Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi Mục lục I Lời mở đầu II Kiến thức cần nhớ III Kiến thức bổ sung IV Các dạng tập phương pháp chung Dạng Bài tập chứng minh tỉ lệ thức 1.1 Phương pháp chung 1.2 Một số ví dụ 1.3 Tiểu kết 1.4 Bài tập tương tự 3 4 4 10 Dạng Tìm số chưa biết dãy tỉ số 10 11 2.1 Phương pháp chung 17 2.2 Một số ví dụ 17 2.3 Tiểu kết 2.4 Bài tập tương 20 tự 20 21 Dạng Tính giá trị biểu thức 23 3.1 Phương pháp chung 23 3.2 Một số ví dụ 3.3 Tiểu kết 23 23 3.4 Bài tập tương 24 tự 30 Dạng Toán đố 30 4.1 Phương pháp chung 4.2 Một số ví dụ 34 4.3 Tiểu kết 34 34 4.4 Bài tập tương 35 tự 36 V Kết VI Vấn đề hạn chế VII Điều kiện áp dụng nguyenvanloi128@gmail.com Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi VIII Kết luận IX.Tài liệu tham khảo I Đ Lời Mở Đầu ã lang thang qua nhiều hiệu sách, văn phòng phẩm, cửa hàng sách cũ đọc nhiều loại sách tham khảo Tôi thấy thị trường sách tham khảo cho môn học rộng rãi, phong phú đa dạng, có đủ tất loại Nhưng tập mảng kiến thức lại nằm dải rác phần sách Tôi thiết nghĩ, chúng không xếp theo trật tự định đó? Đặc biệt kiến thức mơn Tốn, mơn khoa học tự nhiên chứa đựng vơ nhiều điều bí ẩn thú vị-nó xuất với lồi người khơng ngừng phát triển theo trí tuệ người, người lại khơng ngừng khám phá, chinh phục Tốn học hút người từ học đếm Nhưng học vơ tận, biết đến tốn học hiểu q trình phức tạp từ khơng đến có Vậy làm để học tốt môn này? Nếu trả lời câu hỏi bạn học tốn tốt gì? Nếu chưa trả lời đọc xong sách bạn có tay phương pháp hữu hiệu để học mơn tốn cách ngon lành Đó cách vậy? Hệ thống kiến thức theo mảng-xắp xếp theo trật tự định, hợp lí Giúp người học rèn luyện thao tác tư duy, phương pháp suy luận khả sáng tạo trình học tập để đạt kết tốt Nung nấu ý định xuốt q trình giảng dạy, Tơi định viết số mảng kiến thức, có : “Tính chất dãy tỉ số nhau” theo tiêu chí trên; Mỗi dạng tập có phương pháp chung, số ví dụ chọn lọc cách giải hợp lí số tập tương tự-Tất xắp xếp theo hệ thống trình tự từ dễ tới khó phù hợp cho đối tượng, với mong muốn giúp người đọc, người học dễ dàng việc tìm hiểu việc học muốn nghiên cứu sâu mảng kiến thức cách hiệu Tuy mảng kiến thức nhỏ giới thiệu qua tiết lí thuyết sách giáo khoa lớp đằng sau chuỗi tập, ứng dụng nhiều Với hệ thống tập xếp từ dễ đến khó giúp người học kích thích tính tư duy, suy luận logic, óc sáng tạo tận hưởng cảm giác vui sướng tự tìm tòi, khám phá đáp án cho toán Mong muốn chiếm lĩnh tri thức mong muốn nhiều người, đặc biệt học sinh – sinh viên, làm sao, làm để chiếm lĩnh thứ q báu lại điều băn khoăn, trăn trở tất Với lượng kiến thức học sinh vào lớp 7, em có tay số kĩ giải toán biến đổi phép toán: cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa Nhưng nhiều khó khăn mà em gặp phải học làm tập phần này, đặc biệt toán phức tạp, yêu cầu cần phân tích kĩ đầu để hiểu phải sử dụng điều cho nào, biến đổi để đạt mục đích, tìm đáp án nguyenvanloi128@gmail.com Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi cho toán Như vậy, cần thiết phải trang bị tri thức phương pháp cho em để làm khơng cảm thấy lúng túng, sợ, ngại tốn phức tạp Với tất vừa nêu thúc đẩy Tôi thực chuyên đề II Kiến thức cần nhớ Tỉ lệ thức 1.1 Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số a b = c d Trong đó: a, b, c, d số hạng a, d ngoại tỉ b, c trung tỉ 1.2 Tính chất tỉ lệ thức: a c a.d = b.c = * Nếu Thì b d * Nếu a d = b c a, b, c, d ≠ ta có: a c a b d c d b = = = = ; ; ; b d c d b a c a Tính chất dãy tỉ số 2.1 Tính chất: a b c = = Từ dãy tỉ số ta suy ra: x y z a b c a+b+c a −b+c a −b −c = = = = = x y z x+ y+z x− y+z x− y−z (Với giả thiết tỉ số có nghĩa) 2.2 Chú ý: a b c = = Khi có dãy tỉ số ta nói số a, b, c tỉ lệ với số x, y, z; Ta x y z