ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  TRẦN TUẤN ANH TỔNG NỬA TRỰC TIẾP CỦA CÁC ĐẠI SỐ LIE Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 8460104 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC ĐÀ NẴNG – NĂM 2018 Cơng trình hồn thành tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG  Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Trần Đạo Dõng Phản biện 1: PGS TS Nguyễn Chánh Tú Phản biện 2: GS TS Lê Văn Tuyết Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Toán học họp Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng vào ngày 01 tháng năm 2018 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện Trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng 1 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Cho g đại số Lie trường K Đạo hàm đại số Lie g tốn tử tuyến tính ∂ g cho thoả qui tắc Leibniz tương ứng với tích Lie, tức ∂([A, B]) = [∂(A), B] + [A, ∂(B)] với phần tử A, B g Khi đó, tập hợp Der(g) tốn tử đạo hàm đại số Lie gọi đại số đạo hàm g Cho trước phần tử A đại số Lie g, toán tử adA g xác định công thức adA (B) = [A, B], với B g, đạo hàm g gọi đạo hàm g Xét g h hai đại số Lie trường K τ đồng cấu tuyến tính từ g vào Der(h) Tổng nửa trực tiếp (hay tích nửa trực tiếp) đại số Lie g h định nghĩa không gian vector tích g × h với tích Lie [(A, X), (B, Y )] = ([A, B], [X, Y ] + τ (A)Y − τ (B)X) với A, B g X, Y h Ký hiệu g ⊕τ h Trong trường hợp đặc biệt τ (A)Y = 0, với A g X h, tổng nửa trực tiếp g h quy tổng trực tiếp hai đại số Lie g h với tích Lie [(A, X), (B, Y )] = ([A, B], [X, Y ]) với A, B g X, Y h Nghiên cứu cấu trúc biểu diễn đại số Lie, có tổng nửa trực tiếp đại số Lie, toán mang tính thời lý thuyết Lie lý thuyết biểu diễn Với mong muốn tìm hiểu thêm tính chất biểu diễn liên hợp, đạo hàm tổng nửa trực tiếp đại số Lie, với gợi ý PGS TS Trần Đạo Dõng, chọn đề tài "Tổng nửa trực tiếp đại số Lie" làm đề tài nghiên cứu cho luận văn Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tổng nửa trực tiếp đại số Lie mối liên hệ với biểu diễn liên hợp đạo hàm đại số Lie Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận văn chủ yếu tập trung sâu vào tìm hiểu khái niệm, định nghĩa tính chất liên quan đến tổng nửa trực tiếp đại số Lie mối liên hệ với biểu diễn liên hợp đạo hàm đại số Lie Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm tài liệu kinh điển báo cập nhật, tổng hợp trình bày báo cáo tổng quan Tham khảo, trao đổi với cán hướng dẫn Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Tổng hợp tài liệu, trình bày báo cáo tổng quan đầy đủ tổng nửa trực tiếp đại số Lie Góp phần làm rõ mối liên hệ tổng nửa trực tiếp đại số Lie với đạo hàm biểu diễn liên hợp Bước đầu tìm hiểu ứng dụng tổng nửa trực tiếp đại số Lie để tìm hiểu định lí Levi, thể tổng nửa