Đang tải... (xem toàn văn)
004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019 004 toán vào 10 chuyên hà nội 2018 2019
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 Môn: TOÁN CHUYÊN Năm học: 2018-2019 Câu a) Giải hệ phương trình : xy ( x + y ) = 3 3 x + y + x y + ( x + 1) ( y + 1) = 31 + x ( − 2x ) = x + − 2x b) Giải phương trình: Câu x, y a) Cho số nguyên cho 2x + y + 2x + y Chứng minh b) Cho a1 , a2 , , a50 x − xy − y ; xy − y − x chia hết cho chia hết cho số nguyên thỏa mãn: ≤ a1 ≤ a2 ≤ a50 ≤ 50 , a1 + a2 + + a50 = 100 Chứng minh từ số cho chọn vài số có tổng 50 Câu Cho ngũ giác lồi ABCDE nội tiếp (O) có CD / / BE Hai đường chéo CE · · MAB = PAE BD cắt P Điểm M thuộc BE cho Điểm K thuộc AC cho MK song song AD, điểm L thuộc đường thẳng AD cho ML // AC Đường tròn ngoại tiếp tam giác KBC cắt BD, CE Q S (Q khác B, S khác C) a) Chứng minh điểm K, M, Q thẳng hàng b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác LDE cắt BD, CE tai T R (T khác D, R khác E) Chứng minh M, S, Q, R,T thuộc đường tròn c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc (O) Câu Cho a , b, c số thực dương Chứng minh ab bc 1 + + ÷ ÷≤ ÷ b + c a + b b+c a+b ĐÁP ÁN Câu a) Giải hệ phương trình : Ta có hệ phương trình: xy ( x + y ) = 3 3 x + y + x y + ( x + 1) ( y + 1) = 31 xy ( x + y ) = ⇔ 2 ( x + y )( x − xy + y ) + ( xy ) + 7( x + y + xy + 1) = 31 xy ( x + y ) = ⇔ ( x + y ) ( x + y ) − xy + ( xy ) + ( x + y ) + xy + 1 = 31 Đặt a = x + y; b = xy hệ trở thành: ab = a ( a − 3b ) + b + ( a + b + 1) = 31 ab = ⇔ 3 a − 3ab + b + ( a + b + 1) = 31 ⇒ ( a + b ) ( a + b ) − 3ab − 3ab + ( a + b + 1) = 31 ⇔ ( a + b ) − 3ab(a + b) − 3ab + 7(a + b) − 24 = ⇒ ( a + b ) − 6(a + b) − 3.2 + ( a + b ) − 24 = ⇔ ( a + b ) + ( a + b ) − 30 = ⇔ ( a + b ) − 27 + (a + b) = 3 ⇔ (a + b − 3) ( a + b ) + 3(a + b) + 10 = ( ⇒ a + b = ( a + b) a + b = a = ⇒ ⇒ ab = b = + 3(a + b) + 10 > a = ( x + y ) ≥ xy = 4b) (do ) x + y = ⇒ ⇒ x = y =1 xy = Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 1;1) + x ( − 2x) = x + − 2x b) Giải phương trình: 0≤x≤ Điều kiện xác định: Đặt a = x , b = − x ( a, b ≥ ) Khi phương trình tương đương với: 9 + 3ab = a + 5b ⇒ 2a + b + + 3ab = 7a + 5b 2 2a + b = ⇔ 2a + 2ab − 4a + ab + b − 2b − 3a − 3b + = ⇔ 2a (a + b − 2) + b ( a + b − ) − ( a + b − ) = ⇔ ( a + b − ) ( 2a + b − ) = a + b = ⇒ b = − a ⇒ + 3a (2 − a ) = 2a + 10 ⇔ 2a + b = ⇒ b = − 2a ⇒ + 3a ( − 2a ) = a + ( − 2a ) 1 ( 3a − 1) ( a − 1) = a = ⇒ x = (tm) ⇔ ⇔ ( a − 1) = a = ⇒ x = 1(tm) Vậy phương trình có tập nghiệm Câu a) Cho x,y… (x Ta có: 1 S = ;1 9 − xy − y ) + ( xy − y − x ) = x − xy − y − x = x + xy − ( xy + y ) − ( x + y ) = ( x + y ) ( x − y − 1) Lại có: x − xy − y, xy − y − x ⇒ ( x + y ) ( x − y − 1) chia hết cho chia hết cho TH1: Nếu x+ y chia hết cho5 y ≡ − x ( mod ) ⇒ ≡ x − xy − y ≡ x + x + x = x ( x + 1) (mod 5) chia dư x , chia hết cho y x +)Nếu chia hết cho vậy, toán chứng minh x +)Nếu chia cho dư y chia dư 2, x + y + x + y ≡ 2.9 + + 2.3 = 30 ≡ 0(mod 5) Ta có điều phải chứng minh TH2) Nếu x − y −1 chia hết cho x ≡ y + 1( mod ) ⇒ ≡ x − xy − y ≡ ( y + 1) − y( y + 1) − y = y + 1( mod ) Do y x chia dư chia dư nên: x + y + x + y = 2.16 + 16 + 2.4 + = 60 ≡ ( mod ) Vậy ta có điều phải chứng minh b) Cho……… Nếu tồn Xét: n :1 ≤ n ≤ 50 : a1 + a2 + + an = 50 kết luận tốn hiểu nhiên a1 + a2 + + an ≤ 49 ≤ n ≤ 49 : ⇒ an +1 ≥ a1 + a2 + + an +1 ≥ 51 TH 1: an +1 = ⇒ a1 + a2 + + an = 49 an + + an+3 + + a50 = 49 Nên n ≤ 24 ⇒ a1 ≤ an + ; a2 ≤ an +3 ; ; an ≤ a2 n +1 ⇒ 49 = a1 + a2 + + an ≤ an +2 + an +3 + + a2 n +1 < an+ + + a49 + a50 Điều vô lý nên: n ≥ 25 ⇒ 49 = a1 + a2 + + an ≥ na1 ≥ 25a1 ⇒ a < ⇒ a = ⇒ a2 + .an = 48; TH2: an +1 ≥ a2 + + an +1 = 50 an + + an+3 + + a50 = 100 − ( a1 + a2 + + an +1 ) ≤ 49 ⇒ 49 ≥ ( 49 − n ) an + ≥ ( 49 − n ) ⇒ n ≥ 33 ⇒ 49 ≥ ( a1 + a2 + + a16 ) + ( a17 + + an ) ≥ 16 + ( n − 16 ) a17 ≥ 16 + 17 a17 ⇒ a17 < ⇒ a17 = ⇒ a1 = a2 = a17 = Nếu an +1 < 18 đặt a1 + a2 + + an +1 = 50 + k ( k ≥ 1) ⇒ 18 ≥ an +1 ≥ ( 50 + k ) − 49 = k + ⇒ k ≤ 17 ⇒ ak +1 + + an +1 = 50 Nếu an +1 ≥ 19 ⇒ 49 ≥ ( 49 − n ) an + ≥ ( 49 − n ) 19 → n ≥ 47 ⇒ a1 = a2 = = a45 = Vì a45 ≥ ⇒ ( a1 + a2 + + a44 ) + ( a45 + + an ) ≥ 44 + ( n − 44 ) a45 ≥ 44 + ( 47 − 44 ) > 49 an+1 = 50 − k ( ≤ k ≤ 31) ⇒ a1 + + ak + an+1 = 50 ( Đặt Vậy ta có điều phải chứng minh Câu 3: a1 = = ak = 1) a) Chứng minh điểm K, M, Q thẳng hàng · · · BCKQ CKQ = CBQ = CAD ⇒ KQ / / AD BCDA Do tứ giác nội tiếp nên: Mặt MK / / AD khác nên K, M, Q thẳng hàng b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác………… Chứng minh tương tự ta có: MQ / / AD nên R, M , L thẳng hàng · · · RMQ = RLD = ETD ⇒ tứ giác RTMQ nội tiếp Chứng minh tương tự RMSQ nội tiếp đó: tròn c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp Bổ đề: cho tam giác ABC, M nằm I Đường qua M / / AB M , S , Q, R, T d / / BC cắt BE J , thuộc đường lấy E khác M d, AM cắt BC IJ / / AE Chứng minh MJ cắt AE, AC S T, ME cắt AC G Ta có MG//BC suy MA AG = MI GC , ME cắt AB P ta có: Quay trở lại tốn: MS AP AG MA = = = ⇒ AE / / IJ MJ PB GC MI IR / / AE , IQ / / AB AM cắt BC, (O) I J khác A Áp dụng bổ đề ta có: Do ·IRE = ·AEC = ·AJC ⇒ RIJC nên tứ giác nội tiếp Chứng minh tương tự ta có DQIJ tứ giác nội tiếp · + IJQ · + RPD · · · RJI = PCD + CPD = 1800 Do đó: (O) Ta có: nên RPQJ nội tiếp Kẻ tiếp tuyến · · − RJA · · · xJR = xJA = ·ADJ − PDC = ·ADP + MAC · = ·ADP + PAD = ·APB · · · ⇒ PEJ = MAC = PED Jx ( PQR ) Suy : tiếp xúc với hay ta thu được: Vậy ta có điều phải chứng minh ( PQR ) tiếp xúc với ( O) Câu 4: Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có: ab bc 1 bc ab + + ≤ + + ÷ ÷ ÷ ÷ b + c a + b b+c a+b b+c a+b b+c a+b c b b a c b b a =2 + + + + ÷ ÷≤ ÷+ ÷ a + b b + c a + b b + c a + b b + c a + b b + c b c b a = + + ÷+ ÷= a+b a+b b+c b+c Vậy ta có điều phải chứng minh Dấu "=" xảy a=b=c Jx ... ak = 1) a) Chứng minh điểm K, M, Q thẳng hàng · · · BCKQ CKQ = CBQ = CAD ⇒ KQ / / AD BCDA Do tứ giác nội tiếp nên: Mặt MK / / AD khác nên K, M, Q thẳng hàng b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác…………... giác………… Chứng minh tương tự ta có: MQ / / AD nên R, M , L thẳng hàng · · · RMQ = RLD = ETD ⇒ tứ giác RTMQ nội tiếp Chứng minh tương tự RMSQ nội tiếp đó: tròn c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp Bổ đề:... − 27 + (a + b) = 3 ⇔ (a + b − 3) ( a + b ) + 3(a + b) + 10 = ( ⇒ a + b = ( a + b) a + b = a = ⇒ ⇒ ab = b = + 3(a + b) + 10 > a = ( x + y ) ≥ xy = 4b) (do ) x + y = ⇒ ⇒ x = y =1