viết a : b : c = x : y : z III Kiến thức bổ sung Luỹ thừa thương: n x xn Với n ∈ N, x ≠ x, y ∈ Q  y ÷ = yn   Một số tính chất bản: a a.m = * Với m ≠ b b.m a c a c = ⇔ = * Với n ≠ b d b.n d n nguyenvanloi128@gmail.com * a b = c d Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi n c =  ÷ Với n ∈ N d  n a ⇒  ÷ b IV Các dạng tập phương pháp chung Bài tập “Tính chất dãy tỉ số nhau” phong phú đa dạng mức độ khác theo ý kiến chủ quan thân Tơi chia làm dạng gắn liền với phương pháp chung (của dạng) Các cách làm trình bày theo mạch tư suy luận logic học sinh nhằm hình thành phát triển cách nghĩ, cách làm, cách trình bày tự tìm đường riêng cho học sinh Dạng Bài tập chứng minh tỉ lệ thức 1.1 Phương pháp chung: +) Thường dạng tập này, cho sẵn số điều kiện yêu cầu chứng minh tỉ lệ thức +) Để làm xuất tỉ lệ thức cần chứng minh biến đổi từ tỉ lệ thức cho từ điều kiện cho Với tính chất phép tốn tính chất tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số biến đổi linh hoạt điều cho thành điều cần có +) Có nhiều đường để đến đích, lựa chọn phương pháp phù hợp, hợp lí chứng minh +) Lưu ý: Trong trình biến đổi chứng minh nên ln nhìn biểu thức cần chứng minh để tránh tình trạng biến đổi dài, vơ ích 1.2 Một số ví dụ: Ví dụ Cho a b = c d ≠ Với a, b, c, d ≠ a c = a−b c−d Đây tốn khó đa số học sinh, em lúng túng lựa chọn cách làm tốn Có nhiều cách để làm toán này; nhiên, Tơi xin trình bày số cách mà học sinh thường nghĩ tới sử dụng trình chứng minh Lời giải: Cách a c a b a b a−b a a −b = ⇒ = ⇒ = = ⇔ = Có: b d c d c d c−d c c−d a c = Hay (Đpcm) a −b c−d Cách a c = ⇔ a d = b c ⇒ ac − ad = ac − bc Có: b d a ( c − d ) = c ( a − b) Chứng minh rằng: nguyenvanloi128@gmail.com Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi a = a−b Cách a Có: b = Khi đó: a a −b c d Cách mb mb − b = a a−b Có: mb b ( m − 1) = Cách a Có: b a a −b Suy ra: Cách a Có: b Do đó: Vậy: Cách a Có: b Khi đó: = = c d a a −b = c c−d = c c−d ⇒ = c d (Đpcm) m m −1 = m m −1 = ⇔ a( c − d ) = c( a − b) ac − ad = ac − bc = b.c c = đẳng thức d a.d a b nên c c−d = m ⇒ a = mb ; c = md c md md = = c−d md − d d ( m − 1) a c = (Đpcm) a−b c−d Do đó: dẳng thức thức b a = d c ⇒ 1− b a d c ⇔ a −b a bc bc − bd = bc b( c − d ) = 1− c−d d = c (Đpcm) c−d ⇒ ad = bc a ad ad = = a−b d ( a − b) ad − bd a c = (Đpcm) a −b c−d c b d ⇒ = d a c a−b a b = − = − a a a = = d c = c−d c nguyenvanloi128@gmail.com = c c−d Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi c (Đpcm) c−d a c 5a + 3b 5a − 3b = = Ví dụ Cho Chứng minh rằng: b d 5c + 3d 5c − 3d Học sinh quan sát kĩ đầu phát cách làm; Có thể sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau, phải biến đổi chút đã: Lời giải: a c a b 5a 3b 5a + 3b 5a − 3b = ⇔ = ⇒ = = = Có: b d c d 5c 3d 5c + 3d 5c − 3d 5a + 3b 5a − 3b = Vậy: (Đpcm) 5c + 3d 5c − 3d a c a2 + b2 ab = Ví dụ Cho Chứng minh: = b d c + d2 cd Bài có khó chút Học sinh khơng biết làm để xuất ab a2 b2; Nhưng bù lại em biết tạo từ tỉ lệ thức cho Chỉ cần gợi ý cd chút xíu em làm thôi! Em so sánh: a a b b ab ; ? c c d d cd Bây em biết phải làm rồi! Lời giải: a c a b a2 b2 ab a + b2 Có: = ⇔ = ⇒ = = = b d c d c2 d cd c2 + d a2 + b2 ab Vậy: = (Đpcm) c +d cd Với cách tư trên, dễ dàng nghĩ đường cho tập không dễ sau: a c = ≠ ± c ≠ Chứng minh rằng: Ví dụ Cho b d ( a − b ) = ab a − b3  a+b a) b) =  ÷ cd c3 − d (c−d) c+d  Suy ra: a a−b = Đã có tập ví dụ học sinh khơng khó khăn làm xuất điều phải chứng minh Lời giải: a c a b a−b ⇒ = = = a) Có: b d c d c−d a b a −b a −b = Suy ra: c d c−d c−d a − b) ab ( = Hay: (Đpcm) cd (c−d) nguyenvanloi128@gmail.com b) a b Có: = c d 3 a b Suy ra:  ÷ =  ÷ c c a3 b3 Do đó: = = c3 d3 Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi a b a+b ⇒ = = c