Chương 2 ĐỘ ĐO JENSEN 2.1 Các định nghĩa 2.1.1 Định nghĩa Cho Ω là tập con mở của d R , và cho x∈Ω . Độ đo Jensen tại x trên Ω là một độ đo xác suất Borel µ , có giá trong một tập con compact của Ω, thoả mãn với mọi hàm điều hoà dưới u trên Ω sao cho ( )u x ud µ ≤ ∫ . Nếu B là hình cầu đóng trong Ω với tâm x , thì độ đo Lebesgue chuẩn hoá trên B là độ đo Jensen tại x , như là độ đo mặt chuẩn hoá trên B∂ .Điều này xuất phát từ bất đẳng thức dưới trung bình đối với các hàm điều hoà dưới. Một ví dụ đơn giản khác là x µ δ = , độ đo Dirac tại x cũng là độ đo Jensen tại x . Ta có định nghĩa sau 2.1.2 Định nghĩa Cho một hàm [ ] : , ϕ Ω → −¥ ¥ bao điều hoà dưới của ϕ là { } ( ): sup ( ) : ( ), S x u x u u ϕ ϕ = ∈ Ω ≤SH ( )x∈Ω Ở đây ( )ΩSH là họ của các hàm điều hoà dưới trên Ω . 2.1.3 Định nghĩa Cho một hàm [ ] : , ϕ Ω → −¥ ¥ bao Jensen của ϕ là { } ( ): inf : ( ) x J x d J ϕ ϕ µ µ = ∈ Ω ∫ . ( )x∈Ω ( )J ϕ Ω là họ tất cả các độ đo Jensen tại x trên Ω. 26 Chú ý rằng ϕ là hàm đủ ‘tốt’ cho tất cả d ϕ µ ∫ tồn tại và ta có kết quả tiếp theo là hiển nhiên 2.1.4 Mệnh đề ( ) ( ) ( )S x J x x ϕ ϕ ≤ ∈Ω . Chúng minh Cố định x∈Ω . Cho ( )u∈ ΩSH với u ϕ ≤ , và cho ( ) x J µ ∈ Ω bất kì ta có ( )u x ud d µ ϕ µ ≤ ≤ ∫ ∫ . Lấy supremum theo tất cả u và infimum theo mọi µ như trên ta có { } { } sup ( ): ( ) inf : ( ) x u x u d J ϕ µ µ ∈ Ω ≤ ∈ Ω ∫ SH . Hay ( ) ( )S x J x ϕ ϕ ≤ . W 2.2 Định lý đối ngẫu trừu tượng Chúng ta sẽ nghiên cứu định lý đối ngẫu trên cơ sở lý thuyết đã có.Định lý này cho phép chúng ta xem xét đồng thời hàm điều hoà dưới và hàm đa điều hoà dưới cũng như có thể áp dụng được vào lý thuyết đa thế vị. Chúng ta kí hiệu sau Cho X là không gian metric compact, và cho R là tập hợp các hàm số liên tục từ [ ) ,X → −¥ ¥ thoả mãn i) ,u v R u v R∈ ⇒ + ∈ . ii) , 0u R u R∈ > ⇒ ∈l l . iii) R tách các điểm của X và chứa các hằng số. Với mỗi x X∈ , độ đo R tại x là độ đo xác suất Borel µ trên X thoả mãn 27 ( )u x ud µ ≤ ∫ ( )u R∈ . Chúng ta kí hiệu x I là tập tất cả độ đo R tại x . Cho [ ] : ,X ϕ → −¥ ¥ , ta định nghĩa { } ( ) sup ( ) : , ( )R x u x u R u x X ϕ ϕ = ∈ ≤ ∈ . Định lý đối ngẫu trừu tượng sau là kết quả của Edward, [07] Định lý Cho ( ] : ,X ϕ → −¥ ¥ là hàm số nửa liên tục dưới. Khi đó ( ) ( )R x I x ϕ ϕ = . ( )x X∈ Chứng minh Theo mệnh đề 2.1.3. Ta dễ dàng chứng minh được ( ) ( )R x I x ϕ ϕ ≤ với mọi x X∈ . Ta sẽ chứng minh điều ngược lại tức là ( ) ( )R x I x ϕ ϕ ≥ thật vậy Đầu tiên ta giả sử ( )C X ϕ ∈ , chú ý ϕ là hàm số giá trị