trực tiếp dạng mở rộng đại số Lie 3 Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành chương: Chương trình bày kiến thức sở đại số Lie, iđêan đồng cấu đại số Lie Phần lớn nội dung chương hệ thống khái niệm, tính chất biểu diễn liên hợp đại số Lie, đại số Lie lũy linh, đại số Lie giải được, đại số Lie nửa đơn ví dụ liên quan Chương nội dung luận văn Trong chương này, tơi trình bày khái niệm số tính chất đạo hàm đại số Lie, từ xây dựng khái niệm tổng nửa trực tiếp đại số Lie Kết chương chứng minh số tính chất tổng nửa trực tiếp đại số Lie mối liên hệ với đạo hàm biểu diễn liên hợp đại số Lie Ngồi ra, tơi trình bày sơ lược ứng dụng tổng nửa trực tiếp để tìm hiểu định lí Levi, thể tổng nửa trực tiếp dạng mở rộng đại số Lie 4 CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, chúng tơi giới thiệu số khái niệm, tính chất đại số Lie biểu diễn liên hợp, khái niệm liên quan đại số Lie lũy linh, đại số Lie giải đại số Lie nửa đơn Các nội dung chương tham khảo từ tài liệu [1] [3] 1.1 Đại số Lie đồng cấu Định nghĩa 1.1.1 Cho g khơng gian vectơ trường K Khi g gọi đại số Lie K tồn phép tốn [, ] : g × g −→ g (A, B) −→ [A, B] cho (1) [, ] tuyến tính theo biến; (2) [A, A] = 0, ∀A ∈ g; (3) [, ] thỏa mãn đồng thức Jacobi, tức [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0, ∀A, B, C ∈ g Ví dụ 1.1.2 Nhận xét 1.1.3 a) Đại số kết hợp g = End(V ) tự đồng cấu không gian vectơ V đại số Lie, kí hiệu g = gl(V ) b) Đại số kết hợp g = Mat(n, K) ma trận vuông cấp n trường K đại số Lie, kí hiệu g = gl(n, K) 5 Định nghĩa 1.1.4 Cho g đại số Lie trường K tập h ⊂ g Khi h gọi đại số Lie g nếu: (1) h không gian vectơ g; (2) h bảo tồn tích Lie, tức ∀A, B ∈ h, ta có [A, B] ∈ h Với a, b ⊂ g, kí hiệu [a, b] = {[A, B]|A ∈ a, B ∈ b} ⊂ g Khi đó, điều kiện (2) có dạng [h, h] ⊂ h Ví dụ 1.1.5 Ví dụ 1.1.6 Định nghĩa 1.1.7 Cho đại số Lie g tập a ⊂ g Ta gọi a iđêan g nếu: (1) a không gian vectơ g; (2) [a, g] ⊂ a Ví dụ 1.1.8 Từ định nghĩa iđêan ta có tính chất sau: Mệnh đề 1.1.9 Cho a, b iđêan đại số Lie g Khi đó, a ∩ b, a + b, [a, b] iđêan g Đặc biệt, [g, g] iđêan g Định nghĩa 1.1.10 Cho g đại số Lie trường K a iđêan g Khi khơng gian vectơ thương g/a = {X + a | X ∈ g} đại số Lie, gọi đại số Lie thương với tích Lie [, ] : g/a × g/a −→ g/a (X + a, Y + a) −→ [X, Y ] + a 6 Định nghĩa 1.1.11 Cho g, h đại số Lie trường K Khi đó, ánh xạ ϕ : g → h gọi đồng cấu đại số Lie nếu: (1) ϕ ánh xạ tuyến tính; (2) ϕ bảo tồn tích Lie, tức ϕ([A, B]) = [ϕ(A), ϕ(B)], ∀A, B ∈ g Đồng cấu ϕ đơn (toàn, đẳng) cấu ϕ đơn (toàn, song) ánh Đại số Lie g gọi đẳng cấu với h, kí hiệu g ∼ = h, tồn ϕ : g → h đẳng cấu đại số Lie Ta gọi Ker ϕ = {X ∈ g | ϕ(X) = 0} nhân ϕ; Im ϕ = {ϕ(X) | X ∈ g} ảnh ϕ Khi đó, Ker ϕ iđêan g Im đại số Lie h Ví dụ 1.1.12 Cho g đại số Lie, h đại số Lie g a