d c+d  a+b =  ÷ c+d  a − b3 c3 − d  a+b =  ÷ c+d  a − b3  a+b Vậy:  (Đpcm) ÷ = c3 − d c+d  Ngược lại với cách làm tập trên, từ đẳng thức phức tạp phải chứng minh đẳng thức đơn giản em tỏ bối rối làm Ví dụ Cho = Chứng minh rằng: = Khơng khó khăn để đơn giản biểu thức cho Nhìn điều phải chứng minh đưa a lên tử, đưa b xuống mẫu làm biến khơng cần thiết nháy mắt Lời giải: Có: = suy ra: = = = Hay: = (Đpcm) Ví dụ Cho 2(x-y) = 5(y+z) = 3(x+z) Chứng minh rằng: = Hãy làm xuất dãy tỉ số trước Từ 2(x-y) = 5(y+z) = 3(x+z) đưa dãy tỉ số nào? Lời giải: Có: 2(x-y) = 5(y+z) = 3(x+z) ⇔ Suy ra: = = = = +) = = = (1) +) = = = (2) Từ (1) (2) ta có = (Đpcm) Ví dụ Cho a + b2 = c2 + d với a, b, c, d ≠ c ≠ d Chứng minh rằng: = = Đầu khó thật, em phát tốn ngược ví dụ Làm theo quy trình ngược lại ư? Điều khơng đưa em đến với điều phải chứng minh Vậy phải biến đổi nào? Lúc giáo viên vào gợi ý nhỏ: biến đổi điều cho đẳng thức không? Lời giải: a + b2 = = = c2 + d 2 ( a + b) = ( a − b) 2 ( c+d) (c−d) Suy ra: +) Nếu = = = ⇔ ( )2 = ( ) = - = = = nguyenvanloi128@gmail.com ⇔ Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi = = (1) +) Nếu = - = - = = ⇔ = = (2) Từ (1) (2) ta có: = = 1.3 Tiểu kết: Với dạng tập này, em phải biết sử dụng linh hoạt kiến thức để tạo dãy tỉ số hợp lí, kết hợp với mối quan hệ khác mà cho để đến điều phải chứng minh Lưu ý học sinh sử dụng tính chất dãy tỉ số phải nhớ đặt dấu ngoặc, tránh nhầm dấu Có nhiều cách để chứng minh tỉ lệ thức cần lựa chọn cách phù hợp với khả mức độ nhận thức người học cho đơn giản mà lại dễ hiểu, dễ làm, dễ trình bày Mặt khác, trình chứng minh phải hướng điều phải chứng minh nhằm tránh “lạc đường”, dài dòng khơng cần thiết, có lại khơng tới đích cần đến Còn lúc em tự tin làm tập tương tự nguyenvanloi128@gmail.com Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi 1.4 Bài tập tương tự: Bài Cho b2 = ac Chứng minh: a + b2 a = b2 + c2 c Bài Cho b2 = ac ; c2 = bd với b, c, d ≠ 0; b+c ≠ 0; b3+c3 ≠ d3 Chứng minh rằng: a) a + b3 − c  a + b − c  = ÷ b3 + c − d  b + c − d  b) a + b3 + c a = b3 + c + d d Bài Cho = với a, b, c ≠ Chứng minh từ ba số a, b, c (có số sử dụng lần) lập thành tỉ lệ thức Bài Cho = với a, b, c, d > Chứng minh rằng: a) c) ab ( a − b ) = cd ( c − d ) 2 2a − 3b 2c − 3d = 2a + 3b 2c + 3d b) a + 3ab 7c + 3cd = 11a − 8b 11c − 8d d) 3a + 10b − 17 ab 3c + 10d − cd = 7a + b + 5ab 7c + d + 5cd Bài (Mở rộng) Cho = Chứng minh: a) = b) = c) = d) = e) = f) = Bài Cho = = Chứng minh rằng: a) ( ) = a + b3 + c a = b3 + c + d d b) Bài Cho = = Chứng minh: = = Bài Cho a(y+z) = b(z+x) = c(x+y) với a ≠ b ≠ c a, b, c ≠ Chứng minh rằng: = = Bài Chứng minh rằng: Nếu a+c = 2b & 2bd = c(b+d) = với b, d ≠ Bài 10 Chứng minh rằng: Nếu a2 = bc = Điều đảo lại có khơng? Bài 11 Cho bốn số khác là: a1, a2, a3, a4 thoả mãn a22 = a1.a3 a32 = a2.a4 Chứng minh rằng: a13 + a23 + a33 a1 = a23 + a33 + a43 a4 Bài 12 Chứng minh rằng: Nếu = Bài 13 Chứng minh rằng: Nếu a 2k + b2k c 2k + d k a n + bn an − bn = với n ∈ N cn + d n cn − d n a 2k − b2k = 2k = ± c − d 2k a n + bn n n Bài 14 Từ ( )n = c + d với n ∈ N suy ra: = n số tự nhiên lẻ & = ± n số tự nhiên chẵn Bài 15 Chứng minh rằng: =( )2008 biết = = = … = Bài 16 Chứng minh rằng: Nếu a + b2 = c2 + d = Bài 17 Cho k, m, n ∈ N* Chứng minh rằng: Nếu k2 = m.n = Bài 18 Cho = Hãy chứng minh: a) = = nguyenvanloi128@gmail.com Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi b) (a+2c).(b+d) = (a+c).(b+2d) c) ( )4 = a + b4 c4 + d 10 Bài 19 Chứng minh: = biết (a+b+c+d).(a-b-c+d) = (a-b+c-d).