ĐỀ UBND HUYỆN KINH MÔN ĐỀ THI OLYMPIC HỌC SINH GIỎI Mơn: Tốn lớp Năm học 2015-2016 Thời gian: 150 phút (khơng kể giao đề) PHỊNG GIÁO DỤC VÀ O TO nN Câu 1: (1,5 điểm) Cho S =20 +22 +24 +26 + +22014 a) Chứng tỏ S chia hết cho 17 b) Tìm chữ số tận S Câu 2: (2,0 điểm) a) Tính tổng sau: 1 1 1 1 1                 210 182 156 132 110 90 72 56 42 30 20 5 10  10 5 b) So sánh: N = 2015  2016 M = 2015  2016 10 10 10 10 A C©u 3: (2,5 điểm) a) Chứng minh rằng: Tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, tổng bốn số tự nhiên liên tiếp khơng chia hết cho b) Tìm số tự nhiên n để phân số 18n  rút gọn 21n  c) Tìm cặp số nguyên x,y thỏa mãn: xy - 3x + y - 8=0 Câu 4: (1,5 điểm) S hc sinh khối trường THCS số tự nhiên nhỏ có chữ số mà xếp hàng 20 dư 7, xếp hàng 25 dư 17 học sinh Tính số học sinh khối trường C©u 5: (2,5 điểm) �  5� 1) Cho hai góc kề bù xOz yOz biết rằng: xOz yOz a, Tính số đo góc xOz yOz �  75 Tia Om b, Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox, vẽ tia Om cho xOm có phải tia phân giác góc xOz khơng ? Vì sao? 2) Cho góc xOy, tia Om tia phân giác góc xOy, tia On tia phân giác góc xOm Tìm giá trị lớn góc xOn _ Hết _ ĐỀ UBND HUYỆN KINH MÔN ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLYMPIC HỌC SINH GIỎI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Mơn: Tốn nNă Năm học 2015-2016 Câu Đáp án C©u 2010 Điểm a) S =(2 +2 )+2 (2 +2 )+ +2 (2 +2 ) S tổng số hạng chia hết cho 17 nên S chia hết cho 17 Vậy S chia hết cho 17 b) Xét S' =24 +26 + +22014  24 (20  22 )   22012 (20  22014 ) S’ chia hết cho S’ chia hết S’ chia hết cho 10 Hay S’ có chữ số tận Do 20 + 22 = nên S có chữ số tận 1 1 1 1 1                 210 182 156 132 110 90 72 56 42 30 20 1 1 1 1 1           =( ) 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 10.11 11.12 12.13 13.14 14.15 1 1 1 1 = - (         ) 5 6 14 15 1  11  11 =-(  ) = Vậy A= 15 60 60 a)Tính C©u 0,25 điểm A 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm b) So sánh 5 10 5 5 5  2016 = 2015  2016  2016 2015 10 10 10 10 10 5 5 5 5 5 và: M = 2015  2016 = 2015  2015  2016 10 10 10 10 10 5 5 Ta có: 2016 > 2015 10 10 Xét N = C©u 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm VËy: N > M a) 1) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: n, n + 1, n + Ta phải chứng minh: n + (n + 1) + (n + 2) M3 Thật ta có: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + M3 Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là: n, n + 1, n + 2, n + Ta có: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + khơng chia hết cho 4n chia hết cho khơng chia hết cho Vậy tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, tổng bốn số tự nhiên liên tiếp khơng chia hết cho 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm c) Chứng tỏ 18n  rút gọn 21n  Giả sử 18n+3 21n+7 chia hết cho số nguyên tố d Nên 18n+3 d 21n+7 d suy 6(21n+7)- 7(18n+3) d 21  d Do d nguyên tố nên d = 3; + Nếu d = ta có 21n + 3 (vô lý) + Nếu d = ta có 18n + 7 � 18n   21M7 � 18(n  1)M7 � n  1M7 Nên n = 7k +1 ( k �N ) 18n  rút gọn n = 7k +1 ( k �N ) 21n  c) xy-3x+y-8 =  x.