UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2016 - 2017 MƠN: TỐN-LỚP Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề gồm câu, 01 trang) Câu 1:( 2,5 điểm) 1) Tính :  151515 179   1500 1616  a) A =  + 10 ÷−  − ÷  161616 17   1600 1717  32 32 32 32 b) B = + + + + 1.4 4.7 7.10 97.100 2) Người ta viết số tự nhiên liên tiếp đến 2006 liền thành số tự nhiên L Hỏi số tự nhiên L có chữ số Câu 2:(2,0 điểm) 1) So sánh A B biết : 201718 + A= , 201719 + 201717 + B= 201718 + 2) Tìm số nguyên tố p cho: p + p + số nguyên tố Câu 3:( 2,0 điểm) 2n + 1) Chứng tỏ phân số tối giản ( n∈ N ) 6n + a * 2) Tìm phân số tối giản lớn ( a,b∈ N ) để chia phân số b a 12 24 ; ; cho , ta số tự nhiên b 21 45 175 Câu 4:(2,5 điểm) 1) Cho góc xBy = 550 Trên tia Bx, By lấy điểm A, C ( A ≠ B, C ≠ B) Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D cho góc ABD = 300 a) Tính số đo góc DBC b) Từ B vẽ tia Bz cho góc DBz = 900 Tính số đo góc ABz 2) Cho điểm có ba điểm thẳng hàng Qua hai điểm vẽ đường thẳng Tính số đường thẳng tạo thành Câu 5:(1,0 điểm) Chứng minh : S = 1 1 1 1 + + + + + + + ×××+ 16 36 64 100 144 196 10000 không số tự nhiên .Họ tên thí sinh:……………………………………………….SBD:………………… Chữ kí giám thị 1:…………………………….Chữ kí giám thị 2:…………………… UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2016 - 2017 MƠN: TỐN-LỚP Câu 1: (2,5 điểm)  151515 179   1500 1616  + 10 ÷−  − 1.a) A =  ÷  161616 17   1600 1717   15.10101   15 16.101  + ÷−  − A=  ÷  16.10101 17   16 17.101  15 15 16 A= + − + 16 17 16 17  15 15   16  A =  − ÷+  + ÷  16 16   17 17  0,25 0,25 A= 32 32 32 32 3 3 + + + + + + + ) = 3.( + 1.4 4.7 7.10 97.100 1.4 4.7 7.10 97.100 99 297 1 1 1 1  = ) =  −  = = 3.( − + − + − + − 100 100 4 7 97 100  100  1.b) B = Có số có chữ số từ đến Có 90 số có chữ số từ 10 đến 99 Có 900 số có chữ số từ 100 đến 999 Các số có chữ số từ 1000 đến 2006 có : 2006 - 1000 + = 1007 số Số chữ số số tự nhiên L : + 90.2 + 900.3 + 1007.4 = 6917 (chữ số ) Câu 2: ( 2,0 điểm) 201719 + + 2016 2016 = 1+ Ta có: 2017A = 19 2017 + 201719 + 201718 + + 2016 2016 = 1+ 2017B = 18 2017 + 201718 + 2016 2016 < Vì 19 2017 + 201718 + Vậy A< B + Với p = ⇒ p + = 4; p + = ⇒ p + p + hợp số ⇒ p = không thỏa mãn + Với p = ⇒ p + = số nguyên tố p + = số nguyên tố ⇒ p = thỏa mãn + Với p số nguyên tố p > ⇒ p có dạng p = 3k + p = 3k + (k ∈ N* ) * Nếu p = 3k + p + = 3k + + = 3k + M3 p + > ⇒ p + hợp số (trái với đề bài) * Nếu p = 3k + p + = 3k + + = 3k + M3 p + > 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ⇒ p + hợp số (trái với đề bài) Vậy p = p + p + số nguyên tố Câu 3:(2,0 điểm) 3.a) Gọi (2n + 1, 6n + 7) = d Suy ra: 2n + 1Md ⇒ 3(2n + 1)Md ⇒ 6n + 3Md (1) Và 6n + 7Md (2) Từ (1) (2) ⇒ (6n + 7) − (6 n + 3)Md (Tính chất chia hết tổng) ⇒ 4Md ⇒ d ∈ { 1;2;4} Vì 2n +1 số tự nhiên lẻ ( n∈ N ) nên d = 2n + Vậy phân số tối giản ( n∈ N ) 6n + a * 3.b) phân số tối giản lớn ( a,b∈ N ) nên a lớn nhất, b nhỏ b khác không a 8b : = có giá trị số tự nhiên ⇒ 8Ma bM21 21 b 21a 12 a a 4b : = : = 15 có giá trị số tự nhiên ⇒ 4Ma bM 45 b 15 b 15a 24 a 24b : = 175 có giá trị số tự nhiên ⇒ 24Ma bM 175 b 175a Từ suy a = ƯCLN(8, 4, 24) = b = BCNN(21, 15, 175) = 525 a Vậy phân số = b 525 Câu 4: (2,5 điểm) TH1 TH2 0,25 0,25 0,25 02,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 02,5 a)Chứng minh tia BD nằm hai tia BA BC Ta có : ∠ ABC = ∠ ABD + ∠ DBC ⇒ ∠DBC= ∠ ABD + ∠ DBC ⇒ ∠DBC = =550 – 300 = 250 b) Xét hai trường hợp: ∠ABC - ∠ABD 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 - Trường hợp 1: Tia Bz