(a+b-c-d) Bài 20 Chứng minh: = (Đây cách rút gọn hỗn số) HD: = = = Dạng Tìm số chưa biết dãy tỉ số 2.1 Phương pháp chung: +) Dạng tập em gặp nhiều, phong phú đa dạng Bài thường cho kiện, có cho kiện Từ mối quan hệ ta tìm đáp án bài, phải biến đổi sử dụng +) Có thể sử dụng phương pháp dạng +) Lưu ý đến dấu số cần tìm trường hợp có số mũ chẵn tích số, để tránh tìm số không thoả mãn yêu cầu Cũng lưu ý trường hợp xảy để khơng bỏ xót giá trị cần tìm nguyenvanloi128@gmail.com Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi 21 +) Nếu x + y + z + t ≠ y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z ⇔ x=y=z=t đó: P = + + +1 = +) Nếu x + y + z + t = x + y = – (z + t) ; Khi đó: P = (– 1) + (– 1) + (– 1) +(– 1) = – Vậy: +) P = x + y + z + t ≠ y + z = – (z + t) +) P = – x + y + z + t = 3.3 Tiểu kết: Dạng tập gây tương đối nhiều khó khăn cho học sinh suy luận logic tính phức tạp Nhưng với vai trò gợi mở giáo viên học sinh có cảm giác người khám phá điều thú vị, cảm xúc người chiến thắng Điều động lực kích thích em, gây hứng khởi cho em tiếp tục chinh phục 3.4 Bài tập tương tự: x + y − 3z Bài Cho A = x − y + 3z Tính A biết x, y, z tỉ lệ với 5, 4, Bài Cho số A, B, C tỉ lệ với a, b, c Tính giá trị biểu thức : Ax + By + C Q = ax + by + c Bài Cho tỉ số nhau: a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b ; ; ; d a b c Tìm giá trị tỉ số 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d = = = a b c d a+b b+c c+d d +a + + + Tìm giá trị biểu thức: M = c+d d +a a+b b+c Bài Cho dãy: Dạng Toán đố: 4.1 Phương pháp chung: +) Loại tập đầu cho dạng lời văn, khó khăn em chuyển lời văn thành biểu thức đại số để tính tốn +) Khi thể đầu bểu thức đại số việc tìm đáp án cho tốn đơn giản em làm thành thạo từ dạng trước, đa số học sinh quên không trả lời cho tốn theo ngơn ngữ lời văn đầu Phải ln nhớ rằng: Bài hỏi ta kết luận đấy! +) Lưu ý: Khi gọi kí hiệu liệu chưa biết học sinh phải đặt điều kiện đơn vị cho kí hiệu - dựa vào đại lượng cần đặt kí hiệu Và kết tìm kí hiệu phải đối chiếu với điều kiện ban đầu xem có thoả mãn hay khơng Nếu khơng thoả mãn ta loại đi, có thoả mãn ta trả lời cho toán nguyenvanloi128@gmail.com Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi 22 4.2 Một số ví dụ: Ví dụ Tìm phân số a biết cộng thêm số khác vào tử b vào mẫu phân số giá trị phân số khơng đổi Dựa vào yếu tố cho để lập dãy tỉ số Lời giải: Theo bài: Nếu ta cộng thêm số x ≠ vào tử vào mẫu phân số giá trị phân số khơng đổi Ta có: Vậy: a a+x → = b b+ x a = b a a+ x a+ x−a x = = = =1 b b+ x b + x −b x Ví dụ Tìm hai phân số tối giản Biết hiệu chúng là: tử tỉ lệ 196 với 3; mẫu tỉ lệ với 4; Thật không đơn giản chút Học sinh đọc xong thấy kiện cho rối tung lên, phải đây? Giáo viên gỡ rối cho em gợi ý nhỏ: “Các tử tỉ lệ với 3; 5 mẫu tương ứng tỉ lệ với 4; hai phân số tỉ lệ với: ” Như vậy, học sinh giải tốn thơi ! Lời giải: Gọi hai phân số tối giản cần tìm là: x, y Theo tốn, ta có : x : y = : ⇔ Hay : x 21 = y 20 x y = 21 20 và x–y= 196 196 x–y= 196 x–y= áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x y x− y = = = 196 = 21 20 21 − 20 196 x 3 → x= +) = 21 = 21 196 196 28 +) y 3 15 → y= = 20 = 20 196 196 49 Vậy: hai phân số tối giản cần tìm là: 15 28 49 nguyenvanloi128@gmail.com Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi Ví dụ Tìm số có chữ số, biết số chia hết cho 18 chữ số tỉ lệ với 1; 2; Đọc đầu em thấy ngắn, đơn giản, bắt tay vào tìm lời giải cho tốn em thấy phức tạp khó khăn Vì để tìm đáp án cho tốn phải sử dụng linh hoạt kiến thức cách hợp lí, lập luận logic từ kiện đầu cho mối quan hệ yếu tố để tìm đáp án cho tốn Lời giải: * Gọi chữ số số cần tìm là: a, b, c (đ/k: a, b, c ∈ N; ≤ a, b, c ≤ a, b, c khơng đồng thời 0) Ta có ≤ a+b+c ≤ 27 Vì số cần tìm M18 = 2.9 mà (2;9)=1 Nên a+b+c 9; 18; 27 (1) Ta có: a b c a+b+c = = = 1+ + → a+b+c a= Vì a∈ N* nên a + b + c M6 Từ (1) (2) suy ra: a + b + c = 18 (2) 18 a b c a+b+c Khi