iđêan g Khi đó, i : h −→ g X −→ X đơn cấu đại số Lie, gọi phép nhúng tắc p : g −→ g/a X −→ X + a toàn cấu đại số Lie, gọi phép chiếu tắc Ví dụ 1.1.13 Cho g đại số Lie trường K Khi đó: ad : g −→ gl(g) = EndK(g) X −→ adX : g −→ g Y −→ adX (Y ) = [X, Y ] đồng cấu đại số Lie Hơn nữa, Ker ad = Z(g) 7 Định lý 1.1.14 Cho ϕ : g → h đồng cấu đại số Lie a iđêan g chứa Ker ϕ Gọi p : g → g/a toàn cấu tắc Khi đó, tồn đồng cấu ϕ : g/a → h cho ϕ = ϕ ◦ p 1.2 Biểu diễn liên hợp đại số Lie lũy linh 1.2.1 Biểu diễn liên hợp đại số Lie Định nghĩa 1.2.1 Cho V không gian vectơ g đại số Lie trường K Khi biểu diễn g V đồng cấu đại số Lie π : g → gl(V ), gl(V ) đại số Lie tự đồng cấu tuyến tính V Nhận xét 1.2.2 Theo định nghĩa tích Lie [, ] gl(V ), ta có π biểu diễn g nếu: (1) π K tuyến tính; (2) π([X, Y ]) = π(X)π(Y ) − π(Y )π(X), ∀X, Y ∈ g Định nghĩa 1.2.3 Cho g đại số Lie trường K Khi đó, đồng cấu ad : g −→ gl(g) = EndK(g) X −→ adX : g −→ g Y −→ adX (Y ) = [X, Y ] biểu diễn gọi biểu diễn liên hợp g Tập hợp biểu diễn liên hợp đại số Lie đại số Lie Điều thể qua mệnh đề sau: Mệnh đề 1.2.4 Ký hiệu ad g = {adX | X ∈ g} Trên ad g ta định nghĩa phép toán [adX , adY ] = adX ◦ adY − adY ◦ adX , ∀X, Y ∈ g Khi ad g đại số Lie Hơn nữa, ad g đại số Lie gl(g) 8 Ví dụ 1.2.5 Biểu diễn liên hợp đại số Lie a b −a c −b −c g = so(3) = a, b, c ∈ R đồng với ma trận: α3 −α2 α1 adX = −α3 α2 −α1 1.2.2 Đại số Lie lũy linh Định nghĩa 1.2.6 Cho g đại số Lie hữu hạn chiều trường K Khi đó, ta định nghĩa g0 = g, g1 = [g0 , g], g2 = [g1 , g], , gk = [gk−1 , g], Dãy giảm g0 ⊇ g1 ⊇ g2 ⊇ ⊇ gk ⊇ gọi chuỗi tâm g Đại số Lie g gọi lũy linh tồn k ∈ N cho gk = Kết cho điều kiện cần đủ đại số Lie lũy linh Mệnh đề 1.2.7 Cho g đại số Lie trường K Khi đó, điều kiện sau tương đương: i) g đại số Lie lũy linh ii) Tồn số nguyên dương l thỏa mãn [[ [[X0, X1], X2] , Xl−1, Xl ] = 0, ∀X0, X1, , Xl ∈ g iii) Tồn dãy giảm C g, C g, , C l g iđêan g thỏa mãn C 0g = g, C l g = 0, [C ig, g] ⊆ C i+1g, i < l Ví dụ 1.2.8 Đại số Lie Heisenberg (3 chiều) g= đại số Lie lũy linh a b 0 c 0 a, b, c ∈ R Mệnh đề 1.2.9 Cho g đại số Lie lũy linh Khi đó, đại số Lie đại số Lie thương g lũy linh Mệnh đề đảo Mệnh đề 1.2.9 nói chung không Tuy nhiên, với trường hợp tâm đại số Lie g ta có kết sau Mệnh đề 1.2.10 Cho g đại số Lie lũy linh Khi đó, i) Nếu g đại số Lie khác Z(g) khác ii) Nếu g/Z(g) đại số Lie lũy linh g đại số Lie lũy linh Định nghĩa 1.2.11 Một tự đồng cấu f ∈ End V gọi lũy linh tồn n ∈ N cho f n = Định lí Engel cho ta mối liên hệ mật thiết đại số Lie tự đồng cấu lũy linh V với đại số Lie ma trận có dạng tam giác với đường chéo khơng Phép chứng minh định lí tham khảo tài liệu [1, Định lý 1.5.9] Định lý 1.2.12 (Định lí Engel) Cho V khơng gian vectơ hữu hạn chiều trường K, g đại số Lie gồm tự đồng cấu lũy linh V Khi đó, i) g lũy linh ii) Tồn phần tử v khác không V cho với X ∈ g X(v) = iii) Tồn sở V cho ma trận X ∈ g có dạng tam giác ngặt Mệnh đề sau cho thấy vai trò biểu diễn liên hợp việc xác định tính lũy linh đại số Lie Mệnh đề 1.2.13 Cho g đại số Lie Xét ad g = {adX | X ∈ g} Khi đó, g đại số Lie lũy linh đại số Lie ad g lũy linh 10 Từ định lí Engel mệnh đề ta thu điều kiện cần đủ cho đại số Lie lũy linh Mệnh đề 1.2.14 Cho g đại số Lie hữu hạn chiều Khi đó, g lũy linh adX lũy linh với X ∈ g Ví dụ 1.2.15 g = sl(2, R) = a b c −a a, b, c ∈ R đại số Lie lũy linh 1.3 Dạng Killing đại số Lie Định nghĩa 1.3.1 Cho g đại số Lie hữu hạn chiều trường K Khi đó, ánh xạ B : g × g −→ K (X, Y ) −→ B(X, Y ) = Tr(adX ◦ adY ) dạng song tuyến tính g gọi dạng Killing g Từ định nghĩa dạng Killing ta thu số tính chất sau: Mệnh đề 1.3.2 Với X, Y, Z ∈ g, ∀α ∈ K ta có B(X, Y ) = B(Y, X); B(αX, Y ) = αB(X, Y ); B(X + Y, Z) = B(X, Z) + B(Y, Z) Mệnh đề 1.3.3 Với X, Y, Z ∈ g ta có B([X, Y ], Z) = −B(Y, [X, Z]) Mệnh đề 1.3.4 Cho g đại số Lie trường K a iđêan đại số Lie g Đặt a⊥ = {X ∈ g | B(X, Y ) = 0, ∀Y ∈ a} Khi đó, a⊥ iđêan g Phép chứng minh mệnh đề tham khảo tài liệu [1] 11 Định nghĩa 1.3.5 Cho g đại số Lie hữu hạn chiều B dạng Killing tương ứng Ký hiệu rad B = {X ∈ g | B(X, Y ) = 0, ∀Y ∈ g} Ta có rad B iđêan g Dạng Killing B gọi không suy biến rad B = {0} Một tính chất quan trọng dạng Killing không thay đổi giá trị qua đẳng cấu đại số Lie Điều thể mệnh đề sau: Mệnh đề 1.3.6 Mọi đẳng cấu đại số Lie ϕ : g → g bảo toàn dạng Killing, tức với X, Y ∈ g, ta có B(X, Y ) = B(ϕ(X), ϕ(Y )) 1.4 Đại số Lie giải Định nghĩa 1.4.1 Cho g đại số Lie hữu hạn chiều trường K Đặt g0 = g, g1 = [g, g], , gk+1 = [gk , gk ], Ta có dãy giảm g0 ⊃ g1 ⊃ ⊃ gk ⊃ gọi chuỗi hốn tử g Khi đó, g gọi giải ∃k ∈ N : gk = {0} Ví dụ 1.4.2 Bằng phép chứng minh qui nạp ta có tính chất sau: Mệnh đề 1.4.3 Cho g đại số Lie hữu hạn chiều Với k ∈ N ta có gk ⊆ gk Từ Mệnh đề 1.4.3 ta suy rằng: Nếu g đại số Lie lũy linh g giải Mệnh đề 1.4.4 Cho ϕ : g → h tồn cấu đại số Lie Khi đó, ϕ(gk ) = hk , ∀k ∈ N 12 Hệ 1.4.5 Nếu g đại số Lie giải ϕ : g → h đồng cấu đại số Lie ϕ(g) đại số Lie giải Mệnh đề 1.4.6 Cho g đại số lie giải Khi đó, đại số Lie con, đại số Lie thương g giải Mệnh đề 1.4.7 Cho g đại số Lie Nếu a iđêan giải g cho g/a giải g giải Mệnh đề 1.4.8 Cho g đại số Lie hữu hạn chiều Khi đó, tồn iđêan giải R g chứa tất iđêan giải khác, gọi g, kí hiệu R = rad g Định lý 1.4.9 (Tiêu chuẩn Cartan thứ nhất) Cho g đại số Lie hữu hạn chiều trường K (K ⊂ C) Khi đó, g đại số Lie giải với X ∈ g, ∀Y ∈ [g, g] ta có B(X, Y ) = hay B(g, [g, g]) = Ví dụ 1.4.10 Xét đại số Lie g = a b 0 c 0 a, b, c ∈ R Khi đó, g đại số Lie giải 1.5 Đại số Lie nửa đơn Định nghĩa 1.5.1 Cho g đại số Lie hữu hạn chiều trường K a) g gọi đơn g không giao hốn khơng tồn iđêan khác khơng thực g b) g gọi nửa đơn g khơng có iđêan giải khác khơng nào, tức rad(g) = {0} Nhận xét 1.5.2 1) Nếu g đại số Lie đơn g = [g, g] Do g khơng giải 2) Nếu g đại số Lie đơn g đại số Lie nửa đơn 3) Nếu g đại số Lie nửa đơn Z(g) = 13 Kết cho thấy từ đại số Lie hữu hạn chiều ta thu đại số Lie nửa đơn dạng đại số Lie thương Mệnh đề 1.5.3 Cho g đại số Lie hữu hạn chiều Khi đó, g/ rad(g) nửa đơn Đối với đại số Lie số chiều thấp, ta có mối liên hệ đại số Lie đơn đại số Lie giải thể mệnh đề sau: Mệnh đề 1.5.4 Mỗi đại số Lie chiều đơn giải Ví dụ 1.5.5 Định lí cho tiêu chuẩn để kiểm tra tính nửa đơn Phép chứng minh định lí tham khảo tài liệu [1, Định lí 1.6.15] Định lý 1.5.6 (Tiêu chuẩn Cartan thứ hai) Đại số Lie g nửa đơn dạng Killing g khơng suy biến Ví dụ 1.5.7 Định lí cho mối liên hệ đại số Lie đơn đại số Lie nửa đơn Phép chứng minh định lí tham khảo tài liệu [1, Định lí 1.6.17] Định lý 1.5.8 Đại số Lie hữu hạn chiều g nửa đơn g = g1 ⊕ g2 ⊕ ⊕ gn g1 , g2 , , gn đại số Lie đơn Hệ 1.5.9 Nếu g nửa đơn g = [g, g] 14 CHƯƠNG TỔNG NỬA TRỰC TIẾP CỦA CÁC ĐẠI SỐ LIE Trong chương này, chúng tơi trình bày đạo hàm đại số Lie, khái niệm tính chất tổng nửa trực tiếp đại số Lie mối liên hệ với đạo hàm biểu diễn liên hợp đại số Lie Đồng thời tìm hiểu số ứng dụng tổng nửa trực tiếp Các kiến thức trình bày chương tham khảo từ tài liệu [2], [4], [5] [6] 2.1 Đạo hàm đại số Lie Định nghĩa 2.1.1 Cho g đại số Lie trường K Ánh xạ ∂ : g −→ g X −→ ∂(X) gọi toán tử đạo hàm g nếu: i) ∂ ánh xạ tuyến tính; ii) ∂ thỏa mãn quy tắc Leibniz, tức ∂[X, Y ] = [∂(X), Y ] + [X, ∂(Y )], ∀X, Y ∈ g Mệnh đề 2.1.2 Cho ∂ ∂ toán tử đạo hàm đại số Lie g Khi đó, i) α∂ + β∂ toán tử đạo hàm với α, β ∈ K; ii) ∂ ◦ ∂ − ∂ ◦ ∂ toán tử đạo hàm 15 Mệnh đề 2.1.3 Ký hiệu Der g = {∂ | ∂ toán tử đạo hàm g} Trên Der g ta định nghĩa phép toán sau: (∂ + ∂ )(X) = ∂(X) + ∂ (X), ∀X ∈ g (α∂)(X) = α∂(X), ∀X ∈ g, ∀α ∈ K [∂, ∂ ] = ∂ ◦ ∂ − ∂ ◦ ∂, ∀∂, ∂ ∈ Der g Khi Der g đại số Lie trường K Định nghĩa 2.1.4 Đại số Lie Der g gồm toán tử đạo hàm Mệnh đề 2.1.3 gọi đại số đạo hàm g Nhận xét 2.1.5 Cho g đại số Lie trường K X ∈ g Ánh xạ adX : g −→ g Y −→ adX (Y ) = [X, Y ] toán tử đạo hàm g Định nghĩa 2.1.6 Cho trước phần tử A ∈ g, toán tử đạo hàm adA g xác định công thức adA (B) = [A, B], với B g, nhận xét gọi đạo hàm g Từ định nghĩa toán tử ad ta suy số tính chất sau đây: Mệnh đề 2.1.7 Cho g đại số Lie trường K ad biểu diễn liên hợp g Khi đó, với A, B, C ∈ g ta có: (i) adA [B, C] = [adA (B), C] + [B, adA (C)]; (ii) ad[A,B] = [adA , adB ]; (iii) [g, g] ⊂ Z(g) ⇔ adA ◦ adB = ad[A,B] Mệnh đề 2.1.8 Cho g đại số Lie Khi đó, ánh xạ ad : g → Der g X → adX đồng cấu đại số Lie 16 Mệnh đề 2.1.9 Nếu ∂ ∈ Der g [∂, adX ] = ad∂(X) , ∀X ∈ g Chứng minh Với X, Y ∈ g ta có: [∂, adX ](Y ) = (∂ ◦ adX − adX ◦∂)(Y ) = ∂(adX (Y )) − adX (∂(Y )) = ∂([X, Y ]) − [X, ∂(Y )] = [∂(X), Y ] + [X, ∂(Y )] − [X, ∂(Y )] = [∂(X), Y ] = ad∂(X)(Y ) Vậy [∂, adX ] = ad∂(X) , ∀X ∈ g Mệnh đề 2.1.10 Xét ad g = {adX | ∀X ∈ g} Khi đó, i) Với X, Y ∈ g ta có adX + adY = adX+Y ii) ad g iđêan Der g Trong trường hợp g đại số Lie nửa đơn ta có kết sau: Mệnh đề 2.1.11 Nếu g đại số Lie nửa đơn ad g = Der g Hệ 2.1.12 Nếu g đại số Lie nửa đơn Der g ∼ = g Chứng minh Ta chứng minh ad : g → Der g đẳng cấu Thật vậy, g đại số Lie nửa đơn nên theo Mệnh đề 2.1.11, ta có: Der g = ad g Suy ad : g → Der g tồn ánh Hơn nữa, g đại số Lie nửa đơn nên ta có Z(g) = {0} Khi Ker(ad) = Z(g) = {0} Suy ad đơn ánh Vậy ad : g → Der g đẳng cấu đại số Lie, tức Der g ∼ = g Ví dụ 2.1.13 17 2.2 Tổng nửa trực tiếp đại số Lie Mệnh đề 2.2.1 Cho g h đại số Lie trường K Giả sử τ : g → Der h đồng cấu đại số Lie Đặt f = g × h tích trực tiếp khơng gian vectơ g h Khi đó, f đại số Lie trường K với tích Lie xác định sau: [(A, X), (B, Y )]τ = ([A, B], [X, Y ] + τ (A)Y − τ (B)X) với A, B ∈ g X, Y ∈ h Từ ta có định nghĩa tổng nửa trực tiếp đại số Lie sau: Định nghĩa 2.2.2 Cho g h đại số Lie trường K Tổng nửa trực tiếp (hay tích nửa trực tiếp) g h, kí hiệu g ⊕τ h, đại số Lie không gian vectơ g × h xác định Mệnh đề 2.2.1 với tích Lie [(A, X), (B, Y )]τ = ([A, B], [X, Y ] + τ (A)Y − τ (B)X) với A, B ∈ g, X, Y ∈ h τ ∈ Hom(g, Der h) Nhận xét 2.2.3 1) Trong trường hợp τ = tổng nửa trực tiếp hai đại số Lie g h quy tổng trực tiếp hai đại số Lie g h với tích Lie: [(A, X), (B, Y )] = ([A, B], [X, Y ]) với A, B ∈ g, X, Y ∈ h 2) Nếu τ = ad hoán tử tổng nửa trực tiếp g ⊕ad a có dạng [(A, X), (B, Y )]ad = ([A, B], [X, Y ] + [A, Y ] − [B, X]) với A, B ∈ g, X, Y ∈ a Ví dụ 2.2.4 Ví dụ 2.2.5 18 2.3 Các tính chất tổng nửa trực tiếp Nhận xét 2.3.1 Mệnh đề 2.3.2 Cho tổng nửa trực tiếp g ⊕τ h hai đại số Lie g h Khi đó, (i) [g × 0, g × h]τ ⊂ g ⊕τ τ (g)h = 0; (ii) [0 × h, g × h]τ ⊂ ⊕τ h Định lý 2.3.3 Cho tổng nửa trực tiếp g ⊕τ h đại số Lie g h Khi đó, (i) Z(g ⊕τ h) ⊂ Z(g) × Ker τ (g); (ii) Nếu (A, B) ∈ Z(g ⊕τ h) τ (A) = − adB , ∀A ∈ g, ∀B ∈ h Nhận xét 2.3.4 Định lý 2.3.5 Cho g1 g2 đại số Lie trường K ∂i ∈ Der gi, với i = 1, Khi đó, ∂1 × ∂2 ∈ Der(g1 ⊕τ g2) (τ ◦ ∂1)(A) = [∂2, τ (A)], ∀A ∈ g1 Định lý 2.3.6 Cho g1 ⊕σ g2 , h1 ⊕τ h2 hai tổng nửa trực tiếp đại số Lie fi ∈ Hom(gi , hi ); i = 1, Với A ∈ g1 ta có: f1 × f2 ∈ Hom(g1 ⊕σ g2, h1 ⊕τ h2) f2 ◦ σ(A) = τ (f1 (A)) ◦ f2 2.4 Dạng Killing tổng nửa trực tiếp Định nghĩa 2.4.1 Cho g ⊕τ h tổng nửa trực tiếp đại số Lie g h Dạng song tuyến tính g ⊕τ h xác định B((A, B), (X, Y )) = Tr(ad(A,B) ◦ ad(X,Y )), ∀(A, B), (X, Y ) ∈ g × h gọi dạng Killing g ⊕τ h 19 Các kết cho ta số tính chất quan trọng dạng Killing tổng nửa trực tiếp đại số Lie Định lý 2.4.2 Cho g ⊕ad a tổng nửa trực tiếp đại số Lie g a, với a iđêan đại số Lie g ad biểu diễn liên hợp g Khi đó, B((A, B), (X, Y )) = B(A, X)+B(A+B, X+Y ), ∀A, X ∈ g, ∀B, Y ∈ a Hệ 2.4.3 Nếu a iđêan giao hoán đại số Lie g trường có đặc số khác B((A, B), (X, Y )) = 2B(A, X), ∀A, X ∈ g, ∀B, Y ∈ a 2.5 Một số hệ tính chất liên quan Nhận xét 2.5.1 Với hai đại số Lie g, h τ ∈ Hom(g, Der h), đại số Lie f xây dựng từ tích Đề-các g × h Đại số Lie tổng trực tiếp hai đại số Lie tổng nửa trực tiếp hai đại số Lie Có hai khả là: Nếu Ker τ = g f = g ⊕ h [(A, X), (B, Y )] = ([A, B], [X, Y ]), ∀A, B ∈ g, ∀X, Y ∈ h Nếu Ker τ = g f = g ⊕τ h ∀A, B ∈ g, ∀X, Y ∈ h, ta có: [(A, X), (B, Y )] = ([A, B], [X, Y ] + τ (A)Y − τ (B)X) Định lí Levi cho ta chiều ngược lại Theo định lí Levi, đại số Lie f có dạng tổng nửa trực tiếp hai đại số Lie thành phần g h, g thay cho đại số Lie nửa đơn, gọi nhân tử Levi, h iđêan giải cực đại, gọi Từ đại số Lie g tác động lên iđêan h dẫn đến hai trường hợp: Nếu [g, h] = f = g ⊕ h Nếu [g, h] = tồn biểu diễn τ đại số Lie h Khi adA (X) = τ (A)X với A ∈ g, X ∈ h f = g ⊕τ h 20 Hệ 2.5.2 Nếu g = Ker τ từ Định lí 2.3.3 ta có Z(g ⊕τ h) = Z(g) ∩ Ker τ × Z(h) ∩ Ker τ (g) Nói cách khác, với A ∈ g với B ∈ h, ta có: A ∈ Z(g) τ (A)h = 0; (A, B) ∈ Z(g ⊕τ h) B ∈ Z(g) τ (g)B = Nhận xét 2.5.3 Hệ 2.5.4 Với X ∈ g ta có adX ×τ (X) ∈ Der(g ⊕τ h), ∀X ∈ g Nhận xét 2.5.5 Bổ đề 2.5.6 Cho tổng nửa trực tiếp g ⊕τ h đại số Lie g h Khi đó, [τ (A), adB ] = adτ (A)B , ∀A ∈ g, ∀B ∈ h Nhận xét 2.5.7 Theo Định lí Engel, đại số Lie hữu hạn chiều g lũy linh ad g đại số Lie lũy linh Từ suy g đại số Lie lũy linh h đại số Lie g tổng nửa trực tiếp g ⊕ad h đại số Lie lũy linh Vì đại số Lie lũy linh giải nên g ⊕ad h giải 2.6 Một số ứng dụng tổng nửa trực tiếp 2.6.1 Phân tích Levi đại số Lie Định nghĩa 2.6.1 Đại số Lie g gọi đại số Lie thu gọn với iđêan a g tồn iđêan b g cho g = a ⊕ b Nhận xét 2.6.2 Mỗi đại số Lie nửa đơn đại số Lie thu gọn Điều ngược lại nói chung không Định lý 2.6.3 Mỗi đại số Lie thu gọn g có dạng phân tích g = [g, g] ⊕ Z(g) 21 Định lý 2.6.4 (Định lý phân tích Levi) Cho g đại số Lie hữu hạn chiều với r = rad g Khi đó, tồn đại số Lie h g đẳng cấu với đại số Lie nửa đơn g/r cho đại số Lie g tổng nửa trực tiếp đại số Lie h r 2.6.2 Mở rộng đại số Lie Định nghĩa 2.6.5 Cho a b hai đại số Lie Đại số Lie g gọi mở rộng a b p i −→ b −→ g −→ a −→ dãy khớp đại số Lie Về mặt ký hiệu, ta đồng b với ảnh g xét b iđêan g Đại số Lie a đồng với g/b Định nghĩa 2.6.6 Hai mở rộng i p i p −→ b −→ g −→ a −→ −→ b −→ g −→ a −→ gọi tương đương với tồn đồng cấu f : g → g cho biểu đồ sau giao hoán 0 / / b i / g  b i / g p / a / f p / a / Mệnh đề 2.6.7 Quan hệ "tương đương hai mở rộng"là quan hệ tương đương tập hợp mở rộng a b Bổ đề 2.6.8 Cho f : g → h g : h → g đồng cấu đại số Lie cho f ◦ g = Idh Khi đó, f toàn cấu đại số Lie, g đơn cấu đại số Lie Hơn nữa, g = Ker f ⊕ Im g 22 p i Mệnh đề 2.6.9 Cho −→ b −→ g −→ a → mở rộng a b Khi đó, tồn đại số Lie c g bù với b có đồng cấu s : a → g cho p ◦ s = Ida i p Định nghĩa 2.6.10 Cho → b −→ g −→ a → mở rộng a b Ta nói mở rộng cho là: • mở rộng tầm thường tồn iđêan i g cho g = b ⊕ i, • mở rộng không cốt yếu tồn đại số Lie c g cho g = b ⊕ c, • mở rộng tâm b ⊂ Z(g) p i Định nghĩa 2.6.11 Dãy khớp ngắn −→ b −→ g −→ a → gọi chẻ tồn đồng cấu s : a → g cho p ◦ s = Ida Từ định nghĩa mở rộng không cốt yếu, kết hợp với Mệnh đề 2.6.9 ta có kết sau i p Mệnh đề 2.6.12 Dãy khớp ngắn −→ b −→ g −→ a → chẻ mở rộng g a b mở rộng không cốt yếu i p Bổ đề 2.6.13 Mở rộng −→ b −→ g −→ a → tầm thường g đẳng cấu với b × a Bổ đề 2.6.14 Mở rộng tâm không cốt yếu mở rộng tầm thường Mệnh đề 2.6.15 Cho τ : a → Der(b) đồng cấu đại số Lie Khi đó, tổng nửa trực tiếp g = a ⊕τ b a b xác định tích Lie: [(A, B), (A , B )]τ = ([A, A ], [B, B ] + τ (A)(B ) − τ (A )(B)) với A, A ∈ a, B, B ∈ b, mở rộng không cốt yếu a b Ngược lại, mở rộng không cốt yếu a b tổng nửa trực tiếp a b với tích Lie xác định 23 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu tổng nửa trực tiếp đại số Lie, hướng dẫn khoa học, nhiệt tình giáo viên hướng dẫn, luận văn hoàn thành đạt mục đích nghiên cứu đề tài với kết cụ thể sau: • Đã trình bày tổng quan số kết tổng nửa trực tiếp đại số Lie • Nghiên cứu tổng nửa trực tiếp đại số Lie mối liên hệ với biểu diễn liên hợp đạo hàm đại số Lie • Áp dụng số kết dạng Killing đại số Lie, đại số Lie giải được, đại số Lie nửa đơn vào tổng nửa trực tiếp đại số Lie • Bước đầu tìm hiểu ứng dụng tổng nửa trực tiếp đại số Lie để tìm hiểu định lý Levi, thể tổng nửa trực tiếp dạng mở rộng đại số Lie Với kết đạt được, thời gian tới tiếp tục tìm hiểu thêm ứng dụng tổng nửa trực tiếp như: khảo sát biểu diễn cảm sinh lên tổng nửa trực tiếp đại số Lie, xác định đại số Lie tích nửa trực tiếp nhóm Lie, Mặc dù có nhiều cố gắng thời gian hạn chế lực thân có hạn nên q trình thực luận văn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý quý báu để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! ... tổng quan số kết tổng nửa trực tiếp đại số Lie • Nghiên cứu tổng nửa trực tiếp đại số Lie mối liên hệ với biểu diễn liên hợp đạo hàm đại số Lie • Áp dụng số kết dạng Killing đại số Lie, đại số. .. được, đại số Lie nửa đơn vào tổng nửa trực tiếp đại số Lie • Bước đầu tìm hiểu ứng dụng tổng nửa trực tiếp đại số Lie để tìm hiểu định lý Levi, thể tổng nửa trực tiếp dạng mở rộng đại số Lie.. . hệ tổng nửa trực tiếp đại số Lie với đạo hàm biểu diễn liên hợp Bước đầu tìm hiểu ứng dụng tổng nửa trực tiếp đại số Lie để tìm hiểu định lí Levi, thể tổng nửa trực tiếp dạng mở rộng đại số Lie