Tỉ khoa häc tù nhiªn - trêng thcs trùc khang Bài 99: Cho ∆ ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Các phân giác góc ·ABC , ·ACB cắt đường tròn E, F 1) CMR: OF ⊥ AB OE ⊥ AC 2) Gọi M giao điểm của OF AB; N giao điểm OE AC CMR: Tứ giác AMON nội tiếp tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác 3) Gọi I giao điểm BE CF; D điểm đối xứng I qua BC CMR: ID ⊥ MN · 4) CMR: Nếu D nằm (O) BAC = 600 Hướng dẫn: · » ⇒ OF ⊥ AB (CF làphâ n giá c) ⇒ »AF = BF ·ACF = BCF · · » ⇒ OE ⊥ AC ABE = CAE (BE làphâ n giá c) ⇒ »AE = CE · = 900 OF ⊥ AB taïi M ⇒ OMA · · · OE ⊥ AC taïi N ⇒ ONA = 900 ⇒ OMA + ONA = 1800 ⇒ Tứ AMON nội tiếp 2 OA π R2  OA  = π = AMON nội tiếp đường tròn đường kính OA ⇒ S= π  ÷ 4   I D đối xứng qua BC ⇒ ID ⊥ BC (1) 1 OF ⊥ AB taïi M ⇒ MA = MB = AB OE ⊥ AC taïi N ⇒ NA = NC = AC ⇒ MN đường 2 ∆ ABC ⇒ ID ⊥ MN ⇒ trung bình MN //BC(2) Từ (1) (2) · CMR: Nếu D nằm (O) BAC = 600: + I D đối xứng qua BC ⇔ BC đường trung trực ID, suy ra: · · - ∆ IBD cân B ⇒ CBD ( BC đường trung trực đồng thời đường cao) = CBE · · - ∆ ICD cân C ⇒ BCD ( BC đường trung trực đồng thời đường cao) = BCF · · » = CE » mà CE » = »AE (cmt) + Khi D nằm (O,R) thì: CBD = CBE (cmt) ⇒ CD » + CD » =¼ » = ACD ¼ » = CD » Mặc khác: »AE + EC ACD ⇒ CD ⇒ »AE = EC (1) · · » = BF » mà BF » = AF( » cmt) ⇒ »AF = FB » = BD ằ BCD = BCF (cmt) BD Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT Giáo viên: Hà Văn Bỉnh 75 Tỉ khoa häc tù nhiªn - trêng thcs trùc khang » + BD » = ABD ¼ ⇒ BD » = ABD ¼ - Mặc khác: »AF + FB (2) · » ⇒ ·BAC = sñBC » = (sñBD » + sñCD » ) (3) n.tiế p chắ nBC - BAC 2 1 1  ¼ + sđ ABD ¼ ABD + sủ ẳ ABD ữ= sủ ABD = 3600 = 600 - Từ (1), (2), (3) ⇒ ·BAC =  sđ ¼ 2 3  ( ) Bài 100: Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi M điểm cạnh BC N điểm cạnh CD cho BM = CN Các đoạn thằng AM BN cắt H CMR: Các tứ giác AHND MHNC tứ giác nội tiếp Khi BM = a Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác AHND theo a Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn MN theo a Hướng dẫn: CMR: Tứ giác AHND MHNC nội tiếp: · · + ∆ ABM = ∆ BCN (c.g.c) ⇒ BAM = CBN · · · + CBN + ABH = ABC = 900 ⇒ ·AHB = 900 (ĐL tổng góc ∆ AHB) · ⇒ AM ⊥ BN H ⇒ ·AHN = MHN = 900 + Tứ giác AHND có: ⇒ ·AHN + ·ADN = 1800 ⇒ AHND tứ giác nội tiếp · · + Tứ giác MHNC có: ⇒ MHN + MCN = 1800 ⇒ MHNC tứ giác nội tiếp a Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác AHND theo a: a a 3a ⇒ CN = ⇒ DN = + Khi BM = 4 Khi BM = + ∆ AND vuông D ⇒ AN = 5a  3a  AD + DN = a +  ÷ =   2 2 AN 25π a  5a  = π  ÷ :4 = + Diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác AHND: S = π 64   + Đặt x = BM = CN ⇒ CM = a – x + ∆ MCN vuông C ⇒ MN2 = CM2 + CN2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = a a  a2 ⇒  a2 =0 x − + MN đạt giá trị nhỏ x −  ÷ 2 2  a a2 a = x = 2 a a Vậy giá trị nhỏ MN BM = 2 ⇒ MN đạt giá trị nh nht l Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT Giáo viên: Hà Văn Bỉnh 76 Tổ khoa học tự nhiªn - trêng thcs trùc khang Bài 101: Cho ∆ ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Đường cao BH CK cắt (O) E F 1) CMR: Tứ giác BKHC nội tiếp 2) CMR: OA ⊥ EF EF // HK 3) Khi ∆ ABC tam giác có cạnh a Tính diện tích hình viên phân chắn cung nhỏ BC (O) Hướng dẫn: · · a) BHC = BKC = 900 ⇒ B, H, C, K ∈ đường tròn đường kính BC ⇒ BKHC nội tiếp · · ¼ ) ⇒ ABE · · · · » ⇒ AE = AF (1) = KCH (chaé nHK = ACF = CAF (cmt) ⇒ »AE = CF b) KBH ; ABE Mặc khác: OE = OF = R (2) Từ (1) ( 2) ⇒ OA đường trung trực EF ⇒ OA ⊥ EF · · » ) ⇒ BCF · · · · » ) (4) + BCK = BHK (chaé nBK = BHK (3) BCF = BEF (chaé nBF · · · · Từ (3) (4) ⇒ BHK = BEF; BHK vàBEF đồ ng vò⇒ EF // HK a c) Gọi R bán kính (O) h chiều cao ∆ ABC đều, ta có:h = 2 a a = - O trọng tâm ∆ ABC ⇒ R = OA = h = 3  a  π a2 - S(O) = π R2 = π  (đvdt) ÷ ÷ =   1 a a2 - SABC = a.h = a = (đvdt) 2 1 π a2 a2 a2 (4π − 3) - Svp = ( S(O) – SABC ) = ( )= (đvdt) 3 36 Bài 102: Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi E điểm cạnh BC Qua B vẽ đường thẳng vng góc với tia DE H, đường thẳng cắt tia DC F a) CMR: Năm điểm A, B, H, C, D nằm đường tròn b) CMR: DE.HE = BE.CE c) Tính độ dài đoạn thẳng DH theo a E trung điểm BC · d) CMR: HC tia phân giác DHF Hng dn: Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT Giáo viên: Hà Văn Bỉnh 77 Tổ khoa học tù nhiªn - trêng thcs trùc khang · · · a) BAD = BHD = BCD = 900 ⇒ A, B, H, C, D ∈ đường tròn đường kính BD b) ∆ DEC ∆ BEH có: · · DEC = BEH ( đố i đỉ nh)  ⇒ ∆ DEC · · DCE = BHE = 900  ∆ BEH ⇒ c) Khi E trung điểm BC ⇒ EB = EC = DE EC ⇔ DE.HE = BE.CE = BE EH BC a = 2 a a - ∆ DEC vuông C ⇒ DE = EC + CD ⇒ DE =  ÷ + a2 =  2 BE.CE  a a a a ⇒ EH =  ÷ : = - Từ: DE.HE = BE.CE (cmt) ⇒ EH = DE 10  2 2 a a 3a + = 10 · · · · = ·ABC = 450 ⇒ CHD = CBD = 450 (1) d) CHD Mà: CBD · · · + Mặc khác: CHD + CHF = DHF = 900 (2) 1· · · · ⇒ HC tia phân giác DHF = CHF = DHF + Từ (1) (2) ⇒ CHD - DH = DE + EH = Bài 103: Một hình vng ABCD nội tiếp đường tròn ( O; R) Điểm M di động cung ABC, M không trùng với A, B C, MD cắt AC H 1) CMR:Tứ giác MBOH nội tiếp đường tròn DH.DM = 2R2 2) CMR: MD.MH = MA.MC 3) ∆ MDC ∆ MAH M vị trí đặc biệt M’ Xác định điểm M’ Khi M’D cắt AC H’ Đường thẳng qua M’ vng góc với AC cắt AC I Chứng minh I trung điểm H’C Hướng dẫn: CMR: Tứ giác MBOH nội tiếp dược đường tròn: · + ABCD hình vng ⇒ BD ⊥ AC ⇒ BOH = 900 (1) · · + (O) có: BMD nội tiếp chắn đường tròn ⇒ BMD = 900 (2) · · + Từ (1) (2) ⇒ BOH + BMD = 900 + 900 = 1800 ⇒ MBOH nội tiếp đường tròn đường kính BH * CMR: DH.DM = 2R2: · · · ∆DOH ∆DMB có: DOH : chung ⇒ ∆ DOH : ∆ DMB (g.g) = DMB = 900 v BDM Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT 78 Giáo viên: Hà Văn Bỉnh Tổ khoa học tự nhiªn - trêng thcs trùc khang ⇒ DO DH = ⇒ DO DB = DH DM ⇒ R.2 R = DH DM ⇒ DH DM = R (đpcm) DM DB CMR: MD.MH = MA.MC: · · · · MDC = MAC ⇒ MDC = MAH · · » = »AD ⇒ CMD CD = AD (ABCD hình vng) ⇒ CD = ·AMD ⇒ CMD = ·AMH · · · = MAH (cmt) ; CMD = ·AMH (cmt) + ∆ MDC ∆ MAH có: MDC ⇒ ∆ MDC : ∆ MAH (g.g) ⇒ MD MC = ⇔ MD MH = MA MC MA MH Chứng minh I trung điểm H’C: + ∆MDC = ∆MAH ⇒ MD = MA » = BA » (2) ¼ + CD » = MB » + BA » (1) Do: CD = BA ⇒ CD ¼ ¼ ⇒ MC + MD = MA ⇒ MCD = MBA ¼ = MB ¼ ⇒ M điểm BC » Hay M’là điểm BC » Từ (1); (2) ⇒ MC + ∆MDC = ∆MAH ⇒ ∆M’DC = ∆M’AH’ ⇒ M’C = M’H’⇒ ∆M’H’C cân M (3) + Do M’I ⊥ AC ⇒ M’I ⊥ H’C (4) ⇒ Từ (3) (4) M’I đường đường trung tuyến ∆M’H’C ⇒ IH’ = IC Hay I trung điểm H’C (đpcm) Bài 104: Cho hai đường tròn (O; 20cm) (O’; 15cm) cắt A B Biết AB = 24cm O O’ nằm hai phía so với dây chung AB Vẽ đường kính AC đường tròn (O) đường kính AD đường tròn (O’) a) CMR: Ba điểm C, B, D thẳng hàng b) Tính độ dài đoạn OO’ c) Gọi EF tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (O’) (E, F tiếp điểm) CMR: Đường thẳng AB qua trung điểm đoạn thẳng EF Hướng dẫn: : a) (O) có ·ABC nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AC ⇒ ·ABC = 900 (1) + (O’) có ·ABD nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AD ⇒ ·ABD = 900 (2) · + Từ (1) (2) ⇒ CBD = ·ABC + ·ABD = 1800 ⇒ Ba điểm C, B, D thẳng hàng b) (O) (O’) cắt A B ⇒ OO’ đường trung trực AB + Gọi H giao điểm OO’ AB ⇒ OO’ ⊥ AB tạiH;HA =HB = AB = 12 (cm) + ∆ AHO vuông H ⇒ OH = OA − HA = 20 −12 = 16 (cm) 2 2 + ∆ AHO’ vuông H ⇒ O ' H = O ' A2 − HA2 = 152 −122 = (cm) Suy ra: OO’ = OH + O’H = 16 + = 25 (cm) c) Gọi K giao điểm AB EF + ∆ OEK vuông E ⇒ KE = OK OE (1) Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT 79 Giáo viên: Hà Văn Bỉnh Tổ khoa häc tù nhiªn - trêng thcs trùc khang + ∆ OHK vuông H ⇒ OK = OH + HK (2) 2 2 + Từ (1) (2) ⇒ KE = (OH + HK ) – OE = 16 + HK2 – 202 = HK2 - 144 (*) + ∆ O’FK vuông F ⇒ KF = O ' K − O ' F (3) 2 + ∆ O’HK vuông H ⇒ O ' K = O ' H + HK (2) 2 2 2 + Từ (3) (4) ⇒ KF = (O’H + HK ) - O’F = + HK – 152 = HK2 - 144 (**) a EF +Từ (*); (**) ⇒ KE = KF ⇒ KE = KF Mà: KE + KF = EF ⇒ K laøtrung điểm củ ⇒ AB qua trung điểm EF (đpcm) Bài 105: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax By C D CMR: a) Tứ giác AOMC nội tiếp · b) CD = CA + DB COD = 900 c) AC BD = R2 · Khi BAM = 600 Chứng tỏ ∆ BDM tam giác tính diện tích hình quạt tròn chắn cung MB nửa đường tròn cho theo R Hướng dẫn: · · 1a) Ax tiếp tuyến A ⇒ OAC = 900 (1) CD tiếp tuyến M ⇒ OMC = 900 (2) · · Từ (1) (2) ⇒ OAC + OMC = 1800 ⇒ AOMC tứ giác nội tiếp đường tròn · 1b) CMR: CD = CA + DB COD = 900: + CA = CM OC tia phân giác ·AOM (T/c tiếp tuyến cắt nhau) (1) · + DB = DM OD tia phân giác MOB (T/c tiếp tuyến cắt nhau) (2) Suy ra: CD = CM + MD = CA + DB ·AOM + MOB · · n giá c = 1800 (kềbu)ø ·AOM + MOB = 1800 (kềbu)ø Mà OC làphâ · · = 900 củ a ·AOM OD làphâ n giá c củ a MOB ⇒ COD ng O : OM ⊥ CD ⇒ OM = MC.MD 1c) ∆COD vuô vớ i OM =R,MC = AC, MD = BD ⇒ AC.BD = R2 · Khi BAM = 600 Chứng tỏ ∆ BDM tam giác tính diện tích hình quạt tròn chắn cung MB nửa đường tròn cho theo R: · · ¼ ) (1) + DBM = BAM = 600 ( chắn BM ∆ BDM có DB = DM ⇒ ∆ BDM cân D (2) Từ (1) (2) ⇒ ∆ BDM · · + BOM = 2.BAM = 2.600 =1200 ( h qu gúc ni tip) Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT Giáo viên: Hà Văn Bỉnh 80 Tỉ khoa häc tù nhiªn - trêng thcs trùc khang • Squạt = π R2n π R2 60 π R2 (đvdt) = = 360 360 Bài 106: Từ điểm M ngồi đường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không qua tâm O hai tiếp tuyến MA MB đến đường tròn (O), A, B tiếp điểm C nằm M, D 1) CMR: MA2 = MC MD 2) Gọi I trung điểm CD CMR: điểm M, A, O, I, B nằm đường tròn 3) Gọi H giao điểm AB MO CMR: Tứ giác CHOD nội tiếp · đường tròn Suy AB phân giác CHD 4) Gọi K giao điểm tiếp tuyến C D đường tròn (O) CMR: điểm A, B, K thẳng hàng HD: · · · » a) + ∆ MAC ∆ MDA có: MDA:chung ; MAC = MDA (cù ng chắ n AC) MA MC = ⇔ MA2 = MC.MD (đpcm)) MD MA · b) - I trung điểm dây CD ⇒ OI ⊥ CD ⇒ OIM = 900 nhìn đoạn OM(1) · - MA ⊥ OA (T/c tiếp tuyến) ⇒ OAM (2) = 900 nhìn đoạn OM · - MB ⊥ OB (T/c tiếp tuyến) ⇒ OBM (3) = 900 nhìn đoạn OM ⇒ ∆ MAC : ∆ MDA (g.g) ⇒ Từ (1), (2) (3) ⇒ điểm M, A, I, O, B ∈ đường tròn đường kính OM c) + ∆ OAM vuông A ⇒ MA2 = MO MH Mà: MA2 = MC MD (cmt ) MH MC = MD MO MH MC ⇒ · ∆ MHC : ∆ MDO (c.g.c) : chung = + ∆ MDO có: DOM MD MO · · · · · · Maø : MHC = CHO = 1800 (keàbu)ø⇒ MHC = MDO ⇒ MHC = CDO · · ⇒ CDO + CHO = 1800 Suy ra: Tứ giác CHOD nội tiếp đường tròn ⇒ MO MH = MC MD ⇒ · * CMR: AB phân giác CHD : · · · · + ∆ COD có OC = OD = R ⇒ ∆ COD cân O ⇒ CDO = DCO ⇒ MDO = DCO · · » ) Mà : OHD = DCO(cù ng chắ n OD · · · · · · (1) ⇒ MDO = OHD.Maø : MDO = MHC (cmt) ⇒ OHD = MHC Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT Giáo viên: Hà Văn Bỉnh 81 Tổ khoa học tự nhiên - trờng thcs trùc khang · · · · + Mặc khác: AHC (2) = 900 − MHC; AHD = 900 − OHD ¶ = AHD · · · · Từ (1) (2) ⇒ AHC Maø : AHC + AHD = CHD · · ⇒ AB tia phân giác CHD Suy ra: HA tia phân giác CHD (đpcm) d) Gọi K giao điểm tiếp tuyến C D đường tròn (O) CMR: điểm A, B, K thẳng hàng: + Gọi K giao điểm tiếp tuyến C D (O) · + CK ⊥ OC (T/c tiếp tuyến) ⇒ OCK = 900 nhìn đoạn OK (1) · + DK ⊥ OD (T/c tiếp tuyến) ⇒ ODK = 900 nhìn đoạn OK (2) Từ (1), (2) ⇒ Tứ giác OCK nội tiếp đường tròn đường kính OK · · » OKC · · ⇒ OKC = ODC (cù ng chắ n OC) = MHC · · · · · · Maø : MHC + OHC = 1800 (kềbu)ø ⇒ OKC = MDO Mà : MHC = MDO(cm t) ⇒ · · ⇒ OKC + OHC = 1800 ⇒ Tứ giác OKCH nội tiếp đường tròn đường kính OK · ⇒ OHK = ·OCK = 900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ HK ⊥ MO Mà : AB ⊥ MO(cmt) ⇒ HK ≡ AB ⇒ điểm A, B, K thẳng hàng Bài 107: Cho hình vng cạnh a, lấy điểm M thuộc cạnh BC (M khác B,C) Qua B kẻ đường thẳng vng góc với đường thẳng DM H, kéo dài BH cắt đường thẳng DC K Chứng minh: BHCD tứ giác nội tiếp Chứng minh: KM ⊥ DB Chứng minh: KC KD = KH KB Kí hiệu SABM , SDCM diện tích tam giác ABM, tam giác DCM CMR: (SABM + SDCM ) khơng đổi Xác định vị trí M BC để S 2ABM + S2DCM đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ theo a HD: · · BHD = BCD = 900 ⇒ B, H, C, D ∈ đường tròn đường kính BD ∆ BDK có : DH ⊥ BK BC ⊥ DK DH cắ t DK M ⇒ M trực tâm ∆ BDK ⇒ KM ⊥ DB Chứng minh: KC KD = KH KB: · · · + ∆ KCB ∆ KHD có: KCB = KHD = 900; BKD : chung ⇒ ∆ KCB : ∆ KHD (g.g) ⇒ KC KH ⇒ KC KD = KH KB (đpcm) = KB KD CMR: (SABM + SDCM ) không đổi: + ∆ ABM vuụng ti B SABM = Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT Giáo viên: Hà Văn Bỉnh 1 AB.BM = a.BM 2 82 (1) Tæ khoa häc tù nhiªn - trêng thcs trùc khang 1 CD.CM = a.CM (2) 2 1 Từ (1) (2) ⇒ SABM + SDCM = a.BM + a.CM 2 1 1 = a.