đó: = = = = =3 1+ + a = → a = 3.1 = b +) = → b = 3.2 = c +) = → c = 3.3 = Mà số cần tìm M18 nên chữ số hàng đơn vị phải chữ số +) Vậy: số cần tìm : 396 936 Ví dụ Một cửa hàng có vải, dài tổng cộng 126m Sau họ bán vải thứ nhất, 2 vải thứ hai vải thứ ba, số vải lại ba Hãy tính chiều dài ba vải lúc ban đầu Bài cho rõ ràng, dễ hiểu Chỉ cần học sinh biểu diễn số vải lại sau bán toán trở nên đơn giản dễ dàng Lời giải: Gọi số mét vải ba vải a, b, c (m)(a ,b, c > 0) Số mét vải lại thứ nhất: a (m) 2 b 3 Số mét vải lại thứ ba: c Số mét vải lại thứ hai: (m) (m) nguyenvanloi128@gmail.com 23 Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi Theo đề bài, ta có: 1 a + b + c = 126 a = b = c áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a b c a + b + c 126 = = = = =14 2+3+ a =14 → a = 14.3 = 28 b +) =14 → b = 14.3 = 42 c +) =14 → c = 14.4 = 56 +) Vậy: chiều dài vải lúc đầu là: 28m, 42m, 56m Ví dụ Có ba tủ sách đựng tất 2250 sách Nếu chuyển 100 từ tủ thứ sang tủ thứ số sách tủ thứ 1, thứ 2, thứ tỉ lệ với 16;15;14 Hỏi trước chuyển tủ có sách ? Bài phức tạp chỗ: số lượng sách tủ trước sau chuyển Lời giải: * Gọi số sách tủ 1, tủ 2, tủ lúc đầu là: a, b, c (quyển) (a, b, c ∈ N * a, b, c < 2250) Thì sau chuyển ,ta có: Tủ 1: a –100 (quyển) Tủ 2: b (quyển) Tủ 3: c + 100 (quyển) Theo đề ta có : a − 100 b c + 100 = = 16 15 14 a + b + c = 2250 2250 a − 100 b c + 100 a − 100 + b + c + 100 → = = = = 45 =50 16 15 14 16 + 15 + 14 a − 100 =50 → a –100 = 50.16 ⇔ a = 800 + 100 = 900 (t/m) 16 b +) =50 → b = 50.15 = 750 (t/m) 15 c + 100 +) =50 → c + 100 = 50.14 ⇔ c = 700 – 100 = 600 (t/m) 14 +) Vậy: Trước chuyển thì: Tủ có : 900 sách Tủ có : 750 sách Tủ có : 600 sách Ví dụ Cho tam giác ABC có Â Bˆ tỉ lệ với 15, Cˆ = Aˆ Tính góc tam giác ABC Đây tốn có nội dung hình học lại giải phương pháp đại số, thật đơn giản nhớ kiện cho dạng ẩn tổng góc tam giác 1800 Lời giải: nguyenvanloi128@gmail.com 24 Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi Aˆ Bˆ Cˆ Aˆ * Theo ta có = = 15 Aˆ Bˆ Cˆ Hay : = = mà Â + Bˆ + Cˆ = 1800 (Tổng góc tam giác) 15 12 Nên theo tính chất dãy tỉ số ta có: Aˆ Bˆ Cˆ Aˆ + Bˆ + Cˆ 1800 = = = = = 60 15 12 + 15 + 12 30 Aˆ +) = 60 → Â = 60 = 180 Bˆ +) = 60 → Bˆ = 60 15 = 900 15 Cˆ +) = 60 → Cˆ = 60 12 = 720 12 Vậy góc tam giác ABC : Â = 180 , Bˆ = 900 , Cˆ = 720 Ví dụ7 Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 300 m2, có hai cạnh tỉ lệ với Tính chiều dài chiều rộng khu vườn Quá dễ toán viết dạng biểu thức Nhưng để lập biểu thức thể mối quan hệ theo đầu lại q trình khơng đơn giản chút Với lượng kiến thức vốn hiểu biết hạn chế học sinh bước vào lớp giáo viên cần tỉ mỉ dẫn dắt em bước nhỏ để làm xuất kiến thức quen thuộc mà em biết (?) Bài toán yêu cầu tìm yếu tố nào? * Chiều dài chiều rộng khu vườn (?) Em gọi yếu tố chưa biết kí hiệu? * Gọi chiều dài khu vườn x chiều rộng khu vườn y (?) Đơn vị điều kiện x, y ? * x (m) & y (m) (x > y > 0) (?) Theo đề bài: Hãy biểu diễn diện tích vườn theo x, y hai cạnh tỉ lệ với & viết ? * x.y=300 ; y x =3 Rất nhiều học sinh không để ý đến tương ứng x & y với & nên có tỉ lệ thức: y x = Giáo viên cần lưu ý đến điều đó! (?) Tìm x,y Đến trở thành tốn quen thuộc em, dễ dàng tìm kết quả: x = 20(m) (t/m) y = 15(m) (t/m) Vậy: chiều dài chiều rộng hình chữ nhật 20m 15m nguyenvanloi128@gmail.com 25 Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi Ví dụ Một tơ từ A → B đươc 60,9 km Hai sau, ô tô thứ hai từ A → B với vận tốc 40,6 km Hỏi ô tô thứ từ A → B Biết xe ô tô thứ hai đến muộn ô tô thứ Với toán này, học sinh phải nhớ mối quan hệ ba đại lượng chuyển động: Quãng đường = Vận tốc.Thời gian Nhưng nhớ công thức mà đầu cho rắc rối Giáo viên giúp học sinh nhận mối quan hệ thời gian từ A → B hai xe ô tô Lời giải: * Gọi thời gian ô tô thứ từ A → B : x (h) (Đ/k x>0) ô tô thứ xuất phát sau 2h lại tới B muộn 7h nên thời gian ô tô thứ từ A → B : x – + = x + (h) Vì quãng đường từ A → B nên ta có: 60,9.x = 40,6.