PHỊNG GD&ĐT CẨM THỦY Đề thức ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2018 - 2019 Môn: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày 18 tháng năm 2019 Câu 1: (4,0 ®iĨm) Tính giá trị biểu thức 2019 2  3  ÷  − ÷ ( −1) 3  4 a) A = 2   36  ÷  − ÷    12  9 9 B= + + + + + 19 19.29 29.39 39.49 2009.2019 b) Câu 2: (4,0 điểm) a Tìm x biết: x + x + x + x + x + 2074 + + + + =0 2017 2016 2015 1007 11 2 b Tìm cặp số nguyên (x, y) biết: 2019 x − y −8 + y −1 = Câu 3: (4,0 điểm) Tìm ba số tự nhiên, biết bội chung nhỏ chúng 360 số thứ số thứ hai tỉ lệ nghịch với 2, số thứ hai số thứ ba tỉ lệ thuận với Cho a,b, c, d số nguyên dương thỏa mãn a + c = b + d chứng minh a + b + c + d hợp số Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A.Trên AB lấy điểm M ( M khác A B), Trên AC lấy điểm N cho AM = AN a) Chứng minh BN = CM b) Gọi I giao điểm BN CM,O trung điểm BC Chứng minh ba điểm A,I,O thẳng hàng c) Chứng minh BC + MN < BN Câu 5: (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn: 2.22 + 3.23 + 4.24 + + n.2 n = n +5 Hết - GIẢI Câu 1: (4,0 ®iĨm) Tính giá trị biểu thức 2019 2  3 23 32 1 −  ÷  − ÷ ( −1) 3  4  3 = = =2 a) A = 3 11 2   2 −2 3 36  ÷  − ÷ 1 3.4 5    12  9 9 + + + + b) B = + 19 19.29 29.39 39.49 2009.2019 10 10 10 10 10 10 B= + + + + + 9.19 19.29 29.39 39.49 2009.2019 10 1 1 1 1 1 B= − + − + − + − + + − 9 19 19 29 29 39 39 49 2009 2019 10 1 B= − 9 2019 10 673 − B= 3.2019 670 67 B= = 3.2019 10 673 Câu 2: (4,0 điểm) x + x + x + x + x + 2074 + + + + =0 2017 2016 2015 1007 11 x+2 x+3 x+4 x+5 x + 2074 +1+ +1+ +1+ +2+ −5 = 2017 2016 2015 1007 11 x + 2019 x + 2019 x + 2019 x + 2019 x + 2019 + + + + =0 2017 2016 2015 1007 11 1 1 1 + + + + ÷= ( x + 2019 )   2017 2016 2015 1007 11  x + 2019 = x = −2019 a Tìm x biết: b Tìm cặp số nguyên (x, y) biết: 2019 x − y −8 + y −1 =1 x2 − y − + y − = x2 − y − + y = 2 Mà x − y − ≥ 0; y ≥ 0; nên ≤ y ≤ mà x; y ∈ Z y ∈ { 0;1} ⇒ y ∈ { 0; ±1}  x2 − = Với y = suy ra: x − − + = ⇒ x − = ⇒ x − = ⇒   x − = −1 2  x2 = ⇒ ⇒ x = ±3 x =  2 Với y = suy ra: x − − + = ⇒ x − − = ⇒ x − − =  x2 − =  x2 = ⇒ x2 −1 = ⇒  ⇒ ⇒ x = ±3 x − = − x = −   2 Với y = -1 suy ra: x + − + = ⇒ x + − = ⇒ x + − =  x2 + =  x2 = ⇒ x +1 = ⇒  ⇒ ⇒ x ∈θ  x + = −8  x = −9 Vậy cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn đề là: ( 0;3) ; ( 0; −3) ; ( 1;3) ; ( 1; −3) Câu 3: (4,0 điểm) Tìm ba số tự nhiên, biết bội chung nhỏ chúng 360 số thứ số thứ hai tỉ lệ nghịch với 2, số thứ hai số thứ ba tỉ lệ thuận với Gọi hai số cần tìm a, b, c ( đk a; b; c ∈ N ) Vì số thứ số thứ hai tỉ lệ nghịch với nên ta có: 3a = 2b ⇒ 9a = 6b số thứ hai số thứ ba tỉ lệ thuận với nên ta có: suy 9a = 6b = 4c ⇒ b c = ⇒ 3b = 2c ⇒ 6b = 4c a b c = = a b c = = = k ⇒ a = k ; b = 6k ; c = 9k ⇒ BCNN ( a; b; c ) = 2.32.k = 36k mà theo ⇒ BCNN ( a; b; c ) = 360 Đặt Suy ra: ⇒ 36k = 360 ⇒ k = 10 ⇒ a = 4.10 = 40; b = 6.10 = 60; c = 9.10 = 90 Vậy số cần tìm 40; 60; 90 Cho