(BM + CM) = a.BC = a.a = a2 2 2 + Vì a khơng đổi ⇒ a2 khơng đổi ⇒ (SABM + SDCM ) không đổi + ∆ DCM vuông C ⇒ SDCM = * Xác định vị trí M BC để S 2ABM + S2DCM đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ theo a: + Đặt x = BM ⇒ CM = a – x 2 1  1  1  1  + Ta có: S + S =  a.BM ÷ +  a.CM ÷ =  a.x÷ +  a.(a − x) 2  2  2  2  2 2  1 = a2  x2 + (a − x)2  = a2 2x2 − 2ax + a2  = a 2(x − ax + a )   4 2 2  1 a4 = a  (x− a) + a ) = a2.(x− a)2 + a4 ≥   2 8 1 a 2 + SDCM + Giá trị nhỏ SABM : x− a = ⇒ x = a 2 ABM 2 DCM 2 + SDCM Vậy M trung điểm BC SABM đạt giá trị nhỏ a4 Bài 108: Cho điểm A ngồi đường tròn (O, R) Gọi AB, AC hai tiếp tuyến đường tròn (B C hai tiếp điểm) Từ A vẽ tia cắt đường tròn E F (E nằm A F) a) CMR: ∆ AEC ∆ ACF đồng dạng Suy AC2 = AE AF b) Gọi I trung điểm EF Chứng minh điểm A, B, O, I, C nằm đường tròn c) Từ E vẽ đường thẳng vng góc với OB cắt BC M Chứng minh tứ giác EMIC nội tiếp đưởng tròn Suy tứ giác MIFB hình thang d) Giả sử cho OA = R Tính theo R phần diện tích tứ giác ABOC nằm ngồi hình tròn (O) · » · a) ∆ AEC ∆ ACF có: ·ACE = CFE (cù ng chắ n CE) CAF : chung⇒ ∆ KCB : ∆ KHD (g.g) ⇒ AC AE ⇒ AC2 = AE AF (pcm) = AF AC Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT Giáo viên: Hà Văn Bỉnh 83 Tổ khoa häc tù nhiªn - trêng thcs trùc khang b) Gọi I trung điểm EF Chứng minh điểm A, B, O, I, C nằm đường tròn: · = 900 nhìn đoạn OA (1) • I trung điểm dây EF ⇒ OI ⊥ EF ⇒ OIA · • AB ⊥ OB (T/c tiếp tuyến) ⇒ OBA = 900 nhìn đoạn OA (2) · • AC ⊥ OC (T/c tiếp tuyến ) ⇒ OCA = 900 nhìn đoạn OA (3) Từ (1), (2) (3) ⇒ điểm , A,B, O, I, C ∈ đường tròn đường kính OA c) Từ E vẽ đường thẳng vng góc với OB cắt BC M Chứng minh tứ giác EMIC nội tiếp đưởng tròn Suy tứ giác MIFB hình thang: Bµi 109: Cho hình thang cân ABCD (AB > CD, AB // CD) nội tiếp đường tròn (O) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) A D chúng cắt E Gọi M giao điểm hai đường chéo AC BD Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp đường tròn Chứng minh AB // EM Đường thẳng EM cắt cạnh bên AD BC hình thang H K x Chứng minh M trung điểm HK Chứng minh 1 = + HK AB CD D Hướng dẫn: Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp C M E H K O A · = sđ »AC (góc tạo tia tiếp tuyến dây) Ta có : EAC · » (Dx tia đối tia tiếp tuyến DE) = sđ DB Tương tự: xDB Hình 01 » Mà AC = BD (do ABCD hình thang cân) nên »AC = BD · · Do EAC Vậy tứ giác AEDM nội tiếp đường tròn = xDB Chứng minh AB // EM · · Tứ giác AEDM nội tiếp nên EAD (cùng chắn cung ED) = EMD · Mà EAD = ·ABD (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung ) · Suy ra: EMD = ·ABD Do EM // AB Chứng minh M trung điểm HK ∆DAB có HM // AB ⇒ HM DH = AB DA ∆CAB có MK // AB ⇒ MK CK = AB CB DH CK = (định lí Ta let cho hình thang ABCD) DA CB HM MK = Nên Do MH = MK Vậy M trung điểm HK AB AB 1 = + Chứng minh HK AB CD HM DM = ∆ ADB có HM // AB ta được: (1) (hệ định lí Ta let ) AB DB KM BM = ∆ BCD có KM // CD ta được: (2) (hệ định lí Ta let ) CD BD HM KM DM BM DM + BM BD + = + = = =1 Cộng (1) (2) vế theo vế ta c: AB CD DB BD BD BD M Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT Giáo viên: Hà Văn Bỉnh 84 B Tỉ khoa häc tù nhiªn - trêng thcs trùc khang d) Gọi M là giao điểm CE BF Hãy so sánh diện tích tứ giác AEMF diện tích BMC Bài tập 15 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường cao AD, BE, cắt H Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp AHE Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp Bốn điểm A, E, D, B nằm đường tròn Chứng minh ED = BC Chứng minh DE tiếp tuyến đường tròn (O) Tính độ dài DE biết DH = cm, AH = cm Bµi tËp 16 Từ điểm M ngồi đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến MA MB Trên cung nhỏ AB lấy điểm C Vẽ CD ⊥ AB; CE ⊥ MA; CF ⊥ MB Gọi I giao điểm AC DE; K giao điểm BC DF Chứng minh rằng: a) Tứ giác AECD; BFCD nội tiếp b) CD2 = CE.CF c) IK ⊥ CD Bài tập 17 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M điểm di động cung nhỏ BC Trên đoạn thẳng MA lấy điểm D cho MD = MC a) Chứng minh ΔDMC b) Chứng minh MB + MC = MA c) Chứng minh tứ giác ADOC nội tiếp d) Khi M Di động cung nhỏ BC D di động đường cố định? Bài tập 18 Cho đường tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đường thẳng d lấy điểm M ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp điểm) Kẻ AC ⊥ MB, BD ⊥ MA, gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B nằm đường tròn Chứng minh OI OM = R2; OI IM = IA2 Chứng minh OAHB hình thoi Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d Bài tập 19 Cho điểm A; B; C cố định thẳng hàng theo thứ tự Vẽ đường tròn (O) qua B C (BC không đường kính (O)) Kẻ từ tiếp tuyến AE AF đến (O) (E; F tiếp điểm) Gọi I trung điểm BC; K trung điểm EF, giao điểm FI với (O) D Chứng minh: AE2 = AB.AC Tứ giác AEOF nội tiếp Năm điểm A; E; O; I; F nằm đường tròn ED song song với AC Khi (O) thay đổi tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác OIK thuộc đường thẳng cố định µ = 450 Vẽ đường cao BD Bài tập 20 Cho ABC có góc nhọn A CE ABC Gọi H gia im ca BD v CE Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT Giáo viên: Hà Văn Bỉnh 160 Tổ khoa häc tù nhiªn - trêng thcs trùc khang a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp DE b) Tính tỉ số BC c) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Chứng minh OA ^ DE Bài tập 21 Cho tam giác nhọn PBC Gọi A chân đờng cao kẻ từ P xuống cạnh BC Đường tròn đường kính BC cắt PB, PC lần lợt M N Nối N với A cắt đường tròn đường kính BC điểm thứ hai E a/ Chứng minh rằng: điểm A, B, N, P nằm đường tròn Hãy xác định tâm bán kính đường tròn b/ Chứng minh: EM vng góc với BC c/ Gọi F điểm đối xứng N qua BC Chứng minh AM.AF = AN.AE µ Bài tập 22 Cho tam giác vuông ABC ( A=90 ); đoạn AC lấy điểm D (D không trùng với điểm A C) Đường tròn đường kính DC cắt BC điểm thứ hai E; đường thẳng BD cắt đường tròn đường kính DC điểm F (F không trùng với D) Chứng minh: a ABC đồng dạng với EDC b Tứ giác ABCF nội tiếp c AC tia phân giác góc EAF Bài tập 23 Cho hình thang cân ABCD (AB > CD; AB//CD) nội tiếp đưường tròn (O) Tiếp tuyến với đường tròn (O) A D cắt E Gọi I giao điểm hai đường chéo AC BD a/ Chứng minh: Tứ giác AEDI nội tiếp b/ Chứng minh AB//EI c/ Đờng thẳng EI cắt cạnh bên AD BC hình thang tương ứng R S Chứng minh: * I trung điểm RS 1 + = * AB CD RS Bài tập 24 Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính AOB COD vng góc với Lấy điểm E OA, nối CE cắt đường tròn F Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đường tròn, qua E dựng Ey vng góc với OA Gọi I giao điểm Fx Ey a/ Chứng minh I; E; O; F nằm đường tròn b/ Tứ giác CEIO hình gì? sao? c/ Khi E chuyển động AB I chuyển động đường nào? Bài tập 25 Cho nửa đường tròn đờng kính BC bán kính R điểm A nửa đường tròn (A khác B C) Từ A hạ AH vng góc với BC Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB E, nửa đường tròn đường kính HC cắt AC F a Tứ giác AFHE hình gì? Tại sao? b Chứng minh BEFC tứ giác nội tiếp c Hãy xác định vị trí điểm A cho tứ giác AFHE có diện tích lớn Tính diện tích lớn theo R Bài tập 26 Cho điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự Đường tròn (O) thay đổi qua hai điểm M, N Từ P kẻ tiếp tuyến PT, PT’ với đường tròn (O) a) Chứng minh: PT2 = PM PN Từ suy (O) thay đổi qua M, N thỡ Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT Giáo viên: Hà Văn Bỉnh 161 Tổ khoa học tự nhiên - trêng thcs trùc khang T, T’ thuộc đường tròn cố định b) Gọi giao điểm TT’ với PO, PM I J K trung điểm MN Chứng minh: Các tứ giác OKTP, OKIJ nội tiếp c) Chứng minh rằng: Khi đường tròn (O) thay đổi qua M, N TT’ ln qua điểm cố định d) Cho MN = NP = a Tìm vị trí tâm O để góc ∠ TPT’ = 600 Bài tập 27 Cho ABC vuông A Trên AC lấy điểm M (M≠A C) Vẽ đường tròn đường kính MC Gọi T giao điểm thứ hai cạnh BC với đường tròn Nối BM kéo dài cắt đường tròn điểm thứ hai D Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) điểm thứ hai S Chứng minh: a) Tứ giác ABTM nội tiếp · b) Khi M chuyển động AC ADM có số đo khơng đổi c) AB//ST Bài tập 28 Cho hai đường tròn (O) (O') cắt A, B Đường vng góc với AB kẻ qua B cắt (O) (O') điểm C, D Lấy M cung nhỏ BC đường tròn (O) Gọi giao điểm thứ hai đường thẳng MB với đường tròn (O') N giao điểm hai đường thẳng CM, DN P a AMN tam giác gì, sao? b Chứng minh ACPD nội tiếp c Gọi giao điểm thứ hai AP với đường tròn (O') Q, chứng minh BQ // CP Bµi tËp 29 Cho ABC vng A (AB < AC) H nằm A C Đường tròn (O) đường kính HC cắt BC I BH cắt (O) D a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp b) AB cắt CD M Chứng minh điểm H; I; M thẳng hàng · c) AD cắt (O) K Chứng minh CA tia phân giác KCB Bài tập 30 Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm A O cho AI = 2/3 AO Kẻ dây MN vng góc với AB I, gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN cho C không trùng với M, N B Nối AC cắt MN E Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp Chứng minh AME đồng dạng với ACM Chứng minh AM2 = AE.AC Chứng minh AE AC – AI.IB = AI2 Hãy xác định vị trí C cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp CME nhỏ Bµi tËp 31 Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB, dây AC Gọi E điểm cung AC bán kính OE cắt AC H, vẽ CK song song với BE cắt AE K a) Chứng minh tứ giác CHEK nội tiếp b) Chứng minh KH ⊥ AB c) Cho BC = R Tính PK Bài tập 32 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đường tròn nội tiếp, K tâm đường tròn bàng tiếp góc A , O trung điểm IK Chứng minh B, C, I, K nằm đường tròn Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn (O) Tính bán kính đường tròn (O) Biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT 162 Giáo viên: Hà Văn BØnh Tỉ khoa häc tù nhiªn - trêng thcs trùc khang Bài tập 33 Cho điểm A bên đường tròn (O ; R) Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE đến đường tròn (O) Gọi H trung điểm DE a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C nằm đường tròn · b) Chứng minh HA tia phân giác BHC c) DE cắt BC I Chứng minh : AB = AI.AH R d) Cho AB=R OH= Tính HI theo R Bài tập 34 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB điểm M nửa đường tròn ( M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kể tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K a) Chứng minh rằng: EFMK tứ giác nội tiếp b) Chứng minh rằng: AI2 = IM IB c) Chứng minh BAF tam giác cân d) Chứng minh : Tứ giác AKFH hình thoi e) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp Bµi tËp 35 Cho hai đường tròn (O1), (O2) có bán kính cắt A B Vẽ cát tuyến qua B khơng vng góc với AB, cắt hai đường tròn (O E F (E (O); F 2)) Chứng minh AE = AF Vẽ (O)cát tuyến CBD vng góc với AB ( C1 (O); D 2)) Gọi P giao điểm CE DF Chứng minh rằng: a Các tứ giác AEPF ACPD nội tiếp đường tròn b Gọi I trung điểm EF chứng minh ba điểm A, I, P thẳng hàng Khi EF quay quanh B I P di chuyển đường nào? Bài tập 37 Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai điểm C D thuộc đường tròn, B trung điểm cung nhỏ CD Kẻ đường kính BA; tia đói tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) M; MD cắt AB K; MB cắt AC H · · a Chứng minh: BMD = BAC , từ suy tứ giác AMHK nội tiếp b Chứng minh: HK // CD c Chứng minh: OK.OS = R2 Bài tập 38 Cho đờng tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm A O cho AI = AO Kẻ dây MN vng góc với AB I Gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN, cho C không trùng với M, N B Nối AC cắt MN E a Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp b Chứng minh AME đồng dạng với ACM AM2 = AE.AC c Chứng minh AE.AC − AI.IB = AI2 d Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ Bài tập 39 Cho ba điểm A, B, C đường thẳng theo thứ tự đường thẳng d vng góc với AC A Vẽ đường tròn đường kính BC lấy điểm M Tia CM cắt đường thẳng d D; Tia AM cắt đường tròn điểm thứ hai N; Tia DB cắt đường tròn điểm thứ hai P a) Chứng minh: Tứ giác ABMD nội tip Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT Giáo viên: Hà Văn Bỉnh 163 Tổ khoa học tự nhiên - trêng thcs trùc khang b) Chứng minh: Tích CM CD khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M c) Tứ giác APND hình gì? Tại sao? d) Chứng minh trọng tâm G MAB chạy đường tròn cố định Bài tập 40 Cho đường tròn (O) điểm A nằm ngồi đường tròn Các tiếp tuyến với đường tròn kẻ từ A tiếp xúc với đường tròn B C Gọi M điểm tuỳ ý đường tròn (M khác B C) Gọi H; K; I chân đường vng góc kẻ từ M xuống BC; CA; AB a/ Chứng minh: Tứ giác MHBI, MHCK nội tiếp · · H b/ Chứng minh: MHI=MK c/ Chứng minh: MH = MI.MK Bài tập 43 Trên đường tròn (O; R) đường kính AB, lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B (hai điểm M, E khác hai điểm A, B) AM cắt BE C; AE cắt BM D a Chứng minh MCED tứ giác nội tiếp CD vng góc với AB b Gọi H giao điểm CD AB Chứng minh BE.BC = BH.BA c Chứng minh tiếp tuyến M E đường tròn (O) cắt điểm nằm đường thẳng CD Tính diện tích tam giác ABC theo R BAE=30 · · d Cho biết BAM=45 Bài tập 44 Cho đường tròn (O) đường kính AB Một cát tuyến MN quay xung quanh trung điểm H OB Giọi I trung điểm MN Từ A kẻ Ax vuông góc với MN K Gọi C giao điểm Ax với tia BI a/ Chứng minh rằng: BN// MC b/ Chứng minh rằng: Tứ giác OIKC hình chữ nhật c/ Tiếp tuyến Bt với đờng tròn (O) cắt tia AM E, cắt tia Ax F Gọi D giao điểm thứ hai tia Ax với (O) Chứng minh rằng: tứ giác DMEF nội tiếp Bài tập 45 Cho ABC cân (AB = AC) góc A nhỏ 60 0; tia đối tia AC lấy điểm D cho AD = AC a) BCD tam giác gì? sao? b) Kéo dài đường cao CH D ABC cắt BD E Vẽ đường tròn tâm E tiếp xúc với CD F Qua C vẽ tiếp tuyến CG đường tròn Chứng minh: Bốn điểm B, E, C, G thuộc đường tròn c) Các đờng thẳng AB CG cắt M, tứ giác AFGM hình gì? Tại sao? d) Chứng minh: MBG cân Bài tập 46 Cho đường tròn (O) bán kính R, đường thẳng d khơng qua O cắt đường tròn hai điểm A, B Từ điểm C d (C nằm ngồi đường tròn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đường tròn (M, N thuộc (O)) Gọi H trung điểm AB, đường thẳng OH cắt tia CN K a Chứng minh bốn điểm C, O, H, N nằm đường tròn b Chứng minh KN KC = KH KO c Đoạn thẳng CO cắt đường tròn (O) I, chứng minh I cách CM, CN MN d Một đường thẳng qua O song song với MN cắt tia CM, CN lần lợt E F Xác định vị trí C d cho diện tích CEF nhỏ Bài tập 48 Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD đáy nhỏ BC nội tip Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT Giáo viên: Hà Văn Bỉnh 164 Tổ khoa học tự nhiên - trêng thcs trùc khang đường tròn tâm O; AB CD kéo dài cắt I Các tiếp tuyến đường tròn tâm O B D cắt điểm K a Chứng minh tứ giác OBID OBKD tứ giác nội tiếp b Chứng minh IK song song với BC c Hình thang ABCD phải thoả mãn điều kiện để tứ giác AIKD hình bình hành Bài tập 49 Cho đường tròn (O;R) điểm A nằm đường tròn Một góc xAy = 90 quay quanh A ln thoả mãn Ax, Ay cắt đường tròn (O) Gọi giao điểm thứ hai Ax, Ay với (O) tương ứng B, C Đường tròn đường kính AO cắt AB, AC điểm thứ hai tương ứng M, N Tia OM cắt đường tròn P Gọi H trực tâm AOP Chứng minh a) AMON hình chữ nhật b) MN//BC c) Tứ giác PHOB nội tiếp d) Xác định vị trí góc xAy cho AMN có diện tích lớn Bài tập 52 Cho đường tròn (O) hai điểm A, B phân biệt thuộc (O) cho đường thẳng AB không qua tâm O Trên tia đối tia AB lấy điểm lấy điểm M khác A, từ M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt ME, MF với đờng tròn (O) (E, F tiếp điểm) Gọi H trung điểm dây cung AB Các điểm K I theo thứ tự giao điểm đường thẳng EF với đường thẳng OM OH a) Chứng minh điểm M, O, H, E, F nằm đờng tròn b) Chứng minh: OH.OI = OK OM c) Chứng minh: IA, IB tiếp tuyến đờng tròn (O) Bài tập 53 Cho đường tròn (O) đờng kính AC Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ) Gọi M trung điểm đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vng góc với AB CD cắt đờng tròn đường kính BC I Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp Chứng minh tứ giác ADBE hình thoi Chứng minh BI // AD Chứng minh I, B, E thẳng hàng Chứng minh MI tiếp tuyến đường tròn đường kính BC Bài tập 54 Cho đường tròn (0) điểm A nằm ngồi đường tròn Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN với đường tròn (B, C, M, N thuộc đường tròn AM < AN) Gọi E trung điểm dây MN, I giao điểm thứ hai đường thẳng CE với đường tròn a) Chứng minh: Bốn điểm A, 0, E, C thuộc đường tròn b) Chứng minh: góc AOC góc BIC c) Chứng minh: BI // MN d) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích AIN lớn Bài tập 55 Cho đường tròn (O) có tâm O, đường kính AB Trên tiếp tuyến đường tròn O A lấy điểm M (M không trùng với A) Từ M kẻ cát tuyến MCD (C nằm M D; tia MC nằm tia MA tia MO) tiếp tuyến thứ hai MI (I tiếp điểm) với đường tròn (O) Đờng thẳng BC BD cắt đường thẳng OM tai E F Chứng minh: a Bốn điểm A, M, I O nằm đường trũn ã ã b IAB=AMO Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT Giáo viên: Hà Văn Bỉnh 165 Tổ khoa häc tù nhiªn - trêng thcs trùc khang c O trung điểm FE Bài tập 56 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, M thuộc cung AB, C thuộc OA Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa M kẻ tia Ax, By vng góc với AB Đường thẳng qua M vng góc với MC cắt Ax, By P Q AM cắt CP E, BM cắt CQ F a/ Chứng minh : Tứ giác APMC, EMFC nội tiếp b/ Chứng minh : EF//AB c/ Tìm vị