(x + 5) x x+5 = 40, 60,9 x x+5 x+5− x 50 → = = = = 40, 60,9 60,9 − 40, 20,3 203 x 50 50 50 406 → ⇔ = x = 40,6 = = 10 (t/m) 40, 203 203 203 10 Vậy ô tô thứ từ A → B 10 ⇔ Ví dụ Ba xí nghiệp xây dựng chung cầu hết 38 triệu đồng Xí nghiệp I có 40 xe cách cầu 1,5 km, xí nghiệp II có 20 xe cách cầu km, xí nghiệp III có 30 xe cách cầu km Hỏi xí nghiệp phải trả cho việc xây dựng cầu tiền, biết số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ xí nghiệp đến cầu? Chắc chắn nhiều học sinh khơng làm tốn đầu rắc rối quá, vừa tỉ lệ thuận lại vừa tỉ lệ nghịch làm nào? Thật đơn giản, làm bình thường thơi: nguyenvanloi128@gmail.com 26 Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi Lời giải: Gọi số tiền xí nghiệp I, II, III phải trả a, b, c (triệu đồng) với < a, b, c < 38 40 20 30 Theo ta có: a + b + c = 38 a : b : c = 1,5 : = = : : áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b c a + b + c 38 = = = = =2 + + 19 a = ⇒ a = 2.8 = 16 (t/m) b +) = ⇒ b = 2.2 = (t/m) c +) = ⇒ c = 2.9 = 18 (t/m) +) Vậy: Mỗi xí nghiệp I, II, III theo thứ tự phải trả: 16 triệu đồng, triệu đồng, 18 triệu đồng Ví dụ 10 Một tốn cổ có tên “chia dê” làm đau đầu khơng người muốn tìm đáp số, với tính chất dãy tỉ số toán trở nên đơn giản Một người dân Arập sinh người trai, lúc lâm chung người cha nói : “sau ta đi, lại 17 dê, cha dành cho cả, 1 cho thứ cho út Các chia mà đê dê sống, không bán dê để chia tiền, không giết thịt để chia thịt.” Sau người cha qua đời, tìm hết cách không làm theo lời trăn trối cha Em giúp người ông cụ Dễ thôi, cần giải vấn đề: Làm để chia 17 dê cho anh em họ mà số dê chia phải nguyên vẹn, 1 17, 17 17 số tự nhiên? Với tính chất dãy tỉ số nhau, ta giải sau: Lời giải: Gọi số dê mà anh em họ chia là: a, b, c (con) (a, b, c ∈ N* a, b, c < 17) Khi đó, theo ta có: a b c = = 1 a + b + c = 17 nguyenvanloi128@gmail.com Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi a b c a + b + c 17 = = = = = 18 Suy ra: 1 1 + + 17 9 18 a = 18 ⇒ a = 18 = +) (t/m) 2 b = 18 ⇒ b = 18 = +) (t/m) 3 c = 18 ⇒ c = 18 = +) (t/m) 9 Như vậy: Số dê chia lời trăn trối ông cụ: Con được 1 số dê con; Con thứ số dê út số dê Ngày đó, anh em nhà không chia số dê theo lời cha, có cụ già láng giềng biết chuyện cười cho họ mượn dê Tất có 18 con, anh = con, em út 1 18 = con, anh hai 18 18 = con, thừa đem trả lại cụ già cho mượn 4.3 Tiểu kết: Đây dạng tập khó học sinh, khơng học sinh trung bình mà học sinh khá-giỏi, khó cơng đoạn chuyển tốn lời văn dạng biểu thức Giáo viên cần dẫn dắt em thật tỉ mỉ bước, từ phân tích đầu để tìm yếu tố cho, yếu tố chưa biết, yếu tố cần tìm mối quan hệ chúng, kể mối quan hệ biết dạng ẩn(Ví dụ như: quãng đường = vận tốc.thời gian tổng góc tam giác 180 ), đến cách gọi kí hiệu kèm điều kiện đơn vị Đặc biệt kết luận cho phải xác theo yêu cầu 4.4 Bài tập tương tự Bài Tìm phân số, biết tổng chúng 3 , tử 70 chúng tỉ lệ với 3; 4; mẫu chúng tỉ lệ với 5; 1; Bài Tìm số tự nhiên có chữ số, biết số bội 72 chữ số xếp từ nhỏ đến lớn tỉ lệ với 1; 2; nguyenvanloi128@gmail.com Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi Bài Tìm hai số khác Biết tổng, hiệu, tích chúng tỉ lệ với 5; 1; 12 Bài Năm lớp 7A, 7B, 7C, 7D, 7E nhận chăm sóc vườn trường có diện tích 300m2 Trong đó: Lớp 7A nhận 15% diện tích, 7B nhận diện tích lại Sau lớp 7A 7B nhận phần lại chia cho lớp 7C, 7D, 7E theo tỉ lệ 1 ; ; Tính diện tích vườn giao 16 cho lớp Bài Ba lớp 7A, 7B, 7C có tất 144 học sinh Nếu rút lớp 7A học sinh, rút lớp 7B số 1 số học sinh, rút lớp 7C số học sinh số học sinh lại lớp Tính số học sinh lúc đầu lớp Bài Số học sinh khối 6, 7, tỉ lệ với 10, 9, Tính số học sinh khối, biết số học sinh khối số học sinh khối 50 học sinh Bài Học sinh lớp 7A chia thành tổ tỉ lệ với 2; 3; Tìm số học sinh tổ biết lớp 7A có 45 học sinh Bài Một trường có lớp Biết học sinh lớp 6B số học sinh lớp 6A số số học sinh lớp 6C Lớp 6C có số học sinh nguyenvanloi128@gmail.com Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi tổng số học sinh lớp 57 học sinh Tính số học sinh lớp Bài Một bể chứa hình chữ nhật có chiều rộng chiều dài tỉ lệ với 5; Chiều rộng chiều cao tỉ lệ với Thể tích bể 64m3 Tính chiều rộng, chiều dài chiều cao bể Bài 10 Tìm số đo góc tam giác ABC biết số đo góc Â, Bˆ , Cˆ tỉ lệ với: a) 2; 3; b) 1; 2; Bài 11 Tính cạnh hình chữ nhật, biết tỉ số cạnh chu vi 90 m Bài 12 Tìm cạnh tam giác Biết chu vi tam giác 30cm ba cạnh tỉ lệ với 3;5;7 Bài 13 Độ dài cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; Ba chiều cao tương ứng với cạnh tỉ lệ với số nào? Bài 14 Ba đường cao tam giác có độ dài 4; 12; x Biết x số tự nhiên Tìm x( Cho biết cạnh tam giác nhỏ tổng hai cạnh lớn hiệu chúng) Bài 15 Cho tam giác ABC có góc ngồi tam giác A, B, C tỉ lệ với 4; 5; Hỏi góc tương ứng tỉ lệ với số nào? Bài 16 Một người từ A đến B tính rằng: Nếu với vận tốc km/h đến B lúc 11h 45phút Nhưng người nguyenvanloi128@gmail.com quãng Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi đường với vận tốc dự định trước, đoạn đường lại với vận tốc 4,5 km/h nên đến B lúc 12h Hỏi người khởi hành lúc quãng đường AB km? Bài 17 Một ô tô phải từ A đến B khoảng thời gian dự định Sau qng đường tơ tăng vận tốc lên 20%, đến B sớm dự định 10 phút Tính thời gian tơ dự định từ A đến B Bài 18 Hai xe ô tô khởi hành lúc từ địa điểm A B Xe thứ quãng đường AB hết 15 phút, xe thứ hai quãng đường BA hết 45 phút Đến chỗ gặp nhau, xe thứ hai quãng đường dài quãng đường xe thứ 20 km Tính quãng đường AB Bài 19 Để từ A đến B dùng phương tiện: máy bay, tô, xe lửa Vận tốc máy bay, ô tô, xe lửa tỉ lệ với 6; 2; Biết thời gian từ A đến B máy bay so với ô tô Hỏi thời gian xe lửa quãng đường AB bao lâu? Bài 20 Trên công trường xây dựng có đội cơng nhân làm việc Biết số công nhân đội I số công nhân đội II số 11 công nhân đội III; Số cơng nhân đội I tổng số công nhân đội II đội III 18 người Tính số cơng nhân đội Bài 21 Ba đội công nhân phải vận chuyển tổng cộng 1530 kg hàng từ kho theo thứ tự đến địa điểm cách kho 1500m, 2000m, 3000m Hãy nguyenvanloi128@gmail.com Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi phân chia số hàng cho đội cho khối lượng hàng tỉ lệ nghịch với khoảng cách cần chuyển Bài 22 Ba công tất 860 dụng cụ thời gian Để tiện dụng cụ, người thứ cần phút, người thứ hai cần phút, người thứ ba cần phút Tính số dụng cụ người tiện Bài 23 Ba kho A, B, C chứa số gạo Người ta nhập vào kho A 1 số gạo kho đó, xuất kho B số gạo kho đó, xuất kho C số gạo kho Khi số gạo kho thêm Tính số gạo kho lúc đầu, biết số gạo kho B số gạo kho A 20 tạ Bài 24 Ba em bé: An tuổi, Hoà tuổi, Nam 10 tuổi bà cho 42 kẹo Số kẹo chia tỉ lệ nghịch với số tuổi em Hỏi em chia kẹo? Bài 25 Bài tốn “Trạng chia ngựa” Theo tích xưa kể lại, lần ông trạng cưỡi ngựa tới nơi chăn thả gia súc có người gặp bế tắc việc chia ngựa: Họ có 23 ngựa, theo thoả thuận anh A ngựa, anh C 1 số ngựa, anh B số số ngựa Họ không muốn xẻ đôi, xẻ ba ngựa chia lại muốn chia theo tỉ lệ mà người hưởng Ông trạng nghĩ cách chia ngựa cho họ Em có biết cách không? nguyenvanloi128@gmail.com Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi V Kết Như nói, với vốn kiến thức ỏi lại học lí thuyết vài tiết nên học sinh gặp nhiều khó khăn làm tập phần Sau Tôi triển khai chuyên đề