tia BD nằm hai phía nửa mặt phẳng có bờ AB nên tia BA nằm hai tiaBz BD Tính ∠ ABz = 900 - ∠ABD = 900- 300 = 600 - Trường hợp :Tia Bz tia BD nằm nửa mặt phẳng có bờ AB nên tia BD nằm hai tia Bz BA Tính ∠ ABz = 900 + ∠ABD = 900 + 300 = 1200 Xét điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Nối điểm với điểm lại ta đường thẳng => ta nối (7.8):2=28 đường thẳng Xét điểm khơng thẳng hàng ta có đường thẳng Xét điểm thẳng hàng ta có đường thẳng => Số đường thẳng giảm 3-1=2 đường thẳng Vậy điểm có điểm thẳng hàng nối tạo thành 28-2=26 đường thẳng Câu 5: (1,0 điểm) 1 1 1 1 + + + + + + + ×××+ 16 36 64 100 144 196 10000 1 1 1 1  VT = 1 + + + + + + + ⋅ ⋅ ⋅ +  4 50  1 1 1 1 1 − Do + + ⋅ ⋅ ⋅ + < − + − + − + ⋅ ⋅ ⋅ + 2 3 2499 2500 50 Nên S không số tự nhiên Học sinh làm cách khác cho đủ số điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017 - 2018 MƠN: TỐN - LỚP Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề gồm có: câu, 01 trang) Câu 1: (2,0 điểm) 1 1 ).(1+ ).(1+ ) (1+ ) 15 2499 1 4 1+ + + 4+ + − 27 : 49 343 2) Tính nhanh B = 2 1 2+ + + 1+ + − 27 49 343 1) Rút gọn biểu thức A = (1+ Câu 2: (2,0 điểm)  1 1  23 1) Tìm x, biết:  + + + + ÷.x = 8.9  45  1.2 2.3 3.4 2) So sánh: E = 201899 − 201898 − F = 2018100 − 201899 − Câu 3: (2,0 điểm) 1) Tìm số tự nhiên x, y biết 5x + 11y = 26 2) Tìm số nguyên tố ab (a > b > ), biết ab − ba số phương Câu 4: (3,0 điểm) 1) Trên tia Ox lấy điểm A, B cho OA = 6cm, OB =10cm Gọi E, F trung điểm OA, AB Tính độ dài đoạn thẳng EF · 2) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ hai tia Oy, Oz cho xOy = 500; · = 1000 Vẽ tia Oy' tia đối tia Oy Tính số đo ·y ,Oz xOz 3) Vẽ đường thẳng d không qua O Trên đường thẳng d lấy 2018 điểm phân biệt Tính số góc đỉnh O có cạnh qua điểm 2018 điểm Câu 5: (1,0 điểm) Cho abc số tự nhiên có ba chữ số Tìm giá trị lớn A = - Hết abc + 1918 a+b+c Họ tên học sinh:……………………………………Số báo danh:……………… Giám thị 1:………………………………… Giám thị 2:……………………………… UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017 - 2018 MƠN: TỐN - LỚP Thời gian làm bài: 150 phút ( Hướng dẫn gồm có: câu, 04 trang) Đáp án 1 1 ).(1+ ).(1+ )……… (1+ ) 15 2499 16 2500 A = 15 2499 2.2 3.3 4.4 50.50 = 1.3 2.4 3.5 49.51 2.3.4 50 2.3.4 50 A= 1.2.3 49 3.4.5 51 50 100 100 = = Vậy A= 51 51 51 1 4 1+ + + 4+ + − 27 : 49 343 B= 2 1 2+ + + 1+ + − 27 49 343 1 1     1  + + + ÷ 1 + + − ÷  27  :  49 343  B=   1   1 1 + + + ÷ 1 + + − ÷  27   49 343  1 B = :4 = Vậy B = Biểu điểm A = (1+ 1 2 1  23  + + + +  ÷.x = 8.9  45  1.2 2.3 3.4 1 23 1 1 1  − + − + − + + − ÷.x = 9 45 1 2 3 23 1   − ÷.x = 45 1  23 x = 45 23 23 23 x= : = Vậy x = 45 40 40 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 201899 − 2018100 − 2018 ⇒ Ta có E = 2018.E = 2018100 − 2018100 − 2017 ⇒ 2018.E = 12018100 − 201899 − 201899 − 2018 ⇒ F= 2018.F = 201899 − 201899 − 2017 ⇒ 2018.F = 1201899 − 2017 2017 2017 2017 ⇒1 Vì < > 1100 99 100 2018 − 2018 − 2018 − 201899 − hay 2018 E > 2018 F ⇒ E > F Vậy E > F + Với y = 2, ta có 112 = 121 > 26 ⇒ y = không thỏa mãn Do y số tự nhiên nên y ∈ { 0;1} + Với y = 1, ta có 5x +11 = 26 ⇒ 5x = 15 x số tự nhiên ⇒ khơng có giá trị x thỏa mãn 5x = 15 ⇒ y =1 không thỏa mãn + Với y = ta có 5x + = 26 ⇒ 5x = 25 = 52 nên x = (thỏa mãn) Vậy x = 2; y = Ta có ab − ba = 9.(a − b) Do a, b chữ số, ab số nguyên tố, nên ≤ b ⇒ 9.(a - b) số phương a - b ∈ { 1; 4} + Với a - b =1 mà ab số nguyên tố ⇒ ta số ab = 43 + Với a - b = mà ab số nguyên tố ⇒ ta số ab = 73 Vậy ab ∈ { 43;73} O E A F B x Vì hai điểm A,B nằm tia Ox mà OA