trí điểm C để tứ giác AEFC hình bình hành Bài tập 57 Cho đường tròn (O) đường thẳng xy ngồi đường tròn Đường thẳng qua O vng góc với xy H cắt đường tròn (O) A B M điểm (O), đường thẳng AM cắt xy E, đường thẳng BM cắt xy F, tiếp tuyến M cắt xy I, đvờng thẳng AF cắt (O) K Nối E với K a) Chứng minh: IM = IF b) Chứng minh: điểm E, M, K, F thuộc đường tròn c) Chứng minh: IK tiếp tuyến (O) d) Tìm tập hợp tâm đường tròn ngoại tiếp AMH M di động (O) Bài tập 58 Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB; điểm I nằm hai điểm A O Kẻ đường thẳng vng góc với AB I, đường thẳng cắt đvờng tròn (O; R) M N Gọi S giao điểm BM AN Qua S kẻ đường thẳng song song với MN, đường thẳng cắt đường thẳng AB AM K H Hãy chứng minh: 1) Tứ giác SKAM tứ giác nội tiếp HS HK=HA HM 2) KM tiếp tuyến đường tròn (O; R) 3) Ba điểm H; N; B thẳng hàng Bài tập 59 Cho đường tròn (O; R), dây CD có trung điểm M Trên tia đối tia DC lấy điểm S, qua S kẻ tiếp tuyến SA, SB với đường tròn Đường thẳng AB cắt đường thẳng SO; OM P Q a) Chứng minh tứ giác SPMQ, tứ giác ABOM nội tiếp b) Chứng minh SA2 = SD SC c) Chứng minh OM OQ khơng phụ thuộc vào vị trí điểm S d) Khi BC // SA Chứng minh ABC cân A e) Xác định vị điểm S tia đối tia DC để C, O, B thẳng hàng BC// SA Bài tập 60 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, M điểm cung AB K thuộc cung BM ( K khác M B ) AK cắt MO I a) Chứng minh : Tứ giác OIKB nội tiếp b) Gọi H hình chiếu M lên AK Chứng minh : AMHO nội tiếp c) HMK tam giác ? d) Chứng minh : OH phân giác góc MOK e) Xác định vị trí K để chu vi OPK lớn (P hình chiếu K lên AB) Bài tập 61 Cho ABC với ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (0) Tia phân giác góc B, góc C cắt đường tròn thứ tự D E, hai tia phân giác cắt F Gọi I, K theo thứ tự giao điểm dây DE với cạnh AB, AC a) Chứng minh: EBF, DAF cân b) Chứng minh tứ giác DKFC nội tiếp FK // AB c) Tứ giác AIFK hình ? Tại ? d) Tìm điều kiện tam giác ABC để tứ giỏc AEFD l hỡnh thoi ng thi cú Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT Giáo viên: Hà Văn Bỉnh 166 Tỉ khoa häc tù nhiªn - trêng thcs trùc khang diện tích gấp lần diện tích tứ giác AIFK Bài tập 62 Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định, đoạn OA lấy điểm I cho AI = OA Kẻ dây MN vuông góc với AB I Gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN Nối AC cắt MN E a) Chứng minh : Tứ giác IECB nội tiếp b) Chứng minh : Các AME đồng dạng ACM AM2 = AE AC c) Chứng minh : AE AC – AI IB = AI2 d) Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp CME nhỏ Bài tập 54 Cho hình vng ABCD cố định , có độ dài cạnh a E điểm chuyển đoạn CD (E khác D), đờng thẳng AE cắt đường thẳng BC F, đường thẳng vng góc với AE A cắt đờng thẳng CD K 1) Chứng minh ABF = ADK từ suy AFK vuông cân 2) Gọi I trung điểm FK, Chứng minh I tâm đường tròn qua A, C, F, K 3) Tính số đo góc AIF, suy điểm A, B, F, I nằm đường tròn Bài tập 65 Cho góc vng xOy , Ox, Oy lấy hai điểm A B cho OA = OB M điểm AB Dựng đường tròn tâm O1 qua M tiếp xúc với Ox A, đường tròn tâm O2 qua M tiếp xúc với Oy B , (O 1) cắt (O2) điểm thứ hai N 1) Chứng minh tứ giác OANB nội tiếp ON phân giác góc ANB 2) Chứng minh M nằm cung tròn cố định M thay đổi 3) Xác định vị trí M để khoảng cách O1O2 ngắn Bài tập 66 Cho điểm A bên ngồi đường tròn (O; R) Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE đến đường tròn (O) Gọi H trung điểm DE a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C nằm đường tròn · b) Chứng minh HA tia phân giác BHC c) DE cắt BC I Chứng minh : AB2 = AI.AH Bài tập 67 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O Đường phân giác góc A, B cắt đường tròn tâm O D E, gọi giao điểm hai đường phân giác I, đường thẳng DE cắt CA, CB lần lợt M, N 1) Chứng minh AIE BID tam giác cân 2) Chứng minh tứ giác AEMI tứ giác nội tiếp MI // BC 3) Tứ giác CMIN hình ? Bài tập 69 Cho (O) đường kính AB = 2R, C trung điểm OA dây MN vng góc với OA C Gọi K điểm tuỳ ý cung nhỏ BM, H giao điểm AK MM a) CMR: BCHK tứ giác nội tiếp b) Tính AH.AK theo R Xác định vị trí điểm K để (KM + KN + KB) đạt giá trị lớn tính giá trị lớn Bài tập 70 Cho hai đờng tròn (O1) (O2) cắt A B Một đờng thẳng qua A cắt đờng tròn (O1) , (O2) lần lợt C,D , gọi I , J trung điểm AC AD 1/Chứng minh tứ giác O1IJO2 hình thang vng 2/Gọi M giao diểm CO1 DO2 Chứng minh O1, O2, M, B nm trờn mt Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT 167 Giáo viên: Hà Văn BØnh Tỉ khoa häc tù nhiªn - trêng thcs trùc khang đường tròn 3/E trung điểm IJ , đờng thẳng CD quay quanh A Tìm tập hợp điểm E 4/Xác định vị trí dây CD để dây CD có độ dài lớn Bài tập 71 Cho ABC, góc B góc C nhọn Các đờng tròn đường kính AB, AC cắt D Một đường thẳng qua A cắt đờng tròn đường kính AB, AC E F 1) Chứng minh B , C , D thẳng hàng 2) Chứng minh B, C , E , F nằm đờng tròn 3) Xác định vị trí đờng thẳng qua A để EF có độ dài lớn Bài tập 72 Cho đờng tròn tâm O cát tuyến CAB ( C đờng tròn ) Từ điểm cung lớn AB kẻ đờng kính MN cắt AB I , CM cắt đờng tròn E , EN cắt đờng thẳng AB F 1) Chứng minh tứ giác MEFI tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh góc CAE góc MEB 3) Chứng minh : CE CM = CF CI = CA CB Bài tập 73 Cho ABC có góc nhọn AC > BC nội tiếp (O) Vẽ tiếp tuyến với (O) A B, tiếp tuyến cắt M Gọi H hình chiếu vng góc O MC CMR a/ MAOH tứ giác nội tiếp b/ Tia HM phân giác góc AHB c/ Qua C kẻ đờng thẳng song song với AB cắt MA, MB lần lợt E, F Nối EH cắt AC P, HF cắt BC Q Chứng minh QP // EF Bài tập 74 Cho ABC vuông A điểm D nằm A B Đờng tròn đờng kính BD cắt BC E Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn điểm thứ hai F , G Chứng minh : a) ABC đồng dạng với EBD b) Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp đợc đờng tròn c) AC song song với FG d) Các đờng thẳng AC , DE BF đồng quy Bài tập 75 Cho đờng tròn tâm O Từ điểm P ngồi đờng tròn kẻ hai tiếp tuyến phân biệt PA, PC (A, C