thực liên tục trên X . Và giả sử ( ) ( )R x I x ϕ ϕ < với mọi x X∈ . Ta có thể thêm một hằng số vào ϕ nếu cần, không giảm mất tính chất tổng quát của bài toán ta giả sử ( ) 0 ( )R x I x ϕ ϕ < < . Định nghĩa { } ( ) : , ( ) 0, f C X u R u x u f= ∈ ∃ ∈ = <C= . Thế thì C= là tập nón lồi trên ( )C X , và ϕ ∉C= vì ( ) 0R x ϕ < . Do đó, theo định lý Hahn-Banach và định lý Riesz đã chứng minh, tồn tại độ đo Borel µ có dấu trên X thoả mãn 0d fd ϕ µ µ ≤ < ∫ ∫ ( )f ∈C = (2.1) 28 Mặt khác, vì C= bao gồm tất cả các hàm số liên tục, dương trên X do đó, µ chỉ là độ đo dương. Nhân thêm bởi một hằng số, chúng ta có thể giả sử rằng µ là một độ đo xác suất. Bây giờ chúng ta chỉ ra rằng µ chính là độ đo R tại x . Cho u R∈ . với mỗi 0>ò> . Đặt ( )f u u x= − + ò> . Thế thì f ∈C= , vì 0fd µ ≥ ∫ do đó ( )u x ud µ ≤ + ∫ ò> . Cho 0→ò> , ta được ( )u x ud µ ≤ ∫ > . Điều chứng minh dưới đây xét ( )u x = −∞ , và trong tất cả các trường hợp đẳng thức luôn xảy ra. Theo bất đẳng thức (2.1) ta có ( ) 0I x ϕ ≤ khi đó mâu thuẫn với điều giả sử. Do đó ( ) ( )I x R x ϕ ϕ ≤ trong trường hợp ϕ là hàm số liên tục. Giả sử ϕ chỉ là hàm số nửa liên tục dưới. Cho ( ) n ϕ là dãy trong ( )C X mà ( ) n ϕ hội tụ tới ϕ . Ta vừa chứng minh, với mỗi n , tồn tại n x I µ ∈ sao cho 1 ( ) n n n d R x n ϕ µ ϕ < + ∫ . Nếu m n ≤ thì 1 1 ( ) ( ) m n n n n d d R x R x n n ϕ µ ϕ µ ϕ ϕ ≤ ≤ + ≤ + ∫ ∫ . Giới hạn của ( ) n µ hội tụ * - yếu tới x I µ ∈ . Cho n → ∞ qua giới hạn này, và sau đó m → ∞ ta được ( )d R x ϕ µ ϕ ≤ ∫ . Do đó, lặp lại một lần chúng ta có ( ) ( )I x R x ϕ ϕ ≤ . 29 Vậy ( ) ( ) ( )R x I x x X ϕ ϕ = ∈ Nhận xét: Nếu ϕ là nửa liên tục trên thì định lý 2.2 không còn đúng nữa. Thật vậy, điều đó là sai khi R chứa một dãy giảm ( ) n u mà có giới hạn là không liên tục. Vì nếu đặt lim n n u ϕ = thì ϕ là nửa liên tục trên và thoả mãn I ϕ ϕ = , nhưng R ϕ ϕ ≠ , bởi vì R ϕ là supremum của họ hàm số liên tục, và là liên tục dưới. Do đó, R I ϕ ϕ = . Định lý 2.2 dùng để chứng minh một cách tổng quát của Choquet. Chi tiết chúng ta xem trong chương 1, [09] 2.3 Định lý đối ngẫu của hàm đa điều hoà dưới Cho Ω là một tập con mở của d R và [ ] : , ϕ Ω → −¥ ¥ , ta kí hiệu { } ( ) sup ( ) : ( ), ( )S x u x u u x ϕ ϕ = ∈ Ω ≤ ∈ΩSH , { } ( ) inf : ( ) ( ) x J x d J x ϕ ϕ µ µ = ∈ Ω ∈Ω ∫ . Trong đó ( )ΩSH là họ của các hàm điều hoà dưới trên Ω , và ( ) x J Ω là họ của các độ đo Jensen tại x trên Ω . 