Phần 1 khảo sát hàm số. Bài toán liên quan A. Khảo sát hàm số I. Các bớc khảo sát hàm số Các bớc khảo sát hàm đa thức Các bớc khảo sát hàm hữu tỷ 1. Tập xác định 2. Sự biến thiên - Chiều biến thiên, cực - Tính lồi lõm, điểm uốn, - Giới hạn - Bảng biến thiên 3. Đồ thị - Giá trị đặt biệt, nx tính đối xứng - Đồ thị 1. Tập xác định 2. Sự biến thiên - Chiều biến thiên, cực - Giới hạn, tiệm cận - Bảng biến thiên 3. Đồ thị - Giá trị đặt biệ, nx tính đối xứng - Đồ thị Sự khác biệt : Hàm đa thức không có tiệm cận, hàm hữu tỉ không cần xét đaọ hàm cấp hai. II. Các dạng đồ thị hàm số: Hàm bậc 3: y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a 0) Hàm số trùng phơng: y = ax 4 + bx 2 + c (a 0) Hàm số : )bcad( dcx bax y 0 + + = x y O I x y O I a < 0 a > 0 Dạng 2. Hàm số không có CT ? x y O I x y O I a < 0 a > 0 Dạng 1. Hàm số có 1 CT ? x y O x y O a < 0 a > 0 Dng 2: hm s cú 1 cc tr ? ? x y O x y O a < 0 a > 0 Dng 1: hm s cú 3 cc tr ? y I x y O Dng 2: hs nghch bin Dng 1: hs ng bin D#ng 1: hsè ##ng biõn x O I B. Bài toán liên quan 1. Dùng đồ thị biện luận phơng trình: f(x) = m hoặc f(x) = g(m) hoặc f(x) = f(m) (1) + Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã đợc khảo sát + Đờng thẳng (d): y = m hoặc y = g(m) hoặc y = f(m) là một đờng thẳng thay đổi luôn cùng phơng với trục Ox. Các bớc giải Bớc 1. Biến đổi phơng trình đã cho về dạng pt (1) Bớc 2. Lập luận Bớc 3. Dựa vào đồ thị để kết luận 2. Dựa vào pt hoành độ giao điểm để chỉ ra số giao điểm của 2 đồ thị hàm số Bài toán: Biện luận số giao điểm của 2 đờng (C): y = f(x) và (C): y = g(x) Bớc 1. Số giao diểm của hai đờng cong (C 1 ) y= f(x) và (C 2 ) y=g(x) là số nghiệm của phơng trình hoànhđộ giao điểm f(x) = g(x) (1) Bớc 2. Dựa vào việc xét pt (1) suy ra số nghiệm để chỉ ra số giao điểm của 2 đồ thi hàm số 3. Tính diện tích hình phẳng & thể tích vật thể tròn xoay. Học sinh cần nhớ và vận dụng thành thạo các công thức: a. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: + (C): y = f(x), trục Ox và 2 đờng thẳng x = a, x = b ( a < b) Ta sử dụng công thức b S f x dx a = ( ) (I) + Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: (C): y = f(x), y = g(x) / [a;b] Ta sử dụng công thức b a S f x g x dx = ( ) ( ) (II) + Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H) giới hạn bởi (C): y = f(x), trục Ox và 2 đờng thẳng x = a, x = b ( a < b), khi (H) quay quanh Ox. Ta dùng công thức [ ] 2 b a V f x dx = ( ) (III) 4. Cực trị của hàm số - Yêu cầu đối với học sinh: Biết số lợng cực trị của mỗi dạng hàm số đợc học trong chơng trình: Hàm số bậc 3 : y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a 0) không có cực trị hoặc có 2 cực trị. + Hs có 2 ct y có 2 nghiệm phân biệt + Hs không có ct y có nghiệm kép hc vô nghiệm Hàm số bậc 4 dạng : y = ax 4 + bx 2 + c (a 0) có 1 cực trị hoặc 3 cc trị. + Hs có 3 ct y có 3 nghiệm phân biệt(a.b<0) + Hs có 1 ct y có 1 nghiệm(a.b 0) Hàm số nhất biến dạng: ax+b cx+d =y chỉ tăng hoặc chỉ giảm và không có cực trị. Hàm số hữu tỷ (2/1)dạng: 2 ax bx c y a 'x b' + + = + không có cực trị hoặc có 2 cc trị. + Hs có 2 ct y có 2 nghiệm phân biệt + Hs không có ct y vô nghiệm Tóm tắt: Cho hàm số y = f(x) xác định / (a;b) và x 0 (a;b) - Nếu f(x 0 ) = 0 và f(x) đổi dấu khi x qua x 0 thì hàm số có cực trị tại x = x 0 - Nếu f(x 0 ) = 0 và f(x) đổi dấu từ + khi x qua x 0 thì hàm số có cực đại tại x = x 0 . - Nếu f(x 0 ) = 0 và f(x) đổi dấu từ + khi x qua x 0 thì hàm số có cực tiểu tại x = x 0 . (Điều này vẫn đúng khi hsố không có đạo hàm tại x 0 nhng hàm số có xác định tại đó). Hoặc: - Nếu f(x 0 ) = 0 và f(x) 0 thì hàm số có cực trị tại x = x 0 . - Nếu f(x 0 ) = 0 và f(x) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x = x 0 . - Nếu f(x 0 ) = 0 và f(x) < 0 thì hàm số có cực đại tại x = x 0 . 