tiếp điểm) với đờng tròn (O) a Chứng minh PAOC tứ giác nội tiếp đờng tròn b Tia AO cắt đờng tròn (O) B; đờng thẳng qua P song song với AB cắt BC D Tứ giác AODP hình gì? c Gọi I giao điểm OC PD; J giao điểm PC DO; K trung điểm AD Chứng tỏ điểm I, J, K thẳng hàng Bài tập 76 Cho ABC nội tiếp đờng tròn tâm O M điểm cung AC (khơng chứa B) kẻ MH vng góc với AC; MK vng góc với BC 1) Chứng minh tứ giác MHKC tứ giác nội tiếp · · = HMK 2) Chứng minh AMB 3) Chứng minh AMB đồng dạng với HMK Bài tập 77 Cho nửa đường tròn đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn Gọi C điểm nửa đường tròn cho cung AC cung CB Trên cung CB lấy điểm D khác C B Các tia AC, AD cắt Bx E F a, Chứng minh ABE vuụng cõn b, Chứng minh  ABF ng dng vi BDF Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT Giáo viên: Hà Văn Bỉnh 168 Tổ khoa häc tù nhiªn - trêng thcs trùc khang c, Chứng minh tứ giỏc CEFD nội tiếp d, Chứng minh AC.AE = AD.AF Bài tập 78 Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B C nửa đờng tròn đờng kính AD, tâm O Hai đờng chéo AC BD cắt E Gọi H hình chiếu vng góc E xuống AD I trung điểm DE Chứng minh rằng: a) Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp đợc; b) E tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BCH; c) Năm điểm B, C, I, O, H nằm đờng tròn Bài tập 79 Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD Hai đờng chéo AC , BD cắt E Hình chiếu vng góc E AD F Đờng thẳng CF cắt đờng tròn điểm thứ hai M Giao điểm BD CF N Chứng minh : a) CEFD tứ giác nội tiếp b) Tia FA tia phân giác góc BFM c) BE DN = EN BD Bài tập 80 Cho tam giác cân ABC (AB = AC; ∠B > 45 ), đờng tròn (O) tiếp xúc với AB AC lần lợt B C Trên cung nhỏ BC lấy điểm M (M không trùng với B C) hạ đờng vng góc MI, MH, MK xuống cạnh tơng ứng BC, CA, AB a Chỉ cách dựng đờng tròn (O) b Chứng minh tứ giác BIMK nội tiếp c Gọi P giao điểm MB IK; Q giao điểm MC IH Chứng minh PQ ⊥ MI Bài tập 81 Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O, bán kính R Hạ đờng cao AD, BE tam giác Các tia AD, BE lần lợt cắt (O) điểm thứ hai M, N Chứng minh rằng: Bốn điểm A,E,D,B nằm đờng tròn Tìm tâm I đờng tròn MN// DE Cho (O) dây AB cố định, điểm C di chuyển cung lớn AB Chứng minh độ dài bán kính đờng tròn ngoại tiếp DCDE khơng đổi Bài tập 83 Cho ABC vuông cân A AD trung tuyến thuộc cạnh BC Lấy M bất kỡ thuộc đoạn AD (M không trùng A, D) Gọi I, K hỡnh chiếu vuụng gúc M trờn AB, AC H hỡnh chiếu vuụng gúc I trờn đoạn DK a/Tứ giacs AIMK hình gì? b/ A, I, M, H, K thuộc đường tròn c/ B, M, H thẳng hàng Bài tập 84 Cho ABC nhọn Hai đờng cao AD BF gặp H a/ Chứng minh tứ giác DHFC nội tiếp đợc đờng tròn Xác định tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác b/ Gọi CK đờng cao lại tam giác ABC; KD cắt đờng tròn ngoại tiếp tứ giác DHCF E Chứng minh gócEFH = góc KBH c/ Giả sử CH = AB Tính số đo góc ACB Bài tập 85 Cho tứ giác ABCD (AB // CD) nội tiếp đờng tròn (O) Tiếp tuyến A tiếp tuyến D đờng tròn (O) cắt E Gọi I giao điểm AC BD Chứng minh: 1· · AOD a CAB= Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT Giáo viên: Hà Văn Bỉnh 169 Tổ khoa học tự nhiên - trêng thcs trùc khang b Tứ giác AEDO nội tiếp c EI // AB Bài tập 86 Cho đường trũn tõm O đường kớnh AC Trên AC lấy điểm B, vẽ đường trũn tõm O’ đường kính BC Gọi M trung điểm AB Từ M kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt đường trũn tõm O D E Nối DC cắt đường trũn tõm O’ I Chứng minh: a/ AD // BI b/ BE // AD; I, B, E thẳng hàng c/ MD = MI d/ DM2 = AM.MC e/ Tứ giỏc DMBI nội tiếp Bài tập 87 Cho ABC vuông A Trên AC lấy điểm D, dựng CE vng góc với BD a Chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp đờng tròn b Chứng minh AD.CD = ED.BD c Từ D kẻ DK vng góc với BC Chứng minh AB, DK, EC đồng quy · điểm DKE = ·ABE Bài tập 88 Từ điểm A ngồi đờng tròn(O), ta kẻ tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (O) (B, C tiếp điểm) M điểm cung nhỏ BC, ( M ≠ B; M ≠ C ) Từ M hạ đờng vng góc MI, MH, MK tơng ứng xuống BC, AC, AB Gọi P giao MB IK; Q giao MC IH a Chứng minh tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc đờng tròn b Chứng minh tia đối tia MI phân giác góc KMH c Chứng minh PQ // BC Bài tập 89 Cho đờng tròn tâm O, bán kính R hai đờng kính vng góc AB CD Trên AO lấy điểm E mà OE = AO, CE cắt (O) M a Tính CE theo R b Chứng minh tứ giác MEOD nội tiếp đựơc Xác định tâm bán kính đờng tròn ngoại tiếp tứ giác c Chứng minh hai tam giác CEO CDM đồng dạng Tính độ dài đờng cao MH tam giác CDM Bài tập 90 Cho hai đờng tròn (O1) (O2) cắt A B, tiếp tuyến chung với hai đờng tròn (O1) (O2) phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa điểm B, có tiếp điểm thứ tự E F Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đờng tròn (O1), (O2) thứ tự C, D Đờng thẳng CE đờng thẳng DF cắt I a Chứng minh IA vng góc với CD b Chúng minh tứ giác IEBF tứ giác nội tiếp c Chứng minh đờng thẳng AB qua trung điểm EF Bài tập 91 Cho đường trũn tõm O cỏt tuyến CAB (C đường trũn) Từ điểm cung lớn AB kẻ đường kính MN cắt AB I, CM cắt đường trũn E, EN cắt đường thẳng AB F 4) Chứng minh tứ giỏc MEFI tứ giỏc nội tiếp 5) Chứng minh gúc CAE gúc MEB 6) Chứng minh: CE.CM = CF.CI = CA.CB Bài tập 92 Cho tam giác ABC vng A có AB > AC, ng cao AH Trờn Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT Giáo viên: Hà Văn Bỉnh 170 Tổ khoa häc tù nhiªn - trêng thcs trùc khang nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB E, vẽ nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC F a Chứng minh tứ giác AEHF hình chữ nhật b Chứng minh AE.AB = AF.AC c Chứng minh BEFC tứ giác nội tiếp Bài tập 93 Cho đường tròn (O) đường kính BC Điểm A thuộc đoạn OB (A khơng trùng với O B), vẽ đường tròn (O') đường kính AC Đường tròn qua trung điểm M đoạn thẳng AB vng góc với AB cắt đường tròn (O) D E Gọi F giao điểm thứ hai CD với đường tròn (O'), K giao điểm thứ hai CE với đường tròn (O') Chứng