a,b, c, d số nguyên dương thỏa mãn a + c = b + d chứng minh a + b + c + d hợp số Cách 1: a + 2ac + c + b + 2bd + d = ( ac + bd ) a2 + c = b2 + d ⇒ ( a + c ) − ( b + d ) = ( ac + bd ) ⇒ a + c ≡ ( b + d ) ( mod ) ⇒ a + c + b + d M2 mà a, b, c, 2 d nguyên dương nên a+b+c+d> nên a+b+c+d hợp số Cách 2: 2 2 Xét a + b + c + d − ( a + b + c + d ) = a ( a − 1) + b ( b − 1) + c ( c − 1) + d ( d − 1) Vì a,b, c, d số nguyên dương nên a ( a − 1) M2; b ( b − 1) M2; c ( c − 1) M2; d ( d − 1) M2 a ( a − 1) + b ( b − 1) + c ( c − 1) + d ( d − 1) số chẵn 2 2 2 Mà a + c = b + d nên a + b + c + d = ( b + d ) suy a + b2 + c + d chẵn Do a + b + c + d chẵn lớn nên a+b+c+d hợp số Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A.Trên AB lấy điểm M ( M khác A B), Trên AC lấy điểm N cho AM = AN a) Chứng minh BN = CM b) Gọi I giao điểm BN CM,O trung điểm BC Chứng minh ba điểm A,I,O thẳng hàng c) Chứng minh BC + MN < BN a) Dễ cm đc ∆ANB = ∆AMC ( c.g c ) Suy ra: BN = CM b) Dễ cm đc ∆AIB = ∆AIC ( g.c.g ) Suy AI tia phân giác góc A (1) Mà ∆ABC cân A có AO trung tuyến đồng thời phân giác góc A (2) Từ (1) (2) suy A,I,O thẳng hàng c) Dễ cm đc ∆AIM = ∆AIN ( g.c.g ) suy IM = IN suy IB = IC Xét ∆IMN ;có IM + IN > MN ⇒ IN > MN Xét ∆IBC ;có IB + IC > BC ⇒ IB > BC Suy ra: IN + IB > MN + BC ⇒ BC + MN < BN Câu 5: (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn: 2.22 + 3.23 + 4.2 + + n.2 n = n +5 A = 2.22 + 3.23 + 4.2 + + n.2n A = 2.23 + 3.24 + 4.25 + + n.2 n +1 A − A = 2.23 + 3.2 + 4.25 + + n.2 n +1 − 2.2 − 3.23 − 4.2 − − n.2 n A = n.2 n +1 − 22 − (22 + 23 + 24 + 25 + + 2n ) Đặt: B = 22 + 23 + + 25 + + n B = 23 + 24 + 25 + + 2n + 2n +1 B − B = (23 + + 25 + + n + n +1 ) − (2 + 23 + + 25 + + n ) B = 2n +1 − 22 A = n.2n +1 − 22 − (2 n +1 − 2 ) = n.2n +1 − 2n +1 = (n − 1)2n +1 (n − 1)2 n +1 = 2n +5 n − = 24 = 16 ⇒ n = 17 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP ĐỀ THI VỊNG NĂM HỌC 2018-2019 Mơn thi: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang) Câu (4 điểm) a) Thực phép tính: b) Tính A= 212.35 − 46.92 ( 3) + − 510.73 − 255.49 ( 125.7 ) + 59.143 S = 2100 − 299 + 298 + + 22 − 2 2019 + + + + 2019 < 0, 75 3 3 c) Chứng tỏ: Câu (4 điểm) a + b− c b+ c − a c + a − b = = c a b a) Cho a, b, c ba số thực khác 0, thoả mãn : Hãy tính giá trị biểu thức: a+b+c ≠ b  a  c  B = 1 + 1 + 1 +  a  c  b  b) Ba lớp 7A, 7B, 7C mua số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5,6,7 sau chia theo tỉ lệ 4,5,6 nên có lớp nhận nhiều dự định gói Tính tổng số gói tăm mà ba lớp mua d) Cho ba số x,y, z tỉ lệ với 3,4,5 Tính P= 2017 x + 2018 y − 2019 z 2017 x − 2018 y + 2019 z Câu 3: (4 điểm) a) Tìm x, y, z biết: 5z − y 6x − 4z y − 5x = = 3x – 2y + 5z = 96 b) Chứng minh rằng: 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 +……+ 3x+100 chia hết cho 120 (với x ∈ N) Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC có AB < AC Trên tia đối tia CA lấy điểm D cho CD = AB