2.3.1 Định lý Cho : ϕ Ω → R là hàm số liên tục. Khi đó ( ) ( ) ( )S x J x x ϕ ϕ = ∈Ω . Đây là khái niệm cơ bản. Cho X là tập con compact của Ω , Ta đặt { } : ( ) ( ) X R u u SH C= ∈ Ω ΩI| . Với 2 Ω = R trường hợp này chúng ta xem trong trang 77, [14] Chứng minh Tương tự định lý 2.2. 30 Để có thêm kiến thức từ định lý ta cần phải liên hệ độ đo R trên X và độ đo Jensen trên Ω . Ta có bổ đề sau 2.3.2 Bổ đề Giả sử mỗi thành phần bị chặn của | d XR giao không trống với | d ΩR . Khi đó { } ( ) :supp ( ) x x I J X x X µ µ = ∈ Ω ⊂ ∈ . Chứng minh Cho x X∈ và cho ( ) x J µ ∈ Ω với supp X µ ⊂ . Lấy v R∈ ta có X v u= | . Vì tồn tại ( ) ( )u C∈ Ω ΩISH do đó ( ) ( ) X v x u x ud vd µ µ = ≤ = ∫ ∫ suy ra x I µ ∈ . Ngược lại, giả sử x I µ ∈ . Lấy ( )u∈ ΩSH khi đó tồn tại ( ) ( ) n u C∈ Ω ΩISH sao cho n u u↓ trên X ( Xem trong định lý xấp xỉ không tầm thường [ ] Gr,®Þnh lý 6.1 ). Đặt | n n X v u= , khi đó n v R∈ vì vậy ( ) n n v x v d µ = ∫ . Cho n → ∞ suy ra ( )u x ud µ ≤ ∫ do đó ( ) x J µ ∈ Ω . Vậy { } ( ) :supp ( ) x x I J X x X µ µ = ∈ Ω ⊂ ∈ W Chứng minh định lý 2.3.1 Cho ( ) n X thoả mãn là dãy vét cạn, compact của Ω , với mỗi n mọi hợp thành giới nội của | d n XR có giao không trống với | d ΩR . Ta định nghĩa { } | : ( ) ( ) n X n R u u C= ∈ Ω ΩISH , và biểu thị n R ϕ và n I ϕ tương ứng là bao của | n X ϕ . Theo định lý 2.2 ta có ( ) ( ) n n R x I x ϕ ϕ = với mọi n x X∈ . 31 Ta chỉ cần chứng minh limsup ( ) ( ) n n R x S x ϕ ϕ →∞ ≤ và liminf ( ) ( ) n n I x J x ϕ ϕ →∞ ≥ ( )x∈Ω . Lấy x∈Ω ta có n x X∈ , vì vậy tồn tại ( ) n u ∈ ΩSH thoả mãn n u ϕ ≤ trên n X và 1 ( ) ( ) n n u x R x n ϕ > − . Đặt ( ) limsup ( ) n n u y u y →∞ = và * ( ) limsup ( ) z y u y u z → = ( )y∈Ω . Thế thì * ( )u ∈ ΩSH và * u ϕ ≤ do đó * limsup ( ) ( ) ( ) n n R x u x S x ϕ ϕ →∞ ≤ ≤ . Theo bổ đề 2.3.2, Nếu n x X∈ thì { } ( ) inf : ( ), sup n x n I x d J X ϕ ϕ µ µ µ = ∈ Ω ⊂ ∫ . Lấy giới hạn hai vế ta được lim ( ) ( ) n n I x J x ϕ ϕ →∞ = . 2.3.3 Định nghĩa Cho Ω là tập con mở của d C . Đặt ( )PSH Ω là họ của các hàm đa điều hoà dưới trên Ω , và ( ) x PJ Ω là họ của độ đo đa Jensen tại x trên Ω . Cho [ ] : , ϕ Ω → −¥ ¥ ta định nghĩa: { } ( ) sup ( ): ( ), PS x u x u PSH u ϕ ϕ = ∈ Ω ≤ ( )x∈Ω . { } ( ) inf : ( ) x PJ x d PJ ϕ ϕ µ µ = ∈ Ω ∫ ( )x∈Ω 2.3.4 Định lý Giả sử Ω là tập giả lồi. Cho : ϕ Ω → R là liên tục. Khi đó ( ) ( )PS x PJ x ϕ ϕ = ( )x∈Ω . Chứng minh 32 Chứng minh tương tự định lý 2.3.1 chỉ cần chú ý trong quá trình chứng minh bổ đề 2.3.2, chúng ta phải biết rằng ( )u∈ ΩSH , tồn tại ( ) ( ) n u C∈ Ω ΩISH thoả mãn n u u↓ trên X . Kết quả tương tự của