1 Phòng Giáo dục- Đào tạo đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 2008 - 2009 môn: Toán ***** đề thức (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm trang Bài 1: (6 điểm) Câu 1: TÝnh: a)  2008.57  1004.(86) :  32.74  16.(48) b) + – – + + – – + + 10 – … + 2006 – 2007 – 2008 + 2009 C©u 2: Cho: A = B= TÝnh 1 1 1       308 309 308 307 306       306 307 308 A ? B Bài 2: (5 điểm) Câu 1: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết chia số cho số 25 ; 28 ; 35 đợc số d lần lợt ; ; 15 Câu 2: Tìm x biết:  2 0      x 16 Bài 3: (3 điểm) Cho a ; b hai số phơng lẻ liên tiếp Chøng minh r»ng: (a – 1).( b – 1)  192 Bài 4: (4 điểm) Tìm số tự nhiên có chữ số abcd biết thoả mãn điều kiện sau: 1) c chữ số tận cña sè M = + + 53 + … + 5101 2) abcd M25 3) ab  a b Bi 5: (2 điểm) Câu 1: Có hay không số nguyên tố mà chia cho 12 d 9? Giải thích? Câu 2: Chứng minh rằng: Trong số nguyên tố lớn 3, tồn số nguyên tố mà tổng hc hiƯu cđa chóng chia hÕt cho 12 3 Phòng Giáo dục- Đào tạo ***** Bài 1: (6 điểm) Câu 1: a) Kết : b) Kết quả: đáp án hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi năm học 2008 - 2009 môn: Toán 251 = - 25,5 (2 điểm) (2 điểm) Câu 2: (2 ®iĨm) 308 307 306       306 307 308       307   306   305     1    1     1    1    1   1 B = 1         306   307   308  B= (0,75®) 309 309 309 309 309 309       307 308 309 1  1 1   B = 309       308 309  2 B= B = 309.A  (0,5®) (0,5®) (0,25®) A A   B 309 A 309 Bài 2: (5đ) a) (2,75 đ) Gọi số tự nhiên phải tìm x - Từ giả thiết suy (x 20) M25 (x  20) M28 vµ (x  20) M35 � x+ 20 lµ béi chung cđa 25; 28 vµ 35 (1 đ) - Tìm đợc BCNN (25; 28; 35) = 700 suy (x + 20) = k.700  k �N (1 đ) - Vì x số tự nhiên có ba chữ số suy x 999 x  20 �1019 suy k = suy x + 20 = 700 suy x = 680 (0,75 ®) b) (2,25 ®) �1 � 2� - Tõ gi¶ thiÕt ta cã: �  � x 16 (1) (0,25 đ) - Vì 1 1 � 1�  nên (1) xảy vµ chØ x x 16 � � (1 ®) - Tõ ®ã tìm kết x = (1 đ) Bài 3: (3đ) 12 12 x = 11 5 - Chỉ dạng a,b là: a = 2k  1 vµ b =  2k  1 (Víi k  N * ) (0,5®) - Suy a – = (2k – 1)(2k – 1) – = = 4k 2– 4k + – = 4k.(k – 1) (0,5®) b – = (2k + 1)(2k + 1) – = = 4k2+ 4k + – = 4k(k + 1) (0,5®) (a – 1)(b – 1) = 16k(k – 1)k(k + 1) (0,5®) Tõ ®ã lËp luËn k(k – 1)k(k + 1)  vµ k(k – 1)(k + 1) 3 (0,75đ) mà (4; ) = k (k – 1)k(k + 1) M4.3 suy (a – 1)(b – 1)  16.4.3  (a – 1)(b – 1) 192 (đpcm) (0,25đ) Bài 4: (4đ) - Từ giả thiÕt dÉn ®Õn ®iỊu kiƯn: a,b,c,d �N; �a �9; �b;c;d �9 (0,5 ®) - Lý luËn dÉn ®Õn M có chữ số tận c = (0,75 ®) - Tõ ®iỊu kiƯn: abcd M25, lý luËn dÉn ®Õn (10c + d) M25, tõ ®ã tìm đợc d = ( 0,75 đ) - Từ ®iỊu kiƯn: ab = a + b2 � 10a + b = a + b2 � 9a = b2 – b 9a = b(b – 1) (0,5 ®) Lý luËn dấn đến b(b 1) b(b 1) M9 (0,5 đ) Mà b b -1 hai sè nguyªn tè cïng nhau; < b – 1< � b(b – 1) M9 chØ b M9 a=8 (0,75 đ) Kết luận: Số cần tìm 8950 (0,25 đ) Bài 5: (2 điểm): Câu 1: - Không thể có số nguyên tố mà chia cho 12 d Vì: có số tự nhiên a mà chia cho 12 d a = 12.k + ;  k �N  � a M3 a a hợp số, số nguyên tố (0,75 đ) Câu 2: (1,25 đ) - Một số tự nhiên chia cho 12 có số d 12 sè sau: 0; 1; 2; ; 11 - Chứng minh tơng tự câu ta có: số nguyên tố lớn (bất kỳ) chia cho 12 có số d 2; 3; 4; 6; 8; 10 (0,25 ®) - Suy mét sè nguyên tố lớn đem chia cho 12 đợc số d giá trị : 1; 5; 7; 11 (0,25 đ) - Chia số nguyên tố lớn thành hai nhóm : 2 + Nhóm 1: Gồm số nguyên tố chia cho 12 d 11 + Nhóm 2: Gồm số nguyên tố chia cho 12 d (0,25 đ) - Giả sử p1; p2; p3 ba số nguyên tố lớn Có ba số nguyên tè, chØ n»m ë hai nhãm, theo nguyªn lý Dirichle ba số nguyên tố trên, tồn nhÊt hai sè nguyªn tè cïng thuéc mét nhãm , chẳng hạn p1 p2 thuộc nhóm: + NÕu p1 vµ p2 chia cho 12 cã sè d khác (tức d 11; 7) p1 + p2 = 12 k1 + + 12 k2 + 11 = 12(k1+ k2) + 12 ;  k1 ; k2 �N  suy p1 + p2 M 12 hc p1 + p2 = 12 n1 + + 12 n2 + = 12(n1+ n2) + 12 ;  n1 ; n2 �N  suy p1 + p2 M 12 + NÕu p1 vµ p2 chia cho 12 cã sè d b»ng th× hiƯu p1 – p M 12 (0,5 ®) ... 1: (6 điểm) Câu 1: a) Kết : b) Kết quả: đáp án hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi năm học 2008 - 2009 môn: Toán 251 = - 25,5 (2 ®iĨm) (2 ®iĨm) C©u 2: (2 ®iĨm) 308 307 3 06       3 06 307... suy k = suy x + 20 = 700 suy x = 68 0 (0,75 ®) b) (2,25 ®) �1 � 2� - Tõ gi¶ thi t ta cã: �  � x 16 � (1) (0,25 ®) - V× 1 1 � 1�   hc    � � nên (1) xảy x x 16 � � (1 ®) - Từ tìm kết x = (1...       3 06 307 308       307   3 06   305     1    1     1    1    1   1 B = 1         3 06   307   308  B= (0,75®) 309 309 309 309 309