Gọi P,Q trung điểm AD, BC, I giao điểm đường vng góc với AD BC P Q a) Chứng minh ∆AIB = ∆DIC b) Chứng minh AI tia phân giác góc BAC c) Kẻ IE vng góc với AB, chứng minh AE = AD Câu (2 điểm) Cho biết xyz=1 x y z Tính giá trị A = xy + x + + yz + y + + xz + z + Giám thị coi thi khơng giải thích thêm - SBD: PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2018– 2019 Mơn thi : Tốn Câu Câu (4 điểm) Phần a 2đ Nội dung A= − 12 ( 3) 6 + 84.35 − − 25 49 10 ( 125.7 ) Điểm + 59.143 10 212.35 − 212.34 510.73 − = 12 12 − 9 3 + + 212.34 ( − 1) 510.7 ( − ) = 12 − ( + 1) 59.73 ( + 23 ) 0,5 0,5 10 212.34.2 ( −6 ) −10 = 12 − = − = b 2đ a 2đ Câu ( điểm ) S =(-3)0+(-3)1 + (-3)2+(-3)3+ + (-3)2015 -3S = (-3).[(-3)0+(-3)1+(-3)2 + +(-3)2015] = (-3)1+ (-3)2+ +(-3)2016] -3S – S = [(-3)1 + (-3)2+ +(-3)2016]-(3)0-(-3)1- -(-3)2015 -4S = (-3)2016 -1 (−3) 2016 − 32016 − 1 − 32016 S = = = −4 −4 0.5 0.5 0.5 +Vì a+b+c ≠ Theo tính chất dãy tỉ số ,ta có: a + b− c b+ c − a c + a − b a+ b− c+ b+ c− a+ c+ a−b = = = a+b+ c c a b mà a+ b− c b+ c− a c+ a−b +1= +1= +1 c a b => a+ b b+ c c+ a = = =2 c a b =1 =2 b a c b +a c +a b +c Gọi tổng số gói tăm lớp mua x ( x số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia cho lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu là: a, b, c Ta có: 0.5 0.5 0.5     Vậy B = 1 + a ÷1 + c ÷1 + b ÷= ( a )( c )( b ) =8     b 2đ 0.5 a b c a +b +c x 5x 6x x 7x = = = = ⇒a = ;b = = ;c = 18 18 18 18 18 (1) Số gói tăm sau chia cho lớp a’, b’, c’, ta có: 0.5 0,5 a , b, c , a , + b , + c , x x , 5x x , x = = = = ⇒ a, = ;b = = ;c = 15 15 15 15 15 (2) So sánh (1) (2) ta có: a > a’; b=b’; c < c’ nên lớp 7C nhận nhiều lúc đầu Vây: c’ – c = hay 0.5 6x x x − =4⇒ = ⇒ x = 360 15 18 90 Vậy số gói tăm lớp mua 360 gói a 2đ Câu (4 điểm) b 2đ 5z − y 6x − 4z y − 5x = = 20z − 24 y 30x − 20z 24 y − 30x = = => 16 25 36 =>10z = 12y = 15x x y z 3x y z = => = = => = 3x – 2y + 5z = 96 12 10 30 Giải ta x = 12; y = 15; z = 18 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 +…… + 3x+100 = (3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + 3x+4) + (3x+5 + 3x+6 + 3x+7 + 3x+8)+…+ (3x+97 + 3x+98 + 3x+99 + 3x+100) = 3x(3+32+33+34) + 3x+4(3+32+33+34) +…+3x+96(3+32+33+34) = 3x.120 + 3x+4.120 +…+3x+96.120 = 120(3x + 3x+4 +…+3x+96) M120 (đpcm) Từ 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 A P C B 0,5 E Câu (6 điểm ) D I a 2đ b 1,5đ c Ta có IB = IC, IA = ID Lại có AB = CD (gt) Do ∆AIB = ∆DIC (c.c.c) 0,5 0,5 CM: ∠ DAI = ∠ D ∆AIB = ∆DIC (câu a), suy ∠ BAI = ∠ D Do ∠ DAI = ∠ BAI Vậy AI tia phân giác góc BAC Kẻ IE ⊥AB, ta có ∆AIE = ∆AIP 0,5 0,5 0,5 0,5 2đ => AE = AP Mà AP = ½ AD (vì P trung điểm AD) Suy AE = Câu ( điểm ) AD x y z + + = xy + x + yz + y + xz + z + xz xyz z + + = xyz + xz + z xyz + xyz + xz xz + z + xz xyz z xyz + xz +1 + + = =1 + xz + z z +1 + xz xz + z +1 xyz + xz +1 Lưu ý Học sinh có cách giải khác cho điểm tối đa 0,5 0,5 0,5 1 PHÒNG GD&ĐT