(y-3) +1.(y-3) =  (x+1).(y-3) = Vậy phân số Vì x,y số nguyên nên x+1;y-3 số nguyên Mà 5=1.5=(-1).(-5) Bảng giá trị tương ứng x,y x+1 -5 -1 y-3 -1 -5 x -6 -1 y -2 Vậy số x,y thảo mãn yêu cầu toán là:   6;2;   1; 2;  0;8;  4;4 Gọi số HS khối trường x (x �N) x : 20 dư � x + 33 M20 x : 25 dư 17 � x + 33 M25 Suy x +33 BC(20, 25) C©u Ta có BCNN(20,25) = 100 BC(20;25) = 100k (k �N) x + 33 = 100k � x = 100k -33 mà x số tự nhiên nhỏ có chữ nên k = Do x =167 (T/m) Vậy số học sinh khối trường 167 học sinh C©u5 1) a.Vì x�0 z � y z kề bù nên x�0 z  � y z  1800 (1) 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm y z ( 2) Mặt khác: � x�0 z  � Từ (1) (2) � 6.�y z  1800 � � y0 z  300 ; x�0 z  1500 0,25 điểm Vậy x�0 z  1500 ; � y z  300 0,25 điểm 1) b Trường hợp : Nếu hai tia Om Oz thuộc nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox 0,25 điểm m z y x O Ta có: x�0m  x�0 z (750 < 1500) � tia Om nằm hai tia Ox Oz (3) �0 z  x�0 z  x�0m � m �0 z  1500  75  750 � x�0m  m �0 z  750 (4) �m 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm Từ (3) (4) suy tia Om tia phân giác góc xOz 0,25 điểm Trường hợp : Nếu tia Oz tia Om nằm nửa mặt phẳng đối 0,25 điểm có bờ chứa tia Ox Khi tia Om không nằm hai tia Ox Oz z y O x 750 m Vậy trường hợp tia Om không phải tia phân giác góc xOz Vì Om tia phân giác góc xOy nên x�0m  x�0 y (1) Vì On tia phân giác góc xOm nên 1� x�0n  m 0n (2) Từ (1) (2) suy x�0n  x�0 y 0,25 điểm Do góc xOn đạt giá trị lớn góc xOy lớn mà góc xOy lớn 1800 Do góc xOn đạt giá trị lớn 450 0,25 điểm (Bài thi thí sinh giải theo cách khác cho điểm tối đa) Hướng dẫn chấm gồm có 03 trang, trang số 03 UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN: TOÁN-LỚP Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề gồm câu, 01 trang) Câu 1:( 2,5 điểm) 1) Tính : � 151515 179 � � 1500 1616 � a) A  �  10 � �  � 161616 17 � � 1600 1717 � � 32 32 32 32 b) B      1.4 4.7 7.10 97.100 2) Người ta viết số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ đến 2006 liền thành số tự nhiên L Hỏi số tự nhiên L có chữ số Câu 2:(2,0 điểm) 1) So sánh A B biết : 201718  A= , 201719  201717  B= 201718  2) Tìm số nguyên tố p cho: p + p + số nguyên tố Câu 3:( 2,0 điểm) 2n  1) Chứng tỏ phân số tối giản  n�N  6n  a * 2) Tìm phân số tối giản lớn  a,b�N  để chia phân số b a 12 24 ; ; cho , ta đều số tự nhiên b 21 45 175 Câu 4:(2,5 điểm) 1) Cho góc xBy = 550 Trên tia Bx, By lấy điểm A, C ( A B, C B) Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D cho góc ABD = 300 a) Tính số đo góc DBC b) Từ B vẽ tia Bz cho góc DBz = 900 Tính số đo góc ABz 2) Cho điểm có ba điểm thẳng hàng Qua hai điểm vẽ đường thẳng Tính số đường thẳng tạo thành Câu 5:(1,0 điểm) Chứng minh : S = 1 1 1 