hàm đa điều hoà dưới là không đúng trong trường hợp nói chung. Nhưng đúng trong trường hợp Ω là giả lồi, chúng ta xem trong định lý 5.5, [08] 2.4 Ứng dụng vào hàm nguyên Chúng ta biết rằng một hàm nguyên phải chứa tập không điểm lớn nhất. Sử dụng độ đo Jensen ta sẽ thấy điều này Cho g là một hàm nguyên với 0g ≡ / . Cho :M →C R là hàm số liên tục. Khi đó tồn tại một hàm nguyên 0f ≡ / , chứa tập không điểm của g và thoả mãn log ( ) ( )f z M z≤ với mọi z∈C ? Nếu mỗi f được tồn tại, thì ta có thể chọn được ( ) (0) 0f g ≠/ (Chỉ thay thế f bởi ( ) k Cf z z/ với những hằng số ,C k thích hợp). Khi đó hàm log /u f g= là hàm điều hoà dưới trên C với (0)u > −¥ ,vì vậy mọi độ đo µ tại 0 ta có (0) ( log )u ud M g d µ µ −∞ < ≤ ≤ − ∫ ∫ . Trong trường hợp 0 ( ) inf ( log ) J C M g d µ µ ∈ − > − ∫ ¥ (2.2) Đặc biệt, điều kiện này sẽ cần thiết cho sự tồn tại của hàm f đó là điều kiện đủ, xem trong định lý của Khabibullin, §2 trang 1069, [12]. Định lý 2.4.1 Nếu (2) được thoả mãn, với mỗi 0 δ > , tồn tại một hàm nguyên 0f ≡ / ,chứa tập không điểm của g , mà thoả mãn 33 2 2 log ( ) max ( ( ) 3log(1 )) z f z M z ζ δ ζ − ≤ ≤ + + ( z∈C ). Khabibullin chứng minh 2 3log(1 )z+ bị khử, cũng như giả thiết liên tục của M yếu hơn một chút. Chúng ta xem trong sách của Koosis, chương 3,[15]. Định lý 2.4.2 Cho u là hàm điều hoà dưới trên C với u ≡ − / ¥ , m là độ đo Lebesgue. Khi đó tồn tại một hàm nguyên 0h ≡ / thoả mãn 2 ( ) 2 3 ( ) (1 ) ( ) u z h z e z dm z − + < ∫ C ¥ . Chứng minh định lý 2.4.1 Gọi ρ là độ đo Lebesgue trên đĩa { } z δ ≤ , độ đo xác suất chuẩn hoá. Chú ý rằng 0 ( )J ρ ∈ C . Định nghĩa : ϕ →C R được xác định ( log )M g ϕ ρ = − ∗ . Thế thì ϕ là liên tục, và với mỗi 0 ( )J µ ∈ C ta có ( log ) ( )d M g d ϕ µ ρ µ = − ∗ ∫ ∫ . Dễ dàng kiểm tra được rằng 0 0 ( ) ( )J J µ ρ µ ∈ ⇒ ∗ ∈C C . Do vậy từ (2.2) ta có 0 ( ) inf J d µ ϕ µ ∈ > − ∫ C ¥ Nói cách khác (0)J ϕ > −¥ Áp dụng định lý 2.3.1 suy ra (0)S ϕ > −¥ , do đó tồn tại một hàm điều hoà dưới nhỏ nhất u trên C thoả mãn u ϕ ≤ và u ≡ − / ¥ . Theo định lý 2.4.2 tồn tại một hàm nguyên 0h ≡ / sao cho 2 ( ) 2 3 ( ) (1 ) ( ) u z h z e z dm z − + < ∫ C ¥ 34 Đặt 2 f Cgh= , C là hằng số. Rõ ràng f là hàm nguyên, 0f ≡ / và chứa tập không điểm của g . Mặt khác, khi f là hàm điều hoà dưới trên C , 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z z C f z f dm g h dm ζ δ ζ δ ζ ζ ζ ζ ζ πδ πδ − ≤ − ≤ ≤ ≤ ∫ ∫ . (2.3) Thật ra, u ϕ ≤ mà ( log )M g ϕ ρ = − ∗ nên (log )g M u ρ ρ ∗ ≤ ∗ − . Hơn nữa vì log g