB zA ) Toaï độ trọng tâm G tam giác ABC: x xB xC yA yB yC zA zB zC G A ; ; 3 Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB: M a.b ( x; y; z) Cho A( xA ; yA ; zA ) , B( xB ; yB ; zB ) , C( xC ; yC ; zC ) , ta coù: OM yA ; zB a.b cos(a, b) Tích có hướng hai vectơ: Đònh nghóa: Cho a (a1 , a2 , a3 ) , b (b1 , b2 , b3 ) , tích có hướng a b là: a2 b2 a, b [a, b] Tính chất: a3 a3 ; b3 b3 [a, b] a Điều kiện phương hai vectơ a & b a, b với a1 a1 ; b1 b1 a2 b2 a2b1 a b sin a, b Diện tích tam giác ABC: Diện tích hình bình hành ABCD: Thể tích khối hộp: VABCD A'B'C'D' a1b3 ; a1b2 [a, b] b laø [a, b].c ABCD a3b2 ; a3b1 Điều kiện đồng phẳng ba vectơ a, b c (0;0;0) S a2b3 S AB, AD [ AB, AD] AA' ABC Thể tích tứ diện: VABCD AB, AC AB, AC AD Phương trình mặt cầu: Dạng 1: (S) : ( x Mặt cầu ( S) có a) (y b) (z c)2 R2 Daïng 2: (S) : x2 I (a; b; c) R Mặt cầu ( S) có R2 Phương trình x2 z2 2ax 2by 2cz d Bài toán 5.1 Viết phương trình mặt cầu tâm I qua điểm M Bước 1: Tính bán kính R IM 2ax b2 c2 2by 2cz d a2 d phương trình mặt cầu a b2 c d Bài toán 5.2 Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB Bước 1: Tìm tâm I trung điểm AB Bán kính R Bước 2: Viết phương trình mặt cầu dạng z2 I (a; b; c) R y2 y2 AB IA IB Bước 2: Viết phương trình mặt cầu dạng Phương trình mặt phẳng: Mặt phẳng ( P) trình ( P) : a( x Lưu ý: Vectơ pháp tuyến (VTPT) mặt phẳng vectơ khác nằm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Bài toán 6.1 Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) VTPT n x0 ) b( y (a; b; c) y0 ) phương c( z z0 ) Ngược lại, mặt phẳng có phương trình dạng ax by cz d , mặt phẳng có VTPT n (a;b; c) Bài toán 6.2 Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C Bước 1: Tìm trung điểm I đoạn AB tính AB, AC tọa độ AB Bước 2: Phương trình mp( P) Bước 1: Tính tọa độ AB, AC suy qua I VTPT n AB Bài toán 6.3 Viết phương trình mặt phẳng qua M chứa đường thẳng d với M d Bước 2: Phương trình mp( P) Bước 2: Phương trình mp( P) ax0 by0 cz0 d a b2 c Cho hai maët phẳng (), () có phương trình: ( P) : a1 x b1 y c1 z d1 (Q) : a2 x b2 y c2 z d Góc ( P) & (Q) tính: nP nQ Khoảng cách hai mặt phẳng song song Cho hai mặt phẳng Góc hai mặt phẳng z c ( P) : ax by cz d1 (Q) : ax by cz d M ( x0 ; y0 ; z0 ) mp( P) : ax by cz d nP nQ y b VTPT n AM , ud Cho cos ( P), (Q) x a qua M Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khi đó: d M , ( P) Phương trình mặt phẳng viết theo đoạn chắn ( P) : Tính AM , ud VTPT n AB, AC Bài toán 6.4 Viết phương trình mặt phẳng cắt Ox, Oy, Oz A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C (0; 0; c) với a, b, c Bước 1: Chọn điểm A d moät VTCP ud qua A a1a2 b1b2 c1c2 a b12 c12 a22 b22 c22 0 Chú ý: ( P), (Q) 90 Khi ñoù: d ( P), (Q) d1 d a b2 c2 với d1 d Vò trí tương đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (), () có phương trình: ( P) : a1 x b1 y c1 z d1 Ta coù: (Q) : a2 x b2 y c2 z d a b c d ( P) (Q) a2 b2 c2 d2 a b c d ( P) (Q) a2 b2 c2 d ( P) & (Q) caét a1 : b1 : c1 a2 : b2 : c2 ( P) (Q) a1a2 b1b2 c1c2 Lưu ý: Các tỉ số có nghóa mẫu khác Ví trò tương đối mặt phẳng mặt cầu Cho mặt phẳng ( P) : ax by cz d mặt cầu ( S ) có tâm I bán kính R Trường hợp 1: d I , ( P) R ( P) ( S ) điểm chung Trường hợp 2: d I , ( P) R ( P) ( S ) có Trường hợp 3: d I , ( P) R ( P) cắt ( S ) điểm chung Khi ta nói ( P) tiếp xúc theo giao tuyến đường tròn ( S ) ( P) tiếp diện ( S ) Đường tròn giao tuyến có tâm H (là trung điểm AB), bán kính r R IH với IH d I ,( P) Ta có: IM ( P) với M tiếp điểm Phương trình đường thẳng: Đường thẳng d qua A( xA ; y A ; z A ) VTCP u (u1; u2 ; u3 ) x x A u1t Phương trình tham soá d : y y A u2t với z z u t A có: t tham số Phương trình tắc d: Vectơ phương (VTCP) đường thẳng d vectơ khác , có giá nằm d song song với d x xA y y A z z A u1 u2 u3 a d Lưu ý: Nếu có cặp vectơ khác không phương cho b d với u1.u2 u3 d có VTCP là: ud a, b 7.1 Ví trò tương đối hai đường thẳng: Xét vò trí tương đối hai đường thẳng d1 , d2 với d1 Bước I u1 , u2 Hai đường thẳng d1 , d2 song song trùng u1 , u2 Hai đường thẳng d1 , d2 cắt chéo qua M VTCP u1 Bước II u1 ; MN u1 ; MN qua N , d1 VTCP u2 Kết luận d1 d2 (Hai đường thẳng trùng nhau) d1 d2 u1 ,u2 MN d1 caét d2 u1 ,u2 MN d1 & d2 cheùo 7.2 Ví trò tương đối đường thẳng mặt phẳng: x x0 u1t Xét vò trí tương đối đường thẳng d : y y0 u2 t mặt phẳng (P) : ax z z0 u3 t Bước I: Thay phương trình tham số d vào Bước II:Giải PT (*), ta gặp trường hợp sau PT (*) vô nghiệm by cz d Kết luận d ( P) phương trình ( P) , ta PT (*): a( x0 u1t) b( y0 u2t) c(z0 u3t) d x x0 PT (*) có nghiệm y y0 z z d cắt ( P) điểm có tọa độ ( x0 ; y0 ; z0 ) d PT (*) có vô số nghiệm (P) 7.3 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Bước 1: Chọn điểm A d VTCP ud Cho điểm M đường thẳng d (có phương trình tham số tắc) Bước 2: d M , d ud , AM ud 7.4 Góc hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng d1 , d có VTCP u1 , u2 Ta coù: cos d1 , d u1.u2 u1 u2 7.5 Góc đường thẳng mặt phẳng: Cho đường thẳng d có VTCP u măt phẳng ( P) có VTPT n Ta coù: sin d , ( P) u.n u.n Hình chiếu điểm đối xứng: Bài toán Tìm hình chiếu điểm A mặt phẳng (P ) Phương pháp Gọi d đường thẳng qua A ( P) Viết pt tham số d với VTCP d cũøng VTPT (P) Gọi H d ( P) Thay pt tham số d vào pt mp (P) ta tìm tọa độ H Tìm điểm A đối xứng với A qua (P ) xA xH xA Ta có H trung điểm AA y A yH y A z 2z z H A A Caùch I Tìm hình chiếu điểm A đường thẳng d Gọi H (theo t ) (dựa vào pt tham số d) Tìm t AH d AH ud Goïi ( P) Cách II qua A ( P) d Viết pt mp( P) Goïi H d ( P) Thay pt tham số d vào pt mp (P) ta tìm tọa độ H Tìm điểm A đối xứng với A qua đường thẳng d xA xH xA Ta có H trung điểm AA y A yH y A z 2z z H A A Biên soạn: Hoàng Xuân Nhàn Email góp ý: thayxuannhan@gmail.com Tọa độ H ... a3 b3 yj zk a a12 a22 a22 ( x; y; z) u (b1 ;b2 ;b3 ) Ta có: a phương b (ka1 ; ka2 ; ka3 ) a1 xi a1 kb1 a2 kb2 a3 kb3 a1 b1 a2 a kb (k a2 a3 b2 b3 a R) , (b1 , b2 , b3 a12 a22 0) a32 ... 0), C (0; 0; c) với a, b, c Bước 1: Chọn điểm A d VTCP ud qua A a1a2 b1b2 c1c2 a b12 c12 a22 b22 c22 0 Chú ý: ( P), (Q) 90 Khi đó: d ( P), (Q) d1 d a b2... đáy: 7.2 Tứ diện đều: ▪ Đây hình chóp tam giác đều, đặc biệt cạnh bên cạnh đáy Thể tích: V a3 12 đáy: SA,( ABC) SAH (SAB),( ABC) SCH SC,( ABC) (SBC),( ABC) ▪ Góc cạnh bên mặt 7.4 Hình chóp