1       � � �  16 36 64 100 144 196 10000 không số tự nhiên .Họ tên thí sinh:……………………………………………….SBD:………………… Chữ kí giám thị 1:…………………………….Chữ kí giám thị 2:…………………… UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2016 - 2017 MƠN: TỐN-LỚP Câu 1: (2,5 điểm) � 151515 179 � � 1500 1616 �  10 � �  1.a) A = � � 161616 17 � � 1600 1717 � � 15.10101 � � 15 16.101 � � � �� � 15 15 16 A=    16 17 16 17 15 15 � �1 16 � � A = �  � �  � 16 16 � � 17 17 � �  � �  A= � � 16.10101 17 16 17.101 0,25 0,25 A= 32 32 32 32 3 3        ) = 3.(  1.4 4.7 7.10 97.100 1.4 4.7 7.10 97.100 99 297 1 1 1 1   ) 3    3 = 3.(        100 100 4 7 97 100  100  1.b) B = Có số có chữ số từ đến Có 90 số có chữ số từ 10 đến 99 Có 900 số có chữ số từ 100 đến 999 Các số có chữ số từ 1000 đến 2006 có : 2006 - 1000 + = 1007 số Số chữ số số tự nhiên L : + 90.2 + 900.3 + 1007.4 = 6917 (chữ số ) Câu 2: ( 2,0 điểm) 201719   2016 2016  1 Ta có: 2017A = 19 2017  201719  201718   2016 2016  1 2017B = 18 2017  201718  2016 2016  Vì 19 2017  201718  Vậy A< B + Với p = � p   4; p   � p + p + hợp số � p = không thỏa mãn + Với p = � p + = số nguyên tố p + = số nguyên tố � p = thỏa mãn + Với p số nguyên tố p > � p có dạng p = 3k + p = 3k + (k �N* ) * Nếu p = 3k + p + = 3k + + = 3k + M3 p + > � p + hợp số (trái với đề bài) * Nếu p = 3k + p + = 3k + + = 3k + M3 p + > 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 � p + hợp số (trái với đề bài) Vậy p = p + p + số nguyên tố 0,25 Câu 3:(2,0 điểm) 3.a) Gọi (2n + 1, 6n + 7) = d d (1) Suy ra: 2n  1Md � 3(2n  1)Md � 6n  3M Và 6n  7Md (2) Từ (1) (2) � (6n  7)  (6n  3)Md (Tính chất chia hết tổng) � 4Md � d � 1;2;4 Vì 2n +1 số tự nhiên lẻ  n�N  nên d = 2n  Vậy phân số tối giản  n�N  6n  a * 3.b) phân số tối giản lớn  a,b�N  nên a lớn nhất, b nhỏ b khác khơng a 8b :  có giá trị số tự nhiên � 8Ma bM21 21 b 21a 12 a a 4b :  :  15 có giá trị số tự nhiên � 4Ma bM 45 b 15 b 15a 24 a 24b :  175 có giá trị số tự nhiên � 24Ma bM 175 b 175a Từ suy a = ƯCLN(8, 4, 24) = b = BCNN(21, 15, 175) = 525 a Vậy phân số  b 525 Câu 4: (2,5 điểm) TH1 TH2 0,25 0,25 02,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 02,5 a)Chứng minh tia BD nằm hai tia BA BC Ta có :  ABC =  ABD +  DBC   DBC=  ABD +  DBC   DBC = =550 – 300 = 250 b) Xét hai trường hợp:  ABC -  0,25 ABD 0,25 0,25 0,25 0,25 - Trường hợp 1: Tia Bz tia BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ AB nên tia BA nằm hai tiaBz BD Tính  ABz = 900 -  ABD = 900- 300 = 600 - Trường hợp :Tia Bz tia BD nằm về nửa mặt phẳng có bờ AB nên tia BD nằm hai tia Bz BA Tính  ABz = 900 +  ABD = 900 + 300 = 1200 Xét điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Nối điểm với điểm lại ta đường thẳng => ta nối (7.8):2=28 đường thẳng Xét điểm không thẳng hàng ta có đường thẳng Xét điểm thẳng hàng ta có đường thẳng => Số đường thẳng giảm 3-1=2 đường thẳng Vậy điểm có điểm thẳng hàng nối tạo thành 