Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MƠN TỐN KD Đề số K60 Bộ mơn Tốn Thời gian làm 90 phút Không sử dụng tài liệu Câu (1,5điểm) Cho hàm số f (x, y) = cos(2x2 − y ) Tính đạo hàm riêng cấp hai fxx , fxy Câu (2,0điểm) Tìm cực trị hàm số f (x, y) = 4x3 − 6xy + y (x2 − y )dx + (3x3 − y )dy, L đường L (Elip) 9x2 + 4y = 36 có hướng ngược chiều kim đồng hồ Câu (2,0điểm) Tính tích phân đường I = Câu (3,0điểm) Giải phương trình vi phân sau a y + 2y = ex , với điều kiện ban đầu y(0) = −1 b y − 4y + 4y = xe2x +∞ Câu (1,5điểm) Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa n=1 xn n.3n Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MƠN TỐN KD Đề số K60 Bộ mơn Tốn Thời gian làm 90 phút Không sử dụng tài liệu Câu (1,5điểm) Cho hàm số f (x, y) = sin(x2 − 2y ) Tính đạo hàm riêng cấp hai fyx , fyy Câu (2,0điểm) Tìm cực trị hàm số f (x, y) = −x2 + 4xy − 2y (y + x3 )dx + (−3y + x2 )dy, L đường L (Elip) 4x2 + 9y = 36 có hướng ngược chiều kim đồng hồ Câu (2,0điểm) Tính tích phân đường I = Câu (3,0điểm) Giải phương trình vi phân sau a y − 2y = ex , với điều kiện ban đầu y(0) = b y + 4y + 4y = xe−2x +∞ Câu (1,5điểm) Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa n=1 xn n.(−4)n ĐÁP ÁN ĐỀ Câu (1,5đ) fx = −2x sin(x2 − y ) 0,5đ fxx = −2 sin(x2 − y ) − 4x2 cos(x2 − y ),fxy = 4xy cos(x2 − y ) 1,0đ Câu (2,0đ)   fx = 12x2 − 6y = Giải hệ  f = −6x + 2y = y điểm dừng M1 (0, 0), M2 (3/2, 9/2) 0,5đ Tính A = fxx = 24x, B = fxy = −6, C = fyy = 0,5đ Tại M1 , AC − B < 0, M1 cực trị 0,5đ Tại M2 , AC − B > 0, A > 0; M2 điểm cực tiểu 0,5đ Câu (2,0đ) Dùng công thức Green I = D (9x2 + 4y )dxdy,D = {9x2 + 4y ≤ 36} 1,0đ Đổi biến x = 2r cos ϕ, y = 3r sin ϕ I = 2π dϕ 36r2 6rdr = = 108π 1,0đ Câu (3,0đ) a y = 1/3ex + ce−2x 1,0đ Do y(0) = −1 nên y = 1/3ex − 4/3e−2x 0,5đ b Nghiệm pt ytn = c1 e2x + c2 xe2x 0,5đ Nghiệm riêng có dạng yr = e2x x2 (ax + b), tính yr = 1/6x3 e2x 0,5đ Suy nghiệm phương trình y = (c1 + c2 x + 1/6x3 )e2x 0,5đ Câu (1,5đ) Bk hội tụ R = 3, khoảng hội tụ (−3, 3), 0,5đ Tại x = −3, hội tụ theo Lebnitz, 0,5đ Tại x = 3, phân kì, miền hội tụ [−3, 3) 0,5đ ĐÁP ÁN ĐỀ Câu (1,5đ) fy = −2y cos(x2 − y ) 0,5đ fyy = −2 sin(x2 − y ) − 4y sin(x2 − y ),fyx = 4xy sin(x2 − y ) 1,0đ Câu (2,0đ)   fx = −2x + 4y = Giải hệ  f = 4x − 6y = y điểm dừng M1 (0, 0), M2 (8/3, 4/3) 0,5đ Tính A = fxx = −2, B = fxy = 4, C = fyy = −12y 0,5đ Tại M1 , AC − B < 0, M1 cực trị 0,5đ Tại M2 , AC − B > 0, A < 00; M2 điểm cực đại 0,5đ Câu (2,0đ) Dùng công thức Green I = D (−4x2 − 9y )dxdy,D = {4x2 + 9y ≤ 36} 1,0đ Đổi biến x = 3r cos ϕ, y = 2r sin ϕ I = − 2π dϕ 36r2 6rdr = = −108π 1,0đ Câu (3,0đ) a y = −ex + ce2x 1,0đ Do y(0) = nên y = −ex + 2e2x 0,5đ b Nghiệm pt ytn = c1 e−2x + c2 xe−2x 0,5đ Nghiệm riêng có dạng yr = e−2x x2 (ax + b), tính yr = 1/6x3 e−2x 0,5đ Suy nghiệm phương trình y = (c1 + c2 x + 1/6x3 )e−2x 0,5đ Câu (1,5đ) Bk hội tụ R = 4, khoảng hội tụ (−4, 4), 0,5đ Tại x = −4, phân kì, 0,5đ Tại x = 4, hội tụ, miền hội tụ (−4, 4] 0,5đ ...ĐÁP ÁN ĐỀ Câu (1,5đ) fx = −2x sin(x2 − y ) 0,5đ fxx = 2 sin(x2 − y ) − 4x2 cos(x2 − y ),fxy = 4xy cos(x2 − y ) ... 0,5đ ĐÁP ÁN ĐỀ Câu (1,5đ) fy = −2y cos(x2 − y ) 0,5đ fyy = 2 sin(x2 − y ) − 4y sin(x2 − y ),fyx = 4xy sin(x2 − y ) ... 1,0đ Câu (2, 0đ)   fx = 12x2 − 6y = Giải hệ  f = −6x + 2y = y điểm dừng M1 (0, 0), M2 (3 /2, 9 /2) 0,5đ Tính A = fxx = 24 x, B = fxy = −6, C = fyy =