là hàm điều hoà dưới, ta có log (log )g g ρ ≤ ∗ . Do đó M u g e e ρ ∗ − ≤ Thế vào (2.3) ta có 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) M u z C f z e e h dm ρ ζ ζ ζ δ ζ ζ πδ ∗ − − ≤ ≤ ∫ { } 2 ( ) 2 ( ) 3 2 2 3 - ( ) ( ) max (1 ) (1 ) u M z h e C dm e ζ ρ ζ ζ δ ζ ζ ζ πδ ζ − ∗ ≤ ≤ + + ∫ C 2 ( ) 3 - 2 max (1 ) M z CC e z ζ ζ δ ≤ ′ ≤ + Ở đây C ′ là hằng số không phụ thuộc vào z và thoả mãn được 1 C C ≤ ′ . Do đó 2 2 log ( ) max ( ( ) 3log(1 )) z f z M z ζ δ ζ − ≤ ≤ + + W 2.5 Độ đo điều hoà Cho Ω là tập con mở của d R , và cho x∈Ω . ( ) x J Ω là tập độ đo Jensen tại x trên Ω . Mục đích của chúng ta trong phần này là nghiên cứu tính chất của ( ) x J Ω . 35 [...]... [8] J E Fornaess and R Narasimhan, the Levi problem on complex spaces with singu-larities, Math Ann 248 (1980), 47-72 [9] T W Gamelin, uniform Algebras and Jensen Measures, Cambridge 49 University press Cambridge, UK, 1978 [10] T W Gamelin and N Sibony, Subharmonicity for uniform algebras, J Funct Anal 35 (1980), 64-108 [11] S Gardiner, Harmonic Approximation, Cambridge University Press, Cambridge, UX,... entire functions of a single variable Math USSR Izvestiya 39 (1992), 1063-1084 [13] M Klimek, Pluripotential theory, Oxford University Press, Oxford, 1991 [14] P Koosis, La plus petite majorante surharmonique et son rapport avec l’existence des fonctions entières de type exponentiel jouant le rôle de multiplicateurs, Annales inst Fourier (Grenoble) 33 (1983), 67-107 [15] P Koosis, Lecons sur le Théorème... Pure Math 52 part 1 (1991), 163-171 [19] E.Poletsky, Holomorphic currents, Indiana Univ Math J 42 (1993), 85144 [20] E.Poletsky, Disk envelopes of functions I, in Complex Analysis in Contemporary Mathematics, ed E M Chirka, Fasis, Moscow, 1997 [21] E.Poletsky, Disk envelopes of functions II, J Funct Anal 163 (1999), 111132 50 [22] E Szpilrajn, Remarques sur les fonctions sousharmoniques, Ann Of Math... le rôle de multiplicateurs, Annales inst Fourier (Grenoble) 33 (1983), 67-107 [15] P Koosis, Lecons sur le Théorème de Beurling et Malliavin, Les Publications CRM, Montréal, 1996 [16] F Láusson and R Sigurdsson, Plurisuhamonic functions and analytic discs on manifolds, J Reine Angew Math 501 (1998), 1-39 [17] P Lelong and L.Gruman, Entire Functions of Several Complex Variables, Springer, Berlin, 1986 . như giả thiết liên tục của M yếu hơn một chút. Chúng ta xem trong sách của Koosis, chương 3,[15]. Định lý 2.4.2 Cho u là hàm điều hoà dưới trên C với u ≡