đa số em tiếp thu tốt quan trọng em biết độc lập chiếm lĩnh kiến thức, chất lượng tập học sinh làm tăng lên rõ dệt, mong đợi Cụ thể, kiểm tra học sinh lớp 7 trường THCS Thanh Trạch sau: Xếp loại Trước học Sau học Giỏi 3% Khá 15% Trung bình 30% Dưới trung bình 62% 30% 47% 17% 6% VI Vấn đề hạn chế Qua trình giảng dạy Tơi thấy học sinh nói chung cần trang bị tri thức phương pháp thường xuyên để em sẵn sàng tiếp cận kiến thức Với phạm vi kiến thức học sinh lớp hạn chế nên Tơi chưa đề cập tới tập mức độ cao Đây mảng kiến thức rộng phổ biến, đa dạng thể loại, phức tạp nội dung nên với khoảng thời gian hạn hẹp Tôi nêu số dạng tập Nếu có thể, Tơi đầu tư nhiều thời gian để nghiên cứu chuyên đề sâu VII Điều kiện áp dụng Trước thực chuyên đề này, giáo viên cần nghiên cứu kĩ tài liệu tham khảo có liên quan đến đơn vị kiến thức cần sử dụng Tuỳ theo mức độ nhận thức đối tượng học sinh mà giáo viên triển khai dạng cho phù hợp, dẫn dắt gợi mở kiến thức thật dễ hiểu để học đạt hiệu cao Chuyên đề dành cho tất học sinh khối Nhưng em phải nắm vững kiến thức có liên quan; Có thể tìm hiểu thêm tài liệu tham khảo; Có tâm khơng ngại tập khó, khơng dừng lại chưa tìm đáp án cho làm-cùng với dẫn dắt thầy cô nguyenvanloi128@gmail.com Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi Cuốn sách nhỏ làm tài liệu cho giáo viên dùng làm tài liệu tham khảo tìm hiểu sử dụng để dạy học mảng kiến thức này, dùng cho học sinh để tự học phần kiến thức này, dùng cho phụ huynh học sinh đọc tham khảo, bạn đọc u thích VIII Kết luận Qua q trình giảng dạy, Tơi thấy giáo viên có đầu tư nghiên cứu dạy kĩ hiệu đạt cao Tâm huyết với nghề yếu tố tạo nên thành công dạy Đứng trước tập, kiến thức “giới hạn gần tới”, học sinh thường lúng túng, hoang mang khơng biết phải làm nào; Lúc thời điểm để giáo viên xuất với vai trò định hướng, dẫn dắt em bước qua khó khăn, gợi mở để em khơng làm mà làm tốt khơng hay kiến thức mà bài, kiến thức khác, có liên quan khơng liên quan liên hệ logic Đó cách tư duy, kể việc nắm vững kiến thức bản, biết khai thác mở rộng kiến thức đặc biệt biết cách vận dụng Vận dụng để mang lại hiệu cao nhất! Đó mong muốn thân Tơi khơng phải riêng Tơi Mặc dù cố gắng phân chia kiến thức trình bày chuyên đề trình thực khơng tránh khỏi sai sót, nhầm lẫn chưa khoa học nên Tôi mong nhận lời động viên, ý kiến đóng góp q báu từ phía người đọc để chun đề hồn thiện nội dung hình thức, mang lại hiệu triển khai tới học sinh Hy vọng đọc giả tìm thấy bổ ích đạt kết tốt sử dụng tài liệu nhỏ này! Tôi xin chân thành cảm ơn! Bố Trạch, ngày 01 tháng 09 năm 2014 Người viết: Nguyễn Văn Lợi nguyenvanloi128@gmail.com Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi Tài liệu tham khảo Kiến thức nâng cao toán NXB HN Cơ nâng cao toán NXB GD Những toán nâng cao chọn lọc NXB ĐHSP Nâng cao phát triển toán NXB GD Báo giới ta Báo toán học tuổi trẻ Tuyển chọn 400 tập toán NXB Đà Nẵng Toán bồi dưỡng đại số NXB HN Toán nâng cao đại số NXB GD 10 Bài tập nâng cao số chuyên đề NXB GD 11 Ôn kiến thức-luyện kĩ đại số GD 12.Một số sách báo tham khảo khác nguyenvanloi128@gmail.com NXB ... thúc đẩy Tơi thực chuyên đề II Kiến thức cần nhớ Tỉ lệ thức 1.1 Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số a b = c d Trong đó: a, b, c, d số hạng a, d ngoại tỉ b, c trung tỉ 1.2 Tính chất tỉ lệ thức: a c a.d... ; b d c d b a c a Tính chất dãy tỉ số 2.1 Tính chất: a b c = = Từ dãy tỉ số ta suy ra: x y z a b c a+b+c a −b+c a −b −c = = = = = x y z x+ y+z x− y+z x− y−z (Với giả thiết tỉ số có nghĩa) 2.2... = = … = x1 + x2 + x3 + … + x9 = 90 Nhìn khó nhiều số chưa biết phải tìm q Khơng vấn đề gì, có tính chất cuă dãy tỉ số Theo tính chất dãy tỉ số ta có: = = =…= = = = ( x1 + x2 + + x9 ) − ( + +