5. Viết PTTT của đồ thị hàm số TIP TUYN CA NG CONG ( C ) : y = f(x) - Phng trỡnh tip tuyn ca ( C ) ti M(x 0 ; y 0 ) : y y 0 = f(x 0 )(x x 0 ) - ( C ) : y = f(x) v ( D ) : y = g(x) tip xỳc vi nhau ( ) ( ) ( ) ( ) = = xgxf xgxf cú nghim ( nghim ca h phng trỡnh l honh tip im ) Dng 1 : Lp phng trỡnh tip tuyn ca ( C ) ti M( 0 0 ;x y ) Phng phỏp : p dng cụng thc y y 0 = f(x 0 )( x x 0 ) - Nu cha cho y 0 thỡ tớnh y 0 = f(x 0 ) - Nu cha cho x 0 thỡ x 0 l nghim ca phng trỡnh f(x) = y 0 Dng 2: Lp phng trỡnh tip tuyn cú h s gúc k cho trc Phng phỏp Cỏch 1 : Gi M(x 0 ; y 0 ) l tip im. Tip tuyn cú h s gúc k ( ) kxf = 0 . Gii phng trỡnh tỡm x 0 ( ) 00 xfyD = Phng trỡnh tip tuyn y y 0 = k( x x 0 ) Cỏch 2 : Gi (d) : y = kx + b l tip tuyn ca ( C ) ( ) ( ) ( ) ( ) += = 2 1 bkxxf kxf cú nghim . Gii (1) tỡm x th vo (2) tỡm b Lu ý Cho (d) : y = a.x + b nu : - (d 1 ) song song vi (d) thỡ (d 1 ) cú h s gúc k = a - (d 2 ) vuụng gúc vi (d) thỡ (d 1 ) cú h s gúc k = a 1 hay a.k = 1 Dng 3 : Lp phng trỡnh tip tuyn i qua mt im A( 1 1 ;x y ) Phng phỏp Cỏch 1 : Gi M(x 0 ; y 0 ) l tip im.Tớnh y 0 = f(x 0) v f(x 0 ) theo x 0 . Phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti M l : y y 0 = f(x 0 )( x x 0 ) (1) Vỡ tip tuyn i qua A nờn y 1 y 0 = f(x 0 )( x 1 x 0 ) gii phng trỡnh tỡm x 0 thay vo (1). Cỏch 2 : Gi (d) l ng thng i qua A cú h s gúc k . Ta cú (d) : y y 1 = k( x x 1 ) (1) l tip tuyn ca (C) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) += = 2 1 11 yxxkxf kxf cú nghim Th k t (1) vo (2) gii tỡm x th vo (1) tỡm k v thay vo phng trỡnh (1) Dng 4 :S tip xỳc gia hai ng Phng phỏp : p dng (C) v (D) tip xỳc vi nhau = = )()( )(')(' xgxf xgxf cú nghim. T ú suy ra giỏ tr tham s 6. Max - min a. Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định trên D Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu: 0 0 : ( ) : ( ) x D f x M x D f x M = (ký hiệu M=maxf(x) ) Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên D nếu: 0 0 : ( ) : ( ) x D f x m x D f x m = (ký hiệu m=minf(x) ) b. Cách tìm GTLN-GTNN trên (a,b) + Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a,b) + Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực tiểu) là GTLN(GTNN) của hàm số trên (a,b) b. Cách tìm GTLN-GTNN trên [a,b]. + Tìm các điểm tới hạn x 1 ,x 2 , ., x n của f(x) trên [a,b]. + Tính f(a), f(x 1 ), f(x 2 ), ., f(x n ), f(b). + Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên [ , ] [ , ] max ( ) ; min ( ) a b a b M f x m f x= = 7. Bài toán khác bài tập trong các đề thi đại học Bài 1: Cho hàm số y = x 3 + 3mx 2 + 3( 1 m 2 )x + m 3 m 2 (1) (A 2002) 1). KSSBT và VĐT của hàm số (1) khi m = 1 2). Tìm k để pt : x 3 + 3x 2 + k 3 3k 2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt 3). Viết pt đờng thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số (1) Bài 2: Cho hàm số 4 2 2 ( 9) 10= + +y mx m x (1) ( m là tham số) (B 2002) 1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 2). Tìm m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị Bài 3: Cho hàm số : y = 2 (2 1) (1) 1 m x m x ( m là tham số) (D 2002) 1).Khảo sát sự biến thiên và VĐT (C) của hàm số (1) ứng với m = 1 2). Tính d.t hình phẳng giới hạn bởi đờng cong (C) và 2 trục tọa độ 3). Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đờng thẳng y = x Bài 4: Cho hàm số 2 1 + + = mx x m y x (1) ( m là tham số ) (A 2003) 1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1 2).Tìm m để đthị hsố (1) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dơng. Bài 5: Cho hàm số y = x 3 3x 2 + m (1) ( m là tham số) (B 2003) 1). Tìm m để đồ thị h.số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ 2). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2 Bài 6: 1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hs 2 2 4 2 + = x x y x (1) (D 2003) 2). Tìm m để đờng thẳng d m : y = mx + 2 2m cắt đồ thị của hàm số (1) tại 2 điểm phân biệt Bài 7: Cho hàm số + = 2 3 3 2( 1) x x y x (1). (A 2004) 1). Khảo sát hàm số (1). 2). Tìm m để đờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB = 1. Bài 8: Cho hàm số y = + 3 2 1 2 3 3 x x x (1) có đồ thị (C) (B 2004) 1). Khảo sát hàm số (1). 2). Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. Bài 9: Cho hàm số y = x 3 3mx 2 + 9x + 1 (1) với m là tham số (D 2004) 1). Khảo sát hàm số (1) khi m = 2. 2). Tìm m để điểm uốn của hàm số (1) thuộc đờng thẳng y = x + 1 Bài 10: Gọi (C m ) là đồ thị của hàm số 1 = +y mx x (*) ( m là tham số ) (A 2005) 1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1/4. 2). Tìm m để hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (C m ) đến tiệm cận xiên của (C m ) bằng 1/ 2 Bài 11: Gọi (C m ) là đồ thị của hs y = 2 ( 1) 1 (*) 1 + + + + + x m x m x (m là tham số) (B 2005) 1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = 1. 2). CMR với m bất kỳ , đồ thị (C m ) luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20 Bài 12: Gọi (C m ) là đồ thị của hàm số y = 3 2 1 1 3 2 3 + m x x (*) (m là tham số) (D 2005) 1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = 2. 2). Gọi M là điểm thuộc (C m ) có hoành độ bằng 1 . Tìm m để tiếp tuỵến của (C m ) tại điểm M song song với đờng thẳng 5x y = 0. Bài 13: 1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số : y = 2x 3 9x 2 + 12x 4 2). Tìm m để phơng trình sau có 6 nghiệm phân biệt 2 : x 3 9x 2 + 12x = m(A 2006) Bài 14: Cho hàm số 2 1 2 + = + x x y x (B 2006) 1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 2). Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C) Bài 15: Cho hàm số y = x 3 3x + 2(D 2006) 1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2). Gọi d là đờng thẳng đi qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc là m. Tìm m để đờng thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt. Bài 16: Cho hàm số 2 2 2( 1) 4 (1) 2 + + + + = + x m x m m y x , m là tham số. (A 2007) 1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 2). Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O. Bài 17: Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + 3(m 2 1)x 3m 2 1 (1), m là tham số. (B 2007) 1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 2). Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ O. Bài 18: Cho hàm số 2 1 = + x y x (D 2007) 1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho 2). Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng 1/ 4 . Bài 19: Cho hàm số + = + 2 2 (3 2) 2 3 mx m x y x m (1) với m là tham số thực. (A 2008) 1).Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2).Tìm các giá trị của m để góc giữa 2 đờng tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 45 o . Bài 20: Cho hàm số y= 4x 3 6x 2 + 1 (1). (B 2008) 1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2). Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(-1; -9). Bài 21: Cho hàm số y = x 3 3x 2 + 4 (1). (D 2008) 1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2). Chứng minh rằng mọi đờng thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k 3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB. bài tập ôn thi Hàm bậc 3 Bài 1. Cho hàm số 3 2 3 2y x x= + (C) a. Khảo sát hàm số b. Tìm m để pt 3 2 3 0x x m + = có 3 nghiệm phân biệt lớn hơn 3 4 c. Tìm m để đờng thẳng qua A(1;0) với hệ số góc m cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dơng d. Tìm các điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M qua điểm D(0;-2) e. tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , x=-1và tiếp tuyến của nó tại điểm có hoành độ bằng 1 Bài 2. Cho hàm số 3 2 1 (2 1) 2( ) 3 m y x mx m x m C= + + + a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m=2 b. Tìm m để hàm số đồng biến trên (-1;0) c. Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm 8 1; 3 ữ là điểm cực đại d. Tìm m để điểm A(0;2) thuộc đờng thẳng qua cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số e. Tìm m để tâm đối xứng của (C m ) nằm trên đờng thẳng 2 2y x= + Bài 3. a. Qua A(0;-2) kẻ đợc 2 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số 3 2 3 1y x x= + với các tiếp điểm là M, N. Viết phơng trình đờng thẳng MN b. Chứng minh rằng khi m thay đổi đờng thẳng ( 1) 2( )y m x d= + + luôn cắt đồ thị hàm số 3 3y x x= (C) tại điểm A cố định. Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho tiếp tuyến của (C) tại B, C vuông góc. c. Tìm m để đờng thẳng qua cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số 3 2 3 3(2 1) 1y x mx m x= + + vuông góc với đờng thẳng 2 2009 0x y + = Hàm bậc 4 Bài 1. Cho hàm số 4 2 2 2 ( ) m y x mx m C= + a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m=1 b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và tiếp tuyến của nó tại tại điểm cực tiẻu c. Tìm m để đồ thị hàm số có 3 cực trị và 3 điểm cực trị của nó là 3 đỉnh của tam giác vuông cân d. Tìm m để đồ thị hàm số (C m= ) cắt đờng thẳng 1y = tại 4 điểm phân biệt có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số cộng Bài 2. a. Tìm m để hàm số 4 2 ( 1) 1 2y mx m x m= + + chỉ có 1 cực trị b. Tìm m để đồ thị hàm số 4 2 2( 1) 2 1y x m x m= + + nằm phía trên đờng thẳng 2y = c. Tìm a để đths 2 3y ax= tiếp xúc với đths ( ) ( ) 2 2 1 1y x x= + , viết pt tiếp tuyến chung tại các tiếp điểm d. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m đths 4 2 2 2 1y x mx m= + + luôn đI qua 2 điểm cố định A, B. Tìm m để tiếp tuyến của đths tại A và B vuông góc e. Tìm m để tiếp tuyến tại điểm cố định có hoành độ dơng của đths 4 2 1y x mx m= + song song với đờng thẳng 2y x= . Mai Duy Duân Hàm bậc nhất / bậc nhất Bài 1. Cho hàm số 2 1 ( ) 1 x y C x = + a. Khảo sát hàm số b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đờng thẳng 3 2 2 0x y = c. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến qua A(-1;8). Tìm toạ độ tiếp điểm. d. Tìm k để đờng thẳng 3 4 y x k= + tiếp xúc với đồ thị (C). e. Tìm m để đờng thẳng y x m = + cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 2 2 f. Chứng minh rằng đờng thẳng y x m= + luôn cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt M, N. Tìm m để MN ngắn nhất. g. Tìm các điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của (C) là nhỏ nhất. h. Tìm k để pt: 2sin 1 sin 1 x k x = + có 2 nghiệm phân biệt thoả mãn: 0 x Bµi 2. a. Gäi I lµ giao cña 2 tiÖm cËn cña ®å thÞ hs 2 1 ( ) 1 x y C x − = − . T×m M thuéc (C) sao cho tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M vu«ng gãc víi IM. b. T×m m ®Ó ®êng th¼ng 2y x m= + c¾t ®å thÞ hs 1 ( ) 1 x y C x + = − t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt A, B sao cho tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i A vµ B song song. ------------------------------------------------ . . Tìm m để tiếp tuỵến của (C m ) tại điểm M song song với đờng thẳng 5x y = 0. Bài 13: 1). Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số : y = 2x 3 9x 2. Gii (1) tỡm x th vo (2) tỡm b Lu ý Cho (d) : y = a.x + b nu : - (d 1 ) song song vi (d) thỡ (d 1 ) cú h s gúc k = a - (d 2 ) vuụng gúc vi (d) thỡ (d 1