28-2=26 đường thẳng Câu 5: (1,0 điểm) 1 1 1 1       � � �  16 36 64 100 144 196 10000 1 1 1 1  VT = 1          4 50  1 1 1 1 1  Do            2 3 2499 2500 50 1 = 1 2500 Suy S<  CM : S = Mà S > Nên S không số tự nhiên Học sinh làm cách khác cho đủ số điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017 - 2018 MƠN: TỐN - LỚP Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề gồm có: câu, 01 trang) Câu 1: (2,0 điểm) 1 1 ).(1+ ).(1+ ) (1+ ) 15 2499 1 4 1   4   27 : 49 343 2) Tính nhanh B = 2 1 2   1   27 49 343 1) Rút gọn biểu thức A = (1+ Câu 2: (2,0 điểm) 1 � 23 �1 � � 99 2018  201898  2) So sánh: E = F = 2018100  201899  1) Tìm x, biết: �     �.x  1.2 2.3 3.4 8.9 45 Câu 3: (2,0 điểm) 1) Tìm số tự nhiên x, y biết 5x + 11y = 26 2) Tìm số nguyên tố ab (a > b > ), biết ab  ba số phương Câu 4: (3,0 điểm) 1) Trên tia Ox lấy điểm A, B cho OA = 6cm, OB =10cm Gọi E, F trung điểm OA, AB Tính độ dài đoạn thẳng EF � = 500; 2) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ hai tia Oy, Oz cho xOy � = 1000 Vẽ tia Oy' tia đối tia Oy Tính số đo � y ,Oz xOz 3) Vẽ đường thẳng d không qua O Trên đường thẳng d lấy 2018 điểm phân biệt Tính số góc đỉnh O có cạnh qua điểm 2018 điểm Câu 5: (1,0 điểm) Cho abc số tự nhiên có ba chữ số Tìm giá trị lớn A  - Hết abc  1918 abc Họ tên học sinh:……………………………………Số báo danh:……………… Giám thị 1:………………………………… Giám thị 2:……………………………… UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017 - 2018 MƠN: TỐN - LỚP Thời gian làm bài: 150 phút ( Hướng dẫn gồm có: câu, 04 trang) Đáp án 1 1 ).(1+ ).(1+ )……… (1+ ) 15 2499 16 2500 A = 15 2499 2.2 3.3 4.4 50.50 = 1.3 2.4 3.5 49.51 2.3.4 50 2.3.4 50 A= 1.2.3 49 3.4.5 51 50 100 100 =  Vậy A= 51 51 51 1 4 1   4   27 : 49 343 B= 2 1 2   1   27 49 343 1 1 � � � � 1 �    � � 1   � � 27 �: � 49 343 � B= � � 1 � � 1 �    � 1.� 1   � � 27 � � 49 343 � 1 B = :4  Vậy B = Biểu điểm A = (1+ 1 2 1 � 23 �1    x  �  � 1.2 2.3 3.4 8.9 � 45 � 1 1 1 1 � 23 � x  �         � 2 3 � 45 � 1 � 23 � x  � � � 45 � 23 x  45 23 23 23 x :  Vậy x  45 40 40 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 201899  2018100  2018 � Ta có E = 2018.E = 2018100  2018100  2017 � 2018.E = 12018100  201899  201899  2018 � F= 2018.F = 201899  201899  2017 � 2018.F = 1201899  2017 2017 2017 2017 �1 Vì < > 1100 99 100 2018  2018  2018  201899  hay 2018 E > 2018 F � E > F Vậy E > F + Với y = 2, ta có 112 = 121 > 26 � y = không thỏa mãn Do y số tự nhiên nên y � 0;1 + Với y = 1, ta có 5x +11 = 26 � 5x = 15 x số tự nhiên � khơng có giá trị x thỏa mãn 5x = 15 � y =1 không thỏa mãn + Với y = ta có 5x + = 26 � 5x = 25 = 52 nên x = (thỏa mãn) Vậy x = 2; y = Ta có ab  ba  9.(a  b) Do a, b chữ số, ab số nguyên tố, nên �b � 9.(a - b) số phương a - b � 1; 4 + Với a - b =1 mà ab số nguyên tố � ta số ab = 43 + Với a - b = mà ab số nguyên tố � ta số ab = 73 Vậy ab � 43;73 O E A F B x Vì hai điểm A,B nằm tia Ox mà OA