minh: a Tứ giác ADBE hình thoi b AF // BD c Ba điểm E, A, F thẳng hàng d Bốn điểm M, F, C E thuộc đường tròn e Ba đường thẳng CM, DK, EF đồng quy Bài tập 94 Cho hai đường tròn (O) (O') cắt A B Đường tiếp tuyến với (O') vẽ từ A cắt (O) điểm M; đường tiếp tuyến với (O) vẽ từ A cắt (O') N Đường tròn tâm I ngoại tiếp tam giác MAN cắt AB kéo dài P 1) Chứng minh tứ giác OAO'I hình bình hành 2) Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' nằm đường tròn 3) Chứng minh rằng: BP = BA Bài tập 95: Từ điểm P nằm ngồi đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PM PN với đường tròn (O) (M, N tiếp điểm) Đường thẳng qua điểm P cắt đường tròn (O) hai điểm E F Đường thẳng qua O song song với PM cắt PN Q Gọi H trung điểm đoạn EF Chứng minh rằng: 1) Tứ giác PMON nội tiếp đường tròn 2) Các điểm P, N, O, H nằm đường tròn 3) Tam giác PQO cân 4) PM2 = PE.PF · · 5) PHM = PHN PHẦN HÌNH HỌC (CẦN BỔ XUNG LÍ THUYẾT CÁC CHƯƠNG ) CÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC ĐIỂN HÌNH *************&************* Bài 1: Cho (O) đường kính AB =2R OA lấy điểm kẻ đường thẳng d vng góc AB I Cắt (O) hai điểm M; N IM lấy điểm E (E khác M; I) nối AE cắt (O) K, BK cắt d D a) CMR : IE ID = MI2 b) Gọi B’ điểm đối xứng B qua I CMR tứ giác B’AED nội tiếp c) CMR : AE.AK + BI BA =4R2 d) Tìm vị trí I để chu vi ∆ MIO ln nht Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT Giáo viên: Hà Văn Bỉnh 171 Tổ khoa học tự nhiªn - trêng thcs trùc khang Bài 2: cho nửa đường tròn (O) đường kính AB =2R Clà trung điểm AO đường thẳng Cx vng góc với AB C , Cx cắt nửa đường tròn I , K điểm CI (K khác C,I ) Tia AK cắt (O) M ,cắt Cx N Tia BM cắt Cx D a) CMR: điểm A,C,M,Dcùng nằm đường tròn b) CMR: ∆ MNK cân c) Tính diện tích ∆ ABD K trung điểm CI d) CMR: K di động CI tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ AKD nằm đường thẳng cố định Bài 3: Cho nửa đường tròn đường kính BC , điểm A di động nửa đường tròn kẻ AH vng góc với BC H Đường tròn tâm I đường kính AH cắt nửa đường tròn tâm O điểm thứ G cắt AB,AC D E a) CMR: Tứ giác BDEC nội tiếp b) Các tiếp tuyến D, E (I) cắt BC M,N CMR: M,N trung điểm BH,CH c) CMR: DE ⊥ AO Từ suy AG, DE,BC đồng quy d) Tìm vị trí A để SDENM lớn Bài 4: cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R M di động (O) vẽ(E) tiếp xúc (O) M, tiếp xúc với đường kính AB tại N , đường tròn giao với MA,MB C,D a) CMR : CD//AB b) MN phân giác ·AMB đường thẳng MN qua K cố định c) CMR: KN.KM không đổi d) Gọi giao điểm CN,CM với KB, KA C’ D’ Tìm vị trí E để chu vi ∆ NC’D’ nhỏ Bài 5: Cho nửa đường tròn đường kính AB , C,D thuộc nửa đường tròn , AC AD cắt tiếp tuyến Bx nửa đường tròn E F a) CMR: Tứ giác CDEF nội tiếp b) Gọi I trung điểm BF Chứng minh DI tiếp tuyến nửa đường tròn · c) Giả sử CD cắt Bx tạiG , phân giác CGE cắt AE,AF M,N Chứng minh ∆ AMN cân Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB M thuộc cung »AB , H điểm cung ¼ AM , BH cắt AM I cắt tiếp tuyến Ax K AH cắt BM E a) ∆ ABE tam giác gì? b) Xác định vị trí tương đối KE với (B;BA) c) Đường tròn ngoại tiếp ∆ BIE cắt (B;BA) điểm thứ N Chứng minh M di động MN ln qua điểm cố định d) Tìm vị trí M để MK ⊥ Ax e) Với vị trí M tìm Chứng minh đường tròn ngoại tiếp ∆ EHQ tiếp xúc với (O) , ( Q giao BM Ax) Bài 7: Cho ∆ ABC với ba góc nhọn nội tiếp (O) Tia phân giác góc B cắt đường tròn D Tia phân giác góc C cắt đường tròn E, hai phân giác cắt F Gọi I,K theo thứ tự giao dây DE với cạnh AB,AC a) CMR: ∆ EBF cân b) CMR : Tứ giác DKFC nội tiếp FK// AB c) T giỏc AIKF l hỡnh gỡ ? Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT Giáo viên: Hà Văn Bỉnh 172 Tỉ khoa häc tù nhiªn - trêng thcs trùc khang d) Tìm điều kiện ∆ ABC để tứ giác hình thoi, đồng thời có diện tích gấp lần diện tích tứ giác AIFK Bài 8: Cho ∆ ABC nội tiếp (O) ,tia phân giác góc BAC cắt BC I cắt (O) P Kẻ đường kính PQ ,các tia phân giác góc ABC ACB cắt AQ thứ tự E F CMR: c) PC2 = PI.PA d) Bốn điểm B,C,E,F nằm đường tròn Bài 9: Cho ∆ ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O) đường cao AM,BN,CE đồng quy H Kẻ đường kính AD e) CMR: H tâm đường tròn nội tiếp ∆ MNE · · f) CMR: BNM = CBD g) Đường thẳng d qua A song song EN cắt BC K CMR: KA2 = KB.KC h) BC cắt HD I CMR: IH = ID Bài 10: Cho ∆ ABC nội tiếp (O;R) H,G trựctâm ,trọng tâm ∆ ABC I,K trung điểm BC,CA CMR: a) ∆HAB : ∆OIK b) AH = 2OI c) H,G,O thẳng hàng d) Gọi AH cắt BC M ,cắt (O) điểm thứ hai D , có E,F hình chiếu D AB ,AC Chứng minh EF qua M Bài 13: Cho (O;R) đường thẳng d cắt (O) hai điểm C;D , điểm M tuỳ ý d kẻ tiếp tuyến MA, MB , I trung điểm CD e) CMR: điểm M,I,A,O ,B nằm đường tròn f) Gọi H trực tâm ∆ MAB Tứ giác OAHB hình gì? g) Khi M di động d CMR: AB qua điểm cố định h) đường thẳng qua C vng góc với OA cắt AB ,AD E,K.CMR: EC = EK Bài 14: Cho (O) điểm A nằm đường tròn Từ A kẻ tiếp tuyến AB ; AC cát tuyến AMN với đường tròn (B,C,M,N nằm đường tròn AM AB Gọi D điểm cung nhỏ BC P giao điểm AB CD Tiếp tuyến đường tròn C cắt tiếp tuyến D AD E Q Chứng minh : d) Tứ giác PACQ nội tiếp e) DE//PQ 1 f) Nếu F giao điểm AD BC : CE = CQ + CF Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT Giáo viên: Hà Văn Bỉnh 174 ... C/m BMOE hình bình hành C/m NM phân giác góc AND A D M I B O N E Hì nh 21 Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT Giáo viên: Hà Văn Bỉnh 103 C Tổ khoa häc tù nhiªn - trêng thcs trùc khang Bài 22: Cho hình vng... I chạy đường nào? C H B O A I F E Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT Giáo viên: Hà Văn Bỉnh K 101 M H× nh 17 Tỉ khoa häc tù nhiªn - trêng thcs trùc khang Bài 18: Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB... trị nhỏ MN BM = 2 ⇒ MN đạt giá trị nhỏ nht l Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT Giáo viên: Hà Văn Bỉnh 76 Tổ khoa học tự nhiên - trêng thcs trùc khang Bài 101 : Cho ∆ ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường