1/1 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 PHÒNG GD & ĐT QUẬN BA ĐÌNH ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MƠN TỐN Năm học: 2018 – 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày khảo sát: 7/5/2019 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,0 điểm) Cho hai biểu thức: A= x −2 B = x x +2 − với x ≥ 0; x ≠ x + x x − 2x + x − 1) Tính giá trị biểu thức A x = 16 2) Rút gọn biểu thức P = A + B 3) Tìm giá trị x để biểu thức P đạt giá trị lớn Bài II (2,0 điểm) Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình: Một phịng họp có 300 ghế ngồi, xếp thành số hàng có số ghế Buổi họp hơm có 378 người đến dự họp nên ban tổ chức kê thêm hàng ghế hàng ghế phải xếp thêm ghế, đủ chỗ ngồi Hỏi lúc đầu phịng họp có hàng ghế hàng ghế có ghế, biết số hàng ghế ban đầu không vượt 20 Bài III (2,0 điểm)  +2 y =  x − 1) Giải hệ phương trình:   11 − y =  x − 2) Cho phương trình: x − (m − 3)x − m + = ( x ẩn số) a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị m b) Tìm m để phương trình có nghiệm dương https://chiasefull.com https://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 2/1 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 Bài IV (0,5 điểm) Một hình cầu tích 288π (cm ) Tính diện tích mặt cầu Bài V (3,0 điểm) Cho đường trịn (O; R) dây BC cố định ( BC < 2R ), BF đường kính A điểm di chuyển cung lớn BC ( A khác B,C ) cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AD CE tam giác ABC cắt H 1) Chứng minh tứ giác AEDC tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh HF qua trung điểm G đoạn thẳng AC AF 3) Chứng minh không đổi sin DEC 4) Cho BC = 1,5R , gọi I hình chiếu G AB Hãy tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác IBC theo R Bài VI (0,5 điểm) Cho x , y số thực dương thỏa mãn x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = https://chiasefull.com + 3xy y +1 https://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 3/1 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 HƯỚNG DẪN GIẢI Bài I (2,0 điểm) Cho hai biểu thức: A= x −2 B = x x +2 − với x ≥ 0; x ≠ x + x x − 2x + x − 1) Tính giá trị biểu thức A x = 16 2) Rút gọn biểu thức P = A + B 3) Tìm giá trị x để biểu thức P đạt giá trị lớn Lời giải 1) Tính giá trị biểu thức A x = 16 Thay x = 16 (thỏa mãn điều kiện xác định) vào biểu thức A , ta được: A= x −2 = 16 − https://chiasefull.com = 2 = =1 4−2 https://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 4/1 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 2) Rút gọn biểu thức P = A + B B= x x +2 − x + x x − 2x + x − B= x x +2 x x +2 − = − x + x ( x − 2) + ( x − 2) x + ( x − 2)(x + 1) P = A+B = P = P = P = P = P = P = + x −2 2(x + 1) ( x − 2)(x + 1) + x x +2 − x + ( x − 2)(x + 1) x ( x − 2) ( x − 2)(x + 1) − x +2 ( x − 2)(x + 1) 2(x + 1) + x ( x − 2) − x − ( x − 2)(x + 1) 2x + + x − x − x − ( x − 2)(x + 1) 3x − x ( x − 2)(x + 1) x ( x − 2) ( x − 2)(x + 1) x x +1 https://chiasefull.com https://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 5/1 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 3) Tìm giá trị x để biểu thức P đạt giá trị lớn Với x = P = =0 0+1 x 3 = = = x +1 x +1 x + x x x Với x ≠ , ta có: P = x + Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương x ; x ta được: x x + ≥2 x⋅ x Suy ra: P = =2 x x + ≤ x Vậy MaxP = x = https://chiasefull.com https://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 6/1 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 Bài II (2,0 điểm) Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình: Một phịng họp có 300 ghế ngồi, xếp thành số hàng có số ghế Buổi họp hơm có 378 người đến dự họp nên ban tổ chức kê thêm hàng ghế hàng ghế phải xếp thêm ghế, đủ chỗ ngồi Hỏi lúc đầu phịng họp có hàng ghế hàng ghế có ghế, biết số hàng ghế ban đầu không vượt 20 Lời giải Gọi số hàng ghế lúc đầu x (đơn vị: hàng ghế, x ∈ ℕ;x ≤ 20 ) Số hàng ghế lúc sau là: x + (hàng ghế) Số ghế hàng lúc đầu là: 300 (ghế) x Số ghế hàng lúc sau là: 378 (ghế) x +3 Theo đề bài, ta có phương trình: 300 378 +1 = x x +3 ⇒ 300.(x + 3) x (x + 3) 378x + = x (x + 3) x (x + 3) x + ⇒ 300.(x + 3) + x (x + 3) = 378x ⇔ 300x + 900 + x + 3x − 378x = ⇔ x − 75x + 900 = (*) ∆ = (−75)2 − 4.900.1 = 5625 − 3600 = 2025 ⇒ ∆ = 2025 = 45 Phương trình (*) có nghiệm phân biệt: x = 15 (nhận); x = 60 (loại) Lúc đầu phịng họp có 15 hàng ghế, hàng ghế có 20 ghế https://chiasefull.com https://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 7/1 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 Bài III (2,0 điểm)  +2 y =  x − 1) Giải hệ phương trình:   11 − y =  x − 2) Cho phương trình: x − (m − 3)x − m + = ( x ẩn số) a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị m b) Tìm m để phương trình có nghiệm dương Lời giải  +2 y =  x − 1)  , điều kiện: x ≠ 1;y ≥ 11  −3 y =2  x −  =a  Đặt  x − Khi đó, ta có hệ phương trình:  y = b, b ≥  2a + 2b =  11a − 3b = a + b = 3a + 3b = 12 14a = 14 a = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 11a − 3b = 11a − 3b = a + b = a + b = a = a = ⇔ ⇔ (thỏa điều kiện) 1 + b = b = Với a = 1;b = , ta có:  = x − = x =  ⇔ ⇔ (thỏa điều kiện) x −  y y = =    y =3  Vậy hệ phương trình có nghiệm nhất: (x ;y ) = (2;9) https://chiasefull.com https://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 8/1 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 2) Cho phương trình: x − (m − 3)x − m + = ( x ẩn số) a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị m b) Tìm m để phương trình có nghiệm dương Lời giải a) Phương trình: x − (m − 3)x − m + = (*) ∆ =  −(m − 3) − 4.1.(−m + 2) ∆ = (m − 3)2 − 4.(−m + 2) ∆ = m − 6m + + 4m − ∆ = m − 2m + ∆ = (m − 1)2 ≥ với m Vậy phương trình (*) ln có nghiệm với giá trị m b) Nhẩm nghiệm phương trình (*), ta được: x = −1;x = m − Phương trình có nghiệm dương ⇔ m − > ⇔ m > https://chiasefull.com https://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 9/1 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 Bài IV (0,5 điểm) Một hình cầu tích 288π (cm ) Tính diện tích mặt cầu Lời giải Cơng thức tính thể tích mặt cầu: V = π R = 288π (cm ) ⇒ 4π R = 864π ⇒ R3 = 864π = 216 4π ⇒ R = 216 = 6(cm ) Cơng thức tính diện tích mặt cầu: S = 4π R = 4π 62 = 144π (cm ) https://chiasefull.com https://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 10/ 16 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 Bài V (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) dây BC cố định ( BC < 2R ), BF đường kính A điểm di chuyển cung lớn BC ( A khác B,C ) cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AD CE tam giác ABC cắt H 1) Chứng minh tứ giác AEDC tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh HF qua trung điểm G đoạn thẳng AC AF 3) Chứng minh không đổi sin DEC 4) Cho BC = 1,5R , gọi I hình chiếu G AB Hãy tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác IBC theo R Lời giải 1) Chứng minh tứ giác AEDC tứ giác nội tiếp A F E O H B C D Xét tứ giác AEDC có: AEC = 900 (vì CE ⊥ AB ) ADC = 900 (vì AD ⊥ BC ) ⇒ AEC = ADC = 900 Suy ra: Tứ giác AEDC tứ giác nội tiếp https://chiasefull.com https://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 11/ 16 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 2) Chứng minh HF qua trung điểm G đoạn thẳng AC A F G E H B O C D Ta có: BCF = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ⇒ FC ⊥ BC AD ⊥ BC ⇒ AD / /FC  FC ⊥ BC  Tương tự, ta có BAF = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ⇒ AF ⊥ AB CE ⊥ AB ⇒ AF / /CE  AF ⊥ AB  Xét tứ giác AHCF có: AH / /CF ; AF / /CH Suy tứ giác AHCF hình bình hành Hình bình hành AHCF có G trung điểm đường chéo AC ⇒ G trung điểm đường chéo HF Vậy HF qua trung điểm G đoạn thẳng AC https://chiasefull.com https://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 12/ 16 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 AF 3) Chứng minh không đổi sin DEC A F G E H B O C D Tứ giác AEDC nội tiếp có: DEC = DAC (Hai góc nội tiếp chắn DC ) Mà DAC = ACF ( AH / /CF , hai góc so le trong) Mặt khác, ta lại có: ABF = ACF (Hai góc nội tiếp chắn AF ) ⇒ DEC = ABF ⇒ sin DEC = sin ABF Ta có: sin ABF = Suy ra: AF AF AF ⇒ sin DEC = BF BF = AF : sin DEC = AF : sin DEC Vậy AF AF BF = AF ⋅ = BF = 2R BF AF không đổi sin DEC https://chiasefull.com https://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 13/ 16 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 4) Cho BC = 1,5R , gọi I hình chiếu G AB Hãy tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác IBC theo R A I F G E H B K O C D Giả sử IG cắt đoạn thẳng FC K IG ⊥ AB ⇒ IG / /AF hay GK / /AF  AF ⊥ AB  ∆ACF có: GK / /AF ; G trung điểm đoạn thẳng AC Suy ra: K trung điểm đoạn thẳng FC Vì tứ giác ABCF tứ giác nội tiếp nên ABC + AFC = 1800 Mặt khác, ta có: AFC = IKC ( IK / /AF , hai góc đồng vị) ⇒ IBC + IKC = 1800 Mà IBC ;IKC hai góc đối Suy ra: Tứ giác BIKC nội tiếp đường tròn đường kính BK ⇒ Bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆IBC là: https://chiasefull.com BK https://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 14/ 16 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 A I F G E H B K O C D Xét ∆BCF vuông C , theo định lý Pitago, ta có: BF = BC + CF 2 3  (2R)2 =  R  + CF 2  9 4R = R + CF ⇒ CF = 4R − R = R 4 ⇒ CF = R R = Vì K trung điểm đoạn thẳng FC nên ta có: KC = FC R = Xét ∆BCK vuông C , theo định lý Pitago, ta có: BK = BC + CK 2    R  43 BK =  R  +   = R + R = R   16 16     ⇒ BK = 43 R 43 R = 16 Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆IBC là: https://chiasefull.com BK R 43 = https://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 15/ 16 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 Bài VI (0,5 điểm) Cho x , y số thực dương thỏa mãn x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = + 3xy y +1 Lời giải Ta có: A = + = + 3xy y + 3xy 3(y + 1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương 3;y + ta có: 3(y + 1) ≤ +y +1 +y = 2 Suy ra: A = Ta có: + 3xy 3(y + 1) ≥ + = + (1) 3xy + y 3xy y +  2 xy   y +   xy y +  + = + + + +   −  3xy y +  3xy  y +   6   xy  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dương  ; , xy    y + 4 ;   (y; x + 1) ta có: y +  xy xy + ≥2 ⋅ = ; 3xy 3xy 6 y+4 y+4 + ≥2 ⋅ =2 y+4 y+4 (y + x + 1)2 42 y(x + 1) ≤ ≤ = (vì x + y ≤ ) 4 https://chiasefull.com https://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 16/ 16 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 ⇒ xy + y + 4 + 4 ≤ = 6 ⇒ −4 + ≥ +2+ = (2) 3xy y + 3 Từ (1) (2) suy ra: A = + ≥ 3xy y + Dấu “=” xảy y + = ; xy 4+y = ; ; y = x + 1; x + y = = 3xy + y ⇔ x = 1;y = Vậy MinA = x = 1;y = https://chiasefull.com https://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 ... biết số hàng ghế ban đầu không vượt 20 Lời giải Gọi số hàng ghế lúc đầu x (đơn vị: hàng ghế, x ∈ ℕ;x ≤ 20 ) Số hàng ghế lúc sau là: x + (hàng ghế) Số ghế hàng lúc đầu là: 300 (ghế) x Số ghế hàng... ghế ngồi, xếp thành số hàng có số ghế Buổi họp hơm có 378 người đến dự họp nên ban tổ chức kê thêm hàng ghế hàng ghế phải xếp thêm ghế, đủ chỗ ngồi Hỏi lúc đầu phịng họp có hàng ghế hàng ghế có... AC A F G E H B O C D Ta có: BCF = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ FC ⊥ BC AD ⊥ BC ⇒ AD / /FC  FC ⊥ BC  Tương tự, ta có BAF = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ AF ⊥ AB CE