NHƯ XUÂN ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018 - 2019 Mơn thi : TỐN - LỚP Ngày thi: 23 tháng năm 2019 Thời gian: 150 phút Câu 1: (4 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức sau: −1 −1 −1     45  1 1 − + + ÷ ÷ ÷ a) A = 19     ÷  ÷   15 20 5.4 − 4.3 b) B = 10 19 5.2 − 7.229.276 x +1 x +11 =0 2) Tìm x biết: ( x − ) − ( x − ) Câu 2: (4 điểm) 1) Chứng minh rằng: A = 11n+ + 122 n+1 chia hết cho 133 với n ∈ N 2) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện: a+b−c b+c−a c+a −b = = c a b  b  a  c  Hãy tính giá trị biểu thức: B =  + ÷ + ÷ + ÷  a  c  b  Câu 3: (4 điểm) Ba lớp trường A có tất 147 học sinh Nếu đưa 1/3 số học sinh lớp 7A, 1/4 số học sinh lớp 7B 1/5 số học sinh lớp 7C thi học sinh giỏi cấp huyện số học sinh lại ba lớp Tính tổng số học sinh lớp trường A Câu (6 điểm) · = 600 có tia phân giác Az Từ điểm B tia Ax kẻ BH vng góc Cho xAy với Ay H; kẻ BK vng góc với AZ K; kẻ tia Bt song song với Ay, Bt cắt Az C Từ C kẻ CM vng góc với Ay M a) Chứng minh K trung điểm AC b) Chứng minh tam giác KMC c) Cho BK = 2cm Tính cạnh tam giác AKM Câu 5: (2 điểm) Tìm x, y ∈ N biết: 15 ( x − 2019 ) = 64 − y Hết UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI GIAO LƯU OLYMPIC CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN: TỐN - LỚP Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề gồm có: câu, 01 trang) Câu 1: ( 2,0 điểm) 3 − + 11 13 + 1) Tính M = 5 − + 11 13 2) Tính A= + + + + 1 − + 5 − + 1 2017 2018 A + + + + + ; B= Tính 2019 2018 2017 2016 B Câu 2: ( 2,0 điểm) 1) Tìm cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn: x + 2y = 3xy + 2) CMR với n nguyên dương 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n chia hết cho 10 Câu 3: ( 2,0 điểm ) ( ( a 2018 + b 2018 a c 1) Cho số dương a,b,c,d; c ≠ d = CMR 2018 2018 b d c +d ) ) 2019 2019 (a = (c 2019 − b 2019 2019 − d 2019 ) ) 2018 2018 2018 2) Cho biết 3x − y + z − x + ( xy + yz + xz − 500) = Tính giá trị biểu thức A = (3x - y - z)2019 Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác ABD ACE Gọi I giao CD BE, K giao AB DC 1) Chứng minh rằng: DC = BE 2) Gọi M N trung điểm CD BE Tính số đo góc BIK, góc AMN 3) Chứng minh IA phân giác góc DIE Câu (1,0đ) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: ab+bc+ca ≤ a + b + c < 2(ab+bc+ca) -Hết - ... Câu 3: ( 2,0 điểm ) ( ( a 2018 + b 2018 a c 1) Cho số dương a,b,c,d; c ≠ d = CMR 2018 2018 b d c +d ) ) 2019 2019 (a = (c 2019 − b 2019 2019 − d 2019 ) ) 2018 2018 2018 2) Cho biết 3x − y +... + + + + =0 20 17 2016 2015 10 07 11 x+2 x+3 x+4 x+5 x + 2 074 +1+ +1+ +1+ +2+ −5 = 20 17 2016 2015 10 07 11 x + 2019 x + 2019 x + 2019 x + 2019 x + 2019 + + + + =0 20 17 2016 2015 10 07 11 1 1 1 +... 39.49 2009 .2019 10 1 1 1 1 1 B= − + − + − + − + + − 9 19 19 29 29 39 39 49 2009 2019 10 1 B= − 9 2019 10 673 − B= 3 .2019 670 67 B= = 3 .2019 10 673 Câu 2: (4